线性相关的证明的方法
2_7向量的线性相关性
l1 l2 lm β = (- )α 1 + (- )α 2 + + ()α m ， 故 l l l 即b可由向量组a1，a2， ，am线性表示.
《线性代数》 返回 下页 结束
定理2 设向量组 a1，a2， ，am ，b 线性相关，而a1， a2， ，am线性无关，则b 可由a1，a2， ，am线性表 示，且表示式是唯一的.
练习：讨论下列向量组的线性 相关性，其中：
1 0 2 6 α1 = , α2 = , α3 = , α4 = . 0 1 2 6
解: 对于向量组，显然有
即
α3 = 2α1 + α2 , 2α1 + 1α2 + (-1)α3 = o,
例2．任何一个n维向量a=(a1, a2, , an)都是n维向量组 ε1=(1, 0, , 0)， ε 2=(0, 1, , 0)， ， ε n=(0, 0, , 1)的线性
合. 组
这是因为a=a1 ε 1+ a2 ε 2+ + an ε n .
注：向量组 ε 1， ε 2， ， ε n称为 n 维单位（或基本）向量组.
a11 D= a12 a1n
《线性代数》
an1 a22 an 2
返回
a21
(=)0 .
l2 l3 lm α 1 = (- )α 2 + (- )α 3 + + ()α m ， l1 l1 l1 即a1为a2，a3， ，am的线性组合.
充分性. 不妨设a1可由其余向量线性表示,即 a1=l2a2+l3a3+ + lmam， 则存在不全为零的数-1，l2，l3， ， lm，使 (-1)a1+l2a2+l3a3+ + lmam=o ， 即a1，a2， ，am线性相关.
3§3 线性相关性
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结束
定理2 定理2
设α1 ,α 2 ,⋯,α r 与 β1 , β 2 ,⋯, β s是两个向量组，如果 1）向量组α1 ,α 2 ,⋯,α r 可以经 β1 , β 2 ,⋯, β s 线性表 出， 2）r > s， 则向量组α1 ,α 2 ,⋯,α r 必线性相关 . 证明： 1 推论1
向量组
α i = (ai1 , ai 2 ,⋯, ain ), (i = 1,2,⋯, s )
线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组
a11x1 + a21x2 +⋯+ as1xs = 0 a x + a x +⋯+ a x = 0, 12 1 22 2 s2 s ⋯ ⋯ ⋯ a1n x1 + a2n x2 +⋯+ asn xs = 0
§3 线性相关性
定义
所谓向量 α 与 β 成比例就是说有一数k使 成比例 α = kβ. 定义9 线性组合） 定义9（线性组合） 向量 α 称为向量组 β1 , β 2 ,⋯, β s 的一个线性组合 线性组合， 线性组合 如果有数域P中的数 k1 , k2 ,⋯, ks , 使 α = k1β1 + k2 β 2 + ⋯ + k s β s . 也称向量 α 可经向量组 β1 , β 2 ,⋯, β s 线性表出 .
结束
命题1 命题
任一个n为向量α = (a1 , a2 ,⋯, an ) 都是向量组
ε1 = (1,0,⋯,0),
ε 2 = (0,1,⋯,0),
⋯⋯⋯ ε n = (0,0,⋯,1)
的一个线性组合 . 事实上， α = a1ε1 + a2ε 2 + ⋯ + anε n . 向量 ε1 , ε 2 ,⋯, ε n 称为n维单位向量 . 维单位向量
3-2-2向量组的线性相关性的判定
即, 表示式是唯一的.
设
a11 a21 as1 a12 a22 as 2 1 , 2 , , s a1n a2 n asn
a s1 a11 a21 a a a 12 22 s2 1 , 2 , , s asn a1n a2 n b b b 1 2 s
证明 由已知, 存在不全为零的数k1,k2 , …,kr, l ,使
k11+k22+ …+krr+l =0 若l =0, 则k11+k22+ …+krr=0, 矛盾. 所以l 0, 于是
β α1 α2 αr
k1 l k2 l kr l
若有: =k11+k22+ …+krr=l11+l22+ …+lrr 则有: 所以: (k1 l1)1+(k2 l2)2+ …+(krl1)r=0 k1 l1=k2 l2= …=k+ …+kss=0, 故 k1=k2= …=kr=0 所以1, 2,…, s 线性无关.
不妨设k10, 则有: α1
k2 k1
α2 α3 αs
k3 k1 ks k1
充分性:不妨设1可由2, …,s线性表示, 即存在一组 数k2,,…,ks使: 1=k22+ …+kss , 于是有 1+k22+ …+kss =0
向量组线性相关与线性无关的判定方法
V ol .32N o.5M ay 2016赤峰学院学报(自然科学版)J our nalofChi f eng U ni ver s i t y (N at ur alSci ence Edi t i on )第32卷第5期(上)2016年5月向量组线性相关与线性无关的判定方法侯雯昕(华东师范大学经济与管理学系,上海200062)摘要:向量组的线性相关性是线性代数理论的基本概念,它与向量空间、子空间等概念有密切关系,同时在解析几何以及常微分方程中有广泛应用.本文主要研究的是向量组线性相关性的判定方法,包括利用线性相关性的定义、行列式的值、矩阵的秩及齐次线性方程组的解等判定向量组的线性相关性,并比较了几种不同判定方法的适用条件.关键词:向量组;线性相关;线性无关;行列式;矩阵中图分类号:O 151.2文献标识码:A文章编号:1673-260X (2016)05-0004-02向量组的线性相关与线性无关的判定较难理解和掌握,实际上,向量组的线性相关与线性无关是相对的,只要掌握了线性相关的判定,线性无关的判定也就没有问题了.因此,本文主要论述了向量组的线性相关性的几种判定方法.1线性相关及相性无关的概念及性质1.1定义设有n 维向量组a 1,a 2,…,a n ,如果存在一组不全为零的数k 1,k 2,…,k n 使k 1a 1+k 2a 2+…+k n a n =0成立,则称向量组a 1,a 2,…,a n 线性相关;如果仅当k 1,k 2,…,k n全为0时,上式k 1a 1+k 2a 2+…+k n a n =0才成立,则称向量组a 1,a 2,…,a n 线性无关.1.2性质由向量组的概念易知向量组的线性相关性具有以下简单性质:(1)含有零向量的向量组线性相关.(2)若单个向量a ≠0,则向量组是线性无关的;相反,则向量组线性相关.(3)含有n+1个向量的n 维向量组必定线性相关.(4)向量组中一部分向量线性相关,则该向量组线性相关;若向量组线性无关,则其任一部分向量组线性无关.因此,一个向量组不是线性相关就是线性无关,为了更好的理解线性相关和线性无关,下面列出它们之间的不同点.(1)定义不同:线性相关的向量组是,存在不全为零的一组数k 1,k 2,…,k n 使k 1a 1+k 2a 2+…+k n a n =0成立而线性无关的向量组,只有当k 1=k 2=…=k n =0,才有k 1a 1+k 2a 2+…+k n a n =0成立.(2)线性表示问题:线性相关向量组中至少有一个向量能由其余n-1个向量线性表示;而线性无关的向量中任何一个向量都不能由其余n-1个向量线性表示.(3)与线性方程组的关系:若a 1,a 2…a n 线性相关,则存在不全为零的数x 1,x 2,…,x n ,使a 1x 1+a 2x 2+…+a n x n=0,即[a 1,a 2,…,a n]x 1x 2x n⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥=0或A X =0有非零解;而线性无关,则是A x=0只有零解.由此也可以看出研究向量的线性相关与方程组有着直接的关系.2向量组线性相关性的判定2.1利用定义法判定这是判定向量组的线性相关的基本方法,即给定向量组A :a 1,a 2,…,a n 如果存在不全为零的数k 1,k 2,…,k n ,使得k 1a 1+k 2a 2+…+k n a n =0成立,则称向量组A 是线性相关的.否则,如果不存在不全为零的数k 1,k 2,…,k n ,使得k 1a 1+k 2a 2+…+k n a n =0成立.也就是说,只有当k 1,k 2,…,k n 全为零,才有k 1a 1+k 2a 2+…+k n a n =0,则称向量组A 是线性无关的.例如,证明向量组β1=α1+α2,β2=α2+α3,β3=α3+α4,β4=α4+α1线性相关,则需要证明设存在4个数k 1,k 2,k 3,k 4,使得k 1β1+k 2β2+k 3β3+k 4β4=0.因此需将β1=α1+α2,β2=α2+α3,β3=α3+α4,β4=α4+α1代入上式有:k 1(α1+α2)+k 2(α2+α3)+k 3(α3+α4)+k 4(α4+α1)=0,即收稿日期:2016-03-234--. All Rights Reserved.(k 1+k 4)α1+(k 1+k 2)α2+(k 2+k 3)α3+(k 3+k 4)α4=0,取k 1=k 3=1,k 2=k 4=-1,则有k 1β1+k 2β2+k 3β3+k 4β4=0,由线性相关性的定义可知,向量组β1,β2,β3,β4线性相关.2.2利用齐次线性方程组的解判定对于各分量都给出的向量组a 1,a 2,…,a n ,若以A =[a 1,a 2,…,a n ]为系数矩阵的齐次线性方程组A X =0有非零解则此向量组a 1,a 2,…,a n 是线性相关的;若以A =[a 1,a 2,…,a n ]为系数矩阵的齐次线性方程组A X =0只有零解,则此向量组a 1,a 2,…,a n 是线性无关的.例如,判断x 1=(-1,1,1),x 2=(-2,1,2),x 3=(-1,2,-1)的线性相关性.需要令k 1x 1+k 2x 2+…+k n x n =0,即:将三组值代入后解方程组,可得k 1=0,k 2=0,k 3=0,故x 1,x 2,x 3是线性无关的.2.3利用矩阵的秩判定设向量组A :a 1,a 2,…,a m 是由m 个n 维列向量所组成的向量组,则向量组A 的线性相关性可由向量组A 所构成的矩阵A =(a 1,a 2,…,a m )的秩的大小来进行判定.(1)当R (A )=m 时,则向量组A :a 1,a 2,…,a m 是线性无关的;(2)当R (A )<m 时,则向量组A :aa 1,a 2,…,a m 是线性相关的.2.4利用行列式的值来判定(1)若向量组A :a 1,a 2,…,a m 是由m 个m 维列向量所组成的向量组,且向量组A 所构成的矩阵A =(a 1,a 2,…,a m ),即A 为m 阶方阵,则有:①当|A |=0时,则向量组A :a 1,a 2,…,a m 是线性相关的;②当|A |=0时,则向量组A :a 1,a 2,…,a m 是线性无关的.(2)若向量组A :a 1,a 2,…,a m 的个数m 与维数n 不同时,则有:①当m >n 时,则向量组A :a 1,a 2,…,a m 是线性相关的;②当m <n 时,转化为上述来进行判定,即选取m 个向量组成的m 维向量组,若此m 维向量组是线性相关的,则添加分量后,得到的向量组也是线性相关的.2.5利用反证法判定有些题目中,直接证明结论常常比较困难,而从结论的反面入手却很容易推出一些与已知条件或已知的定义、定理、公理相悖的结果,从而说明原结论成立.例如,向量组A :a 1,a 2,…,a m 中任一向量a i 不是它前面i -1个向量的线性组合,且a i ≠0,证明向量组A :a 1,a 2,…,a m 是线性无关的.可用反证法证明,假设向量组A :a 1,a 2,…,a m 线性相关,则存在不全为零的m 个数k 1,k 2,…,k m ,使得k 1a 1+k 2a 2+…+k m a m =0.由此可知,k m =0,否则由上式可得a m =k 1k m a 1-k 2k m a 3-…-k m -1k ma m -1即a m 可由它前面m -1个向量线性表示,这与题设矛盾,因此k m =0.从而有k 1a 1+k 2a 2+…k m -1a m -1=0.同理可得k m -1=k m -2=…=k 3=k 2=0,最后得到k 1a 1=0因为a i ≠0,所以k 1=0,但这又与k 1,k 2…k m 不全为零矛盾.因此,向量组A :a 1,a 2,…,a m 线性无关.2.6利用向量组在线性空间中象的线性关系判定线性空间V 中向量组a 1,a 2,…,a r 线性相关的充要条件是它们的象σ(a 1),σ(a 2)…σ(a r )线性相关.因为由k 1a 1+k 2a 2+…+k r a r =0可得k 1σ(a 1)+k 2σ(a 1)+…+k r σ(a r )=00.进而有σ(k 1a 1+k 2a 2+…+k r a r )=0.2.7利用方程组法判定方程组法就是将向量组的线性相关性问题转化为齐次线性方程组的有无非零解的问题.对于各分量都给出的向量组a 1,a 2,…,a s 线性相关的充要条件是以a 1,a 2,…,a s 的列向量为系数矩阵的齐次线性方程组的有非零解;若齐次线性方程组只有零解,则向量组线性无关.3小结本文主要对向量组线性相关性的定义以及性质进行了分析,并且给出了一些判定方法,由于向量组的线性相关性是线性代数中一个基础和重点的问题,仅限于这些讨论是远远不够的,还有待我们作进一步的研究.———————————————————————参考文献:〔1〕张禾瑞.郝鈵新.高等代数.高等教育出版社,2007.130-270.〔2〕杨燕新.王文斌.关于向量组线性相关的集中判定.山西农业大学学报,2005(8):292-294.〔3〕李先富.胡劲松.判断向量组线性相关性的另外一种方法.四川理工学报,2005(8):94-95.〔4〕肖艾平.向量组线性相关性的几种判定方法.伊犁师范学院,2008(12):58-59.5--. All Rights Reserved.。
浅谈向量组的线性相关性及判别方法
浅谈向量组的线性相关性及判别方法作者：杨付贵来源：《科学导报·学术》2020年第27期摘要：向量组的线性相关性是线性代数中十分重要的概念之一，有着极其广泛的应用。
然而，在学习线性代数中发现，在学生学习向量组的线性相关性时，感觉很抽象，学习有些吃力。
尤其是对于一般高校文科的学生以及民办高校的本专科的学生，对于向量组的线性相关性的概念很模糊，更不知如何去判别向量组的线性相关性。
本文主要根据自己多年来，在教学和学习过程中的一些经验和体会，对向量组的线性相关性及其性质，以及判别向量组的线性相关性都有那些常见的方法，进行梳理，归纳和总结。
为同学们在学习向量组的线性相关性时提供一些思路。
关键词：向量组;线性相关;线性无关;初等变换一.向量组的线性相关性及其性质和判别定理1. 向量组的线性相关性的定义定义1：如果向量组中，至少有一个向量可以被其余向量线性表示，则称向量组线性相关，否则，向量组线性无关。
定义2：如果存在一组不全为零的数，使得，则称向量组线性相关，否则，向量组线性无关。
注：定义1表明，所谓向量组线性相关，是指向量组中至少有一个向量可以用其余向量线性表示，也即存在着线性关系。
而线性无关是说向量组中的向量之间没有线性关系。
而定义2主要是用来判别向量组的线性相关性。
显然，定义1与定义2是对向量组的线性相关性的不同叙述方式，彼此之间是等价的。
2. 向量组的线性相关性的性质（1）如果向量组中只有一个向量，则当时，线性相关，当时，线性无关。
（2）如果向量组中有两个向量，则线性相关的充分必要条件是对应分量成比例。
（3）如果向量组中含有零向量，则向量组一定线性相关。
（4）维基本单位向量组线性无关。
3.向量组的线性相关性的判别定理（1）向量组线性相（无）关的充分必要条件是齐次线性方程组有非零解（只有零解）（其中）。
（2）。
（3）如果线性相关，而线性无关，则可以由线性表示，且表示式是唯一的。
（4）如果向量组中的部分向量组成的新的向量组线性相关，则原来的向量组也线性相关。
线性相关
线性回归与线性相关的区别
⑴ 资料要求不同 回归
x为选定变量 ① y正态随机变量， 随 变 选定变 ----Ⅰ型回归
② x、y服从双变量正态分布---- Ⅱ型回归 相关
⑵ 应用 ：
回归: 由一个变量值推算另一个变量的数值，说明依存变化 的数量关系。 相关: 说明变量间数值上呈现的线性趋势的密切程度和方向。
与相关系数相关的指标
lxx = ∑ ( X i − X )
i =1 n 2
离均差平方和
n lxx 1 2 2 S = (Xi − X ) = ∑ n − 1 i =1 n −1
方差
lxy = ∑ ( X i − X )(Yi − Y )
i =1
n
差乘积和
Cov( X , Y ) =
∑(X
i =1
n
散点呈椭圆形分布， x、y同时增减 x、y同时增减---正相关 正相关 （positive correlation) ； x、y此增彼减---负相关 (negative correlation) 。 散点在 条直线上 散点在一条直线上，
0
0
0 < r <1
• • •• •
•
−1 < r < 0
•
•
•
条件：连续变量X和Y都随机变动、不分主 条件 连续变量X和Y都随机变动 不分主 次，且服从双变量正态分布。 线性相关----线性关系的方向与程度
线性相关的概念
• •• • • •• • • • • • • • • •• • • • •• • • • •
• ••• • • •• • • • • •• • •• • • • • • • • • •
•
••
第四章 向量组的线性相关性总结
第四章 向量组的线性相关性§1 n 维向量概念一、向量的概念定义1 n 个有次序的数12,,,n a a a 所组成的数组称为n 维向量,这n 个数称为该向量的n 个分量,第i 个数i a 称为第i 个分量.注1分量全为实数的向量称为实向量.分量不全为实数的向量称为复向量. 注2 n 维向量可以写成一行的形式()12,,,n a a a a =,出可以写成一列的形式12n a a a a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,前者称为行向量,而后者称为列向量.行向量可看作是一个1n ⨯矩阵,故又称行矩阵;而列向量可看作一个1n ⨯矩阵,故又称作列矩阵.因此它们之间的运算就是矩阵之间的运算,从而符合矩阵运算的一切性质.向量之间的运算只涉及到线性运算和转置运算.为叙述方便,特别约定:在不特别声明时说到的向量均为列向量,行向量视为列向量的转置.注3 用小写黑体字母,,,a b αβ 等表示列向量,用,,,T T T T a b αβ表示行向量. 例1 设123(1,1,0),(0,1,1),(3,4,0)T T T v v v ===，求12v v -及12332v v v +-.解 12v v -(1,1,0)(0,1,1)T T =-(10,11,01)T =---(1,0,1)T =-12332v v v +-3(1,1,0)2(0,1,1)(3,4,0)T T T =+-(31203,31214,30210)T =⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-(0,1,2)T =定义 设v 为n 维向量的集合，如果集合v 非空，且集合v 对于加法与数乘两种运算封闭（即若α∈v,β∈v ，有α+β∈v ；若α∈v, k ∈R ，有k α∈v ），称v 为向量空间。
§2 向量组的线性相关性一、向量组的线性组合 定义3 给定向量组A :12,,,m a a a ,对于任何一组实数12,,,m k k k ,称向量1122m m a a a k k k +++ 为向量组A 的一个线性组合,12,,,m k k k 称为这个线性组合的系数.定义4 给定向量组A :12,,,m a a a 和向量b ,若存在一组实数12,,,m λλλ,使得1122m m a a a b λλλ=+++则称向量b 是向量组A 的一个线性组合,或称向量b 可由向量组A 线性表示.注1任一个n 维向量12n a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭都可由n 维单位向量组12,,,n e e e 线性表示:1122n n a a a a e e e =+++ .注2向量b 可由向量组A :12,,,n a a a 线性表示（充要条件）⇔方程组1122n n a a a x x x b +++=有解m n A x b ⨯⇔=有解()(,)R A R A b ⇔=注3 由于线性方程组的解分为：无解，有唯一解，有无穷多解三种情况，所以向量β由向量12,,,n a a a 线性表示的情形也分为三种：不能线性表示，唯一线性表示，无穷多种线性表示，且线性表示式中的系数就是对应线性方程组的解。
第4章 向量组的线性相关性 20100425 0845
α, 2 , α 1α s
若向量组(B)中每一向量都可以由向量组 (A)线性表示，则称向量组(B)可由向量 组(A)线性表示。 若向量组(A)与向量组(B)可以互相线性 表示，则称这两个向量组等价.
4-13
把向量组A和B依次记为A=(a1,a2,…,as), B=(b1,b2,…,bt)，B由A表示的线性式中 的系数构成矩阵K，则有 (b1,b2,…,bt)=(a1,a2,…,as)K 其中
例4 讨论n维单位向量组的线性相关性
1 (1,0,0), 2 (0,1,0,0),, n (0,0,,0,1)
4-15
由上章定理6，立即可得： 定理2 向量组B ：b1,b2,…,bt能由向量组 A：a1,a2,…,as线性表示的充分必要条件 是：R(A)=R(A,B) 推论 向量组B ：b1,b2,…,bt与向量组A： a1,a2,…,as等价的充分必要条件是： R(A)=R(B) =R(A,B)
4-16
4-2
一般的线性方程组可写成常数列向量与 系数列向量有如下的线性关系:
x11 x2 2 xnn
称为方程组的向量形式。其中
a1 j b1 a b 2 j ( j 1, 2, , n), = 2 j a mj bm
4-20
向量的线性表示、矩阵、线性方程 组之间的关系： 向量组B:b1,…,bl能由向量组A:a1,…,am 线 性表示存在矩阵K，使得AK=B 矩阵方程AX=B有解
4-21
第二节 向量组的线性相关
4 定义5：对于向量组1 , 2 s，如果存在一组
不全为零的数，使关系式
k11 k22 kss 0
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线性相关的证明的方法
1.0αα=⇔线性相关
2.α与β的对应分量成比例⇔α与β线性相关
3.含零向量的向量组线性相关
4.向量组12,,,n ααα⋯(M ≥2)线性相关⇔该组中至少有一个向量可由其余的m-1向量线性表示
5.部分线性相关则整体线性相关
6.设向量组12,,,n ααα⋯可由向量组12,,,n βββ⋯线性表示 （1）如果r>s,则12,,n ααα⋯线性相关 （2）如果12,,n ααα⋯线性无关，则r<s
7.该向量的秩小雨该向量个数⇔向量组线性相关
8.n 个n 维的向量管构成的行列式=0⇔向量组线性相关
注：.对12,,n ααα⋯线性相关⇔存在不全为零的数12,,,n K K ⋯K 使得
112ααK +K 0n n α+K =
1.12,,n ααα⋯线性相关⇔12,,n ααα⋯中有一向量是其余向量的线性组合。
2.设12,,n ααα⋯线性相关，其中
,,,i i i αααι=(αI ⋯K ⋯,M)则12,,r βββ⋯也线性相关，
其中,i i βαι=(αI ⋯K),ι=1,2,⋯r,k ≤m.
3.若向量组的部分向量组是线性相关的，则此向量组必线性相关
4.一个n 级行列式等于零⇔它的n 个行（列）构成的向量组线性相关
具体模式：
1. 对12,,,,n ααα⋯假设存在一组数12,,n K K ⋯K 使得110n n ααK +⋯K =
2. 利用已知条件，代人1中的向量方程，将问题转化为已知向量组的关系式来确定
12,,n K K ⋯,K 的取值关系，进一步判定12n ααα⋯，，，的线性相关
例3.1.1判断β能否由1234,,,αααα线性表示，若可以，给出线性表示式。
其中1,2,1,1β=()，11,1,1,1α=()， 21,1,-1,-1α=()， 31,-1,1,-1α=()， 41,-1,-1,1α=()。
解：考虑1234,,,αααα为系数列向量，β为常数列向量的非其次线性方程组
1234123
12341234+++=1,+4=2,+=1,+=1.
X X X X ⎧⎪X X X X ⎪⎨
X X X X ⎪⎪X X X X ⎩－－－－－－ 易求得1234-16,-20,D -4,4, 4.D D D D =====由克拉默法则，得到上述方程组的唯一解
为1X =1D D ＝542X ＝2D D ＝1
4 3X ＝3D D ＝—14 4X ＝4D D ＝—1
4
故β＝12345111
+4444
αααα－－
例
3.1.3
设向量组
1,2s ααα，，，（s ≥2）线性相关，且
1122231=+,=+,,=+,s s βααβααβαα讨论向量组12,,
s βββ的线性相
关性。
证明 设1122++
+=0,s s βββK K K 即
()()()1122231++++++=0,s s ααααααK K K 亦即
()()()11122-1++++++=0.s s s s αααK K K K K K
由题设12,,
,s ααα线性无关，可知必有
112
-1+=0,+=0,+=0.
s s s K K ⎧⎪K K ⎪⎨
⎪⎪K K ⎩ 方程组（3）的系数行列式为
1
1=00
D 011
0 00
1
000
1
100
1
1+s 2,s =1+(-1)=0,s ⎧⎨⎩为奇数，为偶数．
可见，当s 为奇数时，D=2≠0，即方程组（3）中未知量K K K １２ｓ，，必全为零，故向量组
βββ１２ｓ，，线性相关；当s 为偶数时，D=0，即存在不全为零的
K K K １２ｓ，，使(3)成立。
所以向量组βββ１２ｓ，，线性相关。
例 3.1.4设ααα１２３，，线性无关，试问常数m,k 满足什么条件时，向量组
αααααα２１３２１３ｋ－，ｍ－，－线性无关？线性相关？
解：设
ααααααX X X １２１２３１３１
３（ｋ－）＋（ｍ－）＋（－）＝０， 即
ααα１ｓ１１２２ｓ－１ｓｓ
（ｋ＋ｋ）＋（ｋ＋ｋ）＋＋（ｋ＋ｋ）＝０ 因ααα１２３，，线性无关，故X X ⎧⎪X X ⎨
⎪X X ⎩
１
３１２２３－＋＝０，ｋ－＝０，ｍ－＝０．
其系数行列式Ｄ＝ｋｍ－１．
（1） 当km-1≠0即km ≠1时，以上方程有非零解。
所以X X X １
２３＝＝＝０，故αααααα１２３２１３ｋ－，ｍ－，－线性无关.
（2） 当=0ｋｍ－１
，即=1ｋｍ时，以上方程有非零解，所以αααααα２１３２１３ｋ－，ｍ－，－线性相关.
例 3.1.5设αα１ｒ线性相关，若ααα１
ｒｒ＋１，，，线性相关，则αｒ＋１可用αα１ｒ，，线性表示.
证明 由ααα１ｒｒ＋１，
，线性相关，故存在一组不全为零的数１ｒ＋１ｋ，ｋ使得
ααα１１ｒｒｒ＋１
ｒ＋１ｋ＋＋ｋ＋ｋ＝０ 则（4）式中≠ｒ＋１ｋ０，否则若ｒ＋１ｋ＝０，则必有１ｒｋ，ｋ不全为零，有（4）有αα１ｒ，
线性相关，矛盾。
故≠ｒ＋１ｋ０，
从而 ααα１
ｒｒ＋１１ｒｒ＋１ｒ＋１
ｋｋ＝－
－－，
ｋｋ命题得证.
例3,17设βααβααβαα１１２２１２３１２＝２－，＝＋，＝－＋３．试证βββ１２３，，线性表示. 证明：显然向量组βββ１２３，，可由αα１２，线性表示，且前组所含向量的个数3大于后组所含向量的个数2.故βββ１２３，，线性相关.
例3.1.8 试求：任意m 个n 维向量组ααα１２ｍ，，，，当m>n 时，是线性相关的。
证明：因为任意n 维向量αααα１２ｎ＝（，，）可由n 维基本向量组εεε１２ｎ，，，线性表
示.
ααεαεαε１１２２ｎｎ＝＋＋＋， 故任意m 个n 维向量组ααα１２ｍ，，
可由向量组εεε１２ｎ，，，线性表示，且m>n.故
ααα１２ｍ，，线性相关.
例 3.1.9设
α１
是一个任意的4为向量，
ααα２３４＝（２，１，０，０），＝（４，１，４，０），＝（１，０，２，０），
若向量组
ββββ１２３
４，，，可由向量组αααα１２３４，，，线性表示，试证明向量组ββββ１２３４，，，可由向量组αααα１２３４，，，线性表示，试证明向量组ββββ１２３４，，，线性相关.
证明： 显然ααα３２４＝＋２，故ααα２３４，，线性相关，于是αααα１２３４，，，线性相关，故αααα１２３４，，，的一个极大线性相关组所含向量个数小于或等于3，而ββββ１２３４
，，，
均可由αααα１２３４，，，的极大线性相关组表示，前组所含向量的个数（4）大于后组所含向量的个数（≤3），故ββββ１２３４，，，线性相关.。