2022版《优化方案》高中数学人教A版必修四文档：第一章§3弧度制 Word版含答案

§3 弧 度 制

, )

1．问题导航

(1)“1弧度”指的是“1度的角所对的弧”吗？ (2)“2 rad ”的角终边在第几象限？

(3)30°的角化为弧度是多少？120°是30°的几倍？其弧度数是多少？ 2．例题导读

P 10例1.通过本例学习，学会把角度换算成弧度，并留意，不要用“rad ”的中文名称“弧度”作单位写在数据的后面．

试一试：教材P 12习题1－3 T 1你会吗？

P 10例2.通过本例学习，学会把弧度换算成度，并留意，“度”的单位“°”不能省略． 试一试：教材P 12习题1－3 T 2你会吗？

1．度量角的单位制 (1)角度制

规定周角的1

360

为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．

(2)单位圆

半径为1的圆称为单位圆． (3)弧度制

当半径不同时，同样的圆心角所对的弧长与半径之比是常数，称这个常数为该角的弧度数．

在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角．它的单位符号是rad ，读作弧度．这种以弧度作单位度量角的单位制，叫作弧度制．

2．弧度数与弧长公式

(1)符号：一般地，任一正角的弧度数都是一个正数；任一负角的弧度数都是一个负数；零角的弧度数是0．

(2)公式：如图所示，l 、r 、α分别是弧长、半径、弧所对的圆心角的弧度数．

弧度数公式：|α|＝l

r

；

弧长公式：l ＝|α|r ；

这就是说，弧长等于弧所对的圆心角弧度数的确定值与半径的积． 3．角度制与弧度制的换算 (1)角度与弧度的互化

角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad ＝360° 180°＝π rad π rad ＝180°

1°＝π

180 rad ≈0.017_45 rad

1 rad ＝⎝⎛⎭

⎫180π°≈57.30°＝57°18′ (2)一些特殊角的角度数与弧度数的对应关系

角度

数

0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 120° 135° 150°

弧度数

π12 π6 π4 π3 5π12 π2 2π3 3π4 5π6

角度

数 180° 210° 225° 240°

270° 300° 315° 330° 360° 弧度数

π 7π6 5π4 4π

3

3π2

5π3

7π4

11π

6

2π

4.弧长公式及扇形面积公式的两种表示

角度制

弧度制 弧长公式 l ＝|n |πr

180

l ＝|α|r

扇形面积公式

S ＝|n |πr 2

360

S ＝|α|2r 2＝1

2

lr

留意事项 r 是扇形的半径，n 是圆心角的角度数

r 是扇形的半径，α是圆心角的弧度数，

l 是弧长

明显弧度制下的两个公式在形式上都要简洁得多，记忆和应用也就更加便利．

留意：在弧度制下的弧长公式、面积公式有诸多优越性，但假如已知角是以“度”为单位，则应当先化成弧度后再计算．

1．推断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)1弧度指的是1度的角．( ) (2)周角的大小是2π.( )

(3)弧长为π，半径为2的扇形的圆心角是直角．( )

解析：(1)错误.1弧度指的是长度等于半径长的弧所对的圆心角． (2)正确．周角的大小是2πr

r

＝2π.

(3)正确．若弧长为π，半径为2，则|α|＝π

2

，故其圆心角是直角．

答案：(1)× (2)√ (3)√ 2．下列转化结果错误的是( )

A ．60°化成弧度是π3

B ．－10

3

π化成度是－600°

C ．－150°化成弧度是－7π6 D.π

12

化成度是15°

解析：选C.对于A ，60°＝60×π180＝π3；对于B ，－103π＝－10

3×180°＝－600°；对于C ，－150°＝－150×

π180＝－5π6；对于D ，π12＝1

12

×180°＝15°.

3．已知圆的半径为2，则弧长为4的弧所对的圆心角α(0<α<2π)的弧度数为________．

解析：|α|＝l r ＝4

2

＝2.

答案：2

4．若扇形的圆心角为60°，半径为1，则扇形的弧长l ＝________，面积S ＝________．

解析：由于α＝60°＝π3，r ＝1，所以l ＝|α|·r ＝π

3，

S ＝12r ·l ＝1

2×1×π3＝π6

.

答案：π3 π6

1．对弧度制概念的三点说明

(1)“1 rad ”是指：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小，不是弧长，这个角是固定的，与圆的半径的长度无关．

(2)引入弧度制后，角的集合与实数建立一一对应关系，我们今后表示角时，多用弧度制表示．

(3)表示角时π就是无理数，它表示一个实数，同1 rad 角的大小一样，π rad 的角表示：长度等于半径的π倍的圆弧所对的圆心角，在推断有理数表示角的象限，与π比较大小时，有时需要把π化为小数．

2．对弧度数计算公式的说明

我们常用α＝l

r

来求解圆中圆心角所对弧度数，一般来说，在圆中弧长是个正数，故得出的圆心角也为正

数．但在平面直角坐标系中，所求的角不肯定为正角，所以经常依据需要在角α上添加正负号，故这个求弧

度数的公式经常记为|α|＝l

r

.

3．角度与弧度的区分与联系

区分 (1)定义不同，大小不同

(2)单位不同

(3)弧度制是十进制，而角度制是六十进制

联系

(1)不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径

大小无关的值，仅和半径与所含的弧这两者的比值有关

(2)“弧度”与“角度”之间可以相互转化 (3)表示角时，弧度制与角度制不能混用

4.角度制与弧度制换算时应留意的四个问题 (1)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度(rad)”可以省略不写，假如以度(°)为单位表示角的大小时，度(°)不能省略不写．

(2)度化为弧度时，应先将分、秒化为度，再化为弧度．

(3)有些角的弧度数是π的整数倍时，如无特殊要求，不必把π化成小数．

(4)用“弧度”与“度”去度量每个角时，除了零角以外，所得的结果都是不同的，二者要留意不能混淆． 5．角度制与弧度制换算的要点

角度与弧度的互化

(1)把112°30′化为弧度； (2)将－5

12

π rad 化为度．

(链接教材P 10例1、例2)

[解] (1)由于1°＝π

180

rad ，

所以112°30′＝112.5°＝112.5×π180＝5

8

π.

(2)由于1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫

180π°，

所以－512π＝－512π×⎝ ⎛⎭⎪⎫

180π°＝－75°.

方法归纳

(1)在进行角度制和弧度制的换算时，抓住关系式π rad ＝180°是关键．由它可以得到：度数×π

180

＝弧度

数，弧度数×⎝ ⎛⎭

⎪⎫

180π°＝度数．

(2)特殊角的弧度数与角度数对应值今后常用，应熟记． (3)在同一个角的表达式中，角度和弧度不能混合使用．

1．(1)－690°化为弧度是( )

A ．－5π3

B ．－7π3

C ．－23π6

D ．－13π6

(2)①18°＝________ rad ； ②67°30′＝________ rad ； ③3

10

π rad ＝________度； ④2 rad ≈________度．(保留一位小数)

解析：(1)由于1°＝π180 rad ，所以－690°＝－690×π180＝－23

6π.

(2)①18°＝π180×18 rad ＝π

10

rad ；

②67°30′＝67.5°＝67.5×π180 rad ＝3

8

π rad ；

③310π rad ＝310π×⎝ ⎛⎭⎪⎫

180π°＝54°； ④2 rad ≈57.3°×2＝114.6°.

答案：(1)C (2)①π10 ②3

8

π ③54 ④114.6

用弧度表示终边相同的角

(1)把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α<2π，并推断它是第几象限角？ (2)若β∈[－4π，0]，且β与(1)中α的终边相同，求β. (链接教材P 12习题1－3T 7)

[解] (1)－1 480°＝－749π＝－8π－2

9

π

＝－10π＋169π＝2×(－5)π＋16

9π，

其中0≤169π<2π，由于16

9π是第四象限角，

所以－1 480°是第四象限角． (2)由题意知：

β＝α＋2k π＝2k π＋16

9π(k ∈Z )，

又由于β∈[－4π，0]，所以令k ＝－1，－2得，

β1＝－29π，β2＝－209π.

本例(1)中的条件“－1 480°”若换为“－855°”，其他条件不变，其结论又如何呢？

解：由于－855°＝－855×π180 rad ＝－19π4＝－6π＋5π

4，

所以－855°与5π4的终边相同．又由于5π

4是第三象限角，

所以－855°是第三象限角． 方法归纳

(1)无论用角度制还是用弧度制来度量角，都能在角的集合与实数集R 之间建立一种一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角与它对应．

(2)用弧度制表示终边相同角α＋2k π(k ∈Z )时，留意2k π是π的偶数倍，而不是π的奇数倍．

2．(1)与－660°角终边相同的最小正角是________．(用弧度制表示)

(2)将下列各角化成2k π＋α(0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出它们是第几象限角． ①－1 725°；②870°.

解：(1)由于与角α终边相同的角为α＋k ·360°(k ∈Z )，所以与－660°角终边相同的角是－660°＋k ·360°(k ∈Z )，其中最小正角是60°，化为弧度为π3.故填π3

.

(2)①由于－1 725°＝－5×360°＋75°， 所以－1 725°＝－10π＋5π

12

.

所以－1 725°与5π

12的终边相同，是第一象限的角．

②870°＝29

6π＝5π6

＋4π，

所以－870°与5π

6终边相同，是其次象限角．

扇形的弧长和面积公式的应用

一条弦的长度等于半径r ，求：

(1)这条弦所对的劣弧长；

(2)这条弦和劣弧所组成的弓形的面积．

[解] (1)如图，半径为r 的⊙O 中弦AB ＝r ，则△OAB 为等边三角形，所以∠AOB ＝π

3，则弦AB 所对的

劣弧长为π

3

r .

(2)由于△AOB 是边长为r 的正三角形，所以S △AOB ＝34

r 2， S 扇形OAB ＝12|α|r 2＝12×π3×r 2＝π6r 2

，

所以S 弓形＝S 扇形OAB －S △AOB ＝π6r 2－3

4

r 2

＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－34r 2. 方法归纳

图形的分解与组合是解决数学问题的基本方法之一．本例中，把弓形面积看成扇形面积与三角形面积的差，即可运用已有学问解决问题．

3．(1)设扇形的半径长为2 cm ，面积为4 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是________． (2)解答下列各题：

①已知扇形的面积为1 cm 2，它的周长为4 cm ，求它的圆心角； ②已知一扇形的圆心角是72°，半径等于20 cm ，求扇形的面积．

解：(1)设扇形圆心角的弧度数为α，则扇形面积为S ＝12αr 2＝1

2α×22＝4，解得α＝2.故填2.

(2)①设扇形的弧长为l cm ，半径为r cm ，则l ＝4－2r .

由于S 扇形＝12lr ，所以1

2

(4－2r )r ＝1.

解得r ＝1，l ＝2，所以圆心角的弧度数为|α|＝l

r ＝2(rad)．

②设扇形弧长为l cm ，由于72°＝72×

π180＝2π

5

rad. 所以l ＝|α|r ＝2π5×20＝8π(cm)，S ＝12lr ＝1

2

×8π×20＝80π(cm 2)．

思想方法

函数思想的运用

已知一个扇形的周长为a ，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求出这个最大值．

[解] 设扇形的弧长为l ，半径为r ，圆心角为α， 面积为S .

由已知，得2r ＋l ＝a ，即l ＝a －2r .

所以S ＝12l ·r ＝12(a －2r )·r ＝－r 2

＋a 2r ＝－⎝⎛⎭⎫r －a 42＋a 216

.

由于r >0，l ＝a －2r >0，所以0

2

.

所以当r ＝a 4时，S max ＝a

216

.

此时，l ＝a －2·a 4＝a 2，所以|α|＝l

r ＝2.

故当扇形的圆心角为2 rad 时，扇形的面积取得最大值a 2

16

.

[感悟提高] 分析题目所给的有关信息，以扇形的有关学问为载体，选择函数为模型，将实际问题转化为求函数的最值问题．运用二次函数求最值，可更快地解决问题．

1．－72°的弧度数是( )

A ．－π

3

B ．－25π

C ．－5π6

D ．－5π7

解析：选B.－72°＝－72×π180＝－2

5

π.

2．－23

12π化为角度为________．

解析：－2312π＝－2312π×⎝ ⎛⎭

⎪⎫

180π°＝－345°.

答案：－345°

3．在扇形中，已知半径为8，弧长为12，则圆心角是________弧度，扇形面积是________．

解析：|α|＝l r ＝128＝32 rad ，S ＝12l ·r ＝1

2×12×8＝48.

答案：3

2

48

[A.基础达标]

1．－630°化为弧度为( )

A ．－7π2

B ．7π

4

C ．－7π16

D ．－7π4

解析：选A.－630°＝－630×π180＝－7π

2

.

2．若α＝－3，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．其次象限 C ．第三象限 D ．第四象限 解析：选C.由于α＝－3≈－3×57.30°＝－171.9°， 所以α的终边在第三象限．

3．与角2

3

π终边相同的角是( )

A.113

π B ．2k π－2

3π(k ∈Z )

C ．2k π－10

3

π(k ∈Z )

D ．(2k ＋1)π＋2

3

π(k ∈Z )

解析：选C.选项A 中11π3＝2π＋53π，与角53π终边相同，故A 错；2k π－2

3

π，k ∈Z ，当k ＝1时，得[0，2

π)之间的角为43π，故与43π有相同的终边，B 错；2k π－103π，k ∈Z ，当k ＝2时，得[0，2π)之间的角为2

3

π，

与23π有相同的终边，故C 对；(2k ＋1)π＋23π，k ∈Z ，当k ＝0时，得[0，2π)之间的角为5

3

π，故D 错． 4．已知扇形的周长是3 cm ，面积是1

2

cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( )

A ．1

B ．1或4

C ．4

D ．2或4

解析：选B.设扇形的半径为r ，弧长为l ， 则⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝3，12l ·r ＝1

2，所以⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝12，l ＝2，

故|α|＝l

r

＝1或4.

5．扇形圆心角为π

3

，半径为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( )

A ．1∶3

B ．2∶3

C ．4∶3

D ．4∶9

解析：选B.如图，设内切圆半径为r ，则r ＝a

3

，

所以S 圆＝π·⎝⎛⎭⎫a 32＝πa 29，S 扇＝12a 2·π3＝πa 2

6

，

所以S 圆S 扇＝23

.

6．在[－2π，2π]内，与α＝－11π

3的终边相同的角为________．

解析：与α＝－11π

3

终边相同的角的集合为

P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪⎫β|β＝－11π3＋2k π，k ∈Z ，

令k ＝1，2，得β＝－5π3，π

3

.

答案：－5π3，π

3

7．将时钟拨慢了15分钟，则分针转过的弧度数是________．

解析：由于时钟拨慢了15分钟，所以分针逆时针旋转了90°，即分针转过的弧度数为π

2

.

答案：π2

8．火车站钟楼上有座大钟，这座大钟的分针20 min 所走的圆弧长是π

3

m ，则这座大钟分针的长度为

________ m.

解析：由于分针20 min 转过的角为2π

3

，所以由l ＝αr ，

得r ＝l α＝

π32π

3

＝0.5(m)，

即这座大钟分针的长度为0.5 m. 答案：0.5

9．用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(含边界)，并推断2 014°是不是这个集合的元素．

解：由于150°＝56π，所以终边落在阴影区域内角的集合为S ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫

β|56π＋2k π≤β≤32π＋2k π，k ∈Z .

由于2 014°＝214°＋5×360°＝107π

90

＋10π.

又56π<107π90<3π2

， 所以2 014°＝107

90

π＋10π∈S .

10．已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？

解：设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，半径为r ，弧长为l ，面积为S ， 则l ＋2r ＝40，所以l ＝40－2r ，

所以S ＝12lr ＝1

2×(40－2r )r ＝20r －r 2

＝－(r －10)2＋100.

所以当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，这个最大值为100 cm 2，

这时，θ＝l r ＝40－2×10

10

＝2 rad.

[B.力量提升]

1．若圆弧长度等于其所在圆的内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为( ) A.π3 B ．2π3 C. 3 D ．2

解析：选C.如图，设圆的半径为R ，则圆的内接正三角形的边长为3R ，所以圆弧长度为3R 的圆心角的弧度数α＝

3R

R ＝ 3. 2．集合⎩⎨⎧⎭

⎬⎫α|k π＋π4≤α≤k π＋π

2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )

解析：选C.当k 为偶数时，令k ＝2n ，n ∈Z ，则集合可化为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|2n π＋π4≤α≤2n π＋π

2，n ∈Z ，表示的范

围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2区域；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则集合可化为⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪⎫α|2n π＋5π4≤α≤2n π＋32π，n ∈Z ，

表示的范围为⎣⎡⎦

⎤54π，3

2π区域，故选C. 3．若α＝3 rad ，则角α的终边在第________象限，与角α终边相同的角的集合可表示为________．

解析：由1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫

180π°≈57.30°.所以3 rad ≈171.90°.所以α是其次象限角，与角α终边相同的角的集合为

{β|β＝3＋2k π，k ∈Z }．

答案：二 {β|β＝3＋2k π，k ∈Z }

4．半径为3 cm ，圆心角为120°的扇形面积为________cm 2.

解析：由于扇形面积为S ＝12lr ＝1

2

αr 2，

所以S ＝12·2π3

·32

＝3π(cm 2)．

答案：3π

每秒钟转π

3弧

5.如图，动点P ，Q 从点A (4，0)动身，沿圆周运动，点P 按逆时针方向度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π

6

弧度，求P ，Q 第一次相遇时所用的时间

及P ，Q 点各

自走过的弧长．

解：设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t ， 则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪

⎪⎪－π6＝2π.解得t ＝4， 所以P ，Q 第一次相遇时所用的时间是4秒，第一次相遇时点P 已经运动到角π3·4＝43π的终边与圆交点的

位置，点Q 已经运动到角－2π

3的终边与圆交点的位置，

所以点P 走过的弧长为43π×4＝16

3π，

点Q 走过的弧长为⎪⎪⎪⎪

⎪⎪－2π3×4＝23π×4＝8

3π.

6.(选做题)如图所示，已知一长为4 cm ，宽为3 cm 的长方形木块在桌面上做无滑动的翻滚，翻滚到第四周时被一小木块拦住，使木块底面与桌面成30°角，求点A 走过的总路程及走过的弧所在的扇形的总面积．

解：

木块的翻滚过程如题图所示．第一面运动时，点A 的路程为AA 1︵

，其圆心角∠ACA 1＝π2，半径为5，弧长

AA 1︵＝5π2，所在扇形的面积为25

4π；其次面翻滚时，路程为A 1A 2︵，圆心角∠A 1B 1A 2＝π2，半径为3，弧长A 1A 2︵＝

3π2，所在扇形的面积为9π4；第三面翻滚时，A 点在A 2处不动；第四周翻滚时，点A 的路程为A 2A 3︵

，圆心角为∠A 2D 3A 3＝π2－π6＝π3，半径为4，弧长A 2A 3︵＝4π

3，所在扇形的面积为8π3

，

故总路程为AA 1︵＋A 1A 2︵＋A 2A 3︵＝5π2＋3π2＋4π3＝16π

3(cm)，

所在扇形的总面积为25π4＋9π4＋8π3＝67π

6

(cm 2)．