全国大联考2020届高三第五次联考数学(理)试题及答案

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2020届高三第五次联考·数学试卷

考生注意：

1．本试卷共150分，考试时间120分钟． 2．请将试卷答案填在试卷后面的答题卷上．

3．本试卷主要考试内容：前四次联考内容（30%），计数原理、概率与统计（40%），算法初步、推理与证明、复数（30%）．

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知复数z 满足()()5z i i --=，则z =（ ） A ．6i

B ．6i -

C ．6-

D ．6

2．已知全集U R =，集合3|01x A x x +⎧

⎫

=≤⎨⎬-⎩⎭

，{}

2|20B x x x =+->，则()U C A B =I （ ） A ．{|31}x x -≤<

B ．{|12}x x ≤<

C ．{|31}x x -≤≤-

D ．{|12}x x <≤

3．已知随机变量X 服从正态分布()4,9N b ，且()()2P X P X a ≤=≥，则a =（ ） A ．3

B ．5

C ．6

D ．7

4．国务院发布《关于进一步调整优化结构、提高教育经费使用效益的意见》中提出，要优先落实教育投入．某研究机构统计了2010年至2018年国家财政性教育经费投入情况及其在GDP 中的占比数据，并将其绘制成下表，由下表可知下列叙述错误的是（ ）

A ．随着文化教育重视程度的不断提高，国在财政性教育经费的支出持续增长

B ．2012年以来，国家财政性教育经费的支出占GDP 比例持续7年保持在4%以上

C ．从2010年至2018年，中国GDP 的总值最少增加60万亿

D ．从2010年到2018年，国家财政性教育经费的支出增长最多的年份是2012年

5．如图，在三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，现从该三棱锥的4个表面中任选2个，则选取的2个表面互相垂直的概率为（ ）

A ．

12

B ．

14

C ．

13

D ．

23

6．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）

A ．

78

B ．

158

C ．

3116

D ．

1516

7．已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次（假定费用只可能为1、2、3元）．甲、乙租车费用为

1元的概率分别是0.5、0.2，甲、乙租车费用为2元的概率分别是0.2、0.4，则甲、乙两人所扣租车费用

相同结束的概率为（ ） A ．0.18

B ．0.3

C ．0.24

D ．0.36

8．已知33a b ==r r ，且(2)(4)a b a b -⊥+r r r r ，则2a b -r r 在a r

方向上的投影为（ ）

A ．

73

B ．14

C ．

203

D ．7

9．甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人．已知：①甲不在远古村寨，也不在百里绝壁；②乙不在原始森林，也不在远古村寨；③“丙在远古村寨”是“甲在原始森林”的充分条件；④丁不在百里绝壁，也不在远古村寨．若以上语句都正确，则游玩千丈瀑布景点的同学是（ ） A ．甲

B ．乙

C ．丙

D ．丁

10．35

(1)(2)x y --的展开式中，满足2m n +=的m n

x y 的系数之和为（ ）

A ．640

B ．416

C ．406

D ．236-

11．观察下列各式：

2x y ⊗=，224x y ⊗=，339x y ⊗=，4417x y ⊗=，5531x y ⊗=，6654x y ⊗=，7792x y ⊗=，

L ，根据以上规律，则1010x y ⊗=（ ）

A ．255

B ．419

C ．414

D ．253

12．已知函数3ln ()3ln x a x f x a x x

=-+-在区间()1,+∞上恰有四个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．(,3)(3,)e +∞U

B ．[)0,e

C ．(

)

2

,e +∞

D ．(,){3}e -∞U

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中的横线上．

13．某大学A 、B 、C 、D 四个不同的专业人数占本校总人数的比例依次为3.2%、4.8%、4%、5.2%，现欲采用分层抽样的方法从这四个专业的总人数中抽取129人调查毕业后的就业情况，则D 专业应抽取_________人．

14．“六艺”源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”．某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“礼”与“乐”必须排在前两节，“射”和“御”两讲座必须相邻的不同安排种数为________． 15．已知“在ABC ∆中，

sin sin sin a b c

A B C

==”，类比以上正弦定理，“在三棱锥A BCD -中，侧棱AB 与平面ACD 所成的角为

3

π

、与平面BCD 所成的角为512π，则BCD ACD S S ∆∆=________．

16．已知抛物线2

:16C y x =的对称轴与准线的交点为M ，直线:4l y kx k =-与C 交于A ，B 两点，若

4AM BM =，则实数k =__________．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤．

17．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2

2

20a ab b --=． （1）若3

C π

=

sin B C =．