2021届高三联考数学试卷(附答案与解析)
广东省名校2021届高三联考数 学考生注意：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置。
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一．单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．在复平面内，复数)2(+i i 对应的点的坐标为（ ）．A ．)2,1(B ．)2,1(-C ．)1,2(D ．)1,2(-2．已知R 为实数集，集合)}3lg(|{+==x y x A ，}2|{≥=x x B ，则∁=)(B A R （ ）．A ．}3|{->x xB ．}3|{-<x xC ．}3|{-≤x xD ．}32|{≤≤x x 3．设R x ∈，则“1|2|<-x ”是“0322>-+x x ”的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．不充分不必要条件 4．10)1(x x-的展开式中4x 的系数是（ ）． A ．210-B ．120-C ．120D ．2105．若1>>>c b a ，且2b ac <，则（ ）．A ．a c b c b a log log log >>B ．c b a a c b log log log >>C ．a b c c a b log log log >>D ．c a b a b c log log log >>6．已知等比数列}{n a 的各项均为正数，公比为q ，且11>a ，217676>+>+a a a a ，记}{n a 的前n 项积为n T ，则下列选项错误的是（ ）．A ．10<<qB ．16>aC ．112>TD ．113>T 7．已知圆锥的高为3，底面半径为3，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积与圆锥的体积比值为（ ）． A ．35B ．932C ．34D ．925 8．已知圆1C ：1)22()3(22=-+-y x 和焦点为F 的抛物线2C ：x y 82=，点N 是圆1C 上一点，点M 是抛物线2C 上一点，点M 在1M 时，||||MN MF +取得最小值，点M 在2M 时，||||MN MF -取得最大值，则=||21M M （ ）． A ．22B ．23C ．17D ．24二．多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．）9．已知向量)1,1(=+b a ，)1,3(-=-b a ，)1,1(=c ，设a ，b 的夹角为θ，则（ ）．A ．||||b a =B ．c a ⊥C ．c b //D ．︒=135θ 10．已知函数x x x x x f 22cos cos sin 32sin )(-+=，R x ∈，则（ ）．A ．2)(2≤≤-x fB ．)(x f 在区间),0(π上只有一个零点C ．)(x f 的最小正周期为πD ．直线3π=x 是函数)(x f 图象的一条对称轴11．已知双曲线C ：12222=-by a x （0>a ，0>b ）的一条渐近线过点)23,26(P ，点F 为双曲线C 的右焦点，则下列结论正确的是（ ）． A ．双曲线C 的离心率为26B ．双曲线C 的渐近线方程为02=-y xC ．若点F 到双曲线C 的渐近线的距离为2，则双曲线C 的方程为12422=-y xD ．设O 为坐标原点，若||||PF PO =，则223=∆POF S 12．已知)(x f 是定义域为R 的函数，满足)3()1(-=+x f x f ，)3()1(x f x f -=+，当20≤≤x 时，x x x f -=2)(，则下列说法正确的是（ ）． A ．函数)(x f 的周期为4 B ．函数)(x f 的图象关于直线2=x 对称 C ．当40≤≤x 时，)(x f 的最大值为2 D ．当86≤≤x 时，)(x f 的最小值为21- 三．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 13．已知函数)(x f 为奇函数，且当0>x 时，xx x f 1)(2+=，则=-)1(f ． 14．已知正数a ，b 满足1=+b a ，则ba b 1+的最小值为 ． 15．有4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有 种．16．已知直线b kx y +=是曲线xe y =的一条切线，则b k +的取值范围是 ． 四．解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（10分）在锐角三角形ABC 中，角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，且32=c ，3)32sin(2=-πC ．⑴若22=a ，求角A ； ⑵求△ABC 面积的最大值．18．（12分）从①前n 项和p n S n +=2)(R p ∈；②116=a 且212+++=n n n a a a 这两个条件中任选一个，填至横线上，并完成解答．在数列}{n a 中，11=a ， ，其中*N n ∈． ⑴求数列}{n a 的通项公式；⑵若m n a a a ,,1成等比数列，其中*,N n m ∈，且1>>n m ，求m 的最小值． （注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分）19．（12分）已知三棱锥ABC M -中，22====AC MC MB MA ,2==BC AB ,O 为AC 的中点，点N 在边BC 上，且BC BN 32=． ⑴求证：⊥BO 平面AMC ； ⑵求二面角C AM N --的余弦值．20．（12分）在2019年女排世界杯中，中国女子排球队以11连胜的优异战绩夺冠，为祖国母亲七十华诞献上了一份厚礼．排球比赛采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有赢得至少25分，并同时超过对方2分时，才胜1局；在决胜局（第5局）采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并领先对方 2分为胜．在每局比赛中，发球方赢得此球后可得1分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得1分．现有甲乙两队进行排球比赛：⑴若前3局比赛中甲已经赢2局，乙赢1局．接下来两队赢得每局比赛的概率均为21，求甲队最后赢得整场比赛的概率；⑵若前4局比赛中甲、乙两队已经各赢2局比赛．在决胜局（第5局）中，两队当前的得分为甲、乙各14分，且甲已获得下一球的发球权．若甲发球时甲赢1分的概率为52，乙发球时甲赢1分的概率为53，得分者获得下一个球的发球权．设两队打了x （4≤x ）个球后甲赢得整场比赛，求x 的取值及相应的概率)(x P ．21．（12分）已知21,F F 分别是椭圆C ：1422=+y x 的左、右焦点． ⑴若P 是第一象限内该椭圆上的一点，4521-=⋅PF PF ，求点P 的坐标； ⑵设过定点)2,0(M 的直线l 与椭圆交于不同的两点B A ,，且AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围．22．（12分）设函数x a ax x f ln )(2--=，其中R a ∈．⑴讨论)(x f 的单调性；⑵确定a 的所有可能取值，使得xe xx f -->11)(在区间),1(+∞内恒成立（ 718.2=e 为自然对数的底数）.数学参考答案一、单项选择题：1.B 2.C 3.A 4.B 5.D 6.D 7.B 8.C 二、多项选择题：9.B,D 10.A,C,D 11.A,C 12.A,B,C 三、填空题：13. -2 14. 3 15. 36 16.(]e ，∞-17．【解】(1)由题意，得)2,0(,23)32sin(ππ∈=-C C ， 即)32,3(32πππ-∈-C ，所以332ππ=-C ，解得⋅=3πC（2分）由正弦定理，得3sin32sin 22π=A ，解得22sin =A .（4分）又a<c ，所以30π=<<C A ，所以4π=A . （6分）(2)在△ABC 中，3,32π==C c ，则由余弦定理，得c 2= a 2 +b 2-2ab cos C ， 即ab ab b a ≥-+=2212（8分）所以33sin 21≤=∆C ab S ABC （当且仅当a =b 时，即△ABC 为等边三角形时，等号成立）， 所以△ABC 的面积的最大值为33.（10分)18．【解】选择①：(1)当n =l 时，由S 1=a =1 =1，得p =0．（2分） 当2≥n 时，由题意，得21)1(-=-n S n ， （3分） 所以)2(121≥-=-=-n n S S a n n n .（5分）经检验，a 1 =1符合上式， 所以*)(12N n n a n ∈-=.（6分） (2)由a 1，a n ，a m 成等比数列，得m na a a 12=， （8分） 即)12(1)12(2-⨯=-m n .（9分）化简，得21)21(212222+-=+-=n n n m . (11分)因为m ，n 是大于1的正整数，且m >n ， 所以当n =2时，m 有最小值5．(12分)选择②：(1)由2a n +1=a n +a n+2，得a n +1- a n = a n +2- a n +1 所以数列{ a n }是等差数列．（2分）设数列{ a n }的公差为d ． 因为a 1 =1，a 6 =a 1+5d =11， 所以d =2．(4分) 所以)*(12)1(1 N n n d n a a n ∈-=-+=.(6分) (2)因为a 1，a n ，a m 成等比数列，所以m na a a 12=， （8分） 即)12(1)12(2-⨯=-m n .（9分）化简，得2121212222+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=n n n m .（11分）因为m ，n 是大于1的正整数，且m >n ， 所以当n =2时，m 有最小值5．（12分）19．(1)【证明】连接OM .在△ABC 中，22,2===AC BC B A , .,2,90AC OB BO ABC ⊥==∠∴（2分）在△MAC 中,22===AC MC MA ,O 为AC 的中点，6,且AC OM ⊥∴.（3分）在△MOB 中，22,6,2===MB OM BO ,222MB OM BO =+∴ , OM OB ⊥∴.（4分）O OM AC = ，AMC AC 平面⊂，AMC OM 平面⊂,AMC OB 平面⊥∴.（5分）(2)【解】由(1)知OB ，OC ，OM 两两垂直，以点O 为坐标原点，分别以OB ， OC ，OM 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建 立空间直角坐标系O －xyz ，如图． （6分）22====AC MC MB MA ,2==BC AB).0,2,0(),6,0,0(),0,0,2(),0,2,0(C M B A -∴（7分）)0,322,32(,32N BC BN ∴=，)0,325,32(=∴AN ,)6,2,0(=AM ,)0,0,2(=OB . 设平面MAN 的法向量为n =（x ，y ，z ）,则⎪⎩⎪⎨⎧=+=•=•=+=•⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=•.062),,()6,2,0(,032532),,(0,325,32z y z y x n AM y x z y x n AN 令3=y ，则1-=z ，35-=x ，得)1,3,35(--=n .（9分）,ABC BO 平面⊥)0,0,2(=∴OB 为平面AMC 的一个法向量．（10分）)1,3,35(--=∴n 与)0,0,2(=OB 所成角的余弦值⋅-=⨯-=⋅793527965,cos OB n（11分）∴二面角N －AM －C 的余弦值为792375 （12分）20．【解】(1)甲队最后赢得整场比赛的情况为第4局赢或第4局输第5局赢， 所以甲队最后赢得整场比赛的概率为43212121=⨯+. （4分）(2)根据比赛规则，x 的取值只能为2或4，对应比分分别为16：14，17：15．比分为16：14是两队打了2个球后甲赢得整场比赛，即打第1个球甲发球甲得分，打第2个球甲发球甲得分，此时概率为⋅=⨯=2545252)2(P （8分）比分为17：15是两队打了4个球后甲赢得整场比赛，即打第1个球甲发球甲得分，打第2个球甲发球甲失分，打第3个球乙发球甲得分，打第4个球甲发球甲得分，或打第1个球甲发球甲失分，打第2个球乙发球甲得分，打第3个球甲发球甲得分，打第4个球甲发球甲得分，此时概率为⋅=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=625725252535352535352)4(P （12分）21．【解】(1)因为椭圆方程为1422=+y x ，所以3,1,2===c b a ，可得),0,3(),0,3(21F F -设0,0)(,(>>y x y x P ,（2分）则453),3(),3(2221-=-+=--•---=•y x y x y x PF PF , 联立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+,14,472222y x y x解得⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==,23,,43,122y x x y x（4分）即⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,1P . （5分）(2)显然x=0不满足题意，可设l 的方程为2+=kx y ，（6分）),(),,(2211y x B y x A -联立,01216)41(,2,142222=+++⇒⎪⎩⎪⎨⎧+==+kx x k kx y y x（7分）由.43,012)41(4)16(222>>•+-=∆k k k 得 （8分） ⋅+=+-=+2212214112,4116k x x k k x x（9分）又∠AOB 为锐角，即0>•OB OA ，即0212>+y y x x i ，0)2()2(2121>+++kx kx x x， ,041)4(44)4116(24112)1(4)(2)1(2222221212>+-=++-+++=++++kk k k k k k x x k x x k（10分）可得42<k .又432>k ，即为4432<<k ，解得)2,23()23,2( --∈k .（12分）22．【解】(1)).0(1212)('2>-=-=x x ax x ax x f（1分） 当a ≤0时，0)('<x f ，)(x f 在),0(+∞内单调递减. （2分） 当a <0时，由0)('=x f ，有a x 21= 此时，当⎪⎭⎫⎝⎛∈a x 21,0 时，0)('<x f ，)(x f 单调递减;.当⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∈,21.a x 时，0)('>x f ，)(x f 单调递增. （4分） （2令,11)(1--=x e x x g x e x s x -=-1)(.则1)('1-=-x e x s .而当1>x 时，0)('>x s ，所以)(x s 在),1(+∞内单调递增. （5分） 又由0)1(=s ，有0)(>x s ，从而当1>x 时，0)(>x g ..当0≤a ，1>x 时，0ln )1()(2<--=x x a x f .故当)()(x g x f >在区间),1(+∞内恒成立时，必有0>a . （6分） 当210<<a 时，121>a .由(1)有0)1(21(=<⎪⎭⎫⎝⎛f a f ，而,021>⎪⎭⎫⎝⎛a g所以此时)()(x g x f >在区间),1(+∞内不恒成立. （8分） 当21≥a 时，令)1)(()()(≥-=x x g x f x h ，当1>x 时，01212111112)('2223212>+->+-=-+->-+-=-x x x xx x x x x x e x x ax x h x , 因此，)(x h 在区间),1(+∞内单调递增.又因为0)1(=h ，所以当1>x 时，0)()()(>-=x g x f x h ， 即)()(x g x f >恒成立.综上，a 的所有可能取值为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21.（12分）。
2021届(全国1卷)高三5月卫冕联考数学(文)试题(解析版)
2021届（全国1卷）高三5月卫冕联考数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}0,1,2,3,4A =，{}2log 1B x x =>，则A B =（ ）A ．{}2,3B ．{}3,4C ．{}2,4D ．{}2,3,4【答案】B【分析】首先利用对数函数的单调性求解集合B ，再利用集合的交运算即可求解． 【详解】由2log 1x >，得2x >，因为{}0,1,2,3,4A =，所以{}3,4A B =.故选：B2．复数3112i z i-=+的虚部为（ ）A ．15i - B ．15iC ．15-D ．15【答案】C【分析】根据复数的运算法则，化简复数为3155z i =-，结合复数的概念，即可求解. 【详解】由复数的运算法则，可得()()()()311211311212121255i i i iz i i i i i +--+====-+++-， 所以复数z 的虚部为15-. 故选：C .3．已知椭圆C ：2214x y m m +=+的离心率为3，则椭圆C 的长轴长为（ ）A ．B ．4C ．D ．8【答案】C【分析】根据条件先计算出c 的值，再根据离心率求解出m 的值，最后根据长轴长为.【详解】由题意知244c m m =+-=，所以2c =，=，所以8m =，所以椭圆C 的长轴长为=故选：C .4．已知某种商品的广告费支出x (单位：万元)与销售额y (单位：万元)之间具有线性相关关系，利用下表中的五组数据求得回归直线方程为ˆˆˆy bx a =+.根据该回归方程，预测当8x =时，ˆ84.8y=，则ˆb =（ ） x2 3 4 5 6 y2539505664A ．9.4B ．9.5C ．9.6D ．9.8【答案】B【分析】根据表格中的数据，求得,x y 的值，得到ˆˆ446.8b a +=，再由8x =，得到ˆˆ884.8ba +=，联立方程组，即可求解. 【详解】由已知表格中的数据，可得2523456439505664,46.855y x +++++==+++==，所以ˆˆ446.8b a +=，又由当8x =时，ˆ84.8y =，所以ˆˆ884.8b a +=，解得ˆ9.5b=. 故选：B . 5．函数()231e xx f x x x-=+的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】先分析()f x 的奇偶性，然后根据()2f 的取值正负即可判断出符合的图象. 【详解】因为()320xx xe x x e x+=+≠，所以定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，因为()()231e xx f x f x x x--==---，所以()f x 为奇函数，排除A 、B ， 又因为当2x =时，()23202e 8f =>+，排除C.故选：D .【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.6．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l 与太阳天顶距()080θθ≤≤的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长度l 等于表高h 与太阳天顶距θ正切值的乘积，即tan l h θ=.若对同一“表高”两次测量，“晷影长”分别是“表高”的2倍和3倍（所成角记1θ、2θ），则()12tan θθ-=（ ）A ．57B ．57-C ．17D ．17-【答案】D【分析】根据已知条件得出1tan θ、2tan θ的值，利用两角差的正切公式可得结果. 【详解】由题意知1tan 2θ=，2tan 3θ=，所以()121212tan tan 231tan 1tan tan 1237θθθθθθ---===-++⨯.故选：D.7．已知各项均为负数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且313a a -=，45S =-，则4a =（ ）A ．12-B ．14-C ．18-D ．116-【答案】C【分析】根据题设条件，结合等比数列的通项公式和求和公式，列出方程组，求得1,a q 的值，即可求解.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，其中10,0a q <>，因为313a a -=且45S =-，可得2113a q a -=且()41151a q q-=--，解得13q =，1278a =-或2q =-，11a =(舍去)， 所以42711838a ⎛⎫⎛⎫=-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C .8．在梯形ABCD 中，//AB CD ，4AB CD =，M 为AD 的中点，BM BA BC λμ=+，则λμ+=（ ） A ．98B ．58C ．54D ．32【答案】A【分析】连接BD ，得到1122BM BA BD =+，进而得到5182BM BA BC =+，得到,λμ的值，即可求解.【详解】连接BD ，因为M 为AD 的中点，所以1122BM BA BD =+， 因为14BD BC CD BC BA =+=+， 所以1115122482BM BA BC BA BA BC ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭，所以519828λμ+=+=. 故选：A .9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．20π16+B ．20π24+C ．24π16+D ．24π24+【答案】B【分析】根据三视图画出直观图，再计算面积即可.【详解】由三视图知，原几何体是如图所示的两个半圆柱体，则其表面积为2π222π22π⨯⨯+⨯+⨯4424420π24+⨯+⨯=+.故选：B .10．已知函数()f x 是定义域为R 的递减函数，且()()40f x f x -+=，则不等式()()231f x x f x ++-0<的解集为（ ）A ．()4,0-B ．()(),40,-∞-+∞C ．()5,1-D ．()(),51,-∞-⋃+∞【答案】D【分析】由()()40f x f x -+=得()()15f x f x -=--，则()()2310f x x f x ++-<化为()()235f x x f x +<-结合单调性即可求解解集．【详解】因为()()40f x f x -+=，所以()()4f x f x =--，()()15f x f x -=--，因为()()2310f x x f x ++-<，即()()231f x x f x +<--，即()()235f x x f x +<-，因为函数()f x 是定义域为R 的递减函数，所以235x x x +>-，解得5x <-或1x >. 故选：D11．已知函数()()π4sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭图象的一条对称轴方程为2πx =，点7π,02⎛⎫⎪⎝⎭是与直线2πx =相邻的一个对称中心，将()f x 图象上各点的纵坐标不变.横坐标伸长为原来的43倍得到函数()g x 的图象，则()g x 在2π,4π3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为（ ）A ．B ．-C ．2-D ．4-【答案】B【分析】根据相邻对称轴与对称中心间距离为4T，即可求得T ，进而可求得ω，根据7π02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，代入数据，结合ϕ的范围，即可求得ϕ值，可得()f x 解析式，根据伸缩变换的原则，可得()g x 的解析式，根据x 的范围，可得1π46x -的范围，根据正弦型函数的性质，即可求得()g x 的最小值. 【详解】由题意知，7π2π42T =-，即6πT =，所以2π16π3ω==， 因为7π02f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以17sin π032ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭， 所以17ππ32k ϕ⨯+=，k ∈Z ，即7ππ6k ϕ=-+，k ∈Z ， 因为π2ϕ<，所以π6ϕ=-，所以()1π4sin 36f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将()f x 图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的43倍得到的函数()1π4sin 46g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当2π,4π3x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，1ππ5π,4636x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以当1ππ463x -=-时，即2π3x =-时，()min g x =-故选：B.【点睛】相邻对称轴与对称中心间距离为4T ；相邻两对称轴间距离为2T；相邻两对称中心间距离为2T12．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，点A 是双曲线渐近线上一点，且1AF AO ⊥(其中O 为坐标原点)，1AF 交双曲线于点B ，且1AB BF =，则双曲线的离心率为（ ）A．4B．4CD【答案】C【分析】根据双曲线的定义和余弦定理建立关于,,a b c 的方程，从而可得双曲线的离心率．【详解】根据双曲线的对称性，不妨设点A 在第二象限，设()1,0F c -，因为1AF AO ⊥，点1F 到直线0bx ay +=的距离d b ==，所以1AF b =，因为1FO c =，所以1cos bAFO c∠=，因为1AB BF =，所以11122bBF AF ==， 由双曲线的定义可知21222bBF BF a a =+=+，在12BF F △中，由余弦定理可得22214242cos 222b bc a b AFO b c c ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭∠==⨯⨯，整理得b a =，所以c =，即离心率ce a==故选：C.【点睛】方法点睛：(1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量,,a b c 的方程或不等式，利用222b c a =-和ce a=转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．（2）对于焦点三角形，要注意双曲线定义的应用，运用整体代换的方法可以减少计算量．二、填空题13．已知实数x ，y 满足约束条件40250270x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩，则z x y =-的最大值为___________.【答案】2-【分析】作出可行域，由z x y =-，得y x z =-，平移直线y x z =-，找出使得该直线在x 轴上截距最小时对应的最优解，代入目标函数计算即可得解. 【详解】由z x y =-，得y x z =-，根据题意作出可行域如图所示，由图可知当y x z =-经过点A 时，z x y =-取得最大值，由40250x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，得()1,3A ，所以132max z =-=-.故答案为：2-.【点睛】思路点睛：本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”： （1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）； （3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14．函数()()2ln 2f x x x x =++()()1,1f 处的切线方程为___________. 【答案】420x y --=【分析】求导，求得()1f '， ()1f ，根据导函数的几何意义可得答案． 【详解】因为()2ln x f x x x x+'=+()14f '=，又因为()12f =， 所以()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程为()241y x -=-，即420x y --=.故答案为：420x y --=．15．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a =，cos sin a C c A b +=，则bc=___________.【答案】【分析】先根据正弦定理以及两角和的正弦公式求解出A 的值，再根据A 对应的余弦定理以及,a c 的关系求解出b c的值.【详解】因为cos sin a C c A b +=，由正弦定理得sin cos sin sin sin A C C A B +=， 又因为()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，所以sin sin cos sin C A A C =，又sin 0C ≠，即sin cos A A =，所以π4A =.由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-和a =，得2240b c -=，即()()0b b +-=，解得bc=舍)，故答案为：【点睛】易错点睛：利用正、余弦定理解三角形的注意事项： （1）注意隐含条件“A B C π++=”的使用；（2）利用正弦定理进行边角互化时，等式两边同时约去某个三角函数值时，注意说明其不为0.16．在长方体1111ABCD A BC D -中，12AB CC ==，点Q 为线段1CD 上一点，且1C Q ⊥平面11ACD ，则三棱锥11Q ACC -的外接球体积为___________.【分析】由线面垂直、正方形、等腰三角形的性质，若E 是1CC 的中点知E 是△1QCC 的外心，取1BB 的中点F ，易得EF ⊥平面11DCC D ，即三棱锥11Q ACC -的外接球球心在的直线EF 上，利用外接球的半径与相关线段的几何关系，求出半径，即可得外接球体积.【详解】如图所示，∵1C Q ⊥平面11ACD ，1CD ⊂平面11ACD ， ∴11C Q CD ⊥，而四边形11CC D D 为正方形， ∴Q 为1CD 的中点，则△1QCC 是等腰直角三角形，设E 是1CC 的中点，则E 是△1QCC 的外心，取1BB 的中点F ，则//EF BC ， ∵BC ⊥平面11DCC D ，则EF ⊥平面11DCC D ，∴三棱锥11Q ACC -的外接球的球心O 在直线EF 上，又122AB CC BC ==，∴()22221215123A F FC =+=>=+=，即O 在EF 的延长线上， 设OF x =，则由1OA OC =，有((2222521x x +=++，解得22x =，故222222122OC ⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭∴外接球体积为342211223π⨯=⎝⎭. 【点睛】关键点点睛：利用线面垂直及三棱锥底面为等腰直角三角形有E 是底面的外心，进而根据外接球球心与底面外接圆圆心的关系判断球心O 所在的直线，进而求出半径.三、解答题17．已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且416S =，2215a a a =.（1）求数列{}n a 的通项公式n a 和n S ； （2）若11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和n T 满足48101n T ≥，求n 的最小值. 【答案】（1）21n a n =-，2n S n =；（2）10.【分析】（1）由等差数列定义代入条件，求得首项和公差，从而求得n a 和n S ；（2）()()1111212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，进而可以裂项求和，求得n T ，令48101n T ≥，解得满足条件的最小n 值. 【详解】解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，由题意知()()121114616,4,a d a d a a d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩ 解得11a =，2d =，所以()11221n a n n =+-⨯=-，()21212n n n S n +-==.（2）由（1）得，()()1111212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，所以111111123352121n T n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪-+⎝⎭11122121nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭， 令4821101n n ≥+，得485n ≥， 又*n ∈N ，所以n 的最小值为10.【点睛】关键点点睛：等差数列相乘的倒数这类数列的求和，如本题中()()1111212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，可以通过裂项求和的方法求得前n 项和.18．为了解国内不同年龄段的民众旅游消费基本情况，某旅游网站从其数据库中随机抽取了100条客户信息进行分析，这些客户一年的旅游消费金额如下表：（1）分别估计年轻人和中老年人的旅游消费的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(精确到0.01)；（2）把一年旅游消费金额满8千元的称为“高消费”，否则称为“低消费”.（i）从这些“低消费”客户中随机选一人，估计该客户是年轻人的概率；（ii）完成22⨯列联表，并判断能否有97.5%的把握认为旅游消费高低与年龄有关.参考公式：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.附临界值表：【答案】（1）年轻人旅游消费的平均数为：4.55(千元)，中老年人旅游消费的平均数为：6.43(千元)；（2）（i）715；（ii）列联表答案见解析，有97.5%的把握认为旅游消费高低与年龄有关.【分析】（1）根据平均数公式，结合表中数据，计算即可得答案.（2）（i）求得样本中“低消费”总的客户数，再求得“低消费”的年轻人数，代入公式，即可得答案.（ii）根据题中数据，完成列联表，代入公式，即可求得2K值，查表即可得答案. 【详解】解：（1）由表格可知，年轻人旅游消费的平均数为：91097321357911 4.55404040404040⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(千元).中老年人旅游消费的平均数为：5913131191357911 6.43606060606060⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≈(千元).（2）（i）由表格可知，样本中“低消费”总客户数为10052075--=，其中“低消费”的年轻人有9109735+++=人.所以随机选一人该客户是年轻人的概率为357 7515=.（ii ）22⨯列联表如下：低消费 高消费 合计 年轻人(人) 35 5 40 中老年(人) 40 20 60 合计7525100因为()221002035540 5.556 5.024********K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有97.5%的把握认为旅游消费高低与年龄有关.19．如图所示，在多面体111ABC A B C -中，1A A ，1B B ，1C C 均垂直于平面ABC ，120ABC ∠=︒，14AA =，113BB CC ==，2AB BC ==，E ，F 分别为11AC ，AB的中点.（1）证明：//EF 平面11BCC B ； （2）求点A 到平面111A B C 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2）23【分析】（1）取AC 的中点O ，连接OE ，OF ，利用线面平行的判定定理证明//OF 平面11BCC B 及//OE 平面11BCC B ，再利用面面平面判定定理可证平面//OEF 平面11BCC B ，最后利用面面平行的性质定理即可得证//EF 平面11BCC B ；（2）由已知证明OB ⊥平面11AAC C ，即为1B 到平面11AAC 的距离，设点A 到平面111A B C 的距离为d ，由111111A A B C B AA C V V --=结合余弦定理、面积公式即可求解.【详解】解：（1）取AC 的中点O ，连接OE ，OF ，由题知，//OF BC ，BC ⊂平面11BCC B ，OF ⊂/平面11BCC B ， 所以//OF 平面11BCC B ，因为1//OE CC ，1CC ⊂平面11BCC B ，OE ⊂/平面11BCC B ， 所以//OE 平面11BCC B ， 又OE OF O ⋂=，所以平面//OEF 平面11BCC B ， 因为EF ⊂平面OEF ， 所以//EF 平面11BCC B .（2）连接OB ，由AB BC =，得OB AC ⊥， 因为1AA ⊥平面ABC ，OB ⊂平面ABC ， 所以1AA OB ⊥， 因为1AA AC A =，所以OB ⊥平面11AAC C ，作11C M AA ⊥，1ON C M ⊥，连接1B N .由1//NO BB ，1NO BB =，得四边形1BB NO 为平行四边形， 所以1//BO B N ，1B N ⊥平面11AAC C ，因为120ABC ∠=︒，2AB BC ==，所以由余弦定理得23AC = 连接1AC ，则1111143423132B AA C V -=⨯⨯⨯=， 由题意知115A B =1113AC =112B C =， 在111A B C △中，由余弦定理可得111cos 65B AC ∠=则111sin B AC ∠==111122A B C S ==△， 设点A 到平面111A B C 的距离为d ，则由111111A A B C B AA C V V --=，得123d ⨯⨯=，解得d =【点睛】思路点睛：（2）问中转换三棱锥的顶点，利用等体积法求点到面的距离是一种常见的思路.20．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，点M 在第一象限且为抛物线C 上一点，点()5,0N 在点F 右侧，且△MNF 恰为等边三角形. （1）求C 的方程；（2）若直线l ：x ky m =+与C 交于A ，B 两点，120AOB ∠=︒(其中O 为坐标原点)，求实数m 的取值范围.【答案】（1）24y x =；（2）40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦.【分析】（1）由中点公式及抛物线定义有524M p x =+、2M pMF x =+，根据等边三角形有NF MF =即可求p ，写出抛物线方程.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与抛物线方程，应用韦达定理求1212,y y y y +，进而可得12x x +、12x x ，由120AOB ∠=︒，利用向量夹角的坐标表示，列方程求参数范围即可.【详解】（1）由题意知：1552224M p p x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，52pNF =-， 由抛物线的定义知：2M pMF x =+，由NF MF =，得2p =， ∴抛物线C 的方程为24y x =.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由24y xx ky m⎧=⎨=+⎩，得2440y ky m --=，216160k m ∆=+>，∴121244y y k y y m+=⎧⎨=-⎩，而()21212242x x k y y m k m +=++=+，222121244y y x x m =⋅=，又120AOB ∠=︒，即cos OA OB AOB OA OB⋅∠=⋅==212==-，∴240m m -<且()2224416816m m k m -=+++，∴220434048160m m m k <<⎧⎨-+=≥⎩，得403m <≤，即m 的取值范围为40,3⎛⎤⎥⎝⎦. 【点睛】关键点点睛：第二问，设点坐标，联立直线与抛物线方程，应用韦达定理并结合向量夹角的坐标表示，列关于m 的方程求参数范围.21．已知函数()2112xf x xe mx mx =++-. （1）当0m =时，求()f x 的极值； （2）当2m >-时，讨论()f x 的零点个数. 【答案】（1）极小值11e--，无极大值；（2）答案见解析. 【分析】（1）当0m =时，求得()()1xf x x e '=+，根据导数的符号求得函数的单调，进而求得函数的极值；（2）求得函数的导数()()()1xf x x e m '=++，（i ）当0m =时，单调()f x 仅有一个零点；（ii ）当0m >时，根据()()min 10f x f =-<和()10f >，得到以()f x 在()1,-+∞内有1个零点；再()x g x xe =，利用导数求得单调性，得到()()1g x g ≥-，进而化简函数，得到()21112f x mx mx e ≥-++-，得出()f x 在(),1-∞-内有1个零点，所以()f x 有两个零点；（iii ）当20m -<<时，求得()0f x '=的根据，分()ln 1m -<-、()ln 1m -=-和()ln 1m ->-三种情况讨论，结合单调性与极值，得到()f x 仅有1个零点，即可求解.【详解】（1）当0m =时，函数()1xf x xe =-，可得()()1xf x x e '=+，令()0f x '<，可得1x <-；令()0f x '>，可得1x >-，所以()f x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增， 当1x =-时，()f x 取得极小值11e--，无极大值. （2）由题得，()()()()11x xf x x e mx m x e m '=+++=++.（i ）当0m =时，()1xf x xe =-，当0x ≤时，()0f x <，又()f x 为()0,∞+上的增函数，且()1e 10f =->，所以()f x 仅有一个零点； （ii ）当0m >时，0x e m +>，当1x <-时，可得()0f x '<，()f x 为减函数； 当1x >-时，可得()0f x '>，()f x 为增函数，所以()()min 11102mf x f e =-=---<， 因为()3111022m f e m e m =++-=+->，所以()f x 在()1,-+∞内有1个零点. 令()xg x xe =，则()()1xg x x e '=+，所以()g x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增，所以()()11g x g e ≥-=-，所以()221111122xf x xe mx mx mx mx e =++-≥-++-，因为0m >，所以当x 趋近于-∞时，2111e 2mx mx -++-的值趋近于+∞，所以()f x 在(),1-∞-内有1个零点，所以()f x 有两个零点： （iii ）当20m -<<时，由()0f x '=，得1x =-或()ln x m =-， ①若()ln 1m -<-，即10m e-<<， 则当()ln x m <-时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当()ln 1m x -<<-时，()0f x '<，()f x 单调递减： 当1x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增. 而()()()()2ln ln 102m f m m -=--<，()33111022f e m e e =+->-->，此时，函数()f x 仅有一个零点. ②若()ln 1m -=-，即1m e=-. 则()0f x '≥，()f x 为R 上的增函数，因为()010f =-<，()31102f e m =+->，此时()f x 仅有一个零点. ③若()ln 1m ->-，即12m e-<<-，则当1x <-时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当()1ln x m -<<-时，()0f x '<，()f x 单调递减： 当()ln x m >-时，()0f x '>，()f x 单调递增. 因为12m e -<<-，则()11102m f e -=---<，()222410f e m =+->. 此时()f x 仅有1个零点.综上，当20m -<≤时，()f x 只有1个零点； 当0m >时，()f x 有两个零点.【点睛】利用函数的导数研究函数的零点问题的常用方法与策略：1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从()f x 中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围. 22．在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为sin cos 1sin cos x y αααα=+⎧⎨=+-⎩(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为πsin 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）若点P 的直角坐标为()3,1-，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求11PA PB+的值.【答案】（1）()2212x y +-=，20x y +-=；（2【分析】（1）因为α为参数，则()()()22221sin cos sin cos x y αααα+-=++-，计算化简，即可得曲线C 的普通方程，由两角和的正弦公式展开得：sin cos 2ρθρθ+=，根据cos x ρθ=，sin y ρθ=，代入即可得直线l 的直角坐标方程.（2）由（1）可得直线l 的倾斜角，设出直线l 的参数方程，代入到曲线C 的直角坐标方程，可得关于t 的一元二次方程，设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，根据韦达定理，可得12t t +，12t t 表达式，结合t 的几何意义，即可得答案. 【详解】解：（1）由曲线C 的参数方程，得()()()22221sin cos sin cos x y αααα+-=++-，因为()()22sin cos sin cos 2αααα++-=，所以曲线C 的普通方程为()2212x y +-=.由πsin 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin cos 2ρθρθ+=. 因为cos x ρθ=，sin y ρθ=.所以直线l 的直角坐标方程为20x y +-=.（2）由（1）可得直线l 的斜率为-1，则倾斜角为34π， 设直线l的参数方程为312x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数，t ∈R )， 将直线l 的参数方程代入曲线C的普通方程，整理得2110t -+=，0∆>， 设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t .所以12t t +=1211t t =，则1t ，2t 同正.所以121212111111t t PA PB t t t t ++=+==. 【点睛】解题的关键是熟练掌握参数方程、极坐标方程化为普通方程的方法，并灵活应用，易错点为，应用t 的几何意义时，若出现12t t +时，需检验12,t t 是否同号，若120t t >，则1212t t t t +=+，若120t t <，则1212t t t t +=-=23．已知函数()722f x x x =+++. （1）求不等式()8f x ≥的解集；（2）已知()f x 的最小值为m ，且正实数a 、b 、c 满足a b c m ++=，证明：9≤.【答案】（1）(]1,3,3⎡⎫-∞-⋃-+∞⎪⎢⎣⎭；（2）证明见解析.【分析】（1）分7<-x 、71x -≤<-、1x ≥-三种情况解不等式()722f x x x =+++，综合可得出原不等式的解集；（2）求得()min 6m f x ==，可得6a b c ++=，利用柯西不等式可证得原不等式成立. 【详解】（1）当7<-x 时，由()()()722398f x x x x =-+-+=--≥，得173x ≤-，所以7<-x ；当71x -≤<-时，由()()72272258f x x x x x x =+++=+-+=-+≥，解得3x ≤-，所以73x -≤≤-；当1x ≥-时，由()722398f x x x x =+++=+≥，得13x ≥-，所以13x ≥-. 故不等式()8f x ≥的解集为(]1,3,3⎡⎫-∞-⋃-+∞⎪⎢⎣⎭；（2）由（1）得，()39,75,7139,1x x f x x x x x --<-⎧⎪=--≤<-⎨⎪+≥-⎩，当7<-x 时，()3912f x x =-->；当71x -≤<-时，()(]56,12f x x =-∈； 当1x ≥-时，()396f x x =+≥.所以当1x =-时，()min 6m f x ==，6a b c ++=. 因为6a b c ++=，所以41414127a b c +++++=. 由柯西不等式可得第 21 页 共 21 页 ()()()()2222414141111a b c ⎡⎤+++++⋅++≥⎣⎦.所以2273≤⨯，9，当且仅当a b c ==时等号成立.【点睛】方法点睛：根据柯西不等式的结构特征，利用柯西不等式对有关不等式进行证明，证明时，需要对不等式变形，使之与柯西不等式有相似的结构，从而应用柯西不等式．。
全国卷2021年3月高三数学(理)联考试题答案解析卷
96
6
30 ， 36 ， 48 ，此时盛水筒有 5 次经过水平面，选项 C 正确；
当t
50 时， h
4
sin
9
50 6
2
4 sin
97 18
2
2 ，所以选项 D 错误，
故选：C．
【点睛】方法点睛：1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成 y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式．
2．函数
，
i
31
4
，继续循环，
…….由此推出第
n
次循环
S
1
1 3
1 3
1 7
1 2n 1
1 2n1 1
1
1 2n1 1
.
令1
1 2n1
1
1022 1023
，解得
n
9
，此时
i
9
1
10
，满足条件，退出循环，所以判断框中应填“
i
10
?
”，
故选：A.
9．已知数列 an 的前 n 项和 Sn 满足 2Sn nan 3n n N * ，且 S3 15 ，则 S10 （ ）
y＝Asin(ωx＋φ)和
y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为 T
2
，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为 T
.
3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令 t＝ωx＋φ，将其转化为研究 y＝sin t 的性质．
11．已知点
F1
、
F2
是椭圆
x2 a2
y2 b2
【分析】由换底公式以及对数函数与指数函数的单调性可判断大小关系.
【详解】根据换底公式
2021届四川省成都市蓉城名校联盟高三第一次联考数学(理)试题(解析版)
2021届四川省成都市蓉城名校联盟高三第一次联考数学（理）试题一、单选题1．已知全集为实数集R ，集合{}=04A x x ≤≤，{}28150B x x x =-+>，则()AB =R（ ）A ．[]4,5B ．[]0,3C ．[]3,4D ．()3,4【答案】C【分析】由一元二次不等式解得集合B,根据补集的定义求出B R，根据交集的定义，计算求得结果.【详解】由281503x x x -+>⇒<或5x >，则[]3,5RB =，则()[]3,4R A B ⋂=,故选：C.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，考查补集、交集的运算，属于基础题. 2．已知复数21z i=-，则z =（ ）A ．1BCD ．2【答案】B【分析】先对复数化简，再利用模的公式求解即可【详解】由()()()()22121211111i i z i i i i i ++====+--+-，则z =故选：B【点睛】此题考查复数的运算，考查复数的模的计算，属于基础题 3．命题:p “0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin tan x x <”的否定p ⌝为（ ） A ．0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin tan x x ≥B ．0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin tan x x > C ．00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，00sin tan x x ≥ D ．00,2x π⎛⎫∃∉ ⎪⎝⎭，00sin tan x x ≥ 【答案】C【分析】全称命题的否定：将∀→∃，否定结论即可.【详解】由原命题p 可知：其否定为0:0,2p x π⎛⎫⌝∃∈ ⎪⎝⎭，00sin tan x x ≥. 故选：C【点睛】本题考查了全称命题的否定，属于简单题.4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3a ，7a 是方程28130x x --=的两根，则9S =（ ） A ．36 B ．40 C ．72 D ．80【答案】A【分析】由根与系数的关系可得378a a +=，再利用等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质可求得结果【详解】因为3a ，7a 是方程28130x x --=的两根， 所以378a a +=， 所以()()19379993622a a a a S ++===， 故选：A【点睛】此题考查等差数的性质的应用，考查等差数列的前n 项和公式的应用，属于基础题5．已知311tan 4e dx x πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭⎰，则2sin cos cos sin αααα+=-（ ） A ．4- B ．4 C ．5 D ．5-【答案】D【分析】由定积分得tan 34πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭可得tan 2α=，再由2sin cos 2tan 1cos sin 1tan αααααα++=--即可求解. 【详解】由()()()331311ln ln ln13e e dx x C e C C x⎰=+=+-+=，则tan 1tan 341tan πααα+⎛⎫+==- ⎪-⎝⎭，则tan 2α=，由2sin cos 2tan 15cos sin 1tan αααααα++==---故选：D.【点睛】本题考查定积分的计算，三角函数的诱导公式的应用及正余弦齐次式计算，属于基础题.6．已知随机变量X 服从二项分布()4,B p ，其期望()3E X =，随机变量Y 服从正态分布()1,2N ，若()0P Y p >=，则()02P Y <<=（ ） A ．23B ．34C ．14D ．12【答案】D【分析】由()3E X =得到p ，根据正态分布的性质再由()0P Y >得到()01P Y <<及()02P Y <<可得答案.【详解】由()3434E X p p ==⇒=，则()304P Y >=，则()31101424P Y <<=-=，则()()1022012P Y P Y <<=<<=，故选：D.【点睛】本题考查二项分布的期望与正态分布的概率，属于基础题 。
2021届河南省六市高三第一次联考数学(理)试题(解析版)
2021届河南省六市高三第一次联考数学（理）试题一、单选题1．集合2101x A xx ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，集合B x y ⎧⎪==⎨⎪⎩，则集合A B 等于（ ） A ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．()1,-+∞C ．()1,1-D ．[)1,-+∞【答案】C【分析】化简集合,A B ，根据集合的并集运算可得结果.【详解】2101x A xx ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭1{|1}2x x =-<≤，由011x <-≤得01x ≤<，所以{|01}B x x =≤<， 所以 A B {|11}x x =-<<.故选：C2．已知i 是虚数单位，复数z 满足211i i z，则z 等于（ ）A B ．2C ．1D 【答案】A【分析】先化简计算求出z ，即可求出z .【详解】211i i z，()()()()()21212111111i i i iz i i i ii i i ----∴====--=--+++-，z ∴==.故选：A.3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1530S =，104a ，则9a 等于A ．2B ．3C ．4D ．8【答案】B【分析】根据1530S =，可算出8a ，又104a ，根据等差中项的性质求解即可【详解】由158815302S a a ==⇒=，又104a ，98109263a a a a =+=⇒=答案选B【点睛】本题考查等差数列基本量的求法，常规思路为求解首项和公差，本通解题思路运用了()2121n n S n a -=-和等差中项的性质，简化了运算4．为了得到函数()sin 2g x x =的图象，需将函数()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（ ）A ．向左平移π6个单位长度 B ．向右平移π12个单位长度 C ．向左平移5π12个单位长度，D ．向右平移5π12个单位长度【答案】D【分析】根据诱导公式将函数()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭化为5()sin 2()12f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据三角函数的图象变换规律可得答案. 【详解】因为函数()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭5sin 2sin(2)66x x πππ⎛⎫⎛⎫=--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5sin 2()12x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以将5()sin 2()12f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移512π可得函数()sin 2g x x =的图象. 故选：D 5．132，2log 6，33log 2的大小关系是（ ）A ．13232log 63log 2<<B ．133223log 2log 6<<C ．13323log 22log 6<< D ．13323log 2log 62<< 【答案】B【分析】根据对数函数和指数函数的单调性，判断这三个数所在的大致范围，即得大小关系. 【详解】11323222<<，33333log 2log 422=>，3333log 2log 8log 92=<=，22log 6log 42>=， 133223log 2log 6∴<<.故选：B .【点睛】本题考查指数函数和对数函数的单调性，属于基础题.6．41(1)2x x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数是（ ） A ．10 B ．2C ．14-D ．34【答案】C【分析】将二项式变形为()()()84411112x x x x x x -+⎛⎫-++=⎪⎝⎭，利用二项式定理求得()()811x x -+的展开式中5x 的系数，进而可得解.【详解】由题意，()()()()4842411112121x x x x x x x x x x -+⎛⎫++⎛⎫-++=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因此，只需求()()811x x -+的展开式中 5x 的系数. 又()81x +的展开式的通项公式为818rrr T C x-+=⋅，且()()()()8881111x x x x x -+=+-+，所以，()()811x x -+的展开式通项为11,188rrkk r k T C x C x+++=⋅-⋅，令515r k =⎧⎨+=⎩，得54r k =⎧⎨=⎩，因此，()4112x x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数是548814C C -=-.故选：C.【点睛】本题考查利用二项式定理求指定项的系数，考查计算能力，属于中等题. 7．函数()21sin 1xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的部分图象大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【分析】判断函数的奇偶性，再根据指数函数的性质和正弦函数的性质，用特殊值法进行判断即可.【详解】()211sin sin 11x x xe f x x x e e -⎛⎫=-=⋅ ⎪++⎝⎭，显然定义域为全体实数集， 因为()()11sin()(sin )sin 1111x x xx x xe e ef x x x x f x e e e-----=⋅-=⋅-=⋅=+++-， 所以该函数是偶函数，图象关于纵轴对称，因此排除B 、D ，当0x >时，有1x e >，因此当(0,)x π∈时，sin 0x >，所以当(0,)x π∈时，()0f x <， 显然选项A 不符合，选项C 符合， 故选：C8．如图，在棱长为1正方体1111ABCD A B C D -中，M 为棱AB 的中点，动点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，总有1AP D M ⊥，则动点P 的轨迹的长度为（ ）A ．22B ．5 C ．π16D ．3 【答案】A【分析】分别取BC 、1BB 的中点E 、F ，连EF ，利用线面垂直的判定定理和性质可证动点P 的轨迹是线段EF ，求出EF 的长度即可得解.【详解】如图：分别取BC 、1BB 的中点E 、F ，连,,AE AF EF ，1,A M DM ，1A F ，因为M 为AB 的中点，E 为BC 的中点，ABCD 为正方形，所以DM AE ⊥， 又1D D ⊥平面ABCD ，所以1D D AE ⊥，而1DM D D D =，所以AE ⊥平面1D DM ，所以1D M AE ⊥，同理可得1D M AF ⊥，又AE AF A ⋂=，所以1D M ⊥平面AEF ， 因为AP ⊂平面AEF ，所以1AP D M ⊥，因为动点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，所以动点P 的轨迹是线段EF ，而22EF =，所以动点P 的轨迹的长度为22. 故选：A【点睛】关键点点睛：作出并证明动点P 的轨迹是本题解题关键，分别取BC 、1BB 的中点E 、F ，连EF ，则线段EF 即为动点P 的轨迹，利用线面垂直的判定定理和性质即可得证.9．已知抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，01,2M x ⎛⎫⎪⎝⎭为该抛物线上一点，若以M 为圆心的圆与C 的准线相切于点A ，120AMF ∠=︒，过F 且与y 轴垂直的直线l 与C 交于G ，H 两点，0P 为C 的准线上的一点，则0GHP △的面积为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．9【答案】D【分析】根据题意得0x p =，进而将问题转化为在Rt ABF 中，解三角形求得3p =，再根据通经得26GH p ==，进而根据等面积法求解即可. 【详解】解：如图，由抛物线的定义得：12pMA MF +==，//MA y 轴， 因为01,2M x ⎛⎫⎪⎝⎭为该抛物线上一点，所以0x p =，所以AB p =，因为120AMF ∠=︒，所以30,60MFA MAF MFB ∠=∠=∠=， 因为在Rt ABF 中，30AFB ∠=，BF p =， 所以由三角函数关系得：tan AB AFB BF∠=，即：tan 30p=，解得3p =， 此时26GH p ==，所以0GHP △的面积为1163922BGH S S GH BF ===⨯⨯=△. 故选：D.【点睛】本题考查抛物线与直线的位置关系，考查数形结合思想，运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据已知条件，将问题转化为直角三角形ABF 中，利用边角关系求解得3p =.10．二进制是计算机技术中广泛采用的一种数制．二进制数据是用0和1两个数码来表示的数．它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则“借一当二”．当前的计算机系统使用的基本上是二进制系统，计算机中的二进制则是一个非常微小的开关，用1来表示“开”，用0来表示“关”．如图所示，把十进制数()1010化为二进制数21010（）,十进制数()1099化为二进制数()21100011，把二进制数210110（）化为十进制数为304211202121202164222⨯⨯⨯⨯⨯++++=++=，随机取出1个不小于2100000（），且不超过()2111111的二进制数，其数码中恰有4个1的概率是A ．932B ．931C ．1031D ．516【答案】D【分析】利用古典概型的概率公式求解. 【详解】二进制的后五位的排列总数为52=32， 二进制的后五位恰好有三个“1”的个数为35=10C ， 由古典概型的概率公式得1053216P ==. 故选D【点睛】本题主要考查排列组合的应用，考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.11．在三棱锥A BCD -中，4AB CD ==，3AC BD AD BC ====，则该三棱锥的内切球的表面积为（ ） A ．4π5B ．17πC ．3π2D ．3π4【答案】A【分析】将该三棱锥还原到长方体中，根据已知求出长宽高，求出三棱锥体积，再利用内切球的半径表示出体积，即可求出半径，得出表面积.【详解】由题可将该三棱锥还原到如图长方体中，设长方体的长宽高分别为,,a b a ，则22222234a b a a ⎧+=⎨+=⎩，解得22,1a b ==， 11822122422122323D ABC V -∴=⨯⨯⨯⨯⨯=，设内切球的半径为r ，则()1833D ABC ABC ABD BCD ACD V r S S S S-=+++=， 221432252ABCABDBCDACDSS SS====⨯-=，则1825433r ⨯⨯=，解得55r =， 则内切球的表面积为254455ππ⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查几何体的内切问题，解题的关键是将几何体还原到长方体中，立体等体积关系求出内切球半径. 12．若函数()()3ln 2ln 1x f x ax x a x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．22410,44e e e ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭B ．22411,44e e e ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭C ．()22410,11,44e e e ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭ D ．()22410,144e e e ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭【答案】B【分析】令()0f x =，可得()22ln 210ln x x a a x x+--=，令2ln x t x =，可得()2210t at a +--=，令()()221h t t at a =+--，令()2ln xg x x=，其中0x >且1x ≠，作出函数()t g x =的图象，根据函数()y f x =有三个零点可得出()2210t at a +--=的两根的取值范围，利用二次函数的零点分布得出关于实数a 的不等式组，可求得实数a 的取值范围. 【详解】()()3ln 2ln 1x f x ax x a x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，则()11f a =-.令()0f x =，可得()22ln 210ln x x a a x x+--=，令2ln x t x =，则120a a t t-+-=，即()2210t at a +--=，设()()221h t t at a =+--， 构造函数()2ln xg x x =，其中0x >且1x ≠， 则()212ln xg x x-'=，令()0g x '=，得x e =， 列表如下：x()0,1()1,ee(),e +∞()g x ' ++-()g x单调递增单调递增极大值12e单调递减函数()t g x =（0x >且1x ≠）的图象如下图所示：由于函数()y f x =有三个不同的零点，而关于t 的二次方程()2210t at a +--=至多有两个根.当关于t 的二次方程()2210t at a +--=有两根时，设这两根分别为1t 、2t ，则10t <，2102t e<<，此时，()()()2010111210222h a h a a e e e ⎧=--<⎪⎨⎛⎫⎛⎫=+⋅-->⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得2241144e a e e +<<-； 若1a =，则()10f =，关于t 的二次方程为220t t +=，两根分别为10t =，22t =-，()0g x =在0x >且1x ≠时无实根，()2g x =-只有一个实根，此时，函数()y f x =只有两个零点，不合乎题意.综上所述，实数a 的取值范围是22411,44e e e ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭.故选：B.【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点个数问题，将问题转化为复合函数的零点问题是解答的关键，考查数形结合思想的应用，属于难题.二、填空题13．已知向量(1,2)a =，(,1)b k =，且2a b +与向量a 的夹角为90°，则向量a 在向量b 方向上的投影为________.【分析】由题可知()20a b a +⋅=,依据数量积的坐标公式可求出k ,即求出向量b ,从而得到向量a 在向量b 方向上的投影为cos ,a b a a b b⋅⋅<>=.【详解】因为向量(1,2)a =,(,1)b k =, 则2(2,5)a b k +=+,又2a b +与向量a 的夹角为90°, 所以()20a b a +⋅=,即2100k ++=, 解得12k =-,即(12,1)b =-,因此向量a 在向量b方向上的投影为cos ,145a b aa b b⋅⋅<>===,故答案为. 【点睛】本题综合考查了数量积的坐标运算及投影的求法,难度不大.14．已知实数x ，y 满足220330240x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则3z x y =-的最小值为______．【答案】7-【分析】由约束条件得到可行域，将问题转化为133zy x =-在y 轴截距最大问题的求解，利用数形结合的方式可求得结果.【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：将3z x y =-化为133z y x =-，则当z 取最小值时，133zy x =-在y 轴截距最大， 由图象可知：当133zy x =-过A 时，直线在y 轴截距最大，由330240x y x y --=⎧⎨-+=⎩得：23x y =⎧⎨=⎩，()2,3A ∴， min 297z ∴=-=-.故答案为：7-.【点睛】方法点睛：线性规划问题中几种常见形式有： ①截距型：z ax by =+，将问题转化为a z y b b=-+在y轴截距的问题； ②斜率型：y bz x a-=-，将问题转化为(),x y 与(),a b 连线斜率的问题； ③两点间距离型：()()22z x a y b =-+-，将问题转化为(),x y 与(),a b 两点间距离的平方的问题；④点到直线距离型：z Ax By C =++，将问题转化为(),x y 到直线0Ax By C ++=的22A B +倍的问题.15．设正数数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n S 的前n 项之积为n T ，且21n n S T +=，则数列{}n a 的通项公式是______．【答案】()()21134241n n a n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪-⎩【分析】由递推关系可得()1122n n S n S -=≥-，求出{}n S 前几项，可猜想出2121+n n S n -=，再加以验证，利用()()1112n nn S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩即可求出. 【详解】当1n =时，1121S T +=，即1121S S +=，则113S =， 当2n ≥时，21n n S T +=，1121n n S T --∴+=，则1112121n n n n n n n T T S S T T S ----===-，整理可得()1122nn S n S -=≥-， 则可得113S =，235S =，357S =，479S =， 则猜想2121+n n S n -=，代入112n n S S -=-检验得1112123221221+n n n S n S n n --===----，满足猜想，()21121+n n S n n -∴=≥， 1113a S ∴==，当2n ≥时，1221234212141+n n n n n a S S n n n ---=-=-=--，∴()()21134241n n a n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪-⎩.故答案为：()()21134241n n a n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪-⎩. 【点睛】关键点睛：本题考查利用递推关系求数列得通项公式，解题的关键是根据递推关系先得出()1122n n S n S -=≥-，利用猜想得出2121+n n S n -=.16．已知直线l：0x -=交双曲线Γ：()222210,0x y a b a b-=>>于A ，B 两点，过A 作直线l 的垂线AC 交双曲线Γ于点C ．若60ABC ∠=︒，则双曲线Γ的离心率为______．【分析】联立直线x =和双曲线方程可得A ，B 的坐标，以及||AB ，直角三角形的性质可得|||AC AB ，设出直线AC 的方程，联立双曲线方程，运用韦达定理可得C 的横坐标，由弦长公式，化简计算可得a b =，进而得到所求离心率．【详解】解：联立直线x =和双曲线方程可得2222233a b x b a =-，222223a b y b a =-，可设A ，可得||2||AB OA ==在直角三角形ABC 中，60ABC ∠=︒，可得|||AC AB =，设直线AC 的方程为y =+，代入双曲线方程可得42222222216(3)03a b b a x a b b a -+--=-，可得C x +=即有|||C A x x -==，可得2223(||23ab AC b a ==-，即为2222|3|a b b a +=-，可得a b =，c e a ===．【点睛】本题考查双曲线的方程和运用，考查直线和双曲线的位置关系，以及联立方程组，运用韦达定理，考查化简运算能力．三、解答题17．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin bC a-=tan cos A C -． （1）求角A 的大小；（2）若b =，2c =，点D 在边BC 上，且2CD DB =，求a 及AD ．【答案】（1）π4A =；（2）a =，AD =【分析】（1）由正弦定理化边为角，()sin sin sin tan cos C B A C A C -=-，再化简计算即可求出cos 2A =（2）由余弦定理求得a =，求得cos 10B =-，由题得出33a BD ==，再由余弦定理即可求出AD .【详解】解：（1）由正弦定理，()sin sin sin tan cos C B A C A C -=-，()()sin sin sin tan cos C A C A C A C -+=-，2sin sin cos cos sin sin sin cos cos AC A C A C C A C A --=-，∵sin 0C ≠，∴2sin cos cos AA A+=∴cos A =0πA <<，∴π4A =．（2）由余弦定理可得：2222cos 1841210a b c bc A =+-=+-=，∴a =，∵点D 在边BC 上，且2CD DB =，∴3a BD ==，又222cos 210a cb B ac +-==-，∴222582cos 9AD AB BD AB BD B =+-⋅⋅=，∴3AD =． 【点睛】关键点睛：本题考查正余弦定理的应用，解题的关键是正确利用正弦定理化边为角处理条件，再结合三角恒等变换化简运算.18．如图，在四棱锥A BCFE -中，四边形EFCB 为梯形，//EF BC ，且2EF BC =，ABC 是边长为2的正三角形，顶点F 在AC 上的射影为点G ，且3FG =，212CF =，52BF =．（1）求证：平面FGB ⊥平面ABC ； （2）求二面角E AB F --的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）1517． 【分析】（1）取AC 中点O ，连结OB ，利用勾股定理可求得BG 长，从而得到FG BG ⊥，由线面垂直的判定可证得FG ⊥平面ABC ，由面面垂直的判定定理可证得结论； （2）根据垂直关系，以O 为原点可建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得所求二面角的余弦值.【详解】（1）取AC 中点O ，连结OB ，顶点F 在AC 上投影为点G ，∴FG AC ．在Rt FGC △中，3FG =21CF =，32CG ∴=，12OG ∴=. ABC 为等边三角形，O 为AC 中点，BO AC ∴⊥在Rt GBO △中，3OB =12OG =，13BG ∴=． 222BG GF FB +=，FG BG ∴⊥．FG AC ⊥，AC BG G ⋂=，,AC BG ⊂平面ABC ，FG ∴⊥平面ABC ，又FG ⊂平面FGB ，∴平面FGB ⊥平面ABC .（2）由（1）知：OB FG ⊥，OB AC ⊥，又FG ⊥平面ABC ，则以O 为坐标原点，以OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，过点O 作平面ABC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则()0,1,0A -，)3,0,0B，10,32F ⎛- ⎝，33E -⎝， ()3,1,0BA =-∴-，33BE ⎛=-- ⎝，13,32BF ⎛=- ⎝， 设平面ABE 的法向量()111,,m x y z =，则11111303302m BA x y m BE x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，令11x =，则13y =-112z =-，11,3,2m ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭，设平面ABF 的法向量()222,,n x y z =，则222223013302n BA x y n BF x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，令21x =，则23y =-212z =，11,3,2n ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，113154cos ,17171744m n m n m n+-⋅∴<>===⋅⨯，由图形可知：二面角E AB F--为锐二面角，∴二面角E AB F--的余弦值为15 17.【点睛】方法点睛：空间向量法求解二面角的基本步骤是：（1）建立空间直角坐标系，利用坐标表示出所需的点和向量；（2）分别求得二面角的两个半平面的法向量，根据向量夹角公式求得法向量的夹角；（3）根据图形或法向量的方向确定所求角为二面角的大小或二面角补角的大小. 19．某种机器需要同时装配两个部件S才能正常运行，且两个部件互不影响，部件S有两个等级：一等品售价5千元，使用寿命为5个月或6个月（概率均为0.5)；二等品售价2千元，使用寿命为2个月或3个月（概率均为0.5)（1）若从4件一等品和2件二等品共6件部件S中任取2件装入机器内，求机器可运行时间不少于3个月的概率．（2）现有两种购置部件S的方案，方案甲：购置2件一等品；方案乙：购置1件一等品和2件二等品，试从性价比（即机器正常运行时间与购置部件S的成本之比）角度考虑，选择哪一种方案更实惠．【答案】（1）4160；（2）方案乙更实惠．【分析】（1）由题意知机器运行时间不少于3个月，共有三种可能：第一，取到2个一等品，第二，取到1个一等品，1个二等品，且二等品的使用寿命为3个月，第三，取到2个二等品，且二者使用寿命均为3个月，由此利用互斥事件概率乘法公式能求出机器可运行时间不少于3个月的概率．（2）若采用甲方案，则机器正常运行的时间为X（单位：月），则X的可能取值为5，6，求出相应的概率，从而求出()E X，进而求出它与成本价之比；若采用方案乙，两个二等品的使用寿命之和Y（单位：月），Y的可能取值为4，5，6，分别求出相应的概率，记M为一等品的使用寿命（单位：月），此时机器的正常运用时间为Z，则Z的可能取值为4，5，6，分别求出相应的概率，从而求出Z的分布列()E Z，进而求出它与成本价之比．由此从性价比角度考虑，方案乙更实惠．【详解】解：（1）由题意知机器运行时间不少于3个月，共有三种可能：第一，取到2个一等品，对应概率为242625CC=，第二，取到1个一等品，1个二等品，且二等品的使用寿命为3个月，对应概率为11422614215 C CC⨯=，第三，取到2个二等品，且二者使用寿命均为3个月，对应概率为：22261112260C C ⨯⨯=， ∴机器可运行时间不少于3个月的概率241415156060P =++=． （2）若采用甲方案，则机器正常运行的时间为X （单位：月）， 则X 的可能取值为5，6，111(6)224P X ==⨯=，3(5)1(6)4P X P X ==-==， 则X 的分布列为：3121()56444E X ∴=⨯+⨯=，它与成本价之比为()215540E X =+， 若采用方案乙，两个二等品的使用寿命之和Y （单位：月），Y 的可能取值为4，5，6， 111(4)224P Y ==⨯=，111(5)2222P Y ==⨯⨯=，111(6)224P Y ==⨯=，则Y 的分布列为：记M 为一等品的使用寿命（单位：月），此时机器的正常运用时间为Z ， 则Z 的可能取值为4，5，6，1(4)(4)4P Z P Y ====， (5)(5P Z P M ===，5)(6Y P M >+=，131155)24228Y ==⨯+⨯=，111(6)(6)248P Z P M y =====⨯=，Z 的分布列为：15139()4564888E Z =⨯+⨯+⨯=，它与成本价之比为()1352224E Z =++，21134024<， ∴从性价比角度考虑，方案乙更实惠．【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．已知椭圆C ：()222210y x a b a b +=>>()0,2．（1）求椭圆C 的方程；（2）若矩形ABCD 的四条边均与椭圆相切，求该矩形面积的取值范围．【答案】（1）2214y x +=；（2）[]8,10． 【分析】（1）根据椭圆的几何性质求出,a b 可得椭圆C 的方程；（2）①当矩形ABCD 的四条边与椭圆相切于顶点时，易知428S =⨯=，②当矩形的各边均不与坐标轴平行时，由矩形及椭圆的对称性，设出矩形的四条边所在的直线方程，利用直线与椭圆相切求出直线方程中参数之间的关系，利用平行直线的距离公式求出矩形的边长，利用矩形的面积公式求出面积，利用基本不等式可求出取值范围.【详解】（1）c e a ==∴224a b =又椭圆C 过点()0,2，∴24a =，21b =∴椭圆C 的方程：2214y x +=．（2）①当矩形ABCD 的四条边与椭圆相切于顶点时，易知428S =⨯=，②当矩形的各边均不与坐标轴平行时，由矩形及椭圆的对称性，设其中一边所在的直线方程为：y kx m =+(0)k ≠，则其对边所在的直线方程为：y kx m =-(0)k ≠， 另外两边所在的直线方程分别为：1y x n k =-+，1y x n k=--， 联立2244y kx mx y =+⎧⎨+=⎩，消去y 并整理可得：222(4)240k x kmx m +++-=， 由题意可得222244(4)(4)0k m k m ∆=-+-=， 整理可得224k m +=， 同理可得2214n k+=， 设两平行直线y kx m =+与y kx m =-之间的距离为1d，则1d ==== 设两平行直线1y x n k =-+与1y x n k=--之间的距离为2d，则2d =====， 依题意可知，12,d d 为矩形的两邻边的长度， 所以矩形的面积12S d d =⋅444===44== 因为20k >，所以2212k k+≥，当且仅当21k =时取等号，所以22990,142k k⎛⎤∈ ⎥⎝⎦++，52,2⎛⎤⎥⎝⎦，所以(]8,10S ∈．综上所述：该矩形面积的取值范围为[]8,10．【点睛】关键点点睛：利用直线与椭圆相切和平行直线间的距离公式求出矩形的面积是本题解题关键.21．已知函数1()2ln x f x e x x -=-+.（1）求()f x 的单调区间；（2）证明：3()(2)3(2)f x x x ---.【答案】（1）单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞；（2）证明见解析【分析】（1）求导函数，利用(1)=0f '，解()0f x '<函数单调减区间. 解()0f x '>得单调递增区间.（2）先求出3()(2)3(2)g x x x =---在03x <≤的极大值为2，由min ()(1)2==f x f 得在03x <≤成立；再设13()()()e2ln (2)46(3)x h x f x g x x x x x -=-=---+->利用导数法研究函数()h x 在(3,+) 内单调性进行证明()0h x >.【详解】（1）解：()f x 的定义域为(0,)+∞，12()e 1x f x x-'=-+， 12()e 1x f x x -'=-+在(0,)+∞上单调递增，且()01f '=. 令()0f x '<，得01x <<，则()f x 的单调递减区间为(0,1)；令()0f x '>，得1x >，则()f x 的单调递增区间为(1,)+∞.（2）证明：设3()(2)3(2)(0),()3(1)(3)g x x x x g x x x '=--->=--.令()0g x '<，得13x <<；令()0g x '>，得01x <<或3x >.所以当1x =时，()g x 取得极大值，且极大值为2，由（1）知，min ()(1)2==f x f ，故当03x <≤时，3()(2)3(2)f x x x ---.设13()()()e 2ln (2)46(3)x h x f x g x x x x x -=-=---+->，122()e 3(2)4x h x x x -'=---+，设122()(),()e 6(2)x p x h x p x x x-''==+--， 设134()(),()e 6x q x p x q x x-''==--，易知()q x '在(3,)+∞上单调递增， 则24()(3)e 6027q x q ''>=-->，则()q x 在(3,)+∞上单调递增，从而22()(3)609p x p e ''>=+->，则()h x '在(3,)+∞上单调递增， 则21()(3)03h x h e ''>=+>，从而()h x 在(3,)+∞上单调递增， 所以2()(3)e 52ln 30h x h >=+->，故当3x >时，3()(2)3(2)f x x x ---，从而3()(2)3(2)f x x x ---得证.【点睛】本题考查求含参数函数的单调区间及利用导数证明不等式.导数法研究函数()f x 在(,)a b 内单调性的步骤：(1)求()'f x ；(2)确定()'f x 在(,)a b 内的符号；(3)作出结论：()0f x '>时为增函数；()0f x '<时为减函数．研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．利用导数证明不等式()()f x g x >的基本方法：(1)若()f x 与()g x )的最值易求出，可直接转化为证明()()min max f x g x >；(2)若()f x 与()g x 的最值不易求出，可构造函数()()()h x f x g x ＝ ，然后根据函数()h x 的单调性或最值，证明()0h x >22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，[0,)ϕπ∈），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos()3πρθ=-.（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设()1,1P ，若直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求||PA PB -的最大值.【答案】（1）2220x y x +--=；（2）4.【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的转化公式，求得圆C 的直角坐标方程；（2）将直线方程与圆联立，由直线参数方程中参数的几何意义及根与系数的关系，求得||PA PB -的最大值.【详解】（1）圆C 的极坐标方程为：4cos()3πρθ=-，则22cos sin ρρθθ=+由极坐标与直角坐标的转化公式得222x y x +=+，所以：2220x y x +--=.（2）将线l 的参数方程为：1cos 1sin x t y t ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），代入2220x y x +--=.所以21)sin 0t t ϕ-⋅-=设点A ，B 所对应的参数为1t 和2t ，则121)sin t t ϕ+=，12t t ⋅=-则12||||PA PB t t -=-==当sin 1ϕ=时，||PA PB -的最大值为4.【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的相互转化，直线参数方程的应用，属于中档题.23．已知,,a b c 为正数,且2a b c ++=,证明: (1)43ab bc ac ++≤； (2)2228a b c b c a---⋅⋅≥. 【答案】（1）见解析（2）见解析【分析】（1）将a +b +c ＝2平方，然后将基本不等式2222222,2,2a b ab b c bc a c ac +≥+≥+≥三式相加，进行证明；（2）由2a b c b b -+=≥22b a c c b a c c a a -+-+=≥=≥，三式相乘进行证明.【详解】(1)将a +b +c ＝2平方得:2222224a b c ab ab ac +++++=，由基本不等式知:2222222,2,2a b ab b c bc a c ac +≥+≥+≥，三式相加得:222a b c ab bc ac ++≥++，则2224222333a b c ab bc ac ab bc ac =+++++≥++ 所以43ab bc ac ++≤，当且仅当a ＝b ＝c ＝23时等号成立(2)由2a b c b b b -+=≥，同理22b a c c b a c c c a a a -+-+=≥=≥则2228a b c b c a ---⋅⋅≥=， 即2228a b c b c a ---⋅⋅≥当且仅当23a b c ===时等号成立 【点睛】本题考查利用基本不等式进行证明，属于中档题.。
山东省济南市2021年4月高三联考数学试题(含答案与解析)
2 6 C．|AE|+|BE|的最小值为
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D．三棱锥 P－ABC 外接球的表面积为 12π
11．已知函数 f(x)＝ ln(x 1) ，下列选项正确的是 x
A. 函数 f(x)在(－1，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数
B．当 x1>x2>0 时，
f
( x1 ) x22
22．(12 分) 已知函数 f(x)＝xex－ax2，其中 e＝2.718…为自然对数的底数．[山#东韬为文化版权~所有*&^]
(1)若函数 f(x)在(1，f(1))处的切线与直线 x－2y＋2＝0 垂直，求函数 f(x)在(1，
f(1))处的切线方程．
(2)若对任意的 x∈(0，＋∞)， －a(1+ln ＋1－x)≥0 恒成立．
直平分线交 AM 于点 N，点 N 的轨迹为 W.
(1)求轨迹 W 的方程；
(2) 过点 B 的直线 l1，l2 的斜率为 k1，k2，k1＋k2＝－1，l1 交 W 于点 C，D， l2 交 W 于点 E，F，线段 CD，EF 的中点分别是 G，H，判断直线 GH 是否过定点， 若过定点，求出该定点，若不过定点，说明理由．
(1)以各组的区间中点值代表各组取值的平均水平，求这 60 人年龄的平均数， 并求中位数的估计值；
(2)若从样本中年龄在[50，70)的居民中任取 3 人，这 3 人中年龄不低于 60 岁 的人数为 X，求 X 的分布列及数学期望；
(3)一支 200 人的队伍，男士占其中的3 ，40 岁以下的男士和女士分别为 30
>
f (x2 ) x12
C．若方程 f(|x|)＝a 有 2 个不相等的解，则 a 的取值范围为(0，＋∞)
2021届金太阳高三新高考(广东卷)联考数学试题(解析版)
2021届金太阳高三新高考（广东卷）联考数学试题一、单选题 1．若13z i =-，则zz的虚部为（ ）A B ．10C ．10-D ．10-【答案】A【解析】由已知先求出zz的值，可得虚部的值. 【详解】解：由,1010z z ==+，故选：A. 【点睛】本题主要考查虚数的概念与四则运算，考查基础的知识与运算，属于基础题. 2．设集合2{|}A x x x =<，2}6{|0B x x x =+-<，则A B =（ ）A ．（0，1）B ．()()3,01,2-⋃C ．（－3，1）D ．()()2,01,3-⋃【答案】B【解析】化简集合A ，B ，根据交集运算即可求值. 【详解】因为2{|}A x x x =<(,0)(1,)=-∞⋃+∞，26{|}(32)0,B x x x =+-<=-所以()()3,01,2A B ⋂=-⋃. 故选：B 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，集合的运算，属于中档题.3．2020年7月，我国湖北､江西等地连降暴雨，造成严重的地质灾害.某地连续7天降雨量的平均值为26.5厘米，标准差为6.1厘米.现欲将此项统计资料的单位由厘米换为毫米，则标准差变为（ ） A ．6.1毫米 B ．32.6毫米C ．61毫米D ．610毫米【答案】C【解析】利用标准差公式即可求解. 【详解】设这7天降雨量分别为1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x ，7x6.1= 因为1厘米=10毫米，这7天降雨量分别为101x ，102x ，103x ，104x ，105x ，106x ，107x ， 平均值为10x =265，10 6.161==⨯=. 故选：C 【点睛】本题考查统计知识，考查标准差的求解，考查数据处理能力，属于基础题. 4．若01b <<，则“3a b >”是“a b >”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据充分条件、必要条件的概念即可求解. 【详解】因为01b <<，所以32(1)0b b b b -=->，即3b b >， 故a b >可推出3a b >， 而3a b >推不出a b >，（例如11,42ab ） 故“3a b >”是“a b >”的必要不充分条件. 故选：A 【点睛】本题主要考查了充分条件，必要条件，不等式的性质，属于中档题.5．函数()2sin cos f x x x x x =-在[,]-ππ上的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】先判断函数的奇偶性，排除AC ，再由特殊值验证，排除B ，即可得出结果. 【详解】因为()2sin (cos )f x x x x x f x =-+=--，所以()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除A 与C.又因为2sin cos 3066666126f πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛=⋅-⋅=< ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，所以排除B.故选：D. 【点睛】本题主要考查函数图像的识别，属于基础题型.6．某班级8位同学分成A ，B ，C 三组参加暑假研学，且这三组分别由3人､3人､2人组成.若甲､乙两位同学一定要分在同一组，则不同的分组种数为（ ） A ．140 B ．160 C ．80 D ．100【答案】A【解析】分两种情况讨论即甲､乙两位同学在A 组或B 组和甲､乙两位同学在C 组； 【详解】甲､乙两位同学在A 组或B 组的情况有13652120C C ⨯=种，甲､乙两位同学在C 组的情况有336320C C =种，共计140种.故选：A.【点睛】本题考查计数原理的应用，考查数据处理能力.7．某艺术展览馆在开馆时间段（9：00—16：00）的参观人数（单位：千）随时间t （单位：时）的变化近似满足函数关系11()sin 5(0,916)36f t A t A t ππ⎛⎫=-+>≤≤⎪⎝⎭，且下午两点整参观人数为7千，则开馆中参观人数的最大值为（ ） A ．1万 B ．9千C ．8千D ．7千【答案】B【解析】利用当14t =时，()7f t =，求出4A =，由916t ≤≤，利用正弦函数的性质即可求解. 【详解】下午两点整即14t =，当14t =时，()7f t =. 即17sin576A π+=，∴4A =， ∵当916t ≤≤时，1136t ππ-∈77,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， ∴当115362t πππ-=时，()f t 取得最大值，且最大值为459+=. 故选：B 【点睛】本题考查了三角函数的性质求解析式、三角函数的应用，考查了基本运算求解能力，属于基础题.8．太阳是位于太阳系中心的恒星，其质量M 大约是30210⨯千克.地球是太阳系八大行星之一，其质量m 大约是24610⨯千克.下列各数中与mM最接近的是（ ） （参考数据：lg30.4771≈，lg60.7782≈） A ． 5.51910- B ． 5.52110-C ． 5.52510-D ． 5.52310-【答案】D【解析】根据题意，得到6310mM-=⨯，两边同时取以10为底的对数，根据题中条件，进行估算，即可得出结果. 【详解】因为6310m M -=⨯，所以6lg lg3lg100.47716 5.5229 5.523m M-=+≈-=-≈-. 故5.52310mM-≈. 故选：D. 【点睛】本题主要考查对数的运算，属于基础题型.二、多选题9．已知双曲线22:16y C x -=，则（ ）A ．CB ．C 的虚轴长是实轴长的6倍 C ．双曲线2216y x -=与C 的渐近线相同D ．直线3y x =上存在一点在C 上【答案】AC【解析】根据双曲线方程求得a ，b ，进而可得c ，即可判断A 与B ；分别求两双曲线渐近线方程可判断C ；根据渐近线可判断D. 【详解】因为21a =，26b =，所以2167c =+=，则c e a ==22b a=A 正确，B 错误.双曲2216y x -=与C 的渐近线均为y =，所以C 正确，因为C 的的渐近线的斜率小于的3，所以直线3y x =与C 相离，所以D 错误. 故选：AC 【点睛】本题考查根据双曲线方程求渐近线以及基本量，考查基本求解能力，属基础题. 10．若tan 2tan 54x x π⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则tan x 的值可能为（ ）A ．B ．2-C D ．2【答案】BD【解析】先设tan x t =，再化简原式进行代换，解得t 值，即得tan x 的值. 【详解】设tan x t =，22222tan tan 1212(1)tan 2tan 41tan 1tan 111x x t t t t x x x x t t t π++-+⎛⎫-+=-=-= ⎪-----⎝⎭222(1)1t t t -+=-22151t t +==-，232t ∴=，故6tan 2x t ==±. 故选：BD. 【点睛】本题考查了换元法和三角恒等变换，属于基础题.11．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 上一点，且二面角C AB E --的正切值为22，则（ ） A ．异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为155B ．1B 到平面ABE 的距离是C 到平面ABE 的距离的2倍C ．直线BE 与平面11BDD B 所成角的大小等于二面角C ABE --的大小 D ．在棱AB 上一定存在一点F ，使得1//C F 平面BDE 【答案】BCD【解析】根据已知和线线关系、线面关系等逐项验证排除即可. 【详解】如图，设2BC =，易知二面角C AB E --的平面角为CBE ∠， 则2tan 2CE CBE BC ∠==，即2CE =//AD BC ，所以异面直线AE 与BC 所成角为DAE ∠，因为AD DE ⊥，所以10cos 10AD DAE AE ∠===A 错误；设1B C BE M ⋂=，则11B M B B CM CE ===1B 到平面ABE 的距离是C 到平面ABE 倍，故B 正确；因为//CE 平面1BDD B ，所以E 到平面11BDD B 的距离等于C 到平面11BDD B 的距离，而C 到平面11BDD B 的距离为CO =所以直线BE 与平面11BDD B 所成角的正弦值为3CO BE ==，所以直线BE 与平面11BDD B 所成角的大小等于二面角C AB E --的大小，故C 正确；在AC 上找一点G ，使得1//C G EO ，过G 再作BD 的平行线交AB 于F ，且1C G GF G =，//DO EO O =，所以平面1//C GF 平面BDE ，从而可知1//C F 平面BDE ，故D 正确.故选：BCD 【点睛】本题主要考查了空间几何体的线线关系、线面关系、面面关系，考查空间想象力及求解能力.12．已知函数()f x 的导函数为()f x '，若()()()2f x xf x f x x '≤<-对(0,)x ∈+∞恒成立，则下列不等式中，一定成立的是（ ） A ．(2)(1)2f f > B ．(2)(1)2f f <C ．(2)1(1)42f f <+ D ．(2)1(1)42f f +< 【答案】BD 【解析】先设2()()f x xg x x -=，()()f x h x x=，()0,x ∈+∞，对函数求导，根据题中条件，分别判断设()g x 和()h x 的单调性，进而可得出结果. 【详解】 设2()()f x x g x x -=，()()f x h x x=，()0,x ∈+∞， 则[][]243()12()()2()()f x x x f x x xf x f x x g x x x '---'-+'==，2()()()xf x f x h x x'-'=. 因为()()2()f x xf x f x x '<<-对()0,x ∈+∞恒成立，所以()0g x '<，()0h x '>，所以()g x 在()0,∞+上单调递减，()h x 在()0,∞+上单调递增，则()()12g g >，()()12h h <， 即22(1)1(2)212f f -->，(1)(2)12f f <即(2)1(2)(1)422f f f +<<. 故选：BD. 【点睛】本题主要考查导数的方法判定函数单调性，并根据单调性比较大小，属于常考题型.三、填空题13．设向量a ，b 满足3a =，1b =，且1cos ,6a b =，则2a b -=__________.【解析】由已知条件与平面向量的线性运算与平面向量的数量积的知识，代入()22224||a b a ba -=-=.【详解】 解：()22222443712,372||a b a b a a b b cos a b -=-=-⋅+=-=-=所以|2|35a b -=本题主要考查平面向量的线性运算与平面向量的数量积，考查学生的基础知识与基本运算能力，属于基础题.14．设椭圆22*221(N 211)x y n n n +=∈++的焦距为n a ，则数列{}n a 的前n 项和为__________. 【答案】2n n +【解析】根据椭圆的标准方程求出焦距为n a ，再利用等差数列的前n 项和公式即可求解. 【详解】因为22221(1)2n a n n n =+-+=， 所以数列{}n a 为等差数列，首项12a =， 所以数列{}n a 的前n 项和为2(22)2n nn n +=+. 故答案为：2n n + 【点睛】本题考查了椭圆的简单几何性质、等差数列的前n 项和公式，需熟记公式，属于基础题. 15．不等式1345x x +<+的解集为__________. 【答案】（－1，1） 【解析】作出函数13x y +=，45y x =+的图象，求出两个图象的交点坐标，观察图象可得结果. 【详解】在同一直角坐标系中，作出函数13x y +=，45y x =+的图象，这两个图象的交点为（－1，1），（1，9），故由图可知不等式1345x x +<+的解集为（-1，1）. 故答案为：（－1，1）【点睛】本题考查利于数形结合解决不等式的解集问题，考查指数函数的图象，属于基础题.16．一个圆锥的表面积为48π，其侧面展开图为半圆，当此圆锥的内接圆柱（圆柱的下底面与圆锥的底面在同一个平面内）的侧面积达到最大值时，该内接圆柱的底面半径为__________. 【答案】2【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，高为h ，由圆锥的侧面展开图为半圆可得2l r =，根据圆锥的表面积可得半径,母线和高,设内接圆柱的底面半径为R ，高为a ，由相似可得3(4)a R =-，代入圆柱的侧面积公式分析可得结果.【详解】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，高为h ，因为圆锥的侧面展开图为半圆， 所以2l r ππ=，解得2l r =. 因为圆锥的表面积为48π，所以221482l r πππ+=，解得4r =，8l =，43h =. 如图，设内接圆柱的底面半径为R ，高为a ，则4443a R-=，所以3(4)a R =-， 内接圆柱的侧面积2223(2)4S Ra R ππ⎡⎤==--+⎣⎦， 当2R =时，S 取最大值. 故答案为：2.【点睛】本题考查圆锥的表面积和圆柱的侧面积公式，考查圆锥侧面展开图的应用，考查推理能力和计算能力，属于基础题.四、解答题 17．在①112n n a a +=-，②116n n a a +-=-，③18n n a a n +=+-这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的n S 存在最大值，则求出最大值；若问题中的n S 不存在最大值，请说明理由.问题：设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且14a =，__________，求{}n a 的通项公式，并判断n S 是否存在最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】答案见解析【解析】若选①，求出数列{}n a 是首项为4，公比为12-的等比数列，求出通项公式和前n 项和，通过讨论n 的奇偶性，求出其最大值即可； 若选②，求出数列{}n a 是首项为4，公差为16-的等差数列，求出通项公式和前n 项和，求出其最大值即可；若选③，求出217242n n n a -+=，当16n ≥时，0n a >，故n S 不存在最大值.【详解】 解：选①因为112n n a a +=-，14a =，所以{}n a 是首项为4.公比为12-的等比数列， 所1211422n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.当n 为奇数时，141281113212n n nS ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==+ ⎪⎝⎭+， 因为81132n⎛⎫+⎪⎝⎭随着n 的增加而减少，所以此时n S 的最大值为14S =. 当n 为偶数时，81132n n S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且81814323n n S ⎛⎫=-<<⎪⎝⎭ 综上，n S 存在最大值，且最大值为4. 选②因为116n n a a +-=-，14a =.所以{}n a 是首项为4，公差为16-的等差数列， 所以11254(1)666n a n n ⎛⎫=+--=-+ ⎪⎝⎭.由125066n -+≥得25n ≤， 所以n S 存在最大值.且最大值为25S （或24S ）， 因为25252412545026S ⨯⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭，所以n S 的最大值为50. 选③因为18n n a a n +=+-，所以18n n a a n +-=-， 所以217a a -=-，326a a -=-，…19n n a a n --=-， 则2121321(79)(1)171622n n n n n n n a a a a a a a a --+---+=-+-+=-+-=， 又14a =，所以217242n n n a -+=. 当16n ≥时，0n a >， 故n S 不存在最大值. 【点睛】此题考查数列的通项公式和求和公式，考查等差数列和等比数列的性质，属于基础题 18．2020年3月，受新冠肺炎疫情的影响，我市全体学生只能网上在线学习.为了了解学生在线学习的情况，市教研院数学教研室随机从市区各高中学校抽取60名学生对线上教学情况进行调查（其中男生与女生的人数之比为2∶1），结果发现男生中有10名对线上教学满意，女生中有12名对线上教学不满意.（1）请完成如下2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”；（2）以这60名学生对线上教学的态度的频率作为1名学生对线上教学的态度的概率，若从全市学生中随机抽取3人，设这3人中对线上教学满意的人数为X，求随机变量X 的分布列与数学期望.附：参考公式22(),()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++其中n a b c d=+++.【答案】（1）列联表见解析；没有；（2）分布列见解析，期望为9 10.【解析】（1）根据题中数据，直接完善列联表即可；再由公式求出2K，结合临界值表，即可得出结论；（2）由题意，得到X的可能取值为0，1，2，3，且3~3,10X B⎛⎫⎪⎝⎭，求出对应的概率，进而可得分布列，由二项分布的期望计算公式，即可求出期望.【详解】（1）由题意可知抽取的60名学生中男生有40人，女生有20人，则列联表如下：因为2260(1012308)101.4292.706184240207K⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，所以没有90%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”（2）X的可能取值为0，1，2，3，由题意可知，3~3,10X B⎛⎫⎪⎝⎭，则37(0)103431000P X⎛⎫=⎪⎝⎭==，3214411037(100)110P X C⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎝⎭⎝⎭==，3221891037(2100)100P X C ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==，33(3)10271000P X ⎛⎫=⎪⎝⎭== 所以随机变量X 的分布列为因此期望为：()3931010E X =⨯=. 【点睛】本题主要考查完善列联表，考查独立性检验的思想，考查求二项分布的分布列和期望，属于常考题型.19．在ABC 中，cos 4cos A C =，sin C =. （1）求B ；（2）若ABC 的周长为5求ABC 的面积.【答案】（1）3π；（2）2. 【解析】（1）由同角间的三角函数关系求出cos ,cos ,sin C A A ，从而结合诱导公式可求得cos B 可得B 角；（2）由正弦定理可得三边长之比，结合周长可得三边长，再由三角形面积公式计算面积． 【详解】（1）因为sin 14C =，所以cos C ==.若cos 0C =<，则40cosA cosC =<，从而A ，C 均为钝角.这不可能，故cos C =，cos =A ，sin A =. 所以()cos cos cos cos sin sin B A C A C A C =-+=-+7272132111477142=-⨯+⨯=， 因为0B π<<.所以3B π=.（2）由（1）知213321sin :sin :sin ::2:7:37214A B C ==， 由正弦定理得::2:7:3BC AC AB =. 设3AB k =，则7AC =，2BC k =，则ABC 的周长为()5757k +=+，解得1k =，从而2BC =，3AB =， 故ABC 的面积133sin 22S AB BC B =⋅⋅⋅=. 【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，考查两角和的正弦公式及诱导公式，考查正弦定理及三角形面积公式，旨在考查学生的运算求解能力，属于中档题．20．如图，已知AC BC ⊥，DB ⊥平面ABC ，EA ⊥平面ABC ，过点D 且垂直于DB 的平面α与平面BCD 的交线为l ，1AC BD ==，3BC =，2AE =.（1）证明：l ⊥平面AEC ；（2）设点P 是l 上任意一点，求平面PAE 与平面ACD 所成锐二面角的最小值. 【答案】（1）证明见解析；（2）60︒.【解析】（1）由题意可知BD ⊥平面α，则有BD l ⊥，又BD ⊥平面ABC ，则可得出BD AC ⊥，从而得出l //BC ，再证明BC ⊥平面AEC 即可证明l ⊥平面AEC ； （2）作CF //AE ，以C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，然后计算平面PAE 和平面ACD 的法向量，通过法向量夹角的余弦值来计算. 【详解】解：（1）证明：因为BD α⊥，BD ⊥平面ABC ，所以α//平面ABC ， 又α平面BCD l =，平面ABC平面BCD BC =，所以BC //l .因为EA ⊥平面ABC ， 所以BC AE ⊥. 又BC AC ⊥，AEEA A =，所以BC ⊥平面AEC ， 从而l ⊥平面AEC .（2）作CF //AE ，以C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -， 则()0,1,0A ，()0,0,0C ，()3,0,1D，()0,1,2E ，设(),0,1P a ，平面PAE ､平面ACD 的法向量分别为()111,,m x y z =，()222,,n x y z =， 则(),1,1AP a =-，()0,0,2AE =，()0,1,0AC =-，()3,0,1CD =.因为m ⊥平面PAE ， 所以111120ax y z z -+=⎧⎨=⎩，令11x =，得1y a =，10z =，即()1,,0m a =.同理222030y x z -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令21x =，得20y =，23z =-，即()1,0,3n =-.因为211cos ,221m n a =≤+，当且仅当0a =时取等号， 所以平面PAE 与平面ACD 所成锐二面角的最小值为60︒.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查考利用空间向量求解面面夹角，考查学生的基本运算能力与逻辑推理能力，难度一般.21．已知抛物线C 的顶点为坐标原点O ，对称轴为坐标轴，且C 经过点()4,6A . （1）求A 到C 的焦点的距离；（2）若C 的对称轴为x 轴，过（9，0）的直线l 与C 交于M ，N 两点，证明：以线段MN 为直径的圆过定点. 【答案】（1）203；（2）证明见解析. 【解析】（1）分抛物线C 的对称轴为x 轴与y 轴进行讨论，可得抛物线C 的方程，再根据抛物线的几何意义可得A 到C 的焦点的距离；（2）设直线l 的方程为9x my =+，设()()1122,,,M x y N x y ，线段MN 的中点为()00,G x y ，联立抛物线和直线，可得12y y +，12y y 的值，可得以线段MN 为直径的圆的方程，可得证明. 【详解】（1）解：当C 的对称轴为x 轴时，设C 的方程为()220y px p =>，将点A 的坐标代入方程得2624p =⋅，即92p =， 此时A 到C 的焦点的距离为25424p +=. 当C 的对称轴为y 轴时，设C 的方程为()220x py p =>，将点A 的坐标代入方程得2426p =⋅.即43p =. 此时A 到C 的焦点的距离为20623p +=. （2）证明：由（1）可知，当C 的对称轴为x 轴时，C 的方程为29y x =.直线l 斜率显然不为0，可设直线l 的方程为9x my =+， 设()()1122,,,M x y N x y ，线段MN 的中点为()00,G x y .由299y x x my ⎧=⎨=+⎩得29810y my --=， 则129y y m +=，1281y y =-，所以120922y y m y +==，212091822x x m x ++==，且MN ==以线段MN 为直径的圆的方程为22200||()()2MN x x y y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭即()2229290x m x y my -++-=，即()221890x x y m mx y -+-+=，令0mx y +=，则2180x x y +=2-，因为m R ∈.所以圆()221890x x y m mx y -+-+=过定点（0，0），从而以线段MN 为直径的圆过定点. 【点睛】本题主要考查抛物线的定义与几何性质，直线与抛物线的位置关系，考查学生的综合分析能力与计算能力，属于中档题22．已知函211()()().22xf x x e a x =-++ （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 【答案】（1）答案见解析；（2）()0,∞+.【解析】（1）求函数的导数，讨论0a ≥和0a <，分别解导数不等式即可得到函数的单调性.（2）由（1）的单调性，可求得函数的极值，由极值的正负和函数的单调性可得函数的零点个数，从而得到a 的取值范围. 【详解】 （1）()1()22xf x x e a ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭. 当0a ≥时，令()0f x '<，得1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭，令()0f x '>，得1,2x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭. 故()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭单调递减，在1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单调递增.当0a <时，令()0f x '=，得112x =-，2ln(2)x a =-.①当1ln(2)2a -=-即a =时，()0f x '≥，()f x 在R 上单调递增.②当1ln(2)2a -<-即0a <<时，()f x 在1ln(2),2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减， 在()(),ln 2a -∞-，1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.③当1ln(2)2a ->-即a <时，()f x 在1,ln(2)2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减， 在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，()ln(2)a -∞,+上单调递增. （2）当0a >时，由（1）可知()f x 只有一个极小值点12x =-.且102f e ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，102f a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭， 当x →-∞时，102x x e ⎛⎫-→ ⎪⎝⎭，212a x ⎛⎫+→+∞ ⎪⎝⎭， 从而()f x →+∞，因此()f x 有两个零点. 当0a =时，1()2xf x x e ⎛⎫=-⎪⎝⎭此时()f x 只有一个零点，不符合题意.当2a e=-时，()f x 在R 上单调递增，不可能有两个零点.当0a <<时，()f x 在1ln(2),2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减， 在()(),ln 2a -∞-，1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， ()()()()2ln 211ln ln 222ln 22a a a a f e a -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-++⎣⎦⎢⎥⎢⎣⎦⎣--⎥⎦- ()()211ln ln 22222a a a a ⎡⎤⎡⎤=-++⎢⎥⎢⎣⎦⎣--⎥⎦-，其中()22n 01l 2a a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦-<，()n 0221l a -<-，()1ln 0222a a ⎡⎤-<⎢⎥⎣⎦--， 则()2ln 0f a ⎡⎤<⎣⎦-，即函数的极大值小于0， 则()f x 在R 上不可能有两个零点；当2a e<-时，()f x 在1,ln(2)2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，()ln(2)a -∞,+上单调递增，102f ⎛⎫-=< ⎪⎝⎭，即函数的极大值小于0，则()f x 在R 上不可能有两个零点；综上，若()f x 有两个零点，a 的取值范围是()0,∞+. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的零点个数问题，考查分析问题的能力和计算能力，属于中档题.。
2021年高三数学12月联考试题 理(含解析)
2021年高三数学12月联考试题理（含解析）本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第I卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2-x）}，则P∩Q=(1)设集合P={y|y =2cosx}，Q={x∈N|y =log5A.{x|-2≤x≤2)B.{x|-2≤x<2} C．{0,1,2} D.{0,1}(2)命题p：存在x∈[0，]，使sinx +cosx>；命题q：命题“x o∈(0，+∞)，lnx o=x o-1”的否定是 x∈(0，+∞)，lnx≠x-1，则四个命题(p) V(q)、pq、(p) q、p V（q）中，正确命题的个数为A.l B．2 C．3 D．4(3)已知数列{a n}的首项为2，且数列{a n}满足，数列{a n}的前n项的和为S n,则S xx为A.504B.588C.-588D.-504(4)在△ABC中，已知向量=(2，2)， =2，= -4，则△ABC的面积为A.4 B．5 C．2 D.3(5)定义在[-2，2]上的函数f(x)满足（x1- x2）[f(x1)-f(x2)]>0，x1≠x2，且f(a2-a>[(2a -2)，则实数a的范围为A.[一l,2)B.[0,2)C.[0,1)D.[一1,1)(6)设f(x)= sinx+cosx，则函数f(x)在点（-，0）处的切线方程为A． B．C． D.(7)已知函数y=Acos（ax+）+b（a>0，0<<）的图象如图所示，则该函数的解析式可能是A．y=2cos（2x+）-1 B．y=2cos（x一）-1C．y=2cos（x+）-1 D．y=2cos（2x一）一1(8)已知S n是各项为正数的等比数列{a n}的前n项和，a2·a4 =16，S3 =7，则a8=A．32 B．64 C．128 D．256(9)已知函数f(x）=e x- 2ax，函数g（x）=-x3-ax2. 若不存在x1，x2∈R，使得f'(x1）=g'（x2），则实数a的取值范围为A．（-2,3) B．（-6,0) C.[-2,3] D．[-6,0](10)已知锐角△ABC中，角a+的终边过点P( sinB - cosA,cosB - sinA)，且cos（a+）=，则cos2a的值为A． B． C． D．(11)已知实数x，y满足，若目标函数z= ax+by +5（a>0，b>0）的最小值为2，则的最小值为A． B． C． D．(12)若y=ax+b为函数f(x）=图象的一条切线，则a+b的最小值为A．-4 B．-1 C．1 D．2第Ⅱ卷（非选择题共90分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试卷上作答无效．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．(13)奇函数f(x）的周期为4，且x∈[0，2]，f(x)=2x-x2，则f(xx)+f(xx)+f(xx)的值为．(14)在平面直角坐标系内，已知B(-3，一3)，C（3，-3），且H(x，y)是曲线x2 +y2 =1任意一点，则的最大值为．(15)已知函数f(x）=sinx+cosx的图象关于x=对称，把函数f(x）的图象向右平移个单位，再将横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g(x)的图象，则函数g(x)在x∈[-，]上的单调递减区间为__ 。
辽宁省部分重点高中2021届高三第一学期联考数学试题及答案
高三考试数学试卷考生注意：1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2.请将各大题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语、函数与导数、三角函数与解三角形、向量、数列、复数、不等式、立体几体、解析几何.第I卷一、选择题1.设集合A = {x∖-2<x≤∖}, B = {x∣-x2-3x + 4>θ},则ACB=（）2. "Λ∈Q"是^XeZ f9的(A. (-4J)B. (-2,1] D. (—2,1)A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件3・复数的虚部为（（1 +万A.4.A.丄2λ C rιl Sin^-2cos^若tan6> = 3> 则-----------3 sin + cos4B. —一110B. C. 1・-I2D.D.1・-Z2310 5.已知向量α = (2,4), b= (l√ι) > 若Clllb则3a - Hb =()A. B.A. /(x)图象的对称中心为(——+ —^-,0∈ Z)7. 朱载境是明太祖朱元璋的九世孙，虽然贵为藩王世子，却自幼俭朴敦本，聪颖好学，遂成为明代著名的 律学家，历学家、音乐家.朱载1育对文艺的最大贡献是他创建下十二平均律，亦称“十二等程律”.十二平 均律是将八度的音程按频率比例分成十二等份，也就是说，半单比例应该是2吉，如果12音阶中第一个音 的频率是F ,那么第二个音的频率就是2⅛F ,第三个单的频率就是2⅛y7 ,第四个音的频率是2⅛f .……， 第十二个音的频率是2詈尸，第十三个音的频率是2罟尸，就是2F.在该问题中，从第二个音到第十三个 音，这十二个音的频率之和为( ).8 •如图，在四而体ABCD 中，AB = CD = 3, AC = BD = 皿 AD = BC = 2® ΛABC 的重心为0, 则 DO=( ).二. 选择题9.已知命题p ：Vx>0, InX>0,贝∣J ( A. rP 是真命题 -n/?:3x>0, lav≤O10.已知函数Z(X) = 2COS 2 6yχ + √3 sin 2ωx(ω > 0),若/⑴ 的最小正周期为G 则下列说法正确的有 B. 函数y = ∕(χ)-2在[O,刃上有且只有两个零点A. 2FC.——2π-lC."是真命题C./(X)的单调递增区间为一£ +炽,? +畑(ZceZ).3 6 」D.将函数y = 2sin2x+1的图象向左平移+个单位长度，可得到/(x)的图彖1厶11.已知正方体ABCD-A^CP X的棱长为2, E, F分别是AA , CCI的中点，过f, F的平而α与该正方体的每条棱所成的角均相等，以平而Q截该正方体得到的截而为底而，以为顶点的棱锥记为棱锥 C，则( )A.正方体ABCD-A I B I C I D I的外接球的体积为4血4B.正方体ABCD-A I B I C i D l的内切球的表而积为一穴C.棱锥Q的体积为33D.棱锥G的体积为=22 212.已知双曲线C：二一二= l(α>O">O)与直线y = d交于A, B两点，点P为C上一动点，记直线Cr ∖yPA, PB的斜率分別为紡…kp li, C的左、右焦点分別为F^F2.若k pλ∙k pii=^t且C的焦点到渐近线的距离为1,则下列说法正确的是( )A. a = 2B.C的离心率为2C.若P斤丄PF2,则斤巧的而积为2D.若片佗的面积为2巧，则济竹为钝角三角形第II卷三、填空题[2v,x≤0. X13.已知函数/U) = 「,则/(6)= ________ .J (x-3),x >0214.已知直线/与直线x-y + 2 = 0平行，且与曲线y = ∖nx一一 + 1相切，则直线/的方程是_____ ・X15.若nι>Of n >0^ m+n = Smn-I > 贝∣J"7+"的最小值为__________16.已知直线x + 3y-7 = O 与椭圆—+ C = 1（O<∕9<3）相交于4〃两点•椭圆的两个焦点分别是F p F., 9 Ir线段AB 的中点为C(l,2),则△(?斤佗的面积为 _________ 四、解答题I — 1 1 /1 λ0_ 17. (1)化简：√82+ Iog 9 8XIog 2 27 + 0.064 3-164 + - 一扬T .7 >(2)已知T = 3 , 2" =5,求Iogi 2 20(用加皿表示)・18・在φa + c = y ∕3b 且 2sir√ B = 3sin AsinC ，® (SinA -SinC)2=sin 2B-SinASinC, (^)ΛABC 的 而积S = W -U这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并作答.4问题：在AABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为gb,c,且 _____________ .（1）求 sinB ：（2）若a = 2c,且厶ABC 的而积为2√3>求厶ABC 的周长・ 注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分. 19 •设正项数列｛©｝的前刃项和为a l =l 9且S^=S tt +2y ∣S^ + ∖. （1）证明：数列｛、何］是等差数列并求数列｛©｝的通项公式;⑵已知化=詁「，数列｛$｝的前"项的和为人，若T n <λ LJn 求久的取值范用・20. 如图，在四棱锥P-ABCD 底而ABCD 是正方形，侧而PAD 是边长为2的正三角形，PD 丄CD •点E 为线段PC 的中点，点F 是43上的点.21. 已知函数/（x ） = （x-l ）e r（1）求/（x ）的最值：—+ 一js,）对一切 n ∈ N* 恒成立,（1）当F 为43中点时，证明：平而DEF 丄平而PCD(2)若/(x) +JnInX+ x + "对xw(0,+oo)恒成立，求"的取值范用.22.抛物线C-.x2 =2Py(P >0)的焦点为F ,过F且垂直于，轴的直线交抛物线C于M, N两点，。
2021年高三下学期联考(三)试题 数学文 含答案
2021年高三下学期联考（三）试题数学文含答案本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟，注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题纸上的指定位置上．2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4．保持纸面清洁，不折叠，不破损．5．若做选考题时，考生应按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题纸上把所选题目对应的题号涂黑．第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，则实数a的值为A．0 B．1 C．2 D．42．已知复数在夏平面上对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知数列的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．对于任意向量a、b、c，下列命题中正确的是5．执行如图所示的程序框图，会输出一列数，则这个数列的第3项是A．870 B．30C．6 D．36．把一根长度为7的铁丝截成3段，如果三段的长度均为正整数，则能构成三角形的概率为7．一几何体的三视图如图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为8．已知点的最小值是A．-2 B．0 C．-1 D．19．定义行列式运算的图象向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则n的最小值为10．已知两点A（0，2）、B（2，0），若点C在函数的图像上，则使得的面积为2的点C的个数为A．4 B．3 C．2 D．111．函数f(x)的图像如图所示，下列数值排序正确的是12．已知双曲线含的右焦点为F，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若FH的中点M在双曲线C上，则双曲线C的离心率为第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知数列，归纳出这个数列的通项公式为。
【数学】湖南省长郡十五校2021届高三第二次联考试卷(解析版)
∴由抛物线的定义知则 ＝ ＝3+2 ，
如果x2＞x1，
∴x2＝ ，x1＝ ，
∴由抛物线的定义知则 ＝ ＝3﹣2 ，
故选：BC．
11．已知函数f（x）＝﹣sin（2x+ ），g（x）＝cos（2x﹣ ），则（ ）
【答案】B
【解析】根据题意，分2步进行分析：
①将6名教师分为5组，要求乙与丙不在同一组，有C62﹣1＝14种分组方法，
②将甲所在的组分到A山区，剩下的4组安排到其他4个山区，有A44＝24种情况，
则有14×24＝336种安排方法，
故选：B．
8．当x∈R时，不等式 ≤ax﹣1恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．a＝2B．a＝
C．a≥2D．e ≤a≤e
【答案】A
【解析】令f（x）＝ ，
∵x＞1时，f（x）＞0，∴a≤0时不合条件；
令h（x）＝ ，得h′（x）＝ ，
令g（x）＝2﹣x﹣aex，知g（x）在R上单调递减，
∵h（0）＝0，∴h（x）要在x＝0处取得最大值，∴g（0）＝2﹣a＝0，即a＝2．
故选：A．
由图可知电视动画节目播出时间的方差最小，故D正确，
故选：BD．
10．过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F作斜率为1的直线交抛物线C于A，B两点，
则 ＝（ ）
A．5﹣2 B．3﹣2 C．3+2 D． Nhomakorabea+2
【答案】BC
【解析】设A（x1，y1）B（x2，y2）
由 可得x2﹣3px+ ＝0，
如果x1＞x2，
∴B＝{0，2，4，6，8}．
故选：C．
2．已知复数z满足：z2＝ +6i（i为虚数单位），且z在复平面内对应的点位于第三象限，