2022版《优化方案》高中数学人教A版必修四文档：第一章§3弧度制 Word版含答案
高中数学人教A版必修四课时训练：1.1 任意角和弧度制 1.1.2 Word版含答案
1.1.2 弧度制 课时目标 1.理解角度制与弧度制的概念，掌握角的不同度量制度，能对弧度和角度进行正确的变换.2.掌握并会应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．1．角的单位制(1)角度制：规定周角的________为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．(2)弧度制：把长度等于________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作________．(3)角的弧度数求法：如果半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长为l ，那么l ，α，r 之间存在的关系是：____________；这里α的正负由角α的________________决定．正角的弧度数是一个________，负角的弧度数是一个________，零角的弧度数是________．23.扇形的面积 S ＝________一、选择题 1．集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π2，k ∈Z 与集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π±π2，k ∈Z 的关系是( )A ．A ＝B B ．A ⊆BC ．B ⊆AD ．以上都不对2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．sin 2 C.2sin 1D ．2sin 1 3．扇形周长为6 cm ，面积为2 cm 2，则其中心角的弧度数是( )A ．1或4B ．1或2C ．2或4D ．1或54．已知集合A ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，则A ∩B 等于( )A ．∅B ．{α|－4≤α≤π}C ．{α|0≤α≤π}D ．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}5．把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是( ) A.π4 B ．－π4 C.34π D ．－34π 6．扇形圆心角为π3，半径长为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( ) A ．1∶3 B ．2∶3 C ．4∶3 D ．4∶9二、填空题7．将－1 485°化为2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式是________．8．若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为____．9．若2π<α<4π，且α与－7π6角的终边垂直，则α＝______. 10．若角α的终边与角π6的终边关于直线y ＝x 对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝________________.三、解答题11．把下列各角化成2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角：(1)－1 500°；(2)236π；(3)－4.12．已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？能力提升13．已知一圆弧长等于其所在圆的内接正方形的周长，那么其圆心角的弧度数的绝对值为________．14．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值c (c >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？1.1.2 弧度制答案知识梳理1．(1)1360 (2)半径长 1 rad (3)|α|＝l r终边的旋转方向 正数 负数 0 2．2π 360° π 180° π180 ⎝⎛⎭⎫180π° 3.απR 180 αR απR 2360 12αR 2 12lR 作业设计1．A2．C [r ＝1sin 1，∴l ＝|α|r ＝2sin 1.] 3．A [设扇形半径为r ，圆心角为α，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋αr ＝612αr 2＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1α＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2α＝1.] 4．C [集合A 限制了角α终边只能落在x 轴上方或x 轴上．] 5．D [∵－114π＝－2π＋⎝⎛⎭⎫－34π，∴θ＝－34π.] 6．B [设扇形内切圆半径为r ， 则r ＋r sin π6＝r ＋2r ＝a .∴a ＝3r ，∴S 内切＝πr 2. S 扇形＝12αr 2＝12×π3×a 2＝12×π3×9r 2＝32πr 2. ∴S 内切∶S 扇形＝2∶3.]7．－10π＋74π 解析 ∵－1 485°＝－5×360°＋315°，∴－1 485°可以表示为－10π＋74π. 8．25解析 216°＝216×π180＝6π5，l ＝α·r ＝6π5r ＝30π，∴r ＝25. 9.73π或103π 解析 －76π＋72π＝146π＝73π，－76π＋92π＝206π＝103π. 10．－11π3，－5π3，π3，7π3解析 由题意，角α与π3终边相同，则π3＋2π＝73π， π3－2π＝－53π，π3－4π＝－113π. 11．解 (1)－1 500°＝－1 800°＋300°＝－10π＋5π3， ∴－1 500°与53π终边相同，是第四象限角． (2)236π＝2π＋116π，∴236π与116π终边相同，是第四象限角． (3)－4＝－2π＋(2π－4)，∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角．12．解 设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ， 则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r .∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100. ∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2，此时θ＝l r ＝40－2×1010＝2 rad. 13．4 2解析 设圆半径为r ，则内接正方形的边长为2r ，圆弧长为42r .∴圆弧所对圆心角|θ|＝42r r＝4 2. 14．解 (1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓，∵α＝60°＝π3，R ＝10，∴l ＝αR ＝10π3(cm)． S 弓＝S 扇－S △＝12×10π3×10－12×102×sin 60°＝50⎝⎛⎭⎫π3－32 (cm 2)． (2)扇形周长c ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，∴α＝c －2R R ， ∴S 扇＝12αR 2＝12·c －2R R ·R 2＝12(c －2R )R ＝－R 2＋12cR ＝－(R －c 4)2＋c 216. 当且仅当R ＝c 4，即α＝2时，扇形面积最大，且最大面积是c 216.。
2022版《优化方案》高中数学人教A版必修四文档：第一章§5.1正弦函数的图像 Word版含答案
§5 正弦函数的性质与图像5．1 正弦函数的图像1．问题导航(1)用“五点法”作正弦函数图像的关键是什么？(2)利用“五点法”作y ＝sin x 的图像时，x 依次取－π，－π2，0，π2，π可以吗？(3)作正弦函数图像时应留意哪些问题？ 2．例题导读P 27例1.通过本例学习，学会用五点法画函数y ＝a sin x ＋b 在[0，2π]上的简图． 试一试：教材P 28练习题你会吗？1．正弦函数的图像与五点法(1)图像：正弦函数y ＝sin x 的图像叫作正弦曲线，如图所示．(2)五点法：在平面直角坐标系中经常描出五个关键点(它们是正弦曲线与x 轴的交点和函数取最大值、最小值时的点)：(0，0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)，用光滑的曲线顺次将它们连接起来，得到函数y ＝sin x 在[0，2π]上的简图，这种画正弦曲线的方法为“五点法”．(3)利用五点法作函数y ＝A sin x (A >0)的图像时，选取的五个关键点依次是：(0，0)，⎝⎛⎭⎫π2，A ，(π，0)，⎝⎛⎭⎫32π，－A ，(2π，0)． 2．正弦曲线的简洁变换函数y ＝sin x 与y ＝sin x ＋k 图像间的关系．当k >0时，把y ＝sin x 的图像向上平移k 个单位长度得到函数y ＝sin x ＋k 的图像； 当k <0时，把y ＝sin x 的图像向下平移|k |个单位长度得到函数y ＝sin x ＋k 的图像．1．推断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝sin x 的图像与y 轴只有一个交点．( )(2)函数y ＝sin x 的图像介于直线y ＝1与y ＝－1之间．( )(3)用五点法作函数y ＝－2sin x 在[0，2π]上的图像时，应选取的五个点是(0，0)，⎝⎛⎭⎫π2，－2，(π，0)，⎝⎛⎭⎫32π，2，(2π，0)．( )(4)将函数y ＝sin x ，x ∈[－π，π]位于x 轴上方的图像保持不变，把x 轴下方的图像沿x 轴翻折到x 轴上方即可得到函数y ＝|sin x |，x ∈[－π，π]的图像．( )解析：(1)正确．观看正弦函数的图像知y ＝sin x 的图像与y 轴只有一个交点． (2)正确．观看正弦曲线可知正弦函数的图像介于直线y ＝1与y ＝－1之间．(3)正确．在函数y ＝－2sin x ，x ∈[0，2π]的图像上起关键作用的五个点是(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，－2，(π，0)，⎝⎛⎭⎫32π，2，(2π，0)．(4)正确．当x ∈[－π，π]时，y ＝|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≥0，－sin x ，sin x <0，于是，将函数y ＝sin x ，x ∈[－π，π]位于x轴上方的图像保持不变，把x 轴下方的图像翻折到x 轴上方即可得函数y ＝|sin x |，x ∈[－π，π]的图像．答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√2．用五点法画y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图像时，下列点不是关键点的是( ) A.⎝⎛⎭⎫π6，12 B.⎝⎛⎭⎫π2，1 C ．(π，0) D ．(2π，0)解析：选A.用五点法画y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图像，五个关键点是(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫32π，－1，(2π，0)．3．用五点法画y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的简图时，所描的五个点的横坐标的和是________．解析：0＋π2＋π＋3π2＋2π＝5π.答案：5π4．(1)正弦曲线在(0，2π]内最高点坐标为________，最低点坐标为________．(2)在同一坐标系中函数y ＝sin x ，x ∈(0，2π]与y ＝sin x ，x ∈(2π，4π]的图像外形________，位置________．(填“相同”或“不同”)解析：(1)由正弦曲线知，正弦曲线在(0，2π]内最高点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，最低点为⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1.(2)在同一坐标系中函数y ＝sin x ，x ∈(0，2π]与y ＝sin x ，x ∈(2π，4π]的图像，外形相同，位置不同．答案：(1)⎝⎛⎭⎫π2，1 ⎝⎛⎭⎫3π2，－1(2)相同 不同1．y ＝sin x ，x ∈[0，2π]与y ＝sin x ，x ∈R 的图像间的关系(1)函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图像是函数y ＝sin x ，x ∈R 的图像的一部分．(2)由于终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y ＝sin x ，x ∈[2k π，2(k ＋1)π]，k ∈Z 且k ≠0的图像与函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图像外形完全全都，因此将y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图像向左、向右平行移动(每次移动2π个单位长度)就可得到函数y ＝sin x ，x ∈R 的图像．2．“几何法”和“五点法”画正弦函数图像的优缺点(1)“几何法”的实质是利用正弦线进行的尺规作图，这样作图较精确，但较为烦琐．(2)“五点法”的实质是在函数y ＝sin x 的一个周期内，选取5个分点，也是函数图像上的5个关键点：最高点、最低点及平衡点，这五个点大致确定了函数一个周期内图像的外形．(3)“五点法”是画三角函数图像的基本方法，在要求精确度不高的状况下常用此法，要切实把握好．另外与“五点法”作图有关的问题经常消灭在高考试题中．3．关于“五点法”画正弦函数图像的要点 (1)应用的前提条件是精确度要求不是太高． (2)五个点必需是确定的五点．(3)用光滑的曲线顺次连接时，要留意线的走向，一般在最高(低)点的四周要平滑，不要消灭“拐角”现象．(4)“五点法”作出的是一个周期上的正弦函数图像，要得到整个正弦函数图像，还要“平移”．用五点法作正弦型函数的图像用五点法画函数y ＝2sin x －1，x ∈[0，2π]的简图． (链接教材P 27例1) [解] 步骤：①列表：x 0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 y－11－1－3－1②描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－3，(2π，－1)．③连线：用光滑曲线将描出的五个点连接起来，得函数y ＝2sin x －1，x ∈[0，2π]的简图，如图所示．方法归纳作形如函数y ＝a sin x ＋b ，x ∈[0，2π]的图像的步骤1．(1)函数f (x )＝a sin x ＋b ，(x ∈[0，2π])的图像如图所示，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝12sin x ＋1，x ∈[0，2π]B ．f (x )＝sin x ＋12，x ∈[0，2π]C ．f (x )＝32sin x ＋1，x ∈[0，2π]D ．f (x )＝32sin x ＋12，x ∈[0，2π](2)用五点法作出下列函数的简图．①y ＝2sin x ，x ∈[0，2π]； ②y ＝2－sin x ，x ∈[0，2π]．解：(1)选A.将图像中的特殊点代入f (x )＝a sin x ＋b ，x ∈[0，2π]，不妨将(0，1)与⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1.5代入得⎩⎨⎧a sin 0＋b ＝1，a sin π2＋b ＝1.5，解得b ＝1，a ＝0.5，故f (x )＝12sin x ＋1，x ∈[0，2π]． (2)①列表：x 0 π2 π 3π2 2π y ＝sin x 0 1 0 －1 0 y ＝2sin x2－2描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示．②列表：x 0 π2 π 3π2 2π y ＝sin x 0 1 0 －1 0 y ＝2－sin x21232描点并将它们用光滑的曲线连接，如图：利用正弦函数的图像求函数的定义域求函数f (x )＝lg (sin x )＋16－x 2的定义域． (链接教材P 30习题1－5 A 组T 4)[解] 由题意，x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，16－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－4≤x ≤4，sin x >0，作出y ＝sin x 的图像，如图所示．结合图像可得：该函数的定义域为[－4，－π)∪(0，π)． 方法归纳一些三角函数的定义域可以借助函数图像直观地观看得到，同时要留意区间端点的取舍．有时利用图像先写出在一个周期区间上的解集，再推广到一般状况．2．求函数y ＝log 21sin x－1的定义域.解：为使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧log 21sin x －1≥0，sin x >0⇔0<sin x ≤12.依据正弦曲线得，函数定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤2k π，2k π＋π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π＋5π6，2k π＋π，k ∈Z .利用正弦函数的图像确定方程解的个数在同一坐标系中，作函数y ＝sin x 和y ＝lg x 的图像，依据图像推断出方程sin x ＝lg x 的解的个数． (链接教材P 30习题1－5 A 组T 1(1))[解] 建立坐标系xOy ，先用五点法画出函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图像，再依次向右连续平移2π个单位，得到y ＝sin x 的图像．作出y ＝lg x 的图像，如图所示．由图像可知方程sin x ＝lg x 的解有3个．若本例中的函数y ＝lg x 换为y ＝x 2，则结果如何？解：在同始终角坐标系中画出函数y ＝x 2和y ＝sin x 的图像，如图所示．由图知函数y ＝x 2和y ＝sin x 和图像有两个交点，则方程x 2－sin x ＝0有两个根． 方法归纳方程根(或个数)的两种推断方法(1)代数法：直接求出方程的根，得到根的个数．(2)几何法：①方程两边直接作差构造一个函数，作出函数的图像，利用对应函数的图像，观看与x 轴的交点个数，有几个交点原方程就有几个根．②转化为两个函数，分别作这两个函数的图像，观看交点个数，有几个交点原方程就有几个根．3．(1)函数y ＝2sin x 与函数y ＝x 的图像的交点有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 (2)争辩方程10sin x ＝x (x ∈R )根的个数．解：(1)选B.在同始终角坐标系中作出函数y ＝2sin x 与y ＝x 的图像，由图像可以看出有3个交点．(2)如图所示，当x ≥4π时，x 10≥4π10>1≥sin x ；当x ＝52π时，sin x ＝sin 52π＝1，x 10＝5π20，1>5π20，从而x >0时，有3个交点，由对称性知x <0时，有3个交点，加上x ＝0时的交点为原点，共有7个交点．即方程有7个根．思想方法数形结合思想的应用求满足下列条件的角的范围．(1)sin x ≥12；(2)sin x ≤－22.⎝⎛⎭⎫0，12作x 轴[解] (1)利用“五点法”作出y ＝sin x 的简图，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，12两的平行线，在[0，2π]上，直线y ＝12与正弦曲线交于⎝⎛⎭⎫π6，12，点．结合图形可知，在[0，2π]内，满足y ≥12时x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪π6≤x ≤5π6.因此，当x ∈R 时，若y ≥12，则x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π6≤x ≤2k π＋56π，k ∈Z .(2)同理，满足sin x ≤－22的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪5π4＋2k π≤x ≤74π＋2k π，k ∈Z . [感悟提高] 形如sin x >a (<a )的不等式，求角x 的范围，一般接受数形结合的思想来解题，具体步骤： (1)画出y ＝sin x 的图像，画直线y ＝a .(2)若解sin x >a ，则观看y ＝sin x 在直线y ＝a 上方的图像．这部分图像对应的x 的范围，就是所求的范围． 若解sin x <a ，则观看y ＝sin x 在直线y ＝a 下方的图像．这部分图像对应的x 的范围，就是所求的范围．1．函数y ＝1－sin x ，x ∈[0，2π]的大致图像是( )解析：选B.利用五点法画图，函数y ＝1－sin x ，x ∈[0，2π]的图像肯定过点(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，1)，⎝⎛⎭⎫32π，2，(2π，1)，故B 项正确．2．已知点M ⎝⎛⎭⎫π4，b 在函数f (x )＝2sin x ＋1的图像上，则b ＝________．解析：b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin π4＋1＝2.答案：23．若函数f (x )＝2sin x －1－a 在⎣⎡⎦⎤π3，π上有两个零点，则实数a 的取值范围是________．解析：令f (x )＝0得2sin x ＝1＋a .作出y ＝2sin x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π上的图像，如图所示．要使函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π上有两个零点，需满足3≤1＋a <2，所以3－1≤a <1.答案：[3－1，1), [同学用书单独成册])[A.基础达标]1．关于正弦函数y ＝sin x 的图像，下列说法错误的是( ) A ．关于原点对称 B ．有最大值1C ．与y 轴有一个交点D ．关于y 轴对称解析：选D.正弦函数y ＝sin x 的图像如图所示．依据y ＝sin x ，x ∈R 的图像可知A ，B ，C 均正确，D 错误． 2．函数y ＝sin x 的图像与函数y ＝－sin x 的图像关于( ) A ．x 轴对称 B ．y 轴对称 C ．原点对称D ．直线y ＝x 对称解析：选A.在同始终角坐标系中画出函数y ＝sin x 与函数y ＝－sin x 在[0，2π]上的图像，可知两函数的图像关于x 轴对称．3．下列函数图像相同的是( ) A ．y ＝sin x 与y ＝sin(x ＋π)B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2与y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－xC ．y ＝sin x 与y ＝sin(－x )D ．y ＝sin(2π＋x )与y ＝sin x解析：选D.对A ，由于y ＝sin(x ＋π)＝－sin x ，故排解A ；对B ，由于y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2，故排解B ；对C ，由于y ＝sin(－x )＝－sin x ，故排解C ；对D ，由于y ＝sin(2π＋x )＝sin x ，故选D.4.函数y ＝－sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，3π2的简图是( )解析：选D .当x ＝－π2时，y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝1，故排解A 、B 、C ，选D .5．函数y ＝x sin x 的部分图像是( )解析：选A .函数y ＝x sin x 的定义域为R ，令f (x )＝x sin x ，则f (－x )＝(－x )sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，知f (x )为偶函数，排解B 、D ；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，f (x )>0，故排解C ，故选A.6．在[0，2π]上，满足sin x ≥22的x 的取值范围为________．解析：在同始终角坐标系内作出y ＝sin x 和y ＝22的图像如图，观看图像并求出交点横坐标，可得到x的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，34π.答案：⎣⎡⎦⎤π4，34π7.函数y ＝sin x 的图像和y ＝x2π的图像交点个数是________． 解析：在同始终角坐标系内作出两个函数的图像如图所示：由图可知交点个数是3.答案：38.已知sin x ＝m －1且x ∈R ，则m 的取值范围是________． 解析：由y ＝sin x ，x ∈R 的图像知，－1≤sin x ≤1， 即－1≤m －1≤1，所以0≤m ≤2. 答案：0≤m ≤29.用“五点法”画出函数y ＝3－sin x (x ∈[0，2π])的图像． 解：(1)列表，如表所示：x 0 π2 π 32π 2π y ＝sin x 0 1 0 －1 0 y ＝3－sin x32343(2)描点，连线，如图所示．10.若函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0，2π]的图像与直线y ＝k 有且只有两个不同的交点，求k 的取值范围．解：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，0≤x ≤π，－sin x ，π<x ≤2π，作出函数的图像如图：由图可知当1<k <3时函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0，2π]的图像与直线y ＝k 有且只有两个不同的交点． [B.力量提升]1．若y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π4，2π3，则函数的值域为( )A.⎝⎛⎭⎫22，1B.⎣⎡⎦⎤22，1 C ．(1，2] D ．[1，2]解析：选B.画出函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，2π3的图像如图所示，可知y ∈⎣⎡⎦⎤22，1.2．设a >0，对于函数f (x )＝sin x ＋asin x(0<x <π)，下列结论正确的是( ) A ．有最大值而无最小值 B ．有最小值而无最大值 C ．有最大值且有最小值 D ．既无最大值也无最小值解析：选B.f (x )＝sin x ＋a sin x ＝1＋asin x.由于0<x <π，所以0<sin x ≤1.所以1sin x≥1.所以1＋asin x ≥a ＋1.所以f (x )有最小值而无最大值． 故选B.3．已知f (sin x )＝x 且x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则f ⎝⎛⎭⎫12＝________．解析：由于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以sin x ＝12时，x ＝π6，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6＝π6.答案：π64．若x 是三角形的最小角，则y ＝sin x 的值域是________． 解析：不妨设△ABC 中，0<A ≤B ≤C ， 得0<A ≤B ，且0<A ≤C ，所以0<3A ≤A ＋B ＋C ，而A ＋B ＋C ＝π， 所以0<3A ≤π，即0<A ≤π3.若x 为三角形中的最小角，则0<x ≤π3，由y ＝sin x 图像知y ∈⎝⎛⎦⎤0，32.答案：⎝⎛⎦⎤0，325．用“五点法”作出函数y ＝1－2sin x ，x ∈[－π，π]的简图，并回答下列问题： (1)观看函数图像，写出满足下列条件的x 的区间． ①y >1；②y <1.(2)若直线y ＝a 与y ＝1－2sin x ，x ∈[－π，π]有两个交点，求a 的取值范围． 解：列表如下：x －π －π2 0 π2 π sin x 0 －1 0 1 0 1－2sin x131－11描点连线得：(1)由图像可知图像在y ＝1上方部分时y >1，在y ＝1下方部分时y <1， 所以当x ∈(－π，0)时，y >1；当x ∈(0，π)时，y <1.(2)如图所示，当直线y ＝a 与y ＝1－2sin x 有两个交点时，1<a <3或－1<a <1. 所以a 的取值范围是{a |1<a <3或－1<a <1}．6．(选做题)已知函数y ＝f (x )为奇函数，且是⎝⎛⎭⎫－12，12上的减函数，f (1－sin α)＋f (1－sin 2α)<0，求α的取值范围．解：由题意可知f (1－sin α)<－f (1－sin 2α)． 由于f (x )是奇函数，所以－f (1－sin 2α)＝f (sin 2α－1)，所以f (1－sin α)<f (sin 2α－1)．又由f (x )是⎝⎛⎭⎫－12，12上的减函数， 所以⎩⎨⎧－12<1－sin α<12，－12<sin 2α－1<12，1－sin α>sin 2α－1，所以⎩⎨⎧12<sin α<32，12<sin 2α<32，sin 2α＋sin α－2<0，解得22<sin α<1， 所以2k π＋π4<α<2k π＋π2(k ∈Z )或2k π＋π2<α<2k π＋3π4(k ∈Z )，所以α的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π2，2k π＋3π4(k ∈Z )．。
人教A版精编高中数学必修4课时作业2弧度制 Word版含答案
课时作业2.弧度制时间：45分钟..分值：100分一、选择题(每小题6分，共计36分) 1．－120°化为弧度为(..) A ．－56π B ．－π2 C ．－23πD ．－34π解析：由于1°＝π180rad ，所以－120°＝－120×π180＝－2π3，故选C. 答案：C2．若圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则(..)A ．扇形面积不变B ．扇形的圆心角不变C ．扇形的面积增大到原来的2倍D ．扇形的圆心角增大到原来的2倍 解析：∵l ＝|α|R ，∴|α|＝l R .当R ，l 均变为原来的2倍时，|α|不变．而S ＝12|α|R 2中，∵α不变，∴S 变为原来的4倍．答案：B3．用弧度制表示终边与角150°相同的角的集合为(..)A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫β|β＝－5π6＋2k π，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫β|β＝5π6＋k ·360°，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫β|β＝2π3＋2k π，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫β|β＝5π6＋2k π，k ∈Z解析：150°＝150×π180＝5π6，故与角150°相同的角的集合为{β|β＝5π6＋2k π，k ∈Z }． 故选D. 答案：D4．把－11π4表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ的值是(..) A ．－3π4 B ．－π4 C.π4D.3π4解析：∵－11π4＝－2π－3π4，∴－11π4与－3π4是终边相同的角，且此时⎪⎪⎪⎪⎪⎪－3π4＝3π4是最小的．答案：A5．集合P ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }，Q ＝{α|－4≤α≤4}，则P ∩Q ＝(..)A ．∅B ．{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π}C ．{α|－4≤α≤4}D ．{α|0≤α≤π} 解析：如图．P ∩Q ＝{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π}． 答案：B6．已知某中学上午第一节课的上课时间是8点，那么，当第一节课铃声响起时，时钟的时针、分针把整个时钟圆弧分成的劣弧所对的圆心角是(..)A.π2B.3π2C.2π3D.4π3解析：8点时，时钟的时针正好指向8，分针正好指向12，由于时钟的每两个数字之间的圆心角是30°，即π6，故此时时针、分针把整个时钟圆弧分成的劣弧所对的圆心角是π6×4＝2π3.故选C.答案：C二、填空题(每小题8分，共计24分)7．用弧度制表示终边落在x 轴上方的角的集合为________． 解析：若角α的终边落在x 轴上方，则2k π<α<2k π＋π(k ∈Z )． 答案：{α|2k π<α<2k π＋π，k ∈Z }8．已知扇形的周长是6 cm ，面积为2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是________．解析：设圆心角为α，半径为r ，弧长为l ，则⎩⎨⎧l ＋2r ＝6，12lr ＝2，解得r ＝1，l ＝4或r ＝2，l ＝2，∴α＝lr ＝1或4. 答案：1或49．若角α的终边与角π6的终边关于直线y ＝x 对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝________.解析：与α终边相同的角的集合为{α|α＝2k π＋π3，k ∈Z }．∵α∈(－4π，4π)，∴－4π<2k π＋π3<4π，化简得：－136<k <116.∵k ∈Z ，∴k ＝－2，－1,0,1， ∴α＝－113π，－53π，π3，73π. 答案：－113π，－53π，π3，73π三、解答题(共计40分，其中10题10分，11、12题各15分) 10．如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界)．解：(1)如图①中以OB 为终边的角330°，可看成－30°，化为弧度，即－π6，而75°＝75×π180＝5π12，∴{θ|2k π－π6<θ<2k π＋5π12，k ∈Z }． (2)如图②，∵30°＝π6，210°＝7π6， ∴{θ|2k π＋π6<θ<2k π＋π2，k ∈Z }∪ {θ|2k π＋7π6<θ<2k π＋3π2，k ∈Z } ＝{θ|2k π＋π6<θ<2k π＋π2，k ∈Z }∪ {θ|(2k ＋1)π＋π6<θ<(2k ＋1)π＋π2，k ∈Z } ＝{θ|k π＋π6<θ<k π＋π2，k ∈Z }．11．如图所示，动点P ，Q 从点A (4,0)出发，沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3rad ，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6rad ，求P 、Q 第一次相遇时所用的时间及P 、Q 点各自走过的弧长．解：设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t s ，则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6＝2π，解得t ＝4，所以第一次相遇所用的时间为4 s ，所以P 点走过的弧长为43π×4＝163π，Q 点走过的弧长为83π.12．如图所示的圆中，已知圆心角∠AOB ＝2π3，半径OC 与弦AB 垂直，垂足为点D .若CD 的长为a ，求的长及其与弦AB 所围成的弓形ACB 的面积．解：设圆半径为r的长为m ，由题意，得m r ＝2π3.而∠AOD ＝π3，∴OD ＝12OA ＝r2. ∴CD ＝12OC ＝r2＝a .∴r ＝2a . ∴m ＝4πa 3，S 扇形OACB ＝12r ·m ＝4πa 23. 又AB ＝2AD ＝23a ，S △OAB ＝12OD ·AB ＝12·a ·23a ＝3a 2.∴S 弓形ACB ＝⎝⎛⎭⎪⎫4π3－3a 2.。
高中数学人教A版必修四课时训练：1.1 任意角和弧度制 1.1.2 Word版含答案
1.1.2 弧度制课时目标 1.理解角度制与弧度制的概念，掌握角的不同度量制度，能对弧度和角度进行正确的变换.2.掌握并会应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．1．角的单位制(1)角度制：规定周角的________为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．(2)弧度制：把长度等于________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作________．(3)角的弧度数求法：如果半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长为l ，那么l ，α，r 之间存在的关系是：____________；这里α的正负由角α的________________决定．正角的弧度数是一个________，负角的弧度数是一个________，零角的弧度数是________．2．角度制与弧度制的换算角度化弧度 弧度化角度360°＝________ rad 2π rad ＝________180°＝______ rad π rad ＝________1°＝______rad ≈ 0.017 45 rad1 rad ＝______≈57°18′ 3. 度量单位类别α为角度制 α为弧度制扇形的弧长 l ＝________ l ＝______扇形的面积 S ＝________ S ＝______＝______一、选择题1．集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π2，k ∈Z 与集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π±π2，k ∈Z 的关系是( ) A ．A ＝B B ．A ⊆BC ．B ⊆AD ．以上都不对2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．sin 2 C.2sin 1D ．2sin 1 3．扇形周长为6 cm ，面积为2 cm 2，则其中心角的弧度数是( )A ．1或4B ．1或2C ．2或4D ．1或54．已知集合A ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，则A ∩B 等于( )A ．∅B ．{α|－4≤α≤π}C ．{α|0≤α≤π}D ．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}5．把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是( ) A.π4 B ．－π4 C.34π D ．－34π 6．扇形圆心角为π3，半径长为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( ) A ．1∶3 B ．2∶3 C ．4∶3 D ．4∶9二、填空题7．将－1 485°化为2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式是________．8．若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为____．9．若2π<α<4π，且α与－7π6角的终边垂直，则α＝______. 10．若角α的终边与角π6的终边关于直线y ＝x 对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝________________.三、解答题11．把下列各角化成2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角：(1)－1 500°；(2)236π；(3)－4.12．已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？能力提升13．已知一圆弧长等于其所在圆的内接正方形的周长，那么其圆心角的弧度数的绝对值为________．14．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值c (c >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应． 2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π”这一关系式．易知：度数×π180＝弧度数，弧度数×⎝⎛⎭⎫180π＝度数． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度．1.1.2 弧度制答案知识梳理1．(1)1360 (2)半径长 1 rad (3)|α|＝l r终边的旋转方向 正数 负数 0 2．2π 360° π 180° π180 ⎝⎛⎭⎫180π° 3.απR 180 αR απR 2360 12αR 2 12lR 作业设计1．A2．C [r ＝1sin 1，∴l ＝|α|r ＝2sin 1.] 3．A [设扇形半径为r ，圆心角为α，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2r ＋αr ＝612αr 2＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1α＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2α＝1.] 4．C [集合A 限制了角α终边只能落在x 轴上方或x 轴上．] 5．D [∵－114π＝－2π＋⎝⎛⎭⎫－34π，∴θ＝－34π.] 6．B [设扇形内切圆半径为r ， 则r ＋r sin π6＝r ＋2r ＝a .∴a ＝3r ，∴S 内切＝πr 2. S 扇形＝12αr 2＝12×π3×a 2＝12×π3×9r 2＝32πr 2. ∴S 内切∶S 扇形＝2∶3.]7．－10π＋74π解析 ∵－1 485°＝－5×360°＋315°，∴－1 485°可以表示为－10π＋74π. 8．25解析 216°＝216×π180＝6π5，l ＝α·r ＝6π5r ＝30π，∴r ＝25. 9.73π或103π 解析 －76π＋72π＝146π＝73π，－76π＋92π＝206π＝103π. 10．－11π3，－5π3，π3，7π3解析 由题意，角α与π3终边相同，则π3＋2π＝73π， π3－2π＝－53π，π3－4π＝－113π. 11．解 (1)－1 500°＝－1 800°＋300°＝－10π＋5π3， ∴－1 500°与53π终边相同，是第四象限角． (2)236π＝2π＋116π，∴236π与116π终边相同，是第四象限角． (3)－4＝－2π＋(2π－4)，∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角．12．解 设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ， 则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r .∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100. ∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2，此时θ＝l r ＝40－2×1010＝2 rad. 13．4 2解析 设圆半径为r ，则内接正方形的边长为2r ，圆弧长为42r . ∴圆弧所对圆心角|θ|＝42r r＝4 2. 14．解 (1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓， ∵α＝60°＝π3，R ＝10，∴l ＝αR ＝10π3(cm)． S 弓＝S 扇－S △＝12×10π3×10－12×102×sin 60°＝50⎝⎛⎭⎫π3－32 (cm 2)． (2)扇形周长c ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，∴α＝c －2R R， ∴S 扇＝12αR 2＝12·c －2R R ·R 2＝12(c －2R )R ＝－R 2＋12cR ＝－(R －c 4)2＋c 216. 当且仅当R ＝c 4，即α＝2时，扇形面积最大，且最大面积是c 216.。
人教A版高中数学必修4课时作业2弧度制 Word版含答案
课时作业2 弧度制时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每小题6分，共计36分) 1．－120°化为弧度为( ) A ．－56π B ．－π2 C ．－23πD ．－34π解析：由于1°＝π180rad ，所以－120°＝－120×π180＝－2π3，故选C. 答案：C2．若圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则( )A ．扇形面积不变B ．扇形的圆心角不变C ．扇形的面积增大到原来的2倍D ．扇形的圆心角增大到原来的2倍 解析：∵l ＝|α|R ，∴|α|＝l R .当R ，l 均变为原来的2倍时，|α|不变．而S ＝12|α|R 2中，∵α不变，∴S 变为原来的4倍．答案：B3．用弧度制表示终边与角150°相同的角的集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫β|β＝－5π6＋2k π，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫β|β＝5π6＋k ·360°，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫β|β＝2π3＋2k π，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫β|β＝5π6＋2k π，k ∈Z解析：150°＝150×π180＝5π6，故与角150°相同的角的集合为{β|β＝5π6＋2k π，k ∈Z }． 故选D. 答案：D4．把－11π4表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ的值是( ) A ．－3π4 B ．－π4 C.π4D.3π4解析：∵－11π4＝－2π－3π4，∴－11π4与－3π4是终边相同的角，且此时⎪⎪⎪⎪⎪⎪－3π4＝3π4是最小的．答案：A5．集合P ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }，Q ＝{α|－4≤α≤4}，则P ∩Q ＝( )A ．∅B ．{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π}C ．{α|－4≤α≤4}D ．{α|0≤α≤π} 解析：如图．P ∩Q ＝{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π}． 答案：B6．已知某中学上午第一节课的上课时间是8点，那么，当第一节课铃声响起时，时钟的时针、分针把整个时钟圆弧分成的劣弧所对的圆心角是( )A.π2B.3π2C.2π3D.4π3解析：8点时，时钟的时针正好指向8，分针正好指向12，由于时钟的每两个数字之间的圆心角是30°，即π6，故此时时针、分针把整个时钟圆弧分成的劣弧所对的圆心角是π6×4＝2π3.故选C.答案：C二、填空题(每小题8分，共计24分)7．用弧度制表示终边落在x 轴上方的角的集合为________． 解析：若角α的终边落在x 轴上方，则2k π<α<2k π＋π(k ∈Z )． 答案：{α|2k π<α<2k π＋π，k ∈Z }8．已知扇形的周长是6 cm ，面积为2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是________．解析：设圆心角为α，半径为r ，弧长为l ，则⎩⎨⎧l ＋2r ＝6，12lr ＝2，解得r ＝1，l ＝4或r ＝2，l ＝2，∴α＝lr ＝1或4. 答案：1或49．若角α的终边与角π6的终边关于直线y ＝x 对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝________.解析：与α终边相同的角的集合为{α|α＝2k π＋π3，k ∈Z }．∵α∈(－4π，4π)，∴－4π<2k π＋π3<4π，化简得：－136<k <116.∵k ∈Z ，∴k ＝－2，－1,0,1， ∴α＝－113π，－53π，π3，73π. 答案：－113π，－53π，π3，73π三、解答题(共计40分，其中10题10分，11、12题各15分) 10．如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界)．解：(1)如图①中以OB 为终边的角330°，可看成－30°，化为弧度，即－π6，而75°＝75×π180＝5π12，∴{θ|2k π－π6<θ<2k π＋5π12，k ∈Z }． (2)如图②，∵30°＝π6，210°＝7π6， ∴{θ|2k π＋π6<θ<2k π＋π2，k ∈Z }∪ {θ|2k π＋7π6<θ<2k π＋3π2，k ∈Z } ＝{θ|2k π＋π6<θ<2k π＋π2，k ∈Z }∪ {θ|(2k ＋1)π＋π6<θ<(2k ＋1)π＋π2，k ∈Z } ＝{θ|k π＋π6<θ<k π＋π2，k ∈Z }．11．如图所示，动点P ，Q 从点A (4,0)出发，沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3rad ，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6rad ，求P 、Q 第一次相遇时所用的时间及P 、Q 点各自走过的弧长．解：设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t s ，则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6＝2π，解得t ＝4，所以第一次相遇所用的时间为4 s ，所以P 点走过的弧长为43π×4＝163π，Q 点走过的弧长为83π.12．如图所示的圆中，已知圆心角∠AOB ＝2π3，半径OC 与弦AB 垂直，垂足为点D .若CD 的长为a ，求的长及其与弦AB 所围成的弓形ACB 的面积．解：设圆半径为r的长为m ，由题意，得m r ＝2π3.而∠AOD ＝π3，∴OD ＝12OA ＝r2. ∴CD ＝12OC ＝r2＝a .∴r ＝2a . ∴m ＝4πa 3，S 扇形OACB ＝12r ·m ＝4πa 23. 又AB ＝2AD ＝23a ，S △OAB ＝12OD ·AB ＝12·a ·23a ＝3a 2.∴S 弓形ACB ＝⎝⎛⎭⎪⎫4π3－3a 2.。
人教A版高中数学必修四第一章：.2弧度制ppt下载
P9：第1—3题
2021/3/11
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例3: 利用弧度制证明下列关于扇形公式:
1l R 2 S 1R2 3 S 1 lR
2
2
其中R是半径，l是弧长，α(0<α<2π)为圆心 角,S是扇形面积.
填定下列特殊角的度数与弧度数的对应表
角 度
0 30
45
60 9 0 120 135 1 5 0 1 8 0 270 3 6 0
弧 度
0
6
ห้องสมุดไป่ตู้ 4
3
2
2 3
3 4
5 6
3
2
2
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正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数， 零角的弧度数是0.
公式： l
r 表示的是在半径为r的圆中，弧长为l的
弧所对的圆心角是αrad。
P5练习1、2、3、4、5
角度制
在平面几何中研究角的度量，当 时是用度做单位来度量角，如下图：
1°的角
O
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高中数学人教A版必修四课时训练：1.1 任意角和弧度制 1.1.2 Word版含答案.docx
1.1.2 弧度制课时目标 1.理解角度制与弧度制的概念，掌握角的不同度量制度，能对弧度和角度进行正确的变换.2.掌握并会应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．1．角的单位制(1)角度制：规定周角的________为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．(2)弧度制：把长度等于________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作________．(3)角的弧度数求法：如果半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长为l ，那么l ，α，r 之间存在的关系是：____________；这里α的正负由角α的________________决定．正角的弧度数是一个________，负角的弧度数是一个________，零角的弧度数是________．2．角度制与弧度制的换算角度化弧度 弧度化角度360°＝________rad 2πrad ＝________180°＝______rad πrad ＝________1°＝______rad ≈ 0.01745rad1rad ＝______≈57°18′ 3.度量单位类别α为角度制 α为弧度制扇形的弧长 l ＝________ l ＝______扇形的面积 S ＝________ S ＝______＝______一、选择题1．集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π2，k ∈Z 与集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π±π2，k ∈Z 的关系是( ) A ．A ＝B B ．A ⊆BC ．B ⊆AD ．以上都不对2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．sin2C.2sin1D ．2sin1 3．扇形周长为6cm ，面积为2cm 2，则其中心角的弧度数是( )A ．1或4B ．1或2C ．2或4D ．1或54．已知集合A ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，则A ∩B 等于( )A ．∅B ．{α|－4≤α≤π}C ．{α|0≤α≤π}D ．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}5．把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是( ) A.π4B ．－π4C.34πD ．－34π 6．扇形圆心角为π3，半径长为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( ) A ．1∶3B ．2∶3C ．4∶3D ．4∶9二、填空题7．将－1485°化为2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式是________．8．若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为____．9．若2π<α<4π，且α与－7π6角的终边垂直，则α＝______. 10．若角α的终边与角π6的终边关于直线y ＝x 对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝________________.三、解答题11．把下列各角化成2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角：(1)－1500°；(2)236π；(3)－4.12．已知一扇形的周长为40cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？能力提升13．已知一圆弧长等于其所在圆的内接正方形的周长，那么其圆心角的弧度数的绝对值为________．14．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R .(1)若α＝60°，R ＝10cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值c (c >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应． 2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π”这一关系式．易知：度数×π180＝弧度数，弧度数×⎝⎛⎭⎫180π＝度数． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度．1.1.2 弧度制答案知识梳理1．(1)1360 (2)半径长 1rad (3)|α|＝l r终边的旋转方向 正数 负数 0 2．2π 360° π 180° π180 ⎝⎛⎭⎫180π° 3.απR 180 αR απR 2360 12αR 2 12lR 作业设计1．A2．C [r ＝1sin1，∴l ＝|α|r ＝2sin1.] 3．A [设扇形半径为r ，圆心角为α，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2r ＋αr ＝612αr 2＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1α＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2α＝1.] 4．C [集合A 限制了角α终边只能落在x 轴上方或x 轴上．] 5．D [∵－114π＝－2π＋⎝⎛⎭⎫－34π，∴θ＝－34π.] 6．B [设扇形内切圆半径为r ， 则r ＋r sin π6＝r ＋2r ＝a .∴a ＝3r ，∴S 内切＝πr 2. S 扇形＝12αr 2＝12×π3×a 2＝12×π3×9r 2＝32πr 2. ∴S 内切∶S 扇形＝2∶3.]7．－10π＋74π 解析 ∵－1485°＝－5×360°＋315°，∴－1485°可以表示为－10π＋74π. 8．25解析 216°＝216×π180＝6π5，l ＝α·r ＝6π5r ＝30π，∴r ＝25. 9.73π或103π 解析 －76π＋72π＝146π＝73π，－76π＋92π＝206π＝103π. 10．－11π3，－5π3，π3，7π3解析 由题意，角α与π3终边相同，则π3＋2π＝73π， π3－2π＝－53π，π3－4π＝－113π. 11．解 (1)－1500°＝－1800°＋300°＝－10π＋5π3， ∴－1500°与53π终边相同，是第四象限角． (2)236π＝2π＋116π，∴236π与116π终边相同，是第四象限角． (3)－4＝－2π＋(2π－4)，∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角．12．解 设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ， 则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r .∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100. ∴当半径r ＝10cm 时，扇形的面积最大，最大值为100cm 2，此时θ＝l r ＝40－2×1010＝2rad. 13．4 2解析 设圆半径为r ，则内接正方形的边长为2r ，圆弧长为42r .∴圆弧所对圆心角|θ|＝42r r＝4 2. 14．解 (1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓， ∵α＝60°＝π3，R ＝10，∴l ＝αR ＝10π3(cm)． S 弓＝S 扇－S △＝12×10π3×10－12×102×sin60°＝50⎝⎛⎭⎫π3－32 (cm 2)． (2)扇形周长c ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，∴α＝c －2R R， ∴S 扇＝12αR 2＝12·c －2R R ·R 2＝12(c －2R )R ＝－R 2＋12cR ＝－(R －c 4)2＋c 216. 当且仅当R ＝c 4，即α＝2时，扇形面积最大，且最大面积是c 216.。
2022版《优化方案》高中数学人教A版必修四文档：第一章§5.2正弦函数的性质 Word版含答案
5．2 正弦函数的性质1．问题导航(1)“正弦函数y ＝sin x 在第一象限为增函数”的说法正确吗？为什么？ (2)正弦曲线是轴对称图形吗？若是，对称轴是什么？ (3)正弦曲线是中心对称图形吗？若是，对称中心是什么？ 2．例题导读P 29例2.通过本例学习，学会用五点法画出函数y ＝a sin x ＋b 的简图，并依据图像争辩它的性质． 试一试：教材P 30习题1－5A 组T 2你会吗？1．正弦函数的性质函数 y ＝sin x 定义域 R 值域 [－1，1] 奇偶性 奇函数周期性2π为最小正周期 单调性当⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )时，函数是递增的 当⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )时，函数是递减的 最大值与最小值当x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，最大值为1当x ＝2k π－π2(k ∈Z )时，最小值为－12.正弦函数y ＝sin x 的图像关于点(k π，0)(k ∈Z )中心对称，关于直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )轴对称．1．推断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝sin x ，x ∈(－π，π]是奇函数．( )(2)函数y ＝a sin x (a ≠0)的最大值为a ，最小值为－a .( )(3)若x ＝x 0时，y ＝sin x 取最大值，则x ＝x 0是函数y ＝sin x 的对称轴．( ) 解析：(1)错误．由于定义域不关于原点对称．(2)错误．要对a 分大于0和小于0两种状况争辩，才能确定最大值与最小值． (3)正确．由正弦曲线可知，此说法是正确的． 答案：(1)× (2)× (3)√2．M 和m 分别是函数y ＝13sin x －1的最大值和最小值，则M ＋m 等于( )A.23 B ．－23C ．－43D ．－2解析：选D.由于M ＝y max ＝13－1＝－23，m ＝y min ＝－13－1＝－43，所以M ＋m ＝－23－43＝－2.3．若函数y ＝sin x 在[0，a ]上为增函数，则a 的取值范围为________．解析：由函数y ＝sin x 的图像可知，函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上为增函数，所以[0，a ]⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以0<a ≤π2.答案：⎝⎛⎦⎤0，π2理解正弦函数的性质应关注三点(1)正弦函数不是定义域上单调函数．另外，说“正弦函数在第一象限内是增函数”也是错误的，由于在第一象限内，即使是终边相同的角，它们也可以相差2π的整数倍．(2)正弦曲线是中心对称图形，对称中心为(k π，0)(k ∈Z )，即正弦曲线与x 轴的交点．(3)正弦曲线是轴对称图形，对称轴方程为x ＝k π＋π2(k ∈Z )，即过正弦曲线最高点或最低点并且垂直于x 轴的直线．画正弦函数的图像并争辩函数的性质利用五点法画出函数y ＝1＋2sin x 的简图，并依据图像争辩它的性质． (链接教材P 29例2) [解] 列表如下.x 0 π2 π 3π2 2π y ＝sin x 0 1 0 －1 0 y ＝1＋2sin x131－11依据表中数据画出简图如下．观看图像得出函数 y ＝1＋2sin x定义域R值域 [－1，3]奇偶性 既不是奇函数也不是偶函数周期性最小正周期T ＝2π单调性当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )时，函数是增加的；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )时，函数是削减的最大值与最小值当x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，最大值为3；当x ＝2k π－π2(k ∈Z )时，最小值为－1方法归纳解答此类问题的关键在于能正确利用五点法作出函数的简图，然后依据所画图像结合正弦函数的性质，从函数的定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、最大值与最小值这几个方面争辩函数的性质．1．(1)利用五点法画出函数y ＝－1＋2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2的简图，并依据图像争辩它的性质．(2)画出函数y ＝sin x －2(x ∈[0，2π])的简图，并依据图像和解析式争辩其性质．解：(1)y ＝－1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－1－2sin x .列表(如下表).x 0 π2 π 3π2 2π y ＝sin x 0 1 0 －1 0 y ＝－1－2sin x－1－3－11－1依据表中数据画出简图如下．观看图像得出y ＝－1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2的性质(见下表).函数 y ＝－1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2定义域 R 值域 [－3，1]奇偶性既不是奇函数也不是偶函数周期性 最小正周期T ＝2π单调性当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )时，函数是削减的；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )时，函数是增加的最大值与最小值当x ＝2k π－π2(k ∈Z )时，最大值为1；当x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，最小值为－3(2)列表：x 0 π2 π 3π2 2π y ＝sin x 0 1 0 －1 0 y ＝sin x －2－2－1－2－3－2描点，用光滑的曲线顺次连接各点，可得y ＝sin x －2(x ∈[0，2π])的图像，如图所示．由图像及解析式可得该函数有以下性质： 定义域：[0，2π]； 值域：[－3，－1]；奇偶性：既不是奇函数也不是偶函数； 周期性：不是周期函数；单调性：在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2与⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π上是增加的，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2上是削减的．最大值与最小值：当x ＝π2时，有最大值为1；当x ＝32π时，有最小值为－3.正弦函数的单调性(1)比较下列各组数的大小： ①sin π4与sin π8；②sin 4π7与sin 19π7.(2)求函数y ＝log 12sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的递增区间．[解] (1)①由于0<π8<π4<π2，且y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增加的，所以sin π4>sin π8.②sin19π7＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋5π7＝sin 5π7. 由于π2<4π7<5π7<π，且y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是削减的．所以sin4π7>sin 5π7，即sin 4π7>sin 19π7. (2)由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6>0得2k π<x －π6<π＋2k π(k ∈Z )得π6＋2k π<x <7π6＋2k π(k ∈Z )，①要求原函数的递增区间，只需求函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的递减区间，令π2＋2k π≤x －π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )得2π3＋2k π≤x ≤5π3＋2k π(k ∈Z )，② 由①②可知2π3＋2k π≤x <76π＋2k π(k ∈Z )，所以原函数的递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3＋2k π，7π6＋2k π(k ∈Z )．本例(2)条件不变，试求函数的递减区间．解：令⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x －π6<π＋2k π（k ∈Z ），－π2＋2k π≤x －π6≤π2＋2k π（k ∈Z ），得2k π<x －π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，故π6＋2k π<x ≤2π3＋2k π(k ∈Z )， 所以原函数的递减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤π6＋2k π，2π3＋2k π(k ∈Z )．方法归纳(1)利用正弦函数的单调性比较大小的步骤： ①肯定：利用诱导公式把角化到同一个单调区间上； ②二比：利用正弦函数的单调性比较大小．(2)解决有关正弦函数的单调性问题的主要理论依据： ①正弦函数的单调性；②复合函数的单调性：设函数y ＝f (μ)和μ＝g (x )在公共区间A 内是单调函数，那么函数y ＝f [g (x )]在A 内也是单调函数，并且若y ＝f (μ)和μ＝g (x )的单调性相同(反)，则y ＝f [g (x )]在A 内是增(减)函数，这共性质简记为“同增异减”．2．(1)比较下列各组数的大小；①sin ⎝⎛⎭⎫－π18与sin(－π10)；②sin 74与cos 53.(2)求函数y ＝－sin x 的单调区间．解：(1)①由于－π2<－π10<－π18<0，且y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上是增加的，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10.②由于cos 53＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋53，又π2<74<π2＋53<3π2，而y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2上是削减的，所以sin 74>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋53，即sin 74>cos 53.(2)由于－1<0，所以函数y ＝－sin x 的单调性与正弦函数y ＝sin x 的单调性相反．所以函数y ＝－sin x 的递增区间即函数y ＝sin x 的递减区间，为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )；函数y ＝－sin x 的递减区间即函数y ＝sin x 的递增区间，为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )．故函数y ＝－sin x 的递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )，递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )．正弦函数的奇偶性推断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝sin (x ＋7π)cos ⎝⎛⎭⎫52π－x ；(2)f (x )＝lg(1－sin x )－lg (1＋sin x )；(3)f (x )＝sin x －sin 2x1－sin x.(链接教材P 30习题1－5 A 组T 6) [解] (1)f (x )＝sin []（x ＋π）＋6πcos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋2π＝sin(x ＋π)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝－sin x ·sin x ＝－sin 2x .其定义域为R ，又f (－x )＝－sin 2(－x )＝－sin 2x ＝f (x )， 所以f (x )为偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－sin x >0，1＋sin x >0⇒－1<sin x <1，得函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈R ，且x ≠π2＋k π，k ∈Z ，关于原点对称，又f (－x )＝lg[1－sin(－x )]－lg[1＋sin(－x )] ＝lg(1＋sin x )－lg(1－sin x )＝－f (x )， 所以函数f (x )是奇函数．(3)由1－sin x ≠0，得sin x ≠1，从而函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠π2＋2k π，k ∈Z ，不关于原点对称．所以函数f (x )是非奇非偶函数． 方法归纳(1)推断函数奇偶性时，必需先检查定义域是否是关于原点的对称区间．假如是，再验证f (－x )是否等于－f (x )或f (x )，进而推断函数的奇偶性；假如不是，则该函数必为非奇非偶函数．(2)在推断与正弦函数有关的奇偶性时，常用三角函数的诱导公式将函数解析式化简．3．(1)若函数f (x )＝a sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋3sin ⎝⎛⎭⎫x －π4是偶函数，则a ＝________．(2)推断下列函数的奇偶性： ①f (x )＝2sin x －1；②f (x )＝lg(sin x ＋1＋sin 2x )．解：(1)由于f (x )＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝f (－x )＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋π4＋3sin ⎝⎛⎭⎪⎫－x －π4＝－a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＝3，a ＝－3⇒a ＝－3.故填－3.(2)①由2sin x －1≥0，即sin x ≥12得函数f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z )，此定义域在x 轴上表示的区间不关于原点对称．所以该函数不具有奇偶性，为非奇非偶函数． ②由于1＋sin 2x >sin 2x ，所以1＋sin 2x >|sin x |≥－sin x ，所以sin x ＋1＋sin 2x >0，所以函数f (x )的定义域为R . f (－x )＝lg[sin(－x )＋1＋sin 2（－x ）]＝lg(－sin x ＋1＋sin 2x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin x ＋1＋sin 2x＝－lg(sin x ＋1＋sin 2x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．易错警示因错用正弦函数的单调性致误sin 1，sin 2，sin 3按从小到大的挨次排列为________．[解析] sin 2＝sin(π－2)，sin 3＝sin(π－3)． 由于0<π－3<1<π－2<π2.所以sin(π－3)<sin 1<sin(π－2)．即sin 3<sin 1<sin 2.[答案] sin 3<sin 1<sin 2[错因与防范] 解答本题常会得出错误的结论是sin 1<sin 2<sin 3，出错的缘由在于没有考虑1，2，3是否在正弦函数的同一个单调区间上，正确的方法是，利用诱导公式转化到同一个单调区间上再进行大小比较．4．(1)比较cos 53，sin 103的大小．(2)①比较大小：sin π4与sin 2π3；②在锐角△ABC 中，比较sin A 与cos B 的大小． 解：(1)由于cos 53＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋53，又π2<π2＋53<103<32π， 且y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，32π上是减函数，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋53>sin 103.即cos 53>sin 103.(2)①由于sin2π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝sin π3， 且0<π4<π3<π2，y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是增加的，所以sin π4<sin π3，即sin π4<sin 2π3.②由于△ABC 为锐角三角形， 所以A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且A ＋B >π2，所以A >π2－B ，且π2－B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.所以0<π2－B <A <π2.又由于y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是增加的，所以sin A >sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ，即sin A >cos B ．1．下列两种说法：①y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π(k ∈Z )上是增加的；②y ＝sin x 在其次象限内是削减的( )A ．均正确B ．①正确、②不正确C ．①不正确、②正确D ．都不正确解析：选B.单调性是针对某个取值区间而言的，所以①正确；②不正确，由于在其次象限，即使是终边相同的角，它们也可以相差2π的整数倍．2．定义在R 上的奇函数f (x )的周期是π，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫5π3的值为( )A ．－12B ．12C ．－32D ．32解析：选C.f ⎝⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－2π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3 ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－sin π3＝－32.3．函数y ＝－2sin x 的递减区间是________． 解析：由于－2sin x ≥0， 所以sin x ≤0，所以2k π－π≤x ≤2k π，k ∈Z ，所以函数的定义域是[2k π－π，2k π](k ∈Z )． 由于y ＝－2sin x 与y ＝sin x 的单调性相反，所以函数的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π(k ∈Z )．答案：⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π(k ∈Z ), [同学用书单独成册])[A.基础达标]1．函数f (x )＝sin 4x ，x ∈R 的奇偶性为( ) A ．偶函数 B ．奇函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数解析：选B.由于f (－x )＝sin[4(－x )]＝sin(－4x )＝－sin 4x ＝－f (x )，所以f (x )＝sin 4x 为奇函数． 2.已知a ∈R ，函数f (x )＝sin x ＋|a |－1，x ∈R 为奇函数，则a 等于( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1解析：选D.由题意，得f (0)＝0，即|a |－1＝0，所以a ＝±1，即当a ＝±1时，f (x )＝sin x 为R 上的奇函数． 3.函数f(x)＝－sin 2x ＋sin x ＋1，x ∈R 的最小值为( ) A.54 B ．1 C ．0 D ．－1解析：选D.f (x )＝－⎝⎛⎭⎫sin x －122＋54，当sin x ＝－1时，f (x )min ＝－1. 4.函数y ＝4sin x ＋3在[－π，π]上的递增区间为( )A .⎣⎡⎦⎤－π，－π2B ．⎣⎡⎦⎤－π2，π2C .⎣⎡⎦⎤－π，π2D ．⎣⎡⎦⎤π2，π解析：选B .y ＝sin x 的递增区间就是y ＝4sin x ＋3的增区间．5.函数y ＝2－sin x 的最大值及取最大值时的x 的值分别为( )A ．y ＝3，x ＝π2B ．y ＝1，x ＝π2＋2k π(k ∈Z )C ．y ＝3，x ＝－π2＋2k π(k ∈Z ) D ．y ＝3，x ＝π2＋2k π(k ∈Z )解析：选C .当sin x ＝－1，即x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )时，y 取最大值3. 6.函数y ＝sin |x |的图像关于________对称．解析：由于sin |－x |＝sin |x |，所以y ＝sin |x |是偶函数，其图像关于y 轴对称． 答案：y 轴7.函数y ＝2sin x ⎝⎛⎭⎫0<x ≤2π3的值域是________．解析：利用图像解决．通过图像不难发觉y ＝2sin x ，x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，2π3的值域为(0，2]．答案：(0，2]8.cos 10°，sin 11°，sin 168°从小到大的排列挨次是________．解析：由于sin 168°＝sin (180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝cos (90°－80°)＝sin 80°，当0°≤x ≤90°时，正弦函数y ＝sin x 是增函数，因此sin 11°<sin 12°<sin 80°，即sin 11°<sin 168°<cos 10°.答案：sin 11°<sin 168°<cos 10°9.若函数y ＝a －b sin x 的最大值是32，最小值是－12，求函数y ＝－4a sin bx 的最大值与最小值及周期．解：由于－1≤sin x ≤1，当b >0时，－b ≤b sin x ≤b . 所以a －b ≤a －b sin x ≤a ＋b ，所以⎩⎨⎧a ＋b ＝32，a －b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝1，所以所求函数为y ＝－2sin x .当b <0时，b ≤b sin x ≤－b ，所以a ＋b ≤a －b sin x ≤a －b .所以⎩⎨⎧a －b ＝32，a ＋b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－1，所以所求函数为y ＝－2sin (－x )＝2sin x .所以y ＝±2sin x 的最大值是2，最小值是－2，周期是2π. 10.推断函数f (x )＝lg 1－sin x1＋sin x 的奇偶性．解：由1－sin x 1＋sin x >0得(1－sin x )(1＋sin x )>0，所以－1<sin x <1，所以x ≠k π＋π2(k ∈Z )．此函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ，关于原点对称，且f (－x )＝lg 1－sin （－x ）1＋sin （－x ）＝lg 1＋sin x 1－sin x ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－sin x 1＋sin x －1＝－lg1－sin x1＋sin x ＝ －f (x )．所以函数f (x )＝lg 1－sin x1＋sin x为奇函数．[B.力量提升]1．已知奇函数f (x )在[－1，0]上是递减的，又α、β为锐角三角形两内角，则下列结论正确的是( ) A ．f (cos α)>f (cos β) B ．f (sin α)>f (sin β) C ．f (sin α)>f (cos β) D ．f (sin α)<f (cos β) 解析：选D.由于α、β为锐角三角形两内角，则0<π2－β<α<π2，所以0<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β<sin α<1，即0<cos β<sinα<1.而已知奇函数f (x )在[－1，0]上是递减的，所以函数f (x )在[0，1]上也是递减的，所以f (cos β)>f (sin α)．2．函数y ＝2＋12sin x ，当x ∈[－π，π]时，( )A ．在[－π，0]上是增加的，在[0，π]上是削减的B ．在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增加的，在⎣⎡⎦⎤－π，－π2和⎣⎡⎦⎤π2，π上是削减的C ．在[0，π]上是增加的，在[－π，0]上是削减的D ．在⎣⎡⎦⎤π2，π和⎣⎡⎦⎤－π，－π2上是增加的，在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是削减的解析：选B.由于12>0，所以函数y ＝2＋12sin x 的单调性与正弦函数y ＝sin x 的单调性相同，类比正弦函数的单调性可知，函数y ＝2＋12sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上是削减的，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增加的，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是削减的．故选B.3．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数．若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ，则f ⎝⎛⎭⎫5π3＝________.解析：由诱导公式可知f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝sin x ，由f (x )的最小正周期是π，知f ⎝⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3. 由f (x )是偶函数知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3.又当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x .所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝32.答案：324．若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则 f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝________．解析：由于f (x )是以4为周期的奇函数，所以f ⎝⎛⎭⎫294＝f ⎝⎛⎭⎫8－34＝f ⎝⎛⎭⎫－34，f ⎝⎛⎭⎫416＝f ⎝⎛⎭⎫8－76＝f ⎝⎛⎭⎫－76. 由于当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，所以f ⎝⎛⎭⎫34＝34×⎝⎛⎭⎫1－34＝316.由于当1<x ≤2时，f (x )＝sin πx ， 所以f ⎝⎛⎭⎫76＝sin 7π6＝－12.又由于f (x )是奇函数，所以f ⎝⎛⎭⎫－34＝－f ⎝⎛⎭⎫34＝－316，f ⎝⎛⎭⎫－76＝－f ⎝⎛⎭⎫76＝12. 所以f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝12－316＝516.答案：5165．已知3sin 2α＋2sin 2β＝2sin α，求sin 2α＋sin 2β的取值范围．解：由已知条件知sin 2β＝sin α－32sin 2α，所以0≤sin α－32sin 2α≤1，解得0≤sin α≤23，所以sin 2α＋sin 2β＝sin 2α＋sin α－32sin 2α＝－12(sin α－1)2＋12，设sin α＝t ，t ∈⎣⎡⎦⎤0，23， y ＝－12(t －1)2＋12在⎣⎡⎦⎤0，23上是增函数， 所以当t ＝0时，y min ＝0，当t ＝23时，y max ＝49.所以sin 2α＋sin 2β的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，49.6．(选做题)定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝sin x .(1)当x ∈[－π，0]时，求f (x )的解析式； (2)画出函数f (x )在[－π，π]上的函数简图；(3)当f (x )≥12时，求x 的取值范围．解：(1)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，则－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.由于f (x )是偶函数，所以f (x )＝f (－x )＝sin(－x )＝－sin x . 若x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π，－π2，则π＋x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2.由于f (x )是最小正周期为π的周期函数， 所以f (x )＝f (π＋x )＝sin(π＋x )＝－sin x ， 所以x ∈[－π，0]时，f (x )＝－sin x .(2)函数f (x )在[－π，π]上的函数简图，如图所示：(3)x ∈[0，π]，sin x ≥12，可得π6≤x ≤5π6，函数周期为π，所以x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋5π6，k ∈Z .。
人教A版高中数学必修四练习：1.1任意角和弧度制1.1.1+Word版含解析
第一章 1.1 1.1.1A级基础巩固一、选择题1．下列各角中，与60°角终边相同的角是(A)A．－300°B．－60°C．600°D．1 380°[解析]与60°角终边相同的角α＝k·360°＋60°，k∈Z，令k＝－1，则α＝－300°，故选A．2．射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置顺时针旋转270°到达OC位置，则∠AOC＝(B)A．150°B．－150°C．390°D．－390°[解析]各角和的旋转量等于各角旋转量的和．∴120°＋(－270°)＝－150°，故选B．3．下列说法正确的个数是(A)①小于90°的角是锐角②钝角一定大于第一象限的角③第二象限的角一定大于第一象限的角④始边与终边重合的角为0°A．0 B．1C．2 D．3[解析]①错，负角小于90°，但不是锐角，②错，390°是第一象限的角，大于任一钝角α(90°<α<180°)，③错，第二象限角中的－210°小于第一象限角中的30°，④错，始边与终边重合的角是k·360°(k∈Z)，故选A .4．若角α和角β的终边关于x轴对称，则角α可以用角β表示为(B)A．k·360°＋β(k∈Z)B．k·360°－β(k∈Z)C．k·180°＋β(k∈Z)D．k·180°－β(k∈Z)[解析]因为角α和角β的终边关于x轴对称，所以α＋β＝k·360°(k∈Z)，所以α＝k·360°－β(k∈Z)．故选B．5．把－1485°转化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是(D)A ．45°－4×360°B ．－45°－4×360°C ．－45°－5×360°D ．315°－5×360°[解析] －1485°＝315°－5×360°. 6．若α是第三象限角，则α2是 ( D )A ．第一或第三象限角B ．第二或第三象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角[解析] ∵α是第三象限角，∴k ·360°＋180°<α<k ·360°＋270°，k ∈Z . ∴k ·180°＋90°<α2<k ·180°＋135°，k ∈Z .当k 为偶数时，α2是第二象限角；当k 为奇数时，α2是第四象限角．二、填空题7．将90°角的终边按顺时针方向旋转30°所得的角等于__60°__.8．若α、β两角的终边互为反向延长线，且α＝－120°，则β＝ k ·360°＋60°，k ∈Z . [解析] 先求出β的一个角，β＝α＋180°＝60°. 再由终边相同角的概念知：β＝k ·360°＋60°，k ∈Z . 三、解答题 9．已知α＝－1910°.(1)把α写成β＋k ·360°(k ∈Z,0°≤β≤360°)的形式，并指出它是第几象限角； (2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°. [解析] (1)设α＝β＋k ·360°(k ∈Z )， 则β＝－1910°－k ·360°(k ∈Z )． 令－1910°－k ·360°≥0， 解得k ≤－1 910360＝－51136.k 的最大整数解为k ＝－6，求出相应的β＝250°， 于是α＝250°－6×360°，它是第三象限角． (2)令θ＝250°＋n ·360°(n ∈Z )，取n＝－1，－2就得到符合－720°≤θ<0°的角．250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.故θ＝－110°或θ＝－470°.10．已知，如图所示.(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合．(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．[解析](1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}．(2)由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．B级素养提升一、选择题1．已知A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，那么A、B、C的关系是(B)A．B＝A∩C B．B∪C＝CC．A C D．A＝B＝C[解析]A＝{第一象限角}＝{θ|k·360°<θ<90°＋k·360°，k∈Z}，B＝{锐角}＝{θ|0<θ<90°}，C＝{小于90°的角}＝{θ|θ<90°}，故选B．2．已知角2α的终边在x轴上方，那么角α的范围是(C)A．第一象限角的集合B．第一或第二象限角的集合C．第一或第三象限角的集合D．第一或第四象限角的集合[解析]由题意得：360°·k<2α<360°·k＋180°，k∈Z.∴180°k<α<180°k＋90°，k∈Z，故选C．3．如果角α与x＋45°具有同一条终边，角β与x－45°具有同一条终边，则α与β的关系是(D)A．α＋β＝0B．α－β＝0C．α＋β＝k·360°(k∈Z)D．α－β＝k·360°＋90°(k∈Z)[解析]∵α＝(x＋45°)＋k1·360°(k1∈Z)，β＝(x－45°)＋k2·360°(k2∈Z)，∴α－β＝(k1－k2)·360°＋90°＝k·360°＋90°(k∈Z)．4．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，则A∩B等于导学号14434034(C)A．{－36°，54°}B．{－126°，144°}C．{－126°，－36°，54°，144°}D．{－126°，54°}[解析]当k＝－1时，α＝－126°∈B；当k＝0时，α＝－36°∈B；当k＝1时，α＝54°∈B；当k＝2时，α＝144°∈B．二、填空题5．已知θ为小于360°的正角，这个角的4倍角与这个角的终边关于x轴对称，那么θ＝__72°，144°，216°，288°__.[解析]依题意，可知角4θ与角－θ终边相同，故4θ＝－θ＋k·360°(k∈Z)，故θ＝k·72°(k ∈Z)．又0°<θ<360°，故令k＝1,2,3,4得θ＝72°，144°，216°，288°.6．已知角β的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么β∈{α|n·180°＋30°<α<n·180°＋150°，n∈Z}.[解析] 在0°～360°范围内，终边落在阴影内的角α的取值范围为30°<α<150°与210°<α<330°，所以所有满足题意的角α的集合为{α|k ·360°＋30°<α<k ·360°＋150°，k ∈Z }∪{α|k ·360°＋210°<α<k ·360°＋330°，k ∈Z }＝{α|2k ·180°＋30°<α<2k ·180°＋150°，k ∈Z }∪{α|(2k ＋1)180°＋30°<α<(2k ＋1)·180°＋150°，k ∈Z }＝{α|n ·180°＋30°<α<n ·180°＋150°，n ∈Z }．三、解答题7．已知角β的终边在直线3x －y ＝0上.①写出角β的集合S ；②写出S 中适合不等式－360°≤β<720°的元素．[解析] ①如图，直线3x －y ＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA 上的角是60°，终边落在射线OB 上的角是240°，所以以射线OA 、OB 为终边的角的集合为：S 1＝{β|β＝60°＋k ·360°，k ∈Z }，S 2＝{β|β＝240°＋k ·360°，k ∈Z }， 所以，角β的集合S ＝S 1∪S 2＝{β|β＝60°＋k ·360°，k ∈Z }∪{β|β＝60°＋180°＋k ·360°，k ∈Z } ＝{β|β＝60°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{β|β＝60°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z } ＝{β|β＝60°＋n ·180°，n ∈Z }．②由于－360°≤β<720°，即－360°≤60°＋n ·180°<720°，n ∈Z ， 解得－73≤n <113，n ∈Z ，所以n ＝－2、－1、0、1、2、3.所以S 中适合不等式－360°≤β<720°的元素为： 60°－2×180°＝－300°； 60°－1×180°＝－120°； 60°－0×180°＝60°； 60°＋1×180°＝240°； 60°＋2×180°＝420；60°＋3×180°＝600°.8．在角的集合{α|a ＝k ·90°＋45°，k ∈Z }中.导学号 14434038 (1)有几种终边不相同的角？(2)有几个落在－360°～360°之间的角？ (3)写出其中是第二象限的一般表示方法．[解析] (1)当k ＝4n (n ∈Z )时，α＝n ·360°＋45°与45°角终边相同； 当k ＝4n ＋1(n ∈Z )时，α＝n ·360°＋135°与135°的终边相同； 当k ＝4n ＋2(n ∈Z )时，α＝n ·360°＋225°与225°的终边相同； 当k ＝4n ＋3(n ∈Z )时，α＝n ·360°＋315°与315°的终边相同． 所以，在给定的角的集合中共有4种终边不相同的角． (2)由－360°<k ·90°＋45°<360°，得－92<k <72.又k ∈Z .故k ＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3.所以，在给定的角的集合中落在－360°～360°之间的角共有8个． (3)其中，第二象限可表示为α＝k ·360°＋135°，k ∈Z .C 级 能力拔高集合M ＝{x |x ＝k ·180°2±45°，k ∈Z }，P ＝{x |x ＝k ·180°4±90°，k ∈Z }，则M ，P 之间的关系为__M P __.导学号 14434039[解析] 对集合M 来说，x ＝(2k ±1)×45°，即45°的奇数倍；对集合P 来说，x ＝(k ±2)×45°，即45°的倍数．。
【人教A版】必修4高中数学同步辅导与检测题：第一章1.1-1.1.2弧度制(含答案)
第一章 三角函数 1.1 任意角和弧度制1.1.2 弧度制A 级 基础巩固一、选择题1．下列说法中，错误的是( ) A ．半圆所对的圆心角是π rad B ．周角的大小等于2πC ．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D ．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度解析：根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A 、B 、C 均正确，D 错误．答案：D2．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为( ) A.143π B ．－143π C.718π D ．－718π解析：显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了73周，转过的弧度为－73×2π＝－143π.答案：B3．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( )A.403π B.203π C.2003π D.4003π 解析：240°＝240180π＝43π，所以弧长l ＝|α|·r ＝43π×10＝403π.答案：A 4．把－11π4表示成θ＋2k π(k ∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是( )A ．－3π4B ．－π4C.π4D.3π4解析：令－11π4＝θ＋2k π(k ∈Z)，则θ＝－11π4－2k π(k ∈Z)．取k ≤0的值，k ＝－1时，θ＝－3π4，|θ|＝3π4；k ＝－2时，θ＝5π4，|θ|＝5π4>3π4；k ＝0时，θ＝－11π4，|θ|＝11π4>3π4.答案：A5．一段圆弧的长度等于其圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数为( )A.π2 B.π3 C. 3D. 2解析：设圆内接正方形的边长为a ，则该圆的直径为2a ， 所以弧长等于a 的圆弧所对的圆心角为α＝l r ＝a22a ＝ 2.答案：D 二、填空题6．π12 rad ＝________度，________ rad ＝－300°. 解析：π12＝180°12＝15°；－300°＝－300×π180＝－5π3.答案：15 －5π37．已知扇形的圆心角为60°，半径为3，则扇形的面积是________．解析：因为60°＝π3rad则扇形的面积S ＝12×π3×32＝32π.答案：32π8．(1)1°的圆心角所对弧长为1米，则此圆半径为________米； (2)1 rad 的圆心角所对弧长为1米，则此圆半径为______米． 解析：(1)因为|α|＝1°＝π180，l ＝1，所以r ＝l|α|＝1π180＝180π.(2)因为l ＝1，|α|＝1，所以r ＝l|α|＝1.答案：(1)180π (2)1三、解答题 9．已知α＝2 000°.(1)把α写成2k π＋β [k ∈Z ，β∈[0，2π)]的形式； (2)求θ，使得θ与α的终边相同，且θ∈(4π，6π)． 解：(1)α＝2 000°＝5×360°＋200°＝10π＋109π.(2)θ与α的终边相同，故θ＝2k π＋109π，k ∈Z ，又θ∈(4π，6π)，所以k ＝2时，θ＝4π＋109π＝46π9.10．用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合．解：(1)如题图①，330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－π6，而75°＝75×π180＝5π12，所以终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪⎪2k π－π6＜θ＜2k π＋5π12，k ∈Z .(2)如题图②，因为30°＝π6，210°＝7π6，这两个角的终边所在的直线相同，因此终边在直线AB 上的角为α＝k π＋π6，k ∈Z ，又终边在y 轴上的角为β＝k π＋π2，k ∈Z ，从而终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪⎪k π＋π6＜θ＜k π＋π2，k ∈Z . B 级 能力提升1．集合⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中角的终边所在的范围(阴影部分)是( )解析：当k ＝2m ，m ∈Z 时，2m π＋π4≤α≤2m π＋π2，m ∈Z ；当k ＝2m ＋1，m ∈Z 时，2m π＋5π4≤α≤2m π＋3π2，m ∈Z ，所以选C.答案：C2．钟表的时间经过了一小时，则时针转过了________rad. 解析：钟表的时针是按顺时针的方向旋转的，经过12小时，时针转过－2π rad ，所以经过一小时，时针转过－π6rad.答案：－π63．已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10.求α(∠AOB )所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S .解：由⊙O 的半径r ＝10＝AB ，知△AOB 是等边三角形， 所以α＝∠AOB ＝60°＝π3.所以弧长l ＝a ·r ＝π3×10＝10π3，所以S 扇形＝12lr ＝12×10π3×10＝50π3，又S △AOB ＝12·AB ·53＝12×10×53＝5032，所以S ＝S 扇形－S △AOB ＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－32.。
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§3 弧 度 制, )1．问题导航(1)“1弧度”指的是“1度的角所对的弧”吗？ (2)“2 rad ”的角终边在第几象限？(3)30°的角化为弧度是多少？120°是30°的几倍？其弧度数是多少？ 2．例题导读P 10例1.通过本例学习，学会把角度换算成弧度，并留意，不要用“rad ”的中文名称“弧度”作单位写在数据的后面．试一试：教材P 12习题1－3 T 1你会吗？P 10例2.通过本例学习，学会把弧度换算成度，并留意，“度”的单位“°”不能省略． 试一试：教材P 12习题1－3 T 2你会吗？1．度量角的单位制 (1)角度制规定周角的1360为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．(2)单位圆半径为1的圆称为单位圆． (3)弧度制当半径不同时，同样的圆心角所对的弧长与半径之比是常数，称这个常数为该角的弧度数．在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角．它的单位符号是rad ，读作弧度．这种以弧度作单位度量角的单位制，叫作弧度制．2．弧度数与弧长公式(1)符号：一般地，任一正角的弧度数都是一个正数；任一负角的弧度数都是一个负数；零角的弧度数是0．(2)公式：如图所示，l 、r 、α分别是弧长、半径、弧所对的圆心角的弧度数．弧度数公式：|α|＝lr；弧长公式：l ＝|α|r ；这就是说，弧长等于弧所对的圆心角弧度数的确定值与半径的积． 3．角度制与弧度制的换算 (1)角度与弧度的互化角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad ＝360° 180°＝π rad π rad ＝180°1°＝π180 rad ≈0.017_45 rad1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°≈57.30°＝57°18′ (2)一些特殊角的角度数与弧度数的对应关系角度数0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 120° 135° 150°弧度数π12 π6 π4 π3 5π12 π2 2π3 3π4 5π6角度数 180° 210° 225° 240°270° 300° 315° 330° 360° 弧度数π 7π6 5π4 4π33π25π37π411π62π4.弧长公式及扇形面积公式的两种表示角度制弧度制 弧长公式 l ＝|n |πr180l ＝|α|r扇形面积公式S ＝|n |πr 2360S ＝|α|2r 2＝12lr留意事项 r 是扇形的半径，n 是圆心角的角度数r 是扇形的半径，α是圆心角的弧度数，l 是弧长明显弧度制下的两个公式在形式上都要简洁得多，记忆和应用也就更加便利．留意：在弧度制下的弧长公式、面积公式有诸多优越性，但假如已知角是以“度”为单位，则应当先化成弧度后再计算．1．推断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)1弧度指的是1度的角．( ) (2)周角的大小是2π.( )(3)弧长为π，半径为2的扇形的圆心角是直角．( )解析：(1)错误.1弧度指的是长度等于半径长的弧所对的圆心角． (2)正确．周角的大小是2πrr＝2π.(3)正确．若弧长为π，半径为2，则|α|＝π2，故其圆心角是直角．答案：(1)× (2)√ (3)√ 2．下列转化结果错误的是( )A ．60°化成弧度是π3B ．－103π化成度是－600°C ．－150°化成弧度是－7π6 D.π12化成度是15°解析：选C.对于A ，60°＝60×π180＝π3；对于B ，－103π＝－103×180°＝－600°；对于C ，－150°＝－150×π180＝－5π6；对于D ，π12＝112×180°＝15°.3．已知圆的半径为2，则弧长为4的弧所对的圆心角α(0<α<2π)的弧度数为________．解析：|α|＝l r ＝42＝2.答案：24．若扇形的圆心角为60°，半径为1，则扇形的弧长l ＝________，面积S ＝________．解析：由于α＝60°＝π3，r ＝1，所以l ＝|α|·r ＝π3，S ＝12r ·l ＝12×1×π3＝π6.答案：π3 π61．对弧度制概念的三点说明(1)“1 rad ”是指：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小，不是弧长，这个角是固定的，与圆的半径的长度无关．(2)引入弧度制后，角的集合与实数建立一一对应关系，我们今后表示角时，多用弧度制表示．(3)表示角时π就是无理数，它表示一个实数，同1 rad 角的大小一样，π rad 的角表示：长度等于半径的π倍的圆弧所对的圆心角，在推断有理数表示角的象限，与π比较大小时，有时需要把π化为小数．2．对弧度数计算公式的说明我们常用α＝lr来求解圆中圆心角所对弧度数，一般来说，在圆中弧长是个正数，故得出的圆心角也为正数．但在平面直角坐标系中，所求的角不肯定为正角，所以经常依据需要在角α上添加正负号，故这个求弧度数的公式经常记为|α|＝lr.3．角度与弧度的区分与联系区分 (1)定义不同，大小不同(2)单位不同(3)弧度制是十进制，而角度制是六十进制联系(1)不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的值，仅和半径与所含的弧这两者的比值有关(2)“弧度”与“角度”之间可以相互转化 (3)表示角时，弧度制与角度制不能混用4.角度制与弧度制换算时应留意的四个问题 (1)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度(rad)”可以省略不写，假如以度(°)为单位表示角的大小时，度(°)不能省略不写．(2)度化为弧度时，应先将分、秒化为度，再化为弧度．(3)有些角的弧度数是π的整数倍时，如无特殊要求，不必把π化成小数．(4)用“弧度”与“度”去度量每个角时，除了零角以外，所得的结果都是不同的，二者要留意不能混淆． 5．角度制与弧度制换算的要点角度与弧度的互化(1)把112°30′化为弧度； (2)将－512π rad 化为度．(链接教材P 10例1、例2)[解] (1)由于1°＝π180rad ，所以112°30′＝112.5°＝112.5×π180＝58π.(2)由于1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°，所以－512π＝－512π×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝－75°.方法归纳(1)在进行角度制和弧度制的换算时，抓住关系式π rad ＝180°是关键．由它可以得到：度数×π180＝弧度数，弧度数×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝度数．(2)特殊角的弧度数与角度数对应值今后常用，应熟记． (3)在同一个角的表达式中，角度和弧度不能混合使用．1．(1)－690°化为弧度是( )A ．－5π3B ．－7π3C ．－23π6D ．－13π6(2)①18°＝________ rad ； ②67°30′＝________ rad ； ③310π rad ＝________度； ④2 rad ≈________度．(保留一位小数)解析：(1)由于1°＝π180 rad ，所以－690°＝－690×π180＝－236π.(2)①18°＝π180×18 rad ＝π10rad ；②67°30′＝67.5°＝67.5×π180 rad ＝38π rad ；③310π rad ＝310π×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝54°； ④2 rad ≈57.3°×2＝114.6°.答案：(1)C (2)①π10 ②38π ③54 ④114.6用弧度表示终边相同的角(1)把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α<2π，并推断它是第几象限角？ (2)若β∈[－4π，0]，且β与(1)中α的终边相同，求β. (链接教材P 12习题1－3T 7)[解] (1)－1 480°＝－749π＝－8π－29π＝－10π＋169π＝2×(－5)π＋169π，其中0≤169π<2π，由于169π是第四象限角，所以－1 480°是第四象限角． (2)由题意知：β＝α＋2k π＝2k π＋169π(k ∈Z )，又由于β∈[－4π，0]，所以令k ＝－1，－2得，β1＝－29π，β2＝－209π.本例(1)中的条件“－1 480°”若换为“－855°”，其他条件不变，其结论又如何呢？解：由于－855°＝－855×π180 rad ＝－19π4＝－6π＋5π4，所以－855°与5π4的终边相同．又由于5π4是第三象限角，所以－855°是第三象限角． 方法归纳(1)无论用角度制还是用弧度制来度量角，都能在角的集合与实数集R 之间建立一种一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角与它对应．(2)用弧度制表示终边相同角α＋2k π(k ∈Z )时，留意2k π是π的偶数倍，而不是π的奇数倍．2．(1)与－660°角终边相同的最小正角是________．(用弧度制表示)(2)将下列各角化成2k π＋α(0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出它们是第几象限角． ①－1 725°；②870°.解：(1)由于与角α终边相同的角为α＋k ·360°(k ∈Z )，所以与－660°角终边相同的角是－660°＋k ·360°(k ∈Z )，其中最小正角是60°，化为弧度为π3.故填π3.(2)①由于－1 725°＝－5×360°＋75°， 所以－1 725°＝－10π＋5π12.所以－1 725°与5π12的终边相同，是第一象限的角．②870°＝296π＝5π6＋4π，所以－870°与5π6终边相同，是其次象限角．扇形的弧长和面积公式的应用一条弦的长度等于半径r ，求：(1)这条弦所对的劣弧长；(2)这条弦和劣弧所组成的弓形的面积．[解] (1)如图，半径为r 的⊙O 中弦AB ＝r ，则△OAB 为等边三角形，所以∠AOB ＝π3，则弦AB 所对的劣弧长为π3r .(2)由于△AOB 是边长为r 的正三角形，所以S △AOB ＝34r 2， S 扇形OAB ＝12|α|r 2＝12×π3×r 2＝π6r 2，所以S 弓形＝S 扇形OAB －S △AOB ＝π6r 2－34r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－34r 2. 方法归纳图形的分解与组合是解决数学问题的基本方法之一．本例中，把弓形面积看成扇形面积与三角形面积的差，即可运用已有学问解决问题．3．(1)设扇形的半径长为2 cm ，面积为4 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是________． (2)解答下列各题：①已知扇形的面积为1 cm 2，它的周长为4 cm ，求它的圆心角； ②已知一扇形的圆心角是72°，半径等于20 cm ，求扇形的面积．解：(1)设扇形圆心角的弧度数为α，则扇形面积为S ＝12αr 2＝12α×22＝4，解得α＝2.故填2.(2)①设扇形的弧长为l cm ，半径为r cm ，则l ＝4－2r .由于S 扇形＝12lr ，所以12(4－2r )r ＝1.解得r ＝1，l ＝2，所以圆心角的弧度数为|α|＝lr ＝2(rad)．②设扇形弧长为l cm ，由于72°＝72×π180＝2π5rad. 所以l ＝|α|r ＝2π5×20＝8π(cm)，S ＝12lr ＝12×8π×20＝80π(cm 2)．思想方法函数思想的运用已知一个扇形的周长为a ，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求出这个最大值．[解] 设扇形的弧长为l ，半径为r ，圆心角为α， 面积为S .由已知，得2r ＋l ＝a ，即l ＝a －2r .所以S ＝12l ·r ＝12(a －2r )·r ＝－r 2＋a 2r ＝－⎝⎛⎭⎫r －a 42＋a 216.由于r >0，l ＝a －2r >0，所以0<r <a2.所以当r ＝a 4时，S max ＝a216.此时，l ＝a －2·a 4＝a 2，所以|α|＝lr ＝2.故当扇形的圆心角为2 rad 时，扇形的面积取得最大值a 216.[感悟提高] 分析题目所给的有关信息，以扇形的有关学问为载体，选择函数为模型，将实际问题转化为求函数的最值问题．运用二次函数求最值，可更快地解决问题．1．－72°的弧度数是( )A ．－π3B ．－25πC ．－5π6D ．－5π7解析：选B.－72°＝－72×π180＝－25π.2．－2312π化为角度为________．解析：－2312π＝－2312π×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝－345°.答案：－345°3．在扇形中，已知半径为8，弧长为12，则圆心角是________弧度，扇形面积是________．解析：|α|＝l r ＝128＝32 rad ，S ＝12l ·r ＝12×12×8＝48.答案：3248[A.基础达标]1．－630°化为弧度为( )A ．－7π2B ．7π4C ．－7π16D ．－7π4解析：选A.－630°＝－630×π180＝－7π2.2．若α＝－3，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．其次象限 C ．第三象限 D ．第四象限 解析：选C.由于α＝－3≈－3×57.30°＝－171.9°， 所以α的终边在第三象限．3．与角23π终边相同的角是( )A.113π B ．2k π－23π(k ∈Z )C ．2k π－103π(k ∈Z )D ．(2k ＋1)π＋23π(k ∈Z )解析：选C.选项A 中11π3＝2π＋53π，与角53π终边相同，故A 错；2k π－23π，k ∈Z ，当k ＝1时，得[0，2π)之间的角为43π，故与43π有相同的终边，B 错；2k π－103π，k ∈Z ，当k ＝2时，得[0，2π)之间的角为23π，与23π有相同的终边，故C 对；(2k ＋1)π＋23π，k ∈Z ，当k ＝0时，得[0，2π)之间的角为53π，故D 错． 4．已知扇形的周长是3 cm ，面积是12cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( )A ．1B ．1或4C ．4D ．2或4解析：选B.设扇形的半径为r ，弧长为l ， 则⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝3，12l ·r ＝12，所以⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝12，l ＝2，故|α|＝lr＝1或4.5．扇形圆心角为π3，半径为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( )A ．1∶3B ．2∶3C ．4∶3D ．4∶9解析：选B.如图，设内切圆半径为r ，则r ＝a3，所以S 圆＝π·⎝⎛⎭⎫a 32＝πa 29，S 扇＝12a 2·π3＝πa 26，所以S 圆S 扇＝23.6．在[－2π，2π]内，与α＝－11π3的终边相同的角为________．解析：与α＝－11π3终边相同的角的集合为P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫β|β＝－11π3＋2k π，k ∈Z ，令k ＝1，2，得β＝－5π3，π3.答案：－5π3，π37．将时钟拨慢了15分钟，则分针转过的弧度数是________．解析：由于时钟拨慢了15分钟，所以分针逆时针旋转了90°，即分针转过的弧度数为π2.答案：π28．火车站钟楼上有座大钟，这座大钟的分针20 min 所走的圆弧长是π3m ，则这座大钟分针的长度为________ m.解析：由于分针20 min 转过的角为2π3，所以由l ＝αr ，得r ＝l α＝π32π3＝0.5(m)，即这座大钟分针的长度为0.5 m. 答案：0.59．用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(含边界)，并推断2 014°是不是这个集合的元素．解：由于150°＝56π，所以终边落在阴影区域内角的集合为S ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫β|56π＋2k π≤β≤32π＋2k π，k ∈Z .由于2 014°＝214°＋5×360°＝107π90＋10π.又56π<107π90<3π2， 所以2 014°＝10790π＋10π∈S .10．已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解：设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，半径为r ，弧长为l ，面积为S ， 则l ＋2r ＝40，所以l ＝40－2r ，所以S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100.所以当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，这个最大值为100 cm 2，这时，θ＝l r ＝40－2×1010＝2 rad.[B.力量提升]1．若圆弧长度等于其所在圆的内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为( ) A.π3 B ．2π3 C. 3 D ．2解析：选C.如图，设圆的半径为R ，则圆的内接正三角形的边长为3R ，所以圆弧长度为3R 的圆心角的弧度数α＝3RR ＝ 3. 2．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )解析：选C.当k 为偶数时，令k ＝2n ，n ∈Z ，则集合可化为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，n ∈Z ，表示的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2区域；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则集合可化为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|2n π＋5π4≤α≤2n π＋32π，n ∈Z ，表示的范围为⎣⎡⎦⎤54π，32π区域，故选C. 3．若α＝3 rad ，则角α的终边在第________象限，与角α终边相同的角的集合可表示为________．解析：由1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°≈57.30°.所以3 rad ≈171.90°.所以α是其次象限角，与角α终边相同的角的集合为{β|β＝3＋2k π，k ∈Z }．答案：二 {β|β＝3＋2k π，k ∈Z }4．半径为3 cm ，圆心角为120°的扇形面积为________cm 2.解析：由于扇形面积为S ＝12lr ＝12αr 2，所以S ＝12·2π3·32＝3π(cm 2)．答案：3π每秒钟转π3弧5.如图，动点P ，Q 从点A (4，0)动身，沿圆周运动，点P 按逆时针方向度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求P ，Q 第一次相遇时所用的时间及P ，Q 点各自走过的弧长．解：设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t ， 则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6＝2π.解得t ＝4， 所以P ，Q 第一次相遇时所用的时间是4秒，第一次相遇时点P 已经运动到角π3·4＝43π的终边与圆交点的位置，点Q 已经运动到角－2π3的终边与圆交点的位置，所以点P 走过的弧长为43π×4＝163π，点Q 走过的弧长为⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2π3×4＝23π×4＝83π.6.(选做题)如图所示，已知一长为4 cm ，宽为3 cm 的长方形木块在桌面上做无滑动的翻滚，翻滚到第四周时被一小木块拦住，使木块底面与桌面成30°角，求点A 走过的总路程及走过的弧所在的扇形的总面积．解：木块的翻滚过程如题图所示．第一面运动时，点A 的路程为AA 1︵，其圆心角∠ACA 1＝π2，半径为5，弧长AA 1︵＝5π2，所在扇形的面积为254π；其次面翻滚时，路程为A 1A 2︵，圆心角∠A 1B 1A 2＝π2，半径为3，弧长A 1A 2︵＝3π2，所在扇形的面积为9π4；第三面翻滚时，A 点在A 2处不动；第四周翻滚时，点A 的路程为A 2A 3︵，圆心角为∠A 2D 3A 3＝π2－π6＝π3，半径为4，弧长A 2A 3︵＝4π3，所在扇形的面积为8π3，故总路程为AA 1︵＋A 1A 2︵＋A 2A 3︵＝5π2＋3π2＋4π3＝16π3(cm)，所在扇形的总面积为25π4＋9π4＋8π3＝67π6(cm 2)．。