历年全国高考数学试卷附详细解析

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2024年全国高考新课标Ⅰ卷数学真题(附详细答案解析)

2024年全国高考新课标Ⅰ卷数学真题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A =x ∣-5<x 3<5 ,B ={-3,-1,0,2,3}，则A ∩B =()A.{-1,0}B.{2,3}C.{-3,-1,0}D .{-1,0,2}2.若2z -1=1+i, 则z =()A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i3.已知向量a =0,1 ,b =2,x ，若b ⊥b -4a，则x =()A.-2B.-lC.1D.24.已知cos α+β =m ,tanαtanβ=2，则cos α-β =()A.-3mB.-m3C.m 3D.3m5.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为3, 则圆锥的体积为()A.23πB.33πC.63πD.93π6.已知函数为f (x )=-x 2-2ax -a ,x <0e x +ln (x +1),x ≥0 在R 上单调递增，则a 的取值范围是()A.(-∞,0]B.-1,0C.-1,1D.[0,+∞)7.当x ∈0,2π 时，曲线y =sinx 与y =2sin 3x -π6的交点个数为()A.3B.4C.6D.88.已知函数f x 的定义域为R ,f x >f x -1 +f x -2 ,且当x <3时，f x =x, 则下列结论中一定正确的是()A.f 10 >100B.f 20 >1000C.f 10 <1000D.f 20 <10000二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值X=2.1, 样本方差S 2=0.01，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布N 1.8,0.12 。

高考数学试卷全部解析

一、选择题解析1. 本题主要考查集合的概念。

答案为C。

解析：由题意可知，集合A={x|x≤1}，集合B={x|x≥2}，所以A∩B=∅，故选C。

2. 本题主要考查函数的单调性。

答案为A。

解析：函数f(x)=x^2-2x在定义域内单调递增，所以选A。

3. 本题主要考查数列的通项公式。

答案为B。

解析：由题意可知，数列{an}是等差数列，公差为2，首项为1，所以通项公式为an=2n-1，故选B。

4. 本题主要考查三角函数的性质。

答案为D。

解析：由题意可知，函数f(x)=sin(x+π/2)的周期为2π，所以选D。

5. 本题主要考查立体几何。

答案为C。

解析：由题意可知，正方体的对角线长度为2，所以棱长为√2，故选C。

二、填空题解析1. 本题主要考查一元二次方程的解法。

答案为x=1。

解析：由题意可知，方程x^2-2x+1=0的解为x=1。

2. 本题主要考查数列的前n项和。

答案为S_n=n(n+1)/2。

解析：由题意可知，数列{an}是等差数列，首项为1，公差为2，所以前n项和为S_n=n(n+1)/2。

3. 本题主要考查函数的导数。

答案为f'(x)=2x。

解析：由题意可知，函数f(x)=x^2的导数为f'(x)=2x。

4. 本题主要考查概率的计算。

答案为1/4。

解析：由题意可知，事件A、B、C相互独立，且P(A)=P(B)=P(C)=1/2，所以P(AB)=P(A)P(B)=1/4。

5. 本题主要考查平面几何。

答案为√3。

解析：由题意可知，等边三角形的边长为2，所以高为√3。

三、解答题解析1. 本题主要考查解析几何。

答案：圆心为(2,1)，半径为2。

解析：设圆心为C(x,y)，则由题意可知，圆C上任意一点到点A(0,0)的距离等于圆C的半径。

即√(x^2+y^2)=2，化简得x^2+y^2=4。

又因为点C在直线x+y-3=0上，所以联立方程组\begin{cases}x^2+y^2=4 \\x+y-3=0\end{cases}解得x=2，y=1，即圆心为(2,1)。

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2015年高考数学试卷1. (5 分)(2015・原题)复数 i (2-i)二( )A. l+2iB. 1—2iC. — 1 +2iD. — 1 — 2ix - y=C02. （5分）（2015*原题）若x, y 满足< x+y^ 1 ,则z=x+2y 的最大值为（） .x>03A. 0B. 1C. —D. 2 23. （5分）（2015-原题）执行如图所示的程序框图输出的结果为（）A. （ -2, 2）B. （ -4, 0）C. （ -4, -4）D. （0, -8）4. （5分）（2015•原题）设oc,卩是两个不同的平面，m 是克线且ms,缶//0“是“oc //卩” 的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件一、选择J （每小题5分,共40分）5.（5分）（2015•原题）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）6. （5分）（2015・原题）设{%}是等差数列，下列结论屮正确的是（）八・若 a 1+a 2>0,贝!j a 2+a 3>0 B.若 a 1+a 3<0> 贝lj a]+a 2<07. （5分）（2015•原题）如图，函数f （x ）的图象为折线ACB,则不等式f （x ） >1<）& （x+1）A. {x| -l<x<0}B. {x| -Kx<l}C. {x| - 1<x<1}D. {x| -l<x<2}8. （5分）（2015-原题）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）C.若 0<ai <a 2,则 2〉寸8护3D.若 2]V0,贝lj (a 2-a 1) (a 2-a 3) >0 A. 2+V5 B. 4+^5 C. 2+2A /5 D ・ 5A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程，三辆车屮，甲车消耗汽油最多C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D. 某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油9. （5分）（2015•原题）在（2+x ）'的展开式中，J 的系数为 __________ （用数字作答）10. （5分）（2015-原题）已知双曲线岭-y2=l （a >0）的一条渐近线为V3x+y=0，贝911. （5分）（2015-原题）在极坐标系中，点（2,牛）到直线° （cosO+V3sinO ） =6的距离为 ____________ •12. （5 分）（2015・原题）在AABC 中，a=4, b=5, c=6,则二 ____________________ .sinC在AABC 中，点 M, N 满足 AM=2MC, BN=NC,若MN=xAB+yAC,① 若汗1,则f （x ）的最小值为 _____________ ；② 若f （x ）恰有2个零点，则实数a 的取值范围是 ____________15. （13 分）（2015・原题）已矢U 函数 F （x ） =V2sin —cos — - V2sin ^―.2 2 2（I ）求f （x ）的最小正周期；（H ）求F （x ）在区间［■心0］上的最小值.16. （13分）（2015-原题）A, B 两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位: 天）记录如下：A 组:10, 11, 12, 13, 14, 15, 16B 组;12, 13, 15, 16, 17, 14, a假设所有病人的康复时间相互独立，从八，B 两组随机各选1人，八组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙.（I ）求甲的康复时间不少于14天的概率；（U ）如果沪25,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；（HI ）当a 为何值时，A, B 两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）17. （14分）（206原题）如图，在四棱锥A-EFCB 中，AAEF 为等边三角形，平面AEF 丄平面 EFCB, EF//BC, BC=4, EF=2a,上EBC 二上FCB 二60° , O 为 EF 的中点.（I ）求证：AO1BE.二、填空题侮小丿 5分,共30分）13. （5 分）（2015*原题）14. （5分）（2015•原题）设函数f （x ）= 2x-a, 4（x - a ）（x _ 2 a ）,x<l 三、解答］（共6小题 ,共80分）（U）求二面角F-AE-B的余弦值；（HI）若BE丄平面AOC,求a的值.18. (13分)(2015*原题)已知函数f (x)二1门丿注，(I )求曲线尸f (X )在点(0, f (0))处的切线方程; 3(H) 求证,当*€ (0, 1)时，f (x) >2(x+^-)；3(m)设实数k 使得f (x) >k(x+专-)对乂€ (o, 1)恒成立，求k 的最大值.19. (14分)(2015•原题)已知椭圆C:三+笃二1 (a>b>0)的离心率为李，点P (0, 1)/ b ， 2和点A (m, n) (mHO)都在椭圆C±,直线PA 交x 轴于点M.(I) 求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标(用n 表示)；(U )设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N,问：y 轴上是否存在点Q,使得ZOQM=ZONQ?若存在，求点Q 的坐标，若不存在，说明理由.2(). (13 分)(2013 •原题)已知数列｛%｝满足： , a t <36，且 a n+1 = (n=l, 2,…)，记集合 M ={a n |n€N +}.(I)若引二6,写出集合M 的所有元素；(n )如集合M 存在一个元素是3的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数; (111)求集合M 的元索个数的最大值.2%,a n <18 2%-36, %>182015年原题市高考数学试卷（理科）1. （5 分）（2015-原题）复数 i （2-i ）二（）A. l+2iB. 1 -2iC. —l+2iD. - 1 - 2i【分析】利用复数的运算法则解答.【解答】解:原式=2i - i 2=2i - (-1) =l+2i;故选：A.【点评】本题考查了复数的运算；关键是熟记运算法则.注意i 2=-l. &-y<02. （5分）（2015•原题）若x, y 满足《 x+yCl ,则z=x+2y 的最大值为（）、x>03A. 0B. 1C. —D. 2 2【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数z 二x+2y 对应的直线进行平移, 即可求出z 取得最大值."x-y<0【解答】解：作出不等式组x+y< 1表示的平面区域，.xi>0当1经过点B 时，目标函数z 达到最大值 z 煨大值二0+2X1 —2・【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数Z 二x+2y 的最大值，着重考查了二元一次不一、选择题（每小, 5分，共40分）等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题•3.（5分）（2015•原题）执行如图所示的程序框图输出的结果为（）A. (—2, 2)B. (一4, 0) C- (一4, -4) D. (0, -8)【分析】模拟程序框图的运行过程，即可得出程序运行后输出的结果.【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；x=l, y=l,k=0 时,s=x - y=0, t=x+y=2 ；x=s=0, y=t=2,k二1 时，s=x - y= - 2, t二x+y二2;x二s二一2，y二t二2，k=2 吋,s=x - y= ~ 4, t=x+y=0 ；x=s= -4, y=t=0,k=3时，循环终止，输出(x, y)是(-4, 0).故选：B.【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，是基础题目•4.(5分)(2015-原题)设冷卩是两个不同的平面，口是直线且muoc, //0 “是、//卩” 的()A.充分而不必耍条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【分析】m // p并得不到a II ,3,根据面面平行的判定定理，只有a内的两相交直线都平行于P，而a//0,并且mua,显然能得到这样即可找出正确选项.【解答】解：mca, 口//(3得不到00”(3,因为oc, 0可能相交，只要m和a,卩的交线平行即可得到m" (3；a // P，mCa, m 和0 没有公共点,.'.m//p,即oc//0 能得到m//0；二“m/邙”是、/人3”的必要不充分条件.故选B.【点评】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念.5. （5分）（2015-原题）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A. 2+^^/5B. 4+A /5C. 2+2A /5D. 5【分析】根据三视图可判断克观图为：（）A 丄面ABC,AC=AB,E 为BC 中点,EA=2,E/\=EB=1, OA二 1,: BC 丄 ffi AEO, AC=V5, OE=V5判断儿何体的各个面的特点，计算边长，求解面积.【解答】解：根据三视图可判断立观图为：（）八丄面ABC, AC 二AB, E 为BC 屮点，EA=2, EC=EB=1, ()A 二 1,•••可彳导/\E 丄BC, BC 丄OA,运用£［线平面的垂立得岀：BC 丄面AEO, AC=V5, OR=V5S/XBCO 二专 X2x V5-V5.故该三棱锥的表面积是2+2丽, 故选：C.【点评】本题考查了空间几何体的三视图的运用，空间想象能力，计算能力，关键是恢复直观图，得出几何体的性质.6. （5分）（2015•原题）设｛%｝是等差数列，下列结论中正确的是（）• • ^AABCX2X2 二 2, S AO/\C =^AOAB-^ XV5>< 1=^^-A.若引+玄2>0,贝lj a2+a3>0B.若卯+%<0,贝lj a1+a2<0C.若0<旬<近，则阴D・若吗<0,贝lj (a2-aj) (a2-a3) >0【分析】对选项分别进行判断，即可得岀结论.【解答】解：若a1+a2>0,则2a]+d>0, a2+a3=2a]+3d>2d, d>0时,结论成立，即A不正确；若吗+%<(),贝lj a1+a2=2a1+d<0, a2+a3=2a1+3d<2d, dV()日寸，结论丿成立，即B 不止确；{%}是詩差数列，0<则<^2，2屯二引+%>2寸3]阴,；•耳>勺a]巧，即C止确；若引V0,贝I」(迈—吗)(a2-a3) =-d2<0,即D不正确.故选：C.【点评】本题考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础.7.(5分)(2015•原题)如图,函数f (x)的图象为折线ACB,则不等式f(x) >lo& (x+1)-l<x<l}C. {x| - l<x<l}D. {x| -l<x<2}【分析】在已知坐标系内作IB y=log2 (x+1)的图象，利用数形结合得到不等式的解集.【解答】解：由已知F(x)的图象，在此坐标系内作出y二1。

历年数学高考真题及答案

历年数学高考真题及答案数学是一门需要反复练习和掌握技巧的学科，对于许多学生来说，通过解析历年数学高考真题是提高解题能力的有效方法。

历年数学高考真题种类繁多，覆盖了各种题型和难度，掌握这些真题并熟悉解题方法，将有助于考生在考试中取得更好的成绩。

以下将介绍一些历年数学高考真题及其答案，供考生参考。

2018年高考数学真题1. （2018年福建卷）在△ABC中，∠B=90°，D和E分别是AC的两个点，使得∠CBD=∠ABE，CB=CA，BD=BE。

（1）求证：△BCD≌△ABE；（2）若BC=2，AC=3，求BC的中线CD与AB的中线BE的交点的坐标。

解析：（1）由题意可知，∠CBD=∠ABE，CB=CA，BD=BE，根据两三角形对应的整角、对边和对角相等可知△BCD≌△ABE。

（2）由题意可知CB=2，AC=3，根据三角形中位线的性质，连接AB的中位线BE，CD交于点P，根据中位线的性质可知CP=0.5BD=BD/2=BE/2=0.5BE，由解（1）可知BE=2，因此BE=2，CD=3.5，点P的坐标为（0.5，1）。

2019年高考数学真题2. （2019年北京卷）已知空间中的四点A、B、C、D满足|AB|=|AC|=4，|AD|=3，|BC|=7，|BD|=5，|CD|=6。

（1）求四面体ABCD的体积；（2）求最大的四面体ABCD的体积。

解析：（1）根据四面体的体积公式V=⅓|det(AB, AC, AD)|，其中|det(AB, AC, AD)|为向量AB、AC、AD的混合积，代入题中数据计算得到V=22.67；（2）根据四面体的体积最大值为三棱锥时的体积可得到最大的四面体ABCD的体积为22.67。

通过解析以上历年高考数学真题，考生可以熟悉各类数学题目的解题方法，并掌握常见题型的解题技巧，提高数学解题能力。

希望考生能够在备考过程中积极练习历年真题，加深对数学知识的理解，取得优异的高考成绩。

高考数学试卷及答案解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知函数f(x) = 2x - 1，那么f(3)的值为（）A. 5B. 7C. 9D. 11答案：C解析：将x=3代入函数f(x) = 2x - 1，得到f(3) = 23 - 1 = 6 - 1 = 5。

2. 若|a| = 3，|b| = 4，则|a + b|的最大值为（）A. 7B. 8C. 11D. 12答案：C解析：由三角不等式可知，|a + b| ≤ |a| + |b|，所以|a + b| ≤ 3 + 4 = 7。

当a和b同号时，|a + b|取最大值，即|a + b| = |a| + |b| = 3 + 4 = 7。

3. 若x^2 - 4x + 3 = 0，则x的值为（）A. 1B. 3C. 2D. 5答案：A解析：这是一个一元二次方程，可以通过因式分解或使用求根公式来解。

因式分解得(x - 1)(x - 3) = 0，所以x = 1或x = 3。

故选A。

4. 在等差数列{an}中，若a1 = 3，公差d = 2，则a10的值为（）A. 21B. 23C. 25D. 27答案：C解析：等差数列的通项公式为an = a1 + (n - 1)d，代入a1 = 3，d = 2，n = 10，得到a10 = 3 + (10 - 1)2 = 3 + 18 = 21。

5. 若log2(x + 1) = 3，则x的值为（）A. 7B. 8C. 9D. 10答案：B解析：由对数定义可知，2^3 = x + 1，即8 = x + 1，解得x = 7。

6. 若复数z满足|z - 1| = 2，则复数z在复平面上的轨迹是（）A. 圆B. 线段C. 直线D. 双曲线答案：A解析：复数z可以表示为z = x + yi，其中x和y是实数。

由|z - 1| = 2，即|(x - 1) + yi| = 2，表示复数z到点(1, 0)的距离为2，因此z在复平面上的轨迹是以(1, 0)为圆心，2为半径的圆。

高考数学历年真题及答案详解

高考数学历年真题及答案详解一、选择题1. 题目描述：在平面直角坐标系中，点A(-3, 4)关于y轴的对称点是（）。

A. (3, -4)B. (-3, -4)C. (-3, 4)D. (3, 4)答案解析：点关于y轴对称即x取相反数，所以答案为A.(3, -4)。

2. 题目描述：已知函数 f(x) = 2^(2x-3)，则当 x = 1 时，f(x) 的值是（）。

A. 1B. 2C. 4D. 8答案解析：将x=1代入函数中，即f(1) = 2^(2*1-3)，化简得f(1)= 2^(-1) = 1/2，所以答案为A. 1。

二、填空题1. 题目描述：已知三角形ABC中，∠B = 90°，AC = 5 cm，BC =12 cm，求AB的长度。

答案解析：根据勾股定理，AB^2 + BC^2 = AC^2，代入已知数据得AB^2 + 12^2 = 5^2，化简得AB^2 = 25 - 144 = -119，由于长度不能为负数，所以不存在满足要求的三角形ABC。

2. 题目描述：若a1, a2, a3为等差数列的前三项，且满足a1 + a3 = 18，a2 - a3 = 4，求a1, a2和a3的值。

答案解析：由等差数列的性质可知，a2 = (a1 + a3) / 2，代入已知数据得a2 = 9.5，将a2带入a2 - a3 = 4解得a3 = 5.5，再将a3带入a1 +a3 = 18解得a1 = 12.5，所以a1 = 12.5，a2 = 9.5，a3 = 5.5。

三、解答题1. 题目描述：设函数f(x) = cos(x + 1) - sin(x - 1)，求f(x)的单调递增区间。

答案解析：对f(x)求导得f'(x) = -sin(x + 1) - cos(x - 1)，令f'(x) = 0，解方程得x = 1/4 (4πn + 3π/2) - 1，其中n为整数。

通过二阶导数的符号判断可知，当x < -1或x > -3/4 + 4πn，f(x)单调递增；当-3/4 + 4πn < x< -1，f(x)单调递减。

去年高考数学试卷及答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，则f(3)的值为（）A. 4B. 5C. 6D. 7答案：C解析：将x=3代入函数f(x) = x^2 - 2x + 1，得到f(3) = 3^2 - 23 + 1 = 9 - 6 + 1 = 4。

2. 若等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，则第10项an的值为（）A. 19B. 21C. 23D. 25答案：C解析：根据等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d，代入a1=3，d=2，n=10，得到an = 3 + (10-1)2 = 3 + 18 = 21。

3. 已知复数z满足|z-2i|=3，则z的实部a的取值范围是（）A. [-3, 1]B. [-1, 3]C. [-3, 3]D. [-1, 5]答案：B解析：复数z的实部a加上虚部2i的模长为3，即|a+2i|=3。

由复数的模长公式可得a^2 + 2^2 = 3^2，即a^2 + 4 = 9，解得a^2 = 5，所以a的取值范围为[-√5, √5]。

结合选项，答案为B。

4. 已知函数f(x) = log2(x+1)，则f(-1)的值为（）A. 0B. 1C. -1D. 不存在答案：D解析：由于对数函数的定义域为正实数，而f(-1)中的x+1=-1+1=0，不在定义域内，所以f(-1)不存在。

5. 已知等比数列{bn}的首项b1=1，公比q=2，则第5项bn的值为（）A. 16B. 32C. 64D. 128答案：C解析：根据等比数列的通项公式bn = b1 q^(n-1)，代入b1=1，q=2，n=5，得到bn = 1 2^(5-1) = 1 2^4 = 16。

6. 已知函数f(x) = |x-2|，则f(-1)的值为（）A. 1B. 3C. 4D. 5答案：B解析：将x=-1代入函数f(x) = |x-2|，得到f(-1) = |-1-2| = |-3| = 3。

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4.考试结束后，将本试题和答题卡并交绝密★启封并使用完毕前试题类型：A2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标1卷）数学注意事项:1 .本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

第I 卷1至3页，第II 卷 3至5页。

2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

一、填空题（本大题共有14题，满分48分.）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格埃对4分，否则一律得零分.1. (4 分)(2015-)设全集 U = R.若集合 A ={1, 2, 3, 4}, B ={x|2WxW3}, 则 A nCuB=.2. （4分）（20159若复数Z 满足3z+三二1 + i,其中i 是虚数单位，则Z=2 3 cA『炉33. （4分）（2015）若线性方程组的增广矩阵为解为，则G-0 1 c 2 （ y=5 x. J JC2=•4. （4分）（2015）若正三棱柱的所有棱长均为a,且其体积为16店，则 a=•5. （4分）（20159抛物线y 2=2px （p>0）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1, 则 p=.6. （4分）（2015）若圆锥的侧面积与过轴的裁面面积之比为2n ,则其母线与轴的夹角的大小为.7. (4 分)(2015)方程 log 2 (9x-1-5) =log 2 (3x-1-2) +2 的解为8. （4分）（2015）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）.9. （20159已知点P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q 的轨迹分别为双曲线G和C2.若G的渐近线方程为y二±、/^x,则C2的渐近线方程为.10. （4 分）（2015）设 L （x）为千（x）=x e [0, 2]的反函数，贝"y=f2（x） +" （x）的最大值为.11. （4分）（2015）在（l+x+弟岸）”的展开式中，x，项的系数为________ （结2015X果用数值表示）.12. （4分）（2015）赌博有陷阱.某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1, 2,3, 4, 5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的 1.4倍作为其奖金（单位：元）.若随机变量八和& 2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则E&L E&2=（元）.13. （4分）（2015）已知函数千（x）=sinx.若存在x- x2,…，乂…,满足0Wx〔VX2<・・・ VxmW6rt ,且|f （Xi） - f （x2） | + |f （x2） - f （x3） |+・・・+|f （x ra-i） - f （xQ |=12 （m\12, mGN*）,则m 的最小值为.14. （2015）在锐角三角形ABC中，tanA=l, D为边BC上的点，AA BD与AACD2的面积分别为2和4.过D作DE1AB于E,DF±AC于F,则瓦=.二、选择题（本大题共有4题，满分15分.）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15. （5分）（2015）设乙，z2ec,则“乙、Z2中至少有一个数是虚数”是“ZLZ2是虚数"的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件）C. _11 ~2D. 13 ~216. （5分）（20159已知点A的坐标为（4/, 1）,将0A绕坐标原点0逆时针旋转_2£至0B,则点B的纵坐标为（3A. 3V3B.蛛F F17. （2015）记方程①：x2+a lX+1=0,方程②：x2+a2x+2=0,方程③：x2+a3x+4=0,其中印，a2, a’是正实数.当司，a2, a’成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（）A.方程①有实根，且②有实根B.方程①有实根，且②无实根C.方程①无实根，且②有实根D.方程①无实根，且②无实根18. （5 分）（20159 设P n（x n, y n）是直线2x - v二工（nEN*）与圆x2+y2=2 在n+1y _ 1第一象限的交点，则极限lim-n二二（）n—8% 1A・-1 B. _1 C. 1 D. 2三、名师解答题（本大题共有5题，满分74分）名师解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. （12 分）（2015）如图，在长方体ABCD-ABC0 中，AA户1, AB=AD=2, E、F 分别是AB、BC的中点，证明用、G、F、E四点共面，并求直线CD】与平面A.C.FE 所成的角的大小.BC=4千米.现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为f (t)(单位：千米).甲的路线是AB,速度为5千米/小时，乙的路线是ACB,速度为8千米/小时.乙到达B地后原地等待.设t二七时乙到达C 地.(1) 求b与千(七)的值；(2) 已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当时，求千(t)的表达式，并判断f (t)在［七，1］上的最大值是否超过3?说明理由.21. (14分)(2015)已知椭圆x2+2y2=1,过原点的两条直线L和I?分别于椭圆交于A、B和C、D,记得到的平行四边形ABCD的面积为S.(1) 设A (Xl, y(, C (x2, y2),用A、C的坐标表示点C到直线L的距离,并证明S=21 Xiy2 - x2yi |:(2) 设L与12的斜率之积为-上求面积S的值.222. (16 分)(2015)已知数列｛aj 与｛b』满足a^-a户2 (b n+1-b n), nEN*.(1) 若b=3n+5,且aB,求数列｛aj的通项公式;(2) 设｛aj的第n°项是最大项，即a . ^a n (nGN*),求证：数列｛bj的第n。

数学高考真题答案及解析版

数学高考真题答案及解析版一、选择题1. 本题考查函数的性质和应用。

设函数f(x) = 2^x - 3，若f(x) = 5，则x = 2。

因为f(x)在R上是增函数，所以f(x) > 5 当 x > 2。

因此，选项A正确。

2. 根据题目，我们需要求解不等式。

首先，将不等式整理为标准形式：3x - 2 > 7。

解得x > 3，所以选项C是正确答案。

3. 题目涉及三角函数的图像和性质。

正弦函数y = sin(x)在区间[0,2π]内的最大值为1，最小值为-1。

因此，选项B描述正确。

4. 这是一个关于复数的问题。

设复数z = a + bi，其中a和b是实数。

根据题目条件，z的模长为5，即√(a^2 + b^2) = 5。

又因为z的实部为3，即a = 3。

代入模长公式，解得b = 4。

所以，复数z = 3 +4i，选项D正确。

5. 本题要求我们利用概率的基本原理计算事件的概率。

根据古典概型，事件A的概率P(A) = 事件A的基本事件数 / 总的基本事件数。

这里，事件A是抽取到红色球，有3个红色球和5个蓝色球，总共8个球。

所以，P(A) = 3/8。

选项B是正确答案。

二、填空题1. 题目要求求解几何级数的和。

根据等比数列求和公式，S = a(1 -r^n) / (1 - r)，其中a是首项，r是公比，n是项数。

将题目中的数值代入公式，得到S = 1(1 - 2^5) / (1 - 2) = 31/(-1) = -31。

2. 本题考查圆的方程和直线与圆的位置关系。

设圆心为O(0,0)，半径r = 3。

直线方程为y = x + 1。

圆心到直线的距离d = |0 - 0 + 1|/ √2 = 1/√2。

因为 d < r，所以直线与圆相交。

根据相交弦的性质，弦长l = 2√(r^2 - d^2) = 2√(9 - 1/2) = √34。

三、解答题1. 首先，我们需要证明函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x在区间[0,3]上是单调递增的。

历年全国卷高考数学真题汇编(解析版)

全国卷历年高考真题汇编三角1 (2017全国I卷9题)已知曲线G : y cosx , C2: y sin2 n2x —，则下面结论正确的3是()A .把G上各点的横坐标伸长到原来的2倍, 纵坐标不变, 再把得到的曲线向右平移上个单6位长度，得到曲线C2B.把C上各点的横坐标伸长到原来的2倍, 纵坐标不变, 再把得到的曲线向左平移单位长度，得到曲线C2C.把C上各点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变, 再把得到的曲线向右平移丄个单6位长度，得到曲线C2D .把G上各点的横坐标缩短到原来的2倍, 纵坐标不变, 再把得到的曲线向左平移单位长度，得到曲线C2【答案】D【解析】C1: y cosx , C2: y sin 2x首先曲线G、C2统一为一三角函数名，可将G：y cosx用诱导公式处理.y cosx cos xsinsin x .横坐标变换需将2 2 21C1上各点横坐标缩短它原来一2ynsin 2x —2注意根据1变成y sin 2x 8 sin23的系数，在右平移需将2提到括号外面，这时"左加右减”原则，“I卷17题)nsin 2 x —4亍平移至n ”到“ x字需加上，即再向左平移n122 (2017全国2的面积为—3sin A(1 )求sin Bsin C ;(2 )若6cos B cosC 1 ,△ABC的内角A , B , C的对边分别为a, b , c，已知△ABC a 3，求△ABC的周长.【解析】本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用(1) •/ △ ABC 面积S2a3sinA.且S ^bcsinA2^bcsin A 3sin A 2严2 A23 2••由正弦定理得 sin A —sin BsinCsin A ,2 2由 sin A 0 得 si n Bsi nC— 2,cosB cosC3•/ ABC n又A 0, n2, a.bc l sin A 由①②得b c——.a b c ———，即△ ABC 周长为———3. （2017 •新课标全国n 卷理 17）17. （12分）2 BABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,已知sin （A C ） 8si n 2—.2（1）求 cosB⑵若a c 6 , ABC 面积为2,求b.【命题意图】本题考查三角恒等变形，解三角形.【试题分析】在第（I ）中，利用三角形内角和定理可知A C B ,将2B 2 Bsin （A C ） 8sin —转化为角B 的方程，思维方向有两个：①利用降幕公式化简 sin 2—,2 222Q B结合sin B cos B 1求出cosB ；②利用二倍角公式，化简 sinB 8sin 2 ，两边约去2B Bsin ，求得tan，进而求得cosB .在第（n ）中，利用（I ）中结论，禾U 用勾股定理和22面积公式求出a c 、ac ，从而求出b . （I ）【基本解法1】(2)由(1)得 sin Bsin C cos A cos n B Ccos B C sin BsinC cosBcosC二 A 60 , sin A由余弦定理得 2 b 2 c 2cos A -2 bc由正弦定理得-sin B , sin Ac — sin C sin Asin BsinC 8、2 B由题设及A B C , si nB 8si n ，故20，si nB 4(1-cosB )上式两边平方，整理得217cos B-32cosB+15=0【基本解法2】由余弦定理及所以b=2【知识拓展】解三角形问题是高考高频考点，形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角” “角转边”，另外要注意a c, ac,a 2 c 2三者的关系，这样的题目小而活，备受老师和学生的欢迎. 4 (2017全国卷3理)17.( 12分)ABC 的内角A , B , C 的对边分别为a , b, c ,已知sin A 3cosA 0 , a 2 H , b 2 .(1) 求 c ；(2) 设D 为BC 边上一点，且 ADAC ,求△ ABD 的面积【解析】 (1)由 si nA3 cos An0 得 2sin A —0 ,3即Ank n k Z , 又A0, n ,3冗n ,得A2n二 A -33 •由余弦定理a 2 b 2 c 2 2bc cosA •又T a 2 7, b 2,cosA —代入并整理2/口2得 c 1 25，故 c 4 •解得cosB= 1 (舍去),cosB=^17由题设及ABC,sin B 8sin2-，所以 2B B 2 BB 2sin cos 8sin ，又 sin - 2 2 2 所以 tan B 1, cosB2 415(n)由 cosB=得 sin B174 + 2 B1 tan -_____ 2 + 2 B tan — 2—，故1715 17SABC1acsin B 24 ac 17又 S ABC =2, 则ac17 2.2 2 2b a c(a+c )2 : 2accosB36 22ac(1 口(12cosB)鸟17命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角(2) •/ AC 2,BC Z 7, AB 4 ,2 2 2由余弦定理cosC a b— ^7. 2ab 7 ••• AC AD ，即△ ACD 为直角三角形,cosC ，得 CD 7. 贝U AC CD由勾股定理AD 』CD | |AC73.n2 n n n 又 A ，贝V DAB -33 2 6 1n S A ABD AD AB sin §35 （2017全国卷文1） 14已知a10（法一） 0,2,tan又 sin 2 cos 21 ,辽 (cos sincos 42(cos2（法二） cos( 7)21sin coscos —4 2sin cos sin cos・2 2 sin cos 由 0,- 知 - __ — 2 4 4 【答案】 n (0,—),tana,=2U cos(-)=24sin22 sin 2coscos解得sin2、553 10)10 •sin ).又tan2tan22cos — tan1 5 4cos— 0,故 cos49 10， —3怖4 1056.( 2017全国卷2 文)3.函数f(x) A. 4 n B. 2 n C. n D. 【答案】C nsin （2x -）的最小正周期为3n2【解析】由题意T —2 【考点】正弦函数周期 ,故选C.【名师点睛】函数 y Asin （ x )B(A 0, 0）的性质(1)y max =A+B, y min A B .⑵周期Tn⑶由x — k M k Z)求对称轴2⑷由上2k n x n 2k^k Z) 求增区间；由2 2n 3 n-2k n x 2k n(k Z)求减区间；2 27 ( 2017 全国卷2 文)13.函数f(x) 2cosx sinx 的最大值为【答案】「5【解析】‘㈤乞Q+1 =/【考点】三角函数有界性【名师点睛】通过SB公式把三角函数化为—小i贰处+劝我的形式再借助三角函數團象研究性质,解题时注意观察角、函数名，结构等特征，一般可利用七如兀十处"•审后每求最值8 ( 2017全国卷2文)16. ABC的内角代B,C的对边分别为a,b,c ,若2bccosB acosC ccosA,贝U B【答案】—3【解析】由正弦定理可得2 sin^cos5 =5in. J：4CO5 C+ 5inCco5.4 = win(J. + C)=血占=ccs^ = —=>5 =—23［考点】正弦定理【宕师点睛】解三角形问題』多为边和角的求值问風遠就需要根抿正、余弦走理结合已知S件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决冋题的目的一其基本歩靈d第一步：定条件‘艮嚥定三角形中的已infMff求』在團形中标岀来，然后确主转化的方向第二宦走工具，即根揭臬件和所求合理选揺专化的工具，实S4边角之间的互亿第三步：求结果一9 （2017全国卷3文）4.已知Sin COS 43，则sin2=（）7A.9C. D. 【答案】A【解析】気3“吐口W帥—町一'工-1 9本题选择A选顶10 （2017全国卷3文）6.函数f(x)=-sin( x+ )+cos( x-)的最大值为(5 3 6A. 65 B. 1 C.-5D.【答案】A【解析】由诱导公式可得: cos cos 一2sin小 1则：f x sin x —5 3 sin6 .Sin x5函数的最大值为65本题选择A选项•7•函数丫=1+*+里器的部分图像大致为（xh/丿-/ /■XA11F 1 ■十41\11 X\）【答案】D【解析】士= 1时,/(1)=1+1 + 511]1=2+3111>2, ®排除民G当工T+H时』PT1+•故科除昆满足条件的只有D故选D1、(2016全国I卷12题)已知函数f(x) sin( x+ )( 0, n，X P f(X)的n n 5 n零点，x 为y f (x)图像的对称轴，且f (x)在(一，二)单调，则的最大值为4 18 36(A) 11 ( B)9 ( C) 7 ( D) 5【答案】B【解析】JT TT JT T r趣另析；因为$为/XE的寧気。

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参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式()()()P AB P A P B 24S R如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么334VRn 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,)kkn kn n P k C p p k n …普通高等学校招生全国统一考试一、选择题1、复数131i i=A 2+IB 2-IC 1+2iD 1- 2i2、已知集合A ＝{1.3. m }，B ＝{1，m} ,AB ＝A, 则m=A0或3B 0或3C 1或3D 1或33 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为A216x+212y=1 B212x+28y=1C28x+24y=1 D212x+24y=14 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中，AB=2，CC 1=22E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为A 2B3C2D 1（5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项和为(A)100101(B)99101(C)99100(D)101100（6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则(A)（B ）(C)(D)（7）已知α为第二象限角，sinα＋sinβ=33，则cos2α=(A)5-3（B）5-9(C)59(D)53（8）已知F1、F2为双曲线C：x2-y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，则cos ∠F1PF2=(A)14（B）35(C)34(D)45（9）已知x=lnπ，y=log52，12z=e，则(A)x＜y＜z （B）z＜x＜y (C)z＜y＜x (D)y＜z＜x(10) 已知函数y＝x2-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c＝（A）-2或2 （B）-9或3 （C）-1或1 （D）-3或1（11）将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A）12种（B）18种（C）24种（D）36种（12）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝73。

高考数学试卷及答案详解

一、选择题（每小题5分，共50分）1. 下列函数中，在定义域内是奇函数的是（）A. f(x) = x^2 - 1B. f(x) = |x|C. f(x) = x^3D. f(x) = 2x答案：C解析：奇函数满足f(-x) = -f(x)。

对于选项C，f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)，符合奇函数的定义。

2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5 = 15，S9 = 27，则该数列的公差d是（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B解析：等差数列的前n项和公式为Sn = n/2 (a1 + an)。

对于S5 = 15，有5/2 (a1 + a5) = 15，同理S9 = 9/2 (a1 + a9) = 27。

由a5 = a1 + 4d，a9 = a1 + 8d，代入得：5/2 (a1 + a1 + 4d) = 15，9/2 (a1 + a1 + 8d) = 27解得d = 2。

3. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则复数z的实部是（）A. 0B. 1C. -1D. 不确定答案：A解析：复数z在复平面上的几何意义是z对应的点到点(1, 0)和(-1, 0)的距离相等，即z位于这两点连线的垂直平分线上。

因此，z的实部为0。

4. 下列命题中，正确的是（）A. 若a > b，则a^2 > b^2B. 若a > b，则log_a b < 0C. 若a > b，则a + c > b + cD. 若a > b，则ac > bc答案：C解析：选项A、B、D均存在反例，只有选项C是正确的，因为对于任意的实数c，加上相同的数不会改变不等式的方向。

5. 函数y = 2^x + 1在定义域内的单调性是（）A. 单调递增B. 单调递减C. 不单调D. 不确定答案：A解析：指数函数y = 2^x是单调递增的，因此其加上常数1后，函数y = 2^x + 1仍然保持单调递增。

以来历年全国高考数学试卷全试题标准答案解析

1951年普通高等学校招生全国统一考试数学第一部分：1．设有方程组x+y=8，2x-y=7，求x ，y.解略：⎩⎨⎧==35y x2．若一三角形的重心与外接圆圆心重合，则此三角形为何种三角形？证：设△ABC 的重心与外接圆的圆心均为O （图1）∵OA=OC ，E 为AC 的中点，∴BE ⊥AC ；同理，CD ⊥AB ，AF ⊥BC 在Rt △ABE 与Rt △ACD 中，∠A 为公共角，BE=CD=R+21R=23R （R 为外接圆半径），所以△ABE ≌△ACD ，AB=AC ，同理可得AB=BC 由此可知△ABC 为等边三角形3．当太阳的仰角是600时，若旗杆影长为1丈，则旗杆长为若干丈？解略：3丈0)()()(:)()(,)(,,:?,,,,.4=-+-+-=++-=-=-==-=-=-=++-=-=-t a c t c b t b a z y x t a c tz c b y t b a x t ac zc b y b a x z y x c b a a c zc b y b a x 由此可得则有设解则各不相等而若5．试题10道，选答8道，则选法有几种？解略：45810=c 6．若一点P 的极坐标是（r,θ），则它的直角坐标如何？解：x=r θcos ,y=r θsin7．若方程x 2+2x+k=0的两根相等，则k=？解：由Δ=b 2-4ac=0,得k=18．列举两种证明两个三角形相似的方法OABCEFD答：略9．当（x+1)(x-2)＜0时，x 的值的范围如何？解略：-1＜x ＜210．若一直线通过原点且垂直于直线ax+by+c=0，求直线的方程解略：bx-ay=011．（x +x1)6展开式中的常数项如何？解：由通项公式可求得是T 4=2012．02cos =θ的通解是什么？解：).(4为整数k k π±π=θ13．系数是实数的一元三次方程，最少有几个根是实数，最多有几个根是实数？答：最少是一个，最多是三个14．解：原式=1003)5(4)2(4550554)5(55430)2(=⋅-⋅--⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅-+⋅⋅+⋅⋅- 15．x 2-4y 2=1的渐近线的方程如何？解略：02=±y x?345505542=--16．三平行平面与一直线交于A ，B ，C 三点，又与另一直线交于A ＇，B ＇，C ＇三点，已知AB=3，BC=7及A ＇B ＇=9求A ＇C ＇解：如图易证:3011=''∴''''==C A C A B A AC AB AC AB 17．有同底同高的圆柱及圆锥，已知圆柱的体积为18立方尺，求圆锥的体积略：6立方尺18．已知lg2=0.3010,求lg5. 略：lg5=1-lg2=0.699019．二抛物线y 2=12x 与2x 2=3y 的公共弦的长度是多少？解略：解方程组得两公共点为（0，0）及（3，6）故其公共弦长为：5320．国旗上的正五角星的每一个顶角是多少度？解：由图可知：∠AFG=∠C+∠E=2∠C, ∠AGF=∠B+∠D=2∠B,∴∠A+∠AFG+∠AGF=∠A+2∠C+2∠B=5∠A ∴5∠A=1800，∴∠A=360 第二部分：A A ＇ αB B ＇ βB 1γ C C ＇C 1FGAC EBD1．P ，Q ，R 顺次为△ABC 中BC ，CA ，AB 三边的中点，求证圆ABC 在A 点的切线与圆PQR 在P 点的切线平行证：如图：由AD 是大圆的切线，可得： ∠1=∠2由RQ ∥BC ，可得：∠2=∠3，由QP ∥AB ，可得：∠3=∠4由PE 是小圆的切线，可得： ∠4=∠5由RP ∥AC ，可得：∠5=∠6综上可得：∠1=∠6，故AD ∥PE2．设△ABC 的三边BC=4pq,CA=3p 2+q 2,AB=3p 2+2pq-q 2,求∠B ，并证∠B 为∠A 及∠C 的等差中项解：由余弦定理可得：.C A B A,-B 60)180(60B 214)23(2)3()4()23(2cos 222222222222的等差中项与是∠∠∠∴∠∠=∠-︒=∠-∠-∠-︒=∠-∠︒=∠∴=⋅-+--+-+=⋅-+=A B B A B C pqq pq p q p pq q pq p BC AB CA BC AB B 3．（1）求证，若方程x 3+ax 2+bx+c=0的三根可排成等比数列，则a 3c=b 3.证：设α，β，γ是方程x 3+ax 2+bx+c=0的三根，由根与系数关系可知：α+β+γ=-aαβ+βγ+γα=b αβγ=-c564321E QPRA BC又因α，β，γ排成等比数列，于是β2=αγ33333233a )()()(bc c a b ==αβγ-=β-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡γ+β+αβγ+β+α-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡γ+β+αβ+βγ+α-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡γ+β+α-γα+βγ+αβ=⎪⎭⎫⎝⎛此即（2）已知方程x 3+7x 2-21x-27=0的三根可以排成等比数列，求三根解：由⑴可知β3=-c ，∴β3=27，∴β=3代入α+β+γ=-7可得α+γ=-10，又由α，β，γ成等比数列，∴β2=αγ，即αγ=9，故可得方程组：⎩⎨⎧--=γ--=α=αγ-=γ+α.91,19,910或或可得解之于是，所求之三根为-9，3，-1或-1，3，-94．过抛物线顶点任做互相垂直的两弦，交此抛物线于两点，求证此两点联线的中点的轨迹仍为一抛物线证：设抛物线方程为y 2=2px ……………①过抛物线顶点O 任作互相垂直的二弦OA 和 OB ，设OA 的斜率为k ，则直线OB 的斜率为 -k 1，于是直线OA 的方程为： y =kx ………………………②直线OB 的方程为：x k y 1-=③ 设点A （x 1 ,y 1),点B(x 2 ,y 2)由①，②可得： .2,2121k p y k p x ==由①，③可得：YA·P （x,y)O XBx 2=2pk 2, y 2=-2pk设P （x ，y ）为AB 的中点，由上可得： ④ ⑤ 由⑤可得： ⑥ 由④可知：px 2222k p kp +=,代入⑥,2p -px y 22222222222=-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=即p px p k p k p y 所以，点P 的轨迹为一抛物线1952年普通高等学校招生全国统一考试数学第一部分：1.因式分解x 4 – y 4 =？解：x 4 – y 4 =(x 2+y 2)(x+y)(x-y)2.若lg2x=21lgx ，问x=？解：2x=x 21，x ≠0，∴202=X3.若方程x 3+bx 2+cx+d=0的三根为1,-1,21,则c=？解：由根与系数的关系可知：c=1·（-1）+（-1）·21+21·1=1pk kpy y y pk kp x x x -=+=+=+=222122212222222k p p kp y +-=4.若x x 求,0472=-+解：两边平方，得：x 2 +7=16，∴3±=x5.解:原式=-246.两个圆的半径都是4寸,并且一个圆过另一个圆的圆心，则此两圆的公共弦长是多少寸？解：设两圆O 1及O 2之公共弦为AB 连结O 1O 2交AB 于点C ，则AB垂直平分O 1O 2∴O 1C=21O 1O 2=2（寸）).(342),(3224222121寸寸==∴=-=-=AC AB C O AO AC连结AO 1，则△ACO 1为直角三角形， 7.三角形ABC 的面积是60平方寸，M 是AB 的中点，N 是AC 的中点，△AMN 的面积是多少？解：∵MN ∥BC ，∴41ABC AMN 22==∆∆ANAM 的面积的面积， △AMN 的面积=41△ABC 的面积=15（平方寸）8.正十边形的一个内角是多少度？解：由公式,)2(180nn -︒此处n=10于是一个内角为：︒144AO 1 O 2CB?123054321=9.祖冲之的圆周率π=？答：22/7，355/13310.球的面积等于大圆面积的多少倍？解：球的面积4πR 2为大圆面积πR 2的4倍11.直圆锥之底半径为3尺，斜高为5尺，则其体积为多少立方尺？解：圆锥高h=4（尺），故此直圆锥的体积：V 锥 =31πR 2h=12π（立方尺） 12.正多面体有几种？其名称是什么？答：共有五种，其名称为：正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体和正二十面体13.已知 sin θ=31,求cos2θ=？解：cos2θ=1-2sin 2θ=97 14.方程tg2x=1的通解x=？解：).(82为整数k k x π+π=15.太阳的仰角为300时，塔影长为5丈，求塔高是多少？解：塔高=5×tg300=335（寸） 16．△ABC 的b 边为3寸，c 边为4寸，A 角为300，问△ABC 的面积为多少平方寸？解：).(330sin 4321sin 21平方寸的面积=︒⋅⋅⋅==∆A bc ABC17.已知一直线经过（2，3），其斜率为-1，则此直线方程如何？解：即x+y –5=018.若原点在一圆上，而此圆的圆心为（3，4）则此圆的方程如何？解：圆的半径.54322=+=R所以，圆的方程为：(x-3)2+(y-4)2=25，也即：x 2+y 2-6x-8y=019.原点至3x+4y+1=0的距离是什么？解：.51431040322=++⋅+⋅=d 20.抛物线y 2-8x+6y+17=0的顶点坐标是什么？解：原方程可变形为：(y+3)2=8(x-1), 故顶点坐标为（1，-3）第二部分：1.解方程x 4+5x 3-7x 2-8x-12=0解：左式=(x 4+5x 3-6x 2）-（x 2+8x+12）=(x+6)[x 2(x-1)-(x+2)] =(x+6)(x 3-x 2-x-2) =(x+6)[(x 3-2x 2)+(x 2-x-2)] =(x+6)(x-2)(x 2+x+1)=0 可得原方程的四根为：.231,231,2,64321ix i x x x --=+-==-= 2.△ABC 中，∠A 外角的平分线与此三角形外接圆相交于P ，求证：BP=CP证：如图，∠CBP=∠CAP=∠PAD 又∠1=∠2由∠CAD=∠ACB+∠CBA=∠ACB+∠CBP+∠2=∠ACB+∠1+∠CBP =∠BCP+∠CBP∴∠BCP=∠CBP ，∴BP=CP 3.设三角形的边长为a =4，b=5，c=6，其对角依次为A ，B ，C 求A B C C sin ,sin ,sin ,cos .问A ，B ，C 三角为锐角或钝角？解：应用余弦定理，可得： .812cos 222=-+=ab c b a C由此可知C 为锐角；另外，由已知条件，三边边长适合关系式a ＜b ＜c ，从而可知∠A ＜∠B ＜∠C 由于C 为锐角，故A ，B 亦为锐角.741c asinC sinA .7165sin sin ,.783)81(-1sinC cos -1sinC 22=======c C b B C 可得应用正弦定理可得由 4.一椭圆通过（2，3）及（-1，4）两点，中心为原点，长短轴重合于坐标轴，试求其长轴，短轴及焦点解：由于椭圆过（2，3）及（-1，4）两点，所以将此两点代入标准方程可得：C1P2D A B.75522,35522,355,755,1161194222222==∴==⎪⎩⎪⎨⎧=+=+a b b a b ab a 短轴长轴解之 .2155221220,22222==-=∴-=a b c a b c 又 ).21552,0(),21552,0(21F F -故焦点坐标为1954年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、化简.])()()[(317212131223b ab b a --- 解：原式=.)()(32310231272321223a b a b b a b a ==--乙、解c b a x lg lg 2lg 31lg 61++= 解略：x=a 2b 12c 6.丙、用二项式定理计算（3.02）4，使误差小于千分之一.,,,001.0)1002()1002(34)1002(36100234310023)02.3(:43223444千分之一其误差必小于计算可到第三项为止所以可知第四项之值已小于解+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=.182.830216.016.281)02.3(4=++=丁、试证直角三角形弦上的半圆的面积，等于勾上半圆的面积与股上半圆的面积的总和证：由c 2 =a 2+b 2∴弦上半圆的面积= 22222221221421221⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛b a b a c ππππ=勾上半圆的面积+股上半圆的面积戊、已知球的半径等于r ，试求内接正方形的体积解：内接正方体的中心即该球的球心正方体过中心的对角线为该球的直径，故其长为2r 若设内接正方体的边长为a ，则有3a 2=4r 2，.398332.332333r r a r a =⎪⎭⎫⎝⎛==∴=内接正方体的体积己、已知a 是三角形的一边，β及γ是这边的两邻角，试求另一边b 的计算公式解：由正弦定理可知.)sin(sin )](180sin[sin ,sin )](180sin[γββγβββγβ+=--︒=∴=--︒a a b b a2.描绘y=3x 2-7x-1的图象，并按下列条件分别求x 的值所在的范围： 1）y ＞0， 2）y ＜0).1261(31)67(:2+=-y x 将原方程变形可得解 ).1261,67(,-抛物线顶点为于是)0,6617(,)0,6617(:+-N M x 轴的交点为与).,6617(),6617,(,0+∞+--∞>的值所在范围为时当x y ).6617,6617(,0+-<的值所在范围为时当x y YM O N X)1261,67(-3.假设两圆互相外切，求证用连心线做直径的圆，必与前两圆的外公切线相切证：设⊙O 1及⊙O 2为互相外切之二圆，其一外公切线为A 1A 2，切点为A 1及A 2令点O 为连心线O 1O 2的中点，过O 作OA ⊥A 1A 2∵OA=21（O 1A 1+O 2A 2）=21O 1O 2，∴以O 1O 2为直径，即以O 为圆心，OA 为半径的圆必与直线A 1A 2相切同理可证，此圆必切于⊙O 1及⊙O 2的另一条外公切线4．试由.,2sin 111通值求的x x tgxtgx+=-+ )(0sin 4,1,0sin cos ,0sin )sin (cos 20)sin cos 1)(sin (cos )sin (cos sin cos sin cos :22222为整数或者即或者所以解k k x x k x tgx x x x x x x x x x x x x x x x π=∴=π-π=∴-==+=⋅+=+-++=-+由检验可知，均为其通解5．有一直圆锥，另外有一与它同底同高的直圆柱，假设a 是圆锥的全面积，a ＇是圆柱的全面积，试求圆锥的高与母线的比值解：设直圆锥的高为h ，底面半径为R ，母线长为L ，则,)(2)(2)(h R L R h R R L R R a a ++=++='ππ .2)2(),()(2,).()(222222222ah L a h L a a L h L a h h L a h L R L R a h R a -'=-'-+-'=+--=+'=+∴代入可得由A 2AA 1O 1 O O 2,.21)2(,2等式两边平方可得两边同除以L h a a L h a a L -'=⎪⎭⎫⎝⎛-'-.)2(4)2()2(22])2(4[2)2()2(44)48(2)2(164:,,0)2(16)4)(48(4)4(.0)4(4)48(,441)44(2222223322222222222222a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a L h a a a a a a a a a a a a Lha a a L h a a L h a a a a L h a L h a a a L h a a a a '-+'-'-±'='-+'-'-±'='+'-'-±'=∴>'-='+''+'--'-=∆='+'+'-⎪⎭⎫⎝⎛'+'-⎪⎭⎫⎝⎛+⋅'-'=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-'+'-母线的比此二实根即圆锥的高与实根该一元二次方程有二个式的一元二次方程的判别这个关于1958年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、求二项式5)21(x +展开式中3x 的系数解：设求的项为.802,32)2(333354551x x C T r x C x C T r r r r r r ==∴===+今乙、求证.sin 88sin 4cos 2cos cos xxx x x =⋅⋅ 证：x x x 4cos 4sin 28sin =xx x x xx x 4cos 2cos cos sin 84cos 2cos 2sin 4=⌒ ⌒⌒ ⌒ ⌒ ⌒ .sin 88sin 4cos 2cos cos xxx x x =⋅⋅∴ 丙、设AB ，AC 为一个圆的两弦，D 为AB 的中点，E 为AC 的中点，作直线DE 交AB 于M ，交AC 于N ，求证：AM=AN证：联结AD 与AE （如图） ∵∠AMN=∠DAM+∠MDA ， ∠ANM=∠EAN+∠NEA ，又∵AD=DB ，∠DAB=∠AED ，AE=EC ，∠ADE=∠EAC ， ∴∠AMN=∠ANM ， AM=AN.丁、求证正四面体ABCD 中相对的两棱（即异面的两棱）互相垂直证：因ABCD 是正四面体，各个面都是等边三角形，过A 作AE ⊥BC ，联结DE ，则DE ⊥BC ， ∴BC 垂直平面AED ，而AD 在此平面内， ∴BC ⊥AD同理可证AB ⊥DC ，AC ⊥DB戊、求解.cos 3sin x x = 解：,cos 3sin x x =AD EM NBCDCA EB).(3,3为整数k k x tgx π+π==∴ 2．解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=-+++)2(9122)1(4121 y y x y x y x v y x u yx y x y x =-+=+=-+++12,1,8)12()1()2(:设式变形为由解则原方程变形为⎩⎨⎧=+=+)4(8)3(422 v u v u 解方程组，可得.2,2==v u 将v u ,的值代回所设，可得⎪⎩⎪⎨⎧-==⎩⎨⎧====-==∴=--=--⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+.21,6;1,3.6,3),5(.21,1,01,112)5()6()6(412)5(41,21221221121212y x y x x x y y y y y y y x y x y x y x 由检验可知代入即得得两边平方都是原方程组的解3．设有二同心圆，半径为R ，r(R>r ），今由圆心O 作半径交大圆于A ，交小圆于A ＇，由A 作直线AD 垂直大圆的直径BC ，并交BC 于D;由A ＇作直线A ＇E 垂直AD ，并交AD 于E ，已知∠OAD= α，求OE 的长解：在直角△OAD 中， OD=Rsin α，AD=Rcos α 在直角△A ＇AE 中， AE=（R-r ）cos α ∴DE=AD-AE=Rcos α-（R-r ）cos α=rcos α. OE=.cos sin 222222α+α=+r R DE OD4．已知三角形ABC ，求作圆经过A 及AB 中点M ，并与BC 直线相切已知：M 为△ABC 的AB 的中点.求作：一个经过A 、M 两点且与BC 直线相切的圆.AA ＇ EB O D C分析：设⊙O 即为合于要求的圆（如图）因⊙O 经过A 、M 两点且与直线BC 相切于点P ，这样，BP 为⊙O 的切线，BA 为⊙O 的割线，所以，应有 BP 2=BM ·BA而BM ，BA 均为已知，因此，BP 的长度可以作出，由此可得点P ，于是过A 、M 、P 三点就可确定所求之圆作法：1）作线段A ＇B ＇M ＇，使A ＇B ＇=AB ，B ＇M ＇=BM2）以A ＇M ＇为直径作半圆3）过B ＇作A ＇M ＇的垂线B ＇P ＇交半圆于点P ＇ 4）在△ABC 的边BC 上截取BP=B ＇P ＇ 5）经过A 、M 、P 三点作⊙O 即为所求证明：由作图可知B ＇P ＇2= A ＇B ＇·B ＇M ＇，A ＇B ＇=AB ，B ＇M ＇=BM ，所以BP 2=BM ·BA ，即BP 为⊙O 的切线，BMA 为其割线，且⊙O 经过A 、M 、P 三点，故⊙O 适合所要求的条件5．已知直角三角形的斜边为2，斜边上的高为23，求证此直角三角形的两个锐角是下列三角方程的根CPOA BMP ＇A ＇B ＇ M ＇043sin 231sin 2=++-x x 证：设AD=k （如图） ∵AB=2，∴DB=2-k. 由CD 2=AD ·DB ，.2123,0432),2()23(22或==+--=∴k k k k k在直角△ACD 中，当23==k AD 时，,332323===AD CD tgA ∴A=300，B=600.当21==k AD 时，,32123===AD CD tgA ∴A=600，B=300. 总之，两锐角一为300，一为600. 当x=300时，代入原方程中得;04321231)21(4330sin 23130sin 22=+⋅+-=+︒+-︒ 当x=600时，代入原方程中得.04323231)23(4360sin 23160sin 22=+⋅+-=+︒+-︒ 故这个直角三角形的两个锐角是原三角方程的根CA D B1959年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、已知lg2=0.3010,lg7=0.8451,求lg35解：原式=2lg 10lg 7lg 2107lg 270lg-+=⨯= =0.8451+1-0.3010=1.5441.乙、求ii +-1)1(3的值.解：.21)1(21221331133132-=++-=+--=++--=+-+-=ii i i i i i i i i i 原式丙、解不等式.3522<-x x 解：原式移项得,03522<--x x ∴原不等式的解为.321<<-x 丁、求︒165cos 的值解：)3045cos(15cos )15180cos(165cos ︒-︒-=︒-=︒-︒=︒.426)21222322()30sin 45sin 30cos 45(cos +-=⋅+⋅-=︒︒+︒︒-=戊、不在同一平面的三条直线c b a ,,互相平行，A 、B 为b 上两定点，求证另两顶点分别在c a 及上的四面体体积为定值证：因为A 、B 为直线b 上两定点，而直线b ∥直线c ，所以，不论点C 在直线c 的什么位置上，△ABC 的面积均为一定值（同底等高的三角形等积）又因直线a 平行于直线 c b ,，所以，直线a ∥平面α（已知c b a ,,不在同一平面内），因此，不论点D 在直线a 的什么位置上，从点D 到平面α的距离h 为一定值，故四面体ABCD 的体积=定值高底面积=⋅⋅=⨯⨯∆h S ABC 3131己、圆台上底面积为225cm π，下底直径为cm 20，母线为cm 10，求圆台的侧面积解：设此圆台上底半径为r ，下底半径为R ，由已知条件,252π=πr 所以r=5(cm).又下底半径R=10cm ，母线,10cm l =圆台侧面积=πl （R+r)=π·10·（10+5）=150π（cm 2). 2．已知△ABC 中，∠B=600，AC=4，面积为3，求AB 和BC. 解：设AB=c ，BC=a ，则有⎪⎩⎪⎨⎧︒-+==︒),(60cos 24)(360sin 21222余弦定理两边夹角求面积公式ac c a ac D ahA B bOα cC.37,37.32,12)(,72,28)(,,1642222=±=∴±=-∴=-=+∴=+⎩⎨⎧=-+=c a c a c a c a c a ac c a ac 由由解之即故所求AB ，BC 之长为⎩⎨⎧+=-=⎩⎨⎧-=+=.37,37;37,37BC AB BC AB 3．已知三个数成等差数列，第一第二两数的和的3倍等于第三个数的2倍，如果第二个数减去2，则成等比数列，求这三个数解：设所求之三数为d a a d a +-,,则根据题意有⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧==⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧+-=-+=+-.45;1,45:4454).)(()2(),(2])[(3221122d a d a d a d a d a d a a d a a d a 解得化简后得故所求三数为.9,5,149,45,41或4．已知圆O 的两弦AB 和CD 延长相交于E ，过E 点引EF ∥CB 交AD 的延长线于F ，过F 点作圆O 的切线FG ，求证：EF=FG. 证：∵FG 为⊙O 的切线，而FDA 为⊙O 的割线，∴FG 2=FD ·FA …………① 又∵EF ∥CB ，∴∠1=∠2.而∠2=∠3， ∴∠1=∠3，∠EFD=∠AFE 为公共角 ∴△EFD ∽△AFE ，,FAEF EF FD =即EF 2=FD ·FA …………②由①，②可得EF 2=FG 2 ∴EF=FG.5．已知A 、B 、C 为直线l 上三点，且AB=BC=a ;P 为l 外一点，且∠APB=900，∠BPC=450，求（1）∠PBA 的正弦、余弦、正切; （2）PB 的长; （3）P 点到l 的距离.解：过P 点作PD ⊥AB 交AB 于点D （如图）（1）过点B 作BE ∥AP 交PC 于点E 则∠PBE=900，∠PEB=450，PB=BE. ∵△CPA ∽△CEB ∴,22==a aBE PA 因PB=BE ， ∴.2,2=∠=PBA tg PBPA C G2 FO D1A 3 EBP450 EA a DB a C又∵,sec 122PBA PBA tg ∠=∠+∠PBA 为锐角， ∴,51sec 2=∠+=∠PBA tg PBA.552cos sin ,5551cos =∠⋅∠=∠==∠PBA PBA tg PBA PBA（2）.55cos a PBA AB PB =∠⋅= （3）,552sin ,55=∠=PBA a PB ∴.52sin a PBA PB PD =∠⋅= 综上，所求为（1）∠PBA 的正弦、余弦、正切分别是2,551,552 （2）PB 的长为;551a （3）P 点到l 的距离为.52a1957年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、化简32221)27102(1.0)972(--++解：原式=.481110216910035)2764()101()925(32221=++=++--乙、求适合不等式22<+x x 的实数x 的范围解：原式为022<-+x x 解为：-2<x<1. 故x 的范围为-2<x<1. 丙、求证.210322+='︒ctg 证：.2145sin 45cos 12450322+=︒︒+=︒='︒ctgctg丁、在四面体ABCD 中，AC=BD ，P 、Q 、R 、S 依次为棱AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：PQRS 为一个菱形证：由于点P 、Q 、R 、S 依次为棱AB 、BC 、CD 、DA 的中点，根据三角形两边中点连线的性质可得.////,21////BD SP RQ AC RS PQ ====而由题设，AC=BD ， ∴PQ=QR=RS=SP ，故 PQRS 为一个菱形戊、设b a ,为异面直线，EF 为ba ,的公垂线，α为过EF 的中点且与b a ,平行的平面，M 为a 上任一点，N 为b 上任一点求证线段MN 被平面α二等分证：过直线b 作平面β//α（如图）过直线a 及公垂线EF 作一平面，在此平面内作MC ∥EF ，且与平面α，β分别交于B 、C 两点设EF 、MN 分别与平面α交于点A 、D∵点A 是EF 的中点，ASPDRC BQM E aB Aα DC bN F β又ME ∥BA ∥CF ， ∴点B 是MC 的中点又∵DB ∥NC ， ∴D 是MN 的中点另法：如图，连接EN ，AB,BD 由AB b BD a b a //,////,//⇒αα由A 是EF 的中点得,D 为MN 的中点此即线段MN 被平面α二等分 2．解方程组⎩⎨⎧⋅==-++)2(101010)1(1)2lg()12lg( yx xy y x 解：由（1）可得,10)2)(12(=-+y x)3(01242 =-+-y x xy由（2）可得)4( y x xy +=将（4）代入（3）可得,012422=-+-+y x y x,01232=-+-y x)5(3212 xy +=再将（5）代入（4）可得,32123212xx x x ++=+⋅ 化简，得,012722=-+x x.41457±-=∴x 将x 值代入（5）.6145173212±=+=x y abαEFAMNBD此即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.614517,41457;614517,414572211y x y x 因为,0122<+x 所以（1）式无意义（负数无对数），故原方程组的解仅为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.614517,41457y x 3．设△ABC 的内切圆半径为r ，求证BC 边上的高.2sin2cos 2cos 2A CB r AD ⋅⋅=证：在直角△ABC 中，2cos2sin 2sin B B c Bc AD ⋅⋅=⋅=另外，EB AE c +=)22(Bctg A ctgr += 2sin2sin )22sin()2sin 2cos 2sin 2cos (B A B A r B B A A r ⋅+⋅=+=AEc r bOB Ca D.2sin2cos2cos 22cos 2sin2sin 2sin2cos22sin 2sin2cosA CB r B B BA Cr AD B A C r ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=∴⋅⋅= 4．设△ABC 为锐角三角形，以BC 为直径作圆，并从A 作此圆的切线AD 与圆切于D 点，由在AB 边上取AE=AD ，并过E 作AB 的垂线与AC 边的延长线交于F ，求证：（1）AE:AB=AC:AF.（2）△ABC 的面积=△AEF 的面积.证（1）：设AB 与⊙O 相交于点G ，联结EC ，CG ，BF.∵EF ⊥AB ，CG ⊥AB ，∴GC ∥EF ，AC:AF=AG:AE ………………① 又∵AD 是⊙O 的切线，∴AD 2=AG ·AB ，也即AG:AD=AD:AB但∵AD=AE ，∴AG:AE=AE:AB ……………② 由①、②可得AE:AB=AC:AF证（2）：由（1）AE:AB=AC:AF ，则EC ∥BF ，△EBC 的面积=△EFC 的面积 ∴△ABC 的面积=△AEC 的面积+△EBC 的面积=△AEC 的面积+△EFC 的面积 =△AEF 的面积5．求证方程0)2()12(23=+-++-Q x Q x x 的一个根是1设这个方程的三个根是△ABC 的三个内角的正弦,sin ,sin ,sin C B A 求A 、B 、C 的度数以及Q 的值解：将x=1代入这个方程式，则01)2(1)12(123=+⋅-+⋅+-Q Q ，故知1是原方程的一个根由于1是原方程的一个根，所以方程左边能被x-1整除AGE DB GOF用x-1除方程左边后得商式.022=--Q x x根据题设条件（即有一个根为1，不妨设1sin =C ）及根与系数的关系可得⎪⎩⎪⎨⎧-=⋅=+=)3(sin sin )2(2sin sin )1(1sin Q B A B A C 由（1）可知C=900，于是A+B=900，B=900-A ，代入（2）得.212222sin sin )3(45459045,045,1)45cos(,1cos 45cos sin 45sin ,1cos 22sin 22,2cos sin ,2)90sin(sin -=⋅-=⋅-=︒=︒-︒=︒=∴=︒-∴=︒-=⋅︒+⋅︒=+∴=+=-︒+B A Q B A A A A A A A A A A A 式可得从即1957年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、化简32221)27102(1.0)972(--++解：原式=.481110216910035)2764()101()925(32221=++=++--乙、求适合不等式22<+x x 的实数x 的范围解：原式为022<-+x x 解为：-2<x<1. 故x 的范围为-2<x<1. 丙、求证.210322+='︒ctg证：.2145sin 45cos 12450322+=︒︒+=︒='︒ctgctg 丁、在四面体ABCD 中，AC=BD ，P 、Q 、R 、S 依次为棱AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：PQRS 为一个菱形证：由于点P 、Q 、R 、S 依次为棱AB 、BC 、CD 、DA 的中点，根据三角形两边中点连线的性质可得.////,21////BD SP RQ AC RS PQ ====而由题设，AC=BD ， ∴PQ=QR=RS=SP ，故 PQRS 为一个菱形戊、设b a ,为异面直线，EF 为ba ,的公垂线，α为过EF 的中点且与b a ,平行的平面，M 为a 上任一点，N 为b 上任一点求证线段MN 被平面α二等分证：过直线b 作平面β//α（如图）过直线a 及公垂线EF 作一平面，在此平面内作MC ∥EF ，且与平面α，β分别交于B 、C 两点设EF 、MN 分别与平面α交于点ASPDRC BQM E aB Aα DC bN FβA 、D∵点A 是EF 的中点，又ME ∥BA ∥CF ， ∴点B 是MC 的中点又∵DB ∥NC ， ∴D 是MN 的中点另法：如图，连接EN ，AB,BD 由AB b BD a b a //,////,//⇒αα由A 是EF 的中点得,D 为MN 的中点此即线段MN 被平面α二等分 2．解方程组⎩⎨⎧⋅==-++)2(101010)1(1)2lg()12lg( yx xy y x 解：由（1）可得,10)2)(12(=-+y x)3(01242 =-+-y x xy由（2）可得)4( y x xy +=将（4）代入（3）可得,012422=-+-+y x y x,01232=-+-y x)5(3212 xy +=再将（5）代入（4）可得,32123212xx x x ++=+⋅ 化简，得,012722=-+x x.41457±-=∴x abαEFAMNBD将x 值代入（5）.6145173212±=+=x y 此即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.614517,41457;614517,414572211y x y x 因为,0122<+x 所以（1）式无意义（负数无对数），故原方程组的解仅为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.614517,41457y x 3．设△ABC 的内切圆半径为r ，求证BC 边上的高.2sin2cos 2cos 2A CB r AD ⋅⋅=证：在直角△ABC 中，2cos2sin 2sin B B c Bc AD ⋅⋅=⋅=另外，EB AE c +=)22(Bctg A ctgr += 2sin2sin )22sin()2sin 2cos 2sin 2cos (B A B A r B B A A r ⋅+⋅=+=AEc r bOB Ca D.2sin2cos2cos 22cos 2sin2sin 2sin2cos22sin 2sin2cosA CB r B B BA Cr AD B A C r ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=∴⋅⋅= 4．设△ABC 为锐角三角形，以BC 为直径作圆，并从A 作此圆的切线AD 与圆切于D 点，由在AB 边上取AE=AD ，并过E 作AB 的垂线与AC 边的延长线交于F ，求证：（1）AE:AB=AC:AF.（2）△ABC 的面积=△AEF 的面积.证（1）：设AB 与⊙O 相交于点G ，联结EC ，CG ，BF.∵EF ⊥AB ，CG ⊥AB ，∴GC ∥EF ，AC:AF=AG:AE ………………① 又∵AD 是⊙O 的切线，∴AD 2=AG ·AB ，也即AG:AD=AD:AB但∵AD=AE ，∴AG:AE=AE:AB ……………② 由①、②可得AE:AB=AC:AF证（2）：由（1）AE:AB=AC:AF ，则EC ∥BF ，△EBC 的面积=△EFC 的面积 ∴△ABC 的面积=△AEC 的面积+△EBC 的面积=△AEC 的面积+△EFC 的面积 =△AEF 的面积5．求证方程0)2()12(23=+-++-Q x Q x x 的一个根是1设这个方程的三个根是△ABC 的三个内角的正弦,sin ,sin ,sin C B A 求A 、B 、C 的度数以及Q 的值解：将x=1代入这个方程式，则01)2(1)12(123=+⋅-+⋅+-Q Q ，故知1是原方程的一个根由于1是原方程的一个根，所以方程左边能被x-1整除AGE DB GOF用x-1除方程左边后得商式.022=--Q x x根据题设条件（即有一个根为1，不妨设1sin =C ）及根与系数的关系可得⎪⎩⎪⎨⎧-=⋅=+=)3(sin sin )2(2sin sin )1(1sin Q B A B A C 由（1）可知C=900，于是A+B=900，B=900-A ，代入（2）得.212222sin sin )3(45459045,045,1)45cos(,1cos 45cos sin 45sin ,1cos 22sin 22,2cos sin ,2)90sin(sin -=⋅-=⋅-=︒=︒-︒=︒=∴=︒-∴=︒-=⋅︒+⋅︒=+∴=+=-︒+B A Q B A A A A A A A A A A A 式可得从即1957年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、化简32221)27102(1.0)972(--++解：原式=.481110216910035)2764()101()925(32221=++=++--乙、求适合不等式22<+x x 的实数x 的范围解：原式为022<-+x x 解为：-2<x<1. 故x 的范围为-2<x<1. 丙、求证.210322+='︒ctg证：.2145sin 45cos 12450322+=︒︒+=︒='︒ctgctg 丁、在四面体ABCD 中，AC=BD ，P 、Q 、R 、S 依次为棱AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：PQRS 为一个菱形证：由于点P 、Q 、R 、S 依次为棱AB 、BC 、CD 、DA 的中点，根据三角形两边中点连线的性质可得.////,21////BD SP RQ AC RS PQ ====而由题设，AC=BD ， ∴PQ=QR=RS=SP ，故 PQRS 为一个菱形戊、设b a ,为异面直线，EF 为ba ,的公垂线，α为过EF 的中点且与b a ,平行的平面，M 为a 上任一点，N 为b 上任一点求证线段MN 被平面α二等分证：过直线b 作平面β//α（如图）过直线a 及公垂线EF 作一平面，在此平面内作MC ∥EF ，且与平面α，β分别交于B 、C 两点设EF 、MN 分别与平面α交于点ASPDRC BQM E aB Aα DC bN FβA 、D∵点A 是EF 的中点，又ME ∥BA ∥CF ， ∴点B 是MC 的中点又∵DB ∥NC ， ∴D 是MN 的中点另法：如图，连接EN ，AB,BD 由AB b BD a b a //,////,//⇒αα由A 是EF 的中点得,D 为MN 的中点此即线段MN 被平面α二等分 2．解方程组⎩⎨⎧⋅==-++)2(101010)1(1)2lg()12lg( yx xy y x 解：由（1）可得,10)2)(12(=-+y x)3(01242 =-+-y x xy由（2）可得)4( y x xy +=将（4）代入（3）可得,012422=-+-+y x y x,01232=-+-y x)5(3212 xy +=再将（5）代入（4）可得,32123212xx x x ++=+⋅ 化简，得,012722=-+x x.41457±-=∴x abαEFAMNBD将x 值代入（5）.6145173212±=+=x y 此即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.614517,41457;614517,414572211y x y x 因为,0122<+x 所以（1）式无意义（负数无对数），故原方程组的解仅为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.614517,41457y x 3．设△ABC 的内切圆半径为r ，求证BC 边上的高.2sin2cos 2cos 2A CB r AD ⋅⋅=证：在直角△ABC 中，2cos2sin 2sin B B c Bc AD ⋅⋅=⋅=另外，EB AE c +=)22(Bctg A ctgr += 2sin2sin )22sin()2sin 2cos 2sin 2cos (B A B A r B B A A r ⋅+⋅=+=AEc r bOB Ca D.2sin2cos2cos 22cos 2sin2sin 2sin2cos22sin 2sin2cosA CB r B B BA Cr AD B A C r ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=∴⋅⋅= 4．设△ABC 为锐角三角形，以BC 为直径作圆，并从A 作此圆的切线AD 与圆切于D 点，由在AB 边上取AE=AD ，并过E 作AB 的垂线与AC 边的延长线交于F ，求证：（1）AE:AB=AC:AF.（2）△ABC 的面积=△AEF 的面积.证（1）：设AB 与⊙O 相交于点G ，联结EC ，CG ，BF.∵EF ⊥AB ，CG ⊥AB ，∴GC ∥EF ，AC:AF=AG:AE ………………① 又∵AD 是⊙O 的切线，∴AD 2=AG ·AB ，也即AG:AD=AD:AB但∵AD=AE ，∴AG:AE=AE:AB ……………② 由①、②可得AE:AB=AC:AF证（2）：由（1）AE:AB=AC:AF ，则EC ∥BF ，△EBC 的面积=△EFC 的面积 ∴△ABC 的面积=△AEC 的面积+△EBC 的面积=△AEC 的面积+△EFC 的面积 =△AEF 的面积5．求证方程0)2()12(23=+-++-Q x Q x x 的一个根是1设这个方程的三个根是△ABC 的三个内角的正弦,sin ,sin ,sin C B A 求A 、B 、C 的度数以及Q 的值解：将x=1代入这个方程式，则01)2(1)12(123=+⋅-+⋅+-Q Q ，故知1是原方程的一个根由于1是原方程的一个根，所以方程左边能被x-1整除AGE DB GOF用x-1除方程左边后得商式.022=--Q x x根据题设条件（即有一个根为1，不妨设1sin =C ）及根与系数的关系可得⎪⎩⎪⎨⎧-=⋅=+=)3(sin sin )2(2sin sin )1(1sin Q B A B A C 由（1）可知C=900，于是A+B=900，B=900-A ，代入（2）得.212222sin sin )3(45459045,045,1)45cos(,1cos 45cos sin 45sin ,1cos 22sin 22,2cos sin ,2)90sin(sin -=⋅-=⋅-=︒=︒-︒=︒=∴=︒-∴=︒-=⋅︒+⋅︒=+∴=+=-︒+B A Q B A A A A A A A A A A A 式可得从即1957年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、化简32221)27102(1.0)972(--++解：原式=.481110216910035)2764()101()925(32221=++=++--乙、求适合不等式22<+x x 的实数x 的范围解：原式为022<-+x x 解为：-2<x<1. 故x 的范围为-2<x<1. 丙、求证.210322+='︒ctg 证：.2145sin 45cos 12450322+=︒︒+=︒='︒ctgctg丁、在四面体ABCD 中，AC=BD ，P 、Q 、R 、S 依次为棱AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：PQRS 为一个菱形证：由于点P 、Q 、R 、S 依次为棱AB 、BC 、CD 、DA 的中点，根据三角形两边中点连线的性质可得.////,21////BD SP RQ AC RS PQ ====而由题设，AC=BD ， ∴PQ=QR=RS=SP ，故 PQRS 为一个菱形戊、设b a ,为异面直线，EF 为ba ,的公垂线，α为过EF 的中点且与b a ,平行的平面，M 为a 上任一点，N 为b 上任一点求证线段MN 被平面α二等分证：过直线b 作平面β//α（如图）过直线a 及公垂线EF 作一平面，在此平面内作MC ∥EF ，且与平面α，β分别交于B 、C 两点设EF 、MN 分别与平面α交于点A 、D∵点A 是EF 的中点，ASPDRC BQM E aB Aα DC bN F β又ME ∥BA ∥CF ， ∴点B 是MC 的中点又∵DB ∥NC ， ∴D 是MN 的中点另法：如图，连接EN ，AB,BD 由AB b BD a b a //,////,//⇒αα由A 是EF 的中点得,D 为MN 的中点此即线段MN 被平面α二等分 2．解方程组⎩⎨⎧⋅==-++)2(101010)1(1)2lg()12lg( yx xy y x 解：由（1）可得,10)2)(12(=-+y x)3(01242 =-+-y x xy由（2）可得)4( y x xy +=将（4）代入（3）可得,012422=-+-+y x y x,01232=-+-y x)5(3212 xy +=再将（5）代入（4）可得,32123212xx x x ++=+⋅ 化简，得,012722=-+x x.41457±-=∴x 将x 值代入（5）.6145173212±=+=x y abαEFAMNBD此即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.614517,41457;614517,414572211y x y x 因为,0122<+x 所以（1）式无意义（负数无对数），故原方程组的解仅为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.614517,41457y x 3．设△ABC 的内切圆半径为r ，求证BC 边上的高.2sin2cos 2cos 2A CB r AD ⋅⋅=证：在直角△ABC 中，2cos2sin 2sin B B c Bc AD ⋅⋅=⋅=另外，EB AE c +=)22(Bctg A ctgr += 2sin2sin )22sin()2sin 2cos 2sin 2cos (B A B A r B B A A r ⋅+⋅=+=AEc r bOB Ca D.2sin2cos2cos 22cos 2sin2sin 2sin2cos22sin 2sin2cosA CB r B B BA Cr AD B A C r ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=∴⋅⋅= 4．设△ABC 为锐角三角形，以BC 为直径作圆，并从A 作此圆的切线AD 与圆切于D 点，由在AB 边上取AE=AD ，并过E 作AB 的垂线与AC 边的延长线交于F ，求证：（1）AE:AB=AC:AF.（2）△ABC 的面积=△AEF 的面积.证（1）：设AB 与⊙O 相交于点G ，联结EC ，CG ，BF.∵EF ⊥AB ，CG ⊥AB ，∴GC ∥EF ，AC:AF=AG:AE ………………① 又∵AD 是⊙O 的切线，∴AD 2=AG ·AB ，也即AG:AD=AD:AB但∵AD=AE ，∴AG:AE=AE:AB ……………② 由①、②可得AE:AB=AC:AF证（2）：由（1）AE:AB=AC:AF ，则EC ∥BF ，△EBC 的面积=△EFC 的面积 ∴△ABC 的面积=△AEC 的面积+△EBC 的面积=△AEC 的面积+△EFC 的面积 =△AEF 的面积5．求证方程0)2()12(23=+-++-Q x Q x x 的一个根是1设这个方程的三个根是△ABC 的三个内角的正弦,sin ,sin ,sin C B A 求A 、B 、C 的度数以及Q 的值解：将x=1代入这个方程式，则01)2(1)12(123=+⋅-+⋅+-Q Q ，故知1是原方程的一个根由于1是原方程的一个根，所以方程左边能被x-1整除AGE DB GOF用x-1除方程左边后得商式.022=--Q x x根据题设条件（即有一个根为1，不妨设1sin =C ）及根与系数的关系可得⎪⎩⎪⎨⎧-=⋅=+=)3(sin sin )2(2sin sin )1(1sin Q B A B A C 由（1）可知C=900，于是A+B=900，B=900-A ，代入（2）得.212222sin sin )3(45459045,045,1)45cos(,1cos 45cos sin 45sin ,1cos 22sin 22,2cos sin ,2)90sin(sin -=⋅-=⋅-=︒=︒-︒=︒=∴=︒-∴=︒-=⋅︒+⋅︒=+∴=+=-︒+B A Q B A A A A A A A A A A A 式可得从即1957年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、化简32221)27102(1.0)972(--++解：原式=.481110216910035)2764()101()925(32221=++=++--乙、求适合不等式22<+x x 的实数x 的范围解：原式为022<-+x x 解为：-2<x<1. 故x 的范围为-2<x<1. 丙、求证.210322+='︒ctg证：.2145sin 45cos 12450322+=︒︒+=︒='︒ctgctg 丁、在四面体ABCD 中，AC=BD ，P 、Q 、R 、S 依次为棱AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：PQRS 为一个菱形证：由于点P 、Q 、R 、S 依次为棱AB 、BC 、CD 、DA 的中点，根据三角形两边中点连线的性质可得.////,21////BD SP RQ AC RS PQ ====而由题设，AC=BD ， ∴PQ=QR=RS=SP ，故 PQRS 为一个菱形戊、设b a ,为异面直线，EF 为ba ,的公垂线，α为过EF 的中点且与b a ,平行的平面，M 为a 上任一点，N 为b 上任一点求证线段MN 被平面α二等分证：过直线b 作平面β//α（如图）过直线a 及公垂线EF 作一平面，在此平面内作MC ∥EF ，且与平面α，β分别交于B 、C 两点设EF 、MN 分别与平面α交于点ASPDRC BQM E aB Aα DC bN FβA 、D∵点A 是EF 的中点，又ME ∥BA ∥CF ， ∴点B 是MC 的中点又∵DB ∥NC ， ∴D 是MN 的中点另法：如图，连接EN ，AB,BD 由AB b BD a b a //,////,//⇒αα由A 是EF 的中点得,D 为MN 的中点此即线段MN 被平面α二等分 2．解方程组⎩⎨⎧⋅==-++)2(101010)1(1)2lg()12lg( yx xy y x 解：由（1）可得,10)2)(12(=-+y x)3(01242 =-+-y x xy由（2）可得)4( y x xy +=将（4）代入（3）可得,012422=-+-+y x y x,01232=-+-y x)5(3212 xy +=再将（5）代入（4）可得,32123212xx x x ++=+⋅ 化简，得,012722=-+x x.41457±-=∴x abαEFAMNBD。

高考数学试题及答案详解

高考数学试题及答案详解一、选择题（每题4分，共40分）1. 若函数f(x) = 2x^2 - 4x + 1，则f(1)的值为：A. 1B. 2C. 3D. 5答案：B解析：将x=1代入函数f(x) = 2x^2 - 4x + 1中，得到f(1) =2(1)^2 - 4(1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1。

因此，正确答案为B。

2. 已知等差数列{an}的首项a1 = 3，公差d = 2，求第10项a10的值：A. 23B. 25C. 27D. 29答案：A解析：根据等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d，将n=10，a1=3，d=2代入公式，得到a10 = 3 + (10-1)×2 = 3 + 18 = 21。

因此，正确答案为A。

...20. 已知函数g(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1，求g(x)的导数g'(x)：A. 3x^2 - 12x + 9B. x^3 - 6x^2 + 9C. 3x^2 - 12x + 1D. 3x^2 - 6x + 9答案：A解析：根据导数的定义，对函数g(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1求导，得到g'(x) = 3x^2 - 12x + 9。

因此，正确答案为A。

二、填空题（每题5分，共30分）1. 若复数z满足|z| = √2，且z的实部为1，则z的虚部为____。

答案：±1解析：设复数z = 1 + bi，其中b为虚部。

根据复数的模长公式，|z| = √(1^2 + b^2) = √2，解得b^2 = 1，因此b = ±1。

...5. 已知直线l的方程为y = 2x + 3，求直线l与x轴的交点坐标。

答案：(-3/2, 0)解析：令y=0，代入直线方程y = 2x + 3，得到0 = 2x + 3，解得x = -3/2。

因此，直线l与x轴的交点坐标为(-3/2, 0)。

高考数学真题及答案解析版

高考数学真题及答案解析版一、选择题1. 题目内容：已知函数f(x) = ax^2 + bx + c在点x=1取得最小值3，且知道a>0，求a+b+c的值。

答案解析：根据题意，函数f(x) = ax^2 + bx + c在x=1处取得最小值，可以得出f(x)的对称轴为x=-b/2a=1，由此可得b=-2a。

又因为f(1)=3，代入得a+b+c=3。

将b=-2a代入，得到a-2a+c=3，即c=5-a。

由于a>0，所以c>5。

综合以上信息，我们可以得出a+b+c=a-2a+5-a=3，解得a=1，进而得到b=-2，c=4。

所以a+b+c=1+(-2)+4=3。

2. 题目内容：设集合A={x|x^2 < 4}，B={x|x < 0}，求A∪B的值。

答案解析：集合A表示的是所有满足x^2 < 4的x值的集合，即-2 <x < 2。

集合B表示的是所有小于0的x值的集合。

求A∪B，即求A和B的并集，也就是所有属于A或属于B的元素构成的集合。

由于A的范围是-2到2之间，而B是小于0的所有数，因此A∪B的范围是从负无穷到2，即A∪B={x|x < 2}。

3. 题目内容：已知数列{an}满足a1=1，an=3an-1+2(n≥2)，求a5的值。

答案解析：根据递推公式an=3an-1+2，我们可以逐步计算数列的前几项。

首先a1=1，然后a2=3a1+2=5，a3=3a2+2=17，a4=3a3+2=53，最后a5=3a4+2=161。

所以a5的值为161。

二、填空题1. 题目内容：若sinθ=0.6，则cosθ的值为______。

答案解析：根据三角函数的基本关系，sin^2θ+cos^2θ=1。

已知sinθ=0.6，所以0.6^2+cos^2θ=1，解得cos^2θ=1-0.36=0.64。

由于cosθ的值在-1到1之间，所以cosθ的值为±√0.64=±0.8。

2012年-2021年(10年)全国高考数学真题分类汇编集合(精解精析版)

2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编集合（精解精析版）1．(2021年高考全国乙卷理科)已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T Ç=()A ．∅B ．SC ．TD ．Z【答案】C解析：任取t T ∈，则()41221t n n =+=⋅+，其中n Z ∈，所以，t S ∈，故T S ⊆，因此，S T T = ．故选：C ．2．(2021年高考全国甲卷理科)设集合{}104,53M x x N xx ⎧⎫=<<=≤≤⎨⎬⎩⎭，则M N = ()A ．103x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭B ．143xx ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}45x x ≤<D ．{}05x x <≤【答案】B解析：因为1{|04},{|5}3M x x N x x =<<=≤≤，所以1|43M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭,故选：B ．【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解．3．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =()A ．–4B ．–2C ．2D ．4【答案】B【解析】求解二次不等式240x -≤可得：{}2|2A x x -=≤≤，求解一次不等式20x a +≤可得：|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭．由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故：12a-=，解得：2a =-．故选：B ．【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．4．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知集合U ={−2，−1，0，1，2，3}，A ={−1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B ⋃=ð()A ．{−2，3}B ．{−2，2，3}C ．{−2，−1，0，3}D ．{−2，−1，0，2，3}【答案】A解析：由题意可得：{}1,0,1,2A B ⋃=-，则(){}U 2,3A B =- ð．故选：A.【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题．5．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为()A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】C解析：由题意，A B 中的元素满足8y xx y ≥⎧⎨+=⎩，且*,x y N ∈，由82x y x +=≥，得4x ≤，所以满足8x y +=的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)，故A B 中元素的个数为4．故选：C ．【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题．6．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知集合{}1,0,1,2A =-，2{|1}B x x =≤，则A B =()A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,2【答案】A 【解析】因为{}1,0,1,2A =-，{}11B x x =-≤≤，所以{}1,0,1A B =- ，故选A ．【点评】本题考查了集合交集的求法，是基础题．7．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)设集合{}2560A x x x =-+>，{}10B x x =-<，则A B =()A ．(),1-∞B ．()2,1-C ．()3,1--D ．()3,+∞【答案】A【解析】{}{25602A x x x x x =-+>=≤或}3x ≥，{}{}101B x x x x =-<=<，故{}1A B x x =< ，故选A ．【点评】本题主要考查一元二次不等式，一元二次不等式的解法，集合的运算，属于基础题．本题考点为集合的运算，为基础题目，难度偏易．不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．8．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知集合{42}M x =-<<，2{|60}N x x x =--<，则M N = ()A ．{|43}x x -<<B ．{|42}x x -<<-C ．{|22}x x -<<D ．{|23}x x <<【答案】C 解析：2{|60}{|(2)(3)0}{|23},{|22}N x x x x x x x x M N x x =--<=+-<=-<<∴=-<< ．9．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)已知集合{}|10A x x =-≥，{}0,1,2B =，则A B = ()A ．{}0B ．{}1C ．{}1,2D ．{}0,1,2【答案】C解析：{}{}|10|1A x x x x =-≥=≥，{}0,1,2B =，故{}1,2A B = ，故选C ．10．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)已知集合(){}223A x y xy x y =+∈∈Z Z ，≤，，，则A 中元素的个数为()A ．9B ．8C ．5D ．4【答案】A 解析：(){}{}223(1,1),(1,0),(1,1),(0,1),(0,0),(0,1),(1,1),(1,0),(1,1)A x y xy x y =+∈∈=-------Z Z ,≤,,，故选A ．11．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)己知集合{}220A x x x =-->,则R A =ð()A ．{}12x x -<<B ．{}12x x -≤≤C ．{}{}12x x x x <-> D ．{}{}12x x x x ≤-≥解析：集合{}220A x x x =+->，可得{}12A x x x =<->或，则{}-12R A x x =≤≤ð，故选：B ．12．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)已知集合{}|1A x x =<,{}|31x B x =<,则()A ．{|0}AB x x =< B ．A B =RC ．{|1}A B x x =>D ．A B =∅【答案】A【解析】由31x<得033x<,所以0x <,故{|1}{|0}{|0}A B x x x x x x ⋂=<⋂<=<,故选A ．【考点】集合的运算,指数运算性质．【点评】集合的交、并、补运算问题,应先把集合化简再计算,常常借助数轴或韦恩图进行处理．13．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│,B ={}(,)x y y x =│,则A B 中元素的个数为()．A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【解析】法1:集合中的元素为点集,由题意,结合A 表示以(0,0)为圆心,1为半径的单位圆上所有点组成的集合,集合B 表示直线y x =上所有点组成的集合,联立圆与直线的方程,可得圆221x y +=与直线y x =相交于两点22⎛⎝⎭,,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,所以A B 中有两个元素．法2:结合图形,易知交点个数为2,即A B 的元素个数为2．故选B【考点】交集运算;集合中的表示方法．【点评】求集合的基本运算时,要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合,这是正确求解集合运算的两个先决条件．集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大,特别是含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合中的元素是否满足互异性．14．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1A B = ，则B =()A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,5【命题意图】本题主要考查一元二次方程的解法及集合的基本运算，以考查考生的运算能力为目的．【解析】解法一：常规解法∵{}1A B = ∴1是方程240x x m -+=的一个根，即3m =，∴{}2430B x x x =-+=故{}1,3B =解法二：韦达定理法∵{}1A B = ∴1是方程240x x m -+=的一个根，∴利用伟大定理可知：114x +=，解得：13x =，故{}1,3B =解法三：排除法∵集合B 中的元素必是方程方程240x x m -+=的根，∴124x x +=，从四个选项A ﹑B ﹑C ﹑D 看只有C 选项满足题意．【知识拓展】集合属于新课标必考点，属于函数范畴，常与解方程﹑求定义域和值域﹑数集意义相结合，集合考点有二：1．集合间的基本关系；2．集合的基本运算．15．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)设集合{}(2)(3)0S x x x =--≥,{}0T x x =>,则S T =()A ．[]2,3B ．(][),23,-∞+∞ C ．[)3,+∞D ．(][)0,23,+∞ 【答案】D【解析】由(2)(3)0x x --≥解得3x ≥或2x ≤,所以{}23S x x x =或≤≥,所以{}023S T x x x =< 或≤≥,故选D .16．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)已知集合{1,2,3}A =，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B =()A ．{1}B ．{12}，C ．{0123}，，，D ．{10123}-，，，，【答案】C【解析】{|(1)(2)0,}={0,1}B x x x x Z =+-<∈，又{1,}A =2,3，所以{0,1,2,3}A B =，故选C ．17．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =()(A )3(3,)2--(B )3(3,)2-(C )3(1,)2(D )3(,3)2【答案】D【解析】{}{}243013A x x x x x =-+<=<<，{}32302B x x x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭．故332A B xx ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭．故选D ．18．(2015高考数学新课标2理科)已知集合21,0,1,2A =--｛，｝，{}(1)(20B x x x =-+<,则A B = ()A ．{}1,0A =-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,2【答案】A解析：由已知得{}21B x x =-<<，故{}1,0A B =- ，故选A ．考点：集合的运算．19．(2014高考数学课标2理科)设集合0,1,2M =｛｝，2{|320}N x x x =-+≤，则M N = ()A ．{1}B ．｛2｝C ．｛0，1｝D ．｛1，2｝【答案】D解析：因为N ={x|1x 2}≤≤，所以M N={12},⋂，故选D ．考点：（1）集合的基本运算；（2）一元二次不等式的解法，难度：B 备注：常考题20．(2014高考数学课标1理科)已知集合A ={x |2230x x --≥},B ={}22x x -≤<,则A B ⋂=()A ．[-2,-1]B ．[-1,2)C ．[-1,1]D ．[1,2)【答案】A解析:∵A ={x |2230x x --≥}={}13x x x ≤-≥或,B ={}22x x -≤<,∴A B ⋂={}21x x -≤≤,选A ．考点:(1)集合间的基本运算;(2)一元二次不等式的解法;(3)数形结合思想难度:A 备注:高频考点21．(2013高考数学新课标2理科)已知集合=2{|(1)4,},N {1,0,1,2,3}M x x x R -<∈=-，则M N ⋂=()A ．{0,1,2}B ．{1,0,1,2}-C ．{1,0,2,3}-D ．{0,1,2,3}【答案】A解析：化简集合M 得{|13,}M x x x R =-<<∈，则{0,1,2}M N ⋂=．考点：（1）7．2．1一元二次不等式的解法；（2）1．1．3集合的基本运算．难度：A 备注：高频考点22．(2013高考数学新课标1理科)已知集合A =2{|20}x x x ->，B ={|x x <<，则()A ．AB =∅ B ．A B R= C ．B A⊆D ．A B⊆【答案】D解析:(,0)(2,),A A B R =-∞+∞∴= ,故选B ．考点:（1）1．1．3集合的基本运算；（2）7．2．1一元二次不等式的解法．难度：Ａ备注：高频考点23．(2012高考数学新课标理科)已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素的个数为()A ．3B ．6C ．8D ．10【答案】D解析：以x 为标准进行分类：当x =5时，满足A y x ∈-的y 的可能取值为1,2,3,4，共有4个，（确定y 的个数）当x =4时，满足A y x ∈-的y 的可能取值为1,2,3，共有3个，（确定y 的个数）当x =3时，满足A y x ∈-的y 的可能取值为1,2，共有2个，（确定y 的个数）当x =2时，满足A y x ∈-的y 的可能取值为1，共有1个，（确定y 的个数）得B 中所含元素（x ，y ）的个数为4+3+2+1=10个。

历年(2019-2024)全国高考数学真题分类(排列组合与二项式定理)汇编(附答案)

历年(2019-2024)全国高考数学真题分类(排列组合与二项式定理)汇编考点01 排列组合综合1．（2024∙全国甲卷∙高考真题）甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（） A ．14 B ．13C ．12D ．232．（2023∙全国甲卷∙高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（） A ．120B ．60C ．30D ．203．（2023∙全国甲卷∙高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）A ．16B ．13C ．12D ．234．（2023∙全国乙卷∙高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（） A ．30种B ．60种C ．120种D ．240种5．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（）． A ．4515400200C C ⋅种 B ．2040400200C C ⋅种C ．3030400200C C ⋅种D ．4020400200C C ⋅种6．（2022∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（） A ．12种B ．24种C ．36种D ．48种7．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A ．16B ．13C ．12D ．238．（2021∙全国乙卷∙高考真题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（） A ．60种B ．120种C ．240种D ．480种9．（2021∙全国甲卷∙高考真题）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（） A ．0.3B ．0.5C ．0.6D ．0.810．（2021∙全国甲卷∙高考真题）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A ．13B ．25C ．23D ．4511．（2020∙海南∙高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（）A ．2种B ．3种C ．6种D ．8种12．（2020∙山东∙高考真题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）A ．120种B ．90种C ．60种D ．30种13．（2019∙全国∙高考真题）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．1116考点02 二项式定理综合1．（2024∙北京∙高考真题）在(4x 的展开式中，3x 的系数为（） A ．6B ．6-C ．12D ．12-2．（2022∙北京∙高考真题）若443243210(21)x a x a x a x a x a -=++++，则024a a a ++=（）A ．40B ．41C ．40-D ．41-3．（2020∙北京∙高考真题）在52)-的展开式中，2x 的系数为（）． A ．5-B ．5C ．10-D ．104．（2020∙全国∙高考真题）25()()x x y x y ++的展开式中x 3y 3的系数为（）A ．5B ．10C ．15D ．205．（2019∙全国∙高考真题）（1+2x 2）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为 A ．12 B ．16 C ．20 D ．24参考答案考点01 排列组合综合1．（2024∙全国甲卷∙高考真题）甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（） A ．14 B ．13C ．12D ．23【答案】B【详细分析】解法一：画出树状图，结合古典概型概率公式即可求解.解法二：分类讨论甲乙的位置，结合得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解. 【答案详解】解法一：画出树状图，如图，由树状图可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有24种排法，其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种，故所求概率81=243P =. 解法二：当甲排在排尾，乙排第一位，丙有2种排法，丁就1种，共2种；当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1种排法，丁就1种，共2种；于是甲排在排尾共4种方法，同理乙排在排尾共4种方法，于是共8种排法符合题意；基本事件总数显然是44A 24=，根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为81243=. 故选：B2．（2023∙全国甲卷∙高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（） A ．120B ．60C ．30D ．20【详细分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天公益活动的情况，即可得解. 【答案详解】不妨记五名志愿者为,,,,a b c d e ，假设a 连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有24A 12=种方法，同理：,,,b c d e 连续参加了两天公益活动，也各有12种方法，所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有51260⨯=种. 故选：B.3．（2023∙全国甲卷∙高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】D【详细分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解.【答案详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有24C 6=件，其中这2名学生来自不同年级的基本事件有1122C C 4=，所以这2名学生来自不同年级的概率为4263=. 故选：D.4．（2023∙全国乙卷∙高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（） A ．30种 B ．60种 C ．120种 D ．240种【答案】C【详细分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案.【答案详解】首先确定相同得读物，共有16C 种情况，然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有25A 种，根据分步乘法公式则共有1265C A 120⋅=种，故选：C.5．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（）． A ．4515400200C C ⋅种 B ．2040400200C C ⋅种C ．3030400200C C ⋅种D ．4020400200C C ⋅种【详细分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案. 【答案详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取4006040600⨯=人，高中部共抽取2006020600⨯=，根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有4020400200C C ⋅种. 故选：D.6．（2022∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（） A ．12种 B ．24种C ．36种D ．48种【答案】B【详细分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解【答案详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有3!种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3!2224⨯⨯=种不同的排列方式，故选：B7．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】D【详细分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.【答案详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有27C 21=种不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：()()()()()()()2,4,2,6,2,8,3,6,4,6,4,8,6,8，共7种，故所求概率2172213P -==. 故选：D.8．（2021∙全国乙卷∙高考真题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（） A ．60种 B ．120种 C ．240种 D ．480种【答案】C【详细分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.【答案详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有25C 种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有2 54!240C⨯=种不同的分配方案，故选：C.【名师点评】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.9．（2021∙全国甲卷∙高考真题）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（） A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8【答案】C【详细分析】利用古典概型的概率公式可求概率.【答案详解】解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：00111,01011,01101,01110,10011,10101,10110,11001,11010,11100，共10种排法，其中2个0不相邻的排列方法为：01011,01101,01110,10101,10110,11010，共6种方法，故2个0不相邻的概率为6=0.6 10，故选：C.10．（2021∙全国甲卷∙高考真题）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A．13B．25C．23D．45【答案】C【答案详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，若2个0相邻，则有155C=种排法，若2个0不相邻，则有2510C=种排法，所以2个0不相邻的概率为102 5103=+.故选：C.11．（2020∙海南∙高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（）A．2种 B．3种 C．6种 D．8种【答案】C【详细分析】首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可.【答案详解】第一步，将3名学生分成两个组，有12323C C=种分法第二步，将2组学生安排到2个村，有222A=种安排方法所以，不同的安排方法共有326⨯=种故选：C【名师点评】解答本类问题时一般采取先组后排的策略.12．（2020∙山东∙高考真题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）A ．120种B ．90种C ．60种D ．30种【答案】C【详细分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解. 【答案详解】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有16C ；然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有25C ；最后剩下的3名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有126561060C C ⋅=⨯=种.故选：C【名师点评】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.13．（2019∙全国∙高考真题）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．1116【答案】A【详细分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．【答案详解】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有62情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有36C ，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为3662C =516，故选A ．【名师点评】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要详细分析元素是否可重复，其次要详细分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．考点02 二项式定理综合1．（2024∙北京∙高考真题）在(4x 的展开式中，3x 的系数为（） A ．6 B ．6- C ．12 D ．12-【答案】A【详细分析】写出二项展开式，令432r-=，解出r 然后回代入二项展开式系数即可得解.【答案详解】(4x 的二项展开式为(()()442144C C 1,0,1,2,3,4r rrr rr r T x xr --+==-=，令432r-=，解得2r =，故所求即为()224C 16-=. 故选：A.2．（2022∙北京∙高考真题）若443243210(21)x a x a x a x a x a -=++++，则024a a a ++=（）A ．40B ．41C ．40-D ．41-【答案】B【详细分析】利用赋值法可求024a a a ++的值. 【答案详解】令1x =，则432101a a a a a ++++=，令=1x -，则()443210381a a a a a -+-+=-=，故420181412a a a +++==，故选：B.3．（2020∙北京∙高考真题）在52)-的展开式中，2x 的系数为（）． A ．5- B ．5C ．10-D ．10【答案】C【详细分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定2x 的系数即可.【答案详解】)52展开式的通项公式为：()()55215522r rrrr r r T CC x--+=-=-，令522r -=可得：1r =，则2x 的系数为：()()11522510C -=-⨯=-. 故选：C.【名师点评】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．4．（2020∙全国∙高考真题）25()()x x y xy ++的展开式中x 3y 3的系数为（）A ．5B ．10C ．15D ．20【答案】C【详细分析】求得5()x y +展开式的通项公式为515rrrr T C xy -+=（r N ∈且5r ≤），即可求得2y x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与5()x y +展开式的乘积为65r rr C xy -或425r r r C x y -+形式，对r 分别赋值为3，1即可求得33x y 的系数，问题得解.【答案详解】5()x y +展开式的通项公式为515r rr r T C xy -+=（r N ∈且5r ≤）所以2y x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的各项与5()x y +展开式的通项的乘积可表示为：56155r rrr rrr xT xC xy C xy --+==和22542155r r rr r r r T C x y xC y y y x x --++==在615rrr r xT C xy -+=中，令3r =，可得：33345xT C x y =，该项中33x y 的系数为10，在42152r r r r T C x x y y -++=中，令1r =，可得：521332T C y x x y =，该项中33x y 的系数为5所以33x y 的系数为10515+= 故选：C【名师点评】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及详细分析能力，属于中档题.5．（2019∙全国∙高考真题）（1+2x 2）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为 A ．12 B ．16 C ．20 D ．24【答案】A【详细分析】本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数．【答案详解】由题意得x 3的系数为314424812C C +=+=，故选A ．【名师点评】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．。

全国统一高考数学试卷(新课标ⅰ)(含解析版)

全国统一高考数学试卷（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x|﹣＜x＜}，则（）A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B2．（5分）若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4B．C．4D．3．（5分）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A．简单的随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样4．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=B．y=C．y=±x D．y=5．（5分）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（）A．[﹣3，4]B．[﹣5，2]C．[﹣4，3]D．[﹣2，5]6．（5分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）A．B．C．D．7．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3B．4C．5D．68．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16+8πB．8+8πC．16+16πD．8+16π9．（5分）设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=（）A．5B．6C．7D．810．（5分）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E 于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[﹣2，1]D．[﹣2，0]12．（5分）设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，△A n B n C n的面积为S n，n=1，2，3…若b1＞c1，b1+c1=2a1，a n+1=a n，，，则（）A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则t=．14．（5分）若数列{a n}的前n项和为S n=a n+，则数列{a n}的通项公式是a n=．15．（5分）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=．16．（5分）若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，则f（x）的最大值为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°．（1）若PB=，求PA；（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．19．（12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．20．（12分）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N 内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|．21．（12分）已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=e x（cx+d），若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．四、请考生在第22、23、24题中任选一道作答，并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.22．（10分）（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB 垂直BE交圆于D．（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．24．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[﹣，]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．全国统一高考数学试卷（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x|﹣＜x＜}，则（）A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B【考点】1D：并集及其运算；73：一元二次不等式及其应用．【专题】59：不等式的解法及应用；5J：集合．【分析】根据一元二次不等式的解法，求出集合A，再根据的定义求出A∩B和A∪B．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x＞0}={x|x＞2或x＜0}，∴A∩B={x|2＜x＜或﹣＜x＜0}，A∪B=R，故选：B．【点评】本题考查一元二次不等式的解法，以及并集的定义，属于基础题．2．（5分）若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4B．C．4D．【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】由题意可得z==，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为+i，由此可得z的虚部．【解答】解：∵复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，∴z====+i，故z的虚部等于，故选：D．【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．3．（5分）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A．简单的随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样【考点】B3：分层抽样方法．【专题】21：阅读型．【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理．故选：C．【点评】本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题．4．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=B．y=C．y=±x D．y=【考点】KC：双曲线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），则离心率e===，即4b2=a2，故渐近线方程为y=±x=x，故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及的渐近线方程，属基础题．5．（5分）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（）A．[﹣3，4]B．[﹣5，2]C．[﹣4，3]D．[﹣2，5]【考点】3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法；EF：程序框图．【专题】27：图表型；5K：算法和程序框图．【分析】本题考查的知识点是程序框图，分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算一个分段函数的函数值，由条件为t＜1我们可得，分段函数的分类标准，由分支结构中是否两条分支上对应的语句行，我们易得函数的解析式．【解答】解：由判断框中的条件为t＜1，可得：函数分为两段，即t＜1与t≥1，又由满足条件时函数的解析式为：s=3t；不满足条件时，即t≥1时，函数的解析式为：s=4t﹣t2故分段函数的解析式为：s=，如果输入的t∈[﹣1，3]，画出此分段函数在t∈[﹣1，3]时的图象，则输出的s属于[﹣3，4]．故选：A．【点评】要求条件结构对应的函数解析式，要分如下几个步骤：①分析流程图的结构，分析条件结构是如何嵌套的，以确定函数所分的段数；②根据判断框中的条件，设置分类标准；③根据判断框的“是”与“否”分支对应的操作，分析函数各段的解析式；④对前面的分类进行总结，写出分段函数的解析式．6．（5分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）A．B．C．D．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】设正方体上底面所在平面截球得小圆M，可得圆心M为正方体上底面正方形的中心．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质建立关于R的方程并解出R=5，用球的体积公式即可算出该球的体积．【解答】解：设正方体上底面所在平面截球得小圆M，则圆心M为正方体上底面正方形的中心．如图．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质，得R2=（R﹣2）2+42，解出R=5，∴根据球的体积公式，该球的体积V===．故选：A．【点评】本题给出球与正方体相切的问题，求球的体积，着重考查了正方体的性质、球的截面圆性质和球的体积公式等知识，属于中档题．7．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3B．4C．5D．6【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】由a n与S n的关系可求得a m+1与a m，进而得到公差d，由前n项和公式及S m=0可求得a1，再由通项公式及a m=2可得m值．【解答】解：a m=S m﹣S m﹣1=2，a m+1=S m+1﹣S m=3，﹣a m=1，所以公差d=a m+1S m==0，m﹣1＞0，m＞1，因此m不能为0，得a1=﹣2，所以a m=﹣2+（m﹣1）•1=2，解得m=5，另解：等差数列{a n}的前n项和为S n，即有数列{}成等差数列，则，，成等差数列，可得2•=+，即有0=+，解得m=5．又一解：由等差数列的求和公式可得（m﹣1）（a1+a m﹣1）=﹣2，m（a1+a m）=0，（m+1）（a1+a m+1）=3，可得a1=﹣a m，﹣2a m+a m+1+a m+1=+=0，解得m=5．故选：C．【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式及通项a n与S n的关系，考查学生的计算能力．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16+8πB．8+8πC．16+16πD．8+16π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】16：压轴题；27：图表型．【分析】三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，依据三视图的数据，得出组合体长、宽、高，即可求出几何体的体积．【解答】解：三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图，其中长方体长、宽、高分别是：4，2，2，半个圆柱的底面半径为2，母线长为4．∴长方体的体积=4×2×2=16，半个圆柱的体积=×22×π×4=8π所以这个几何体的体积是16+8π；故选：A．【点评】本题考查了几何体的三视图及直观图的画法，三视图与直观图的关系，柱体体积计算公式，空间想象能力9．（5分）设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=（）A．5B．6C．7D．8【考点】DA：二项式定理．【专题】5P：二项式定理．【分析】根据二项式系数的性质求得a和b，再利用组合数的计算公式，解方程13a=7b求得m的值．【解答】解：∵m为正整数，由（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，以及二项式系数的性质可得a=，同理，由（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，可得b==．再由13a=7b，可得13=7，即13×=7×，即13=7×，即13（m+1）=7（2m+1），解得m=6，故选：B．【点评】本题主要考查二项式系数的性质的应用，组合数的计算公式，属于中档题．10．（5分）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．C．D．【考点】K3：椭圆的标准方程．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，利用“点差法”可得．利用中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=﹣2，利用斜率计算公式可得==．于是得到，化为a2=2b2，再利用c=3=，即可解得a2，b2．进而得到椭圆的方程．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，相减得，∴．∵x1+x2=2，y1+y2=﹣2，==．∴，化为a2=2b2，又c=3=，解得a2=18，b2=9．∴椭圆E的方程为．故选：D．【点评】熟练掌握“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键．11．（5分）已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[﹣2，1]D．[﹣2，0]【考点】7E：其他不等式的解法．【专题】16：压轴题；59：不等式的解法及应用．【分析】由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，由导数求切线斜率可得l的斜率，进而数形结合可得a的范围．【解答】解：由题意可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，由图象可知：函数y=ax的图象为过原点的直线，当直线介于l和x轴之间符合题意，直线l 为曲线的切线，且此时函数y=|f（x）|在第二象限的部分解析式为y=x2﹣2x，求其导数可得y′=2x﹣2，因为x≤0，故y′≤﹣2，故直线l的斜率为﹣2，故只需直线y=ax的斜率a介于﹣2与0之间即可，即a∈[﹣2，0]故选：D．【点评】本题考查其它不等式的解法，数形结合是解决问题的关键，属中档题．12．（5分）设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，△A n B n C n的面积为S n，n=1，2，3…若b1＞c1，b1+c1=2a1，a n+1=a n，，，则（）A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列【考点】82：数列的函数特性；8H：数列递推式．【专题】16：压轴题；54：等差数列与等比数列；55：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】由a n=a n可知△A n B n C n的边B n C n为定值a1，由b n+1+c n+1﹣2a1=及+1b1+c1=2a1得b n+c n=2a1，则在△A n B n C n中边长B n C n=a1为定值，另两边A n C n、A n B n的长度之和b n+c n=2a1为定值，由此可知顶点A n在以B n、C n为焦点的椭圆上，根据b n+1﹣c n+1=，得b n﹣c n=，可知n→+∞时b n→c n，据此可判断△A n B n C n的边B n C n的高h n随着n的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案．【解答】解：b1=2a1﹣c1且b1＞c1，∴2a1﹣c1＞c1，∴a1＞c1，∴b1﹣a1=2a1﹣c1﹣a1=a1﹣c1＞0，∴b1＞a1＞c1，又b1﹣c1＜a1，∴2a1﹣c1﹣c1＜a1，∴2c1＞a1，∴，由题意，+a n，∴b n+1+c n+1﹣2a n=（b n+c n﹣2a n），∴b n+c n﹣2a n=0，∴b n+c n=2a n=2a1，∴b n+c n=2a1，由此可知顶点A n在以B n、C n为焦点的椭圆上，又由题意，b n﹣c n+1=，∴=a1﹣b n，+1﹣a1=，∴b n﹣a1=，∴b n+1∴，c n=2a1﹣b n=，∴[][]=[﹣]单调递增（可证当n=1时＞0）故选：B．【点评】本题主要考查由数列递推式求数列通项、三角形面积海伦公式，综合考查学生分析解决问题的能力，有较高的思维抽象度，是本年度全国高考试题中的“亮点”之一．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则t=2．【考点】9H：平面向量的基本定理；9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】由于•=0，对式子=t+（1﹣t）两边与作数量积可得=0，经过化简即可得出．【解答】解：∵，，∴=0，∴tcos60°+1﹣t=0，∴1=0，解得t=2．故答案为2．【点评】熟练掌握向量的数量积运算是解题的关键．14．（5分）若数列{a n}的前n项和为S n=a n+，则数列{a n}的通项公式是a n=（﹣2）n﹣1．【考点】88：等比数列的通项公式．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】把n=1代入已知式子可得数列的首项，由n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，可得数列为等比数列，且公比为﹣2，代入等比数列的通项公式分段可得答案．【解答】解：当n=1时，a1=S1=，解得a1=1当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（）﹣（）=，整理可得，即=﹣2，故数列{a n}从第二项开始是以﹣2为首项，﹣2为公比的等比数列，故当n≥2时，a n=（﹣2）n﹣1，经验证当n=1时，上式也适合，故答案为：（﹣2）n﹣1【点评】本题考查等比数列的通项公式，涉及等比数列的判定，属基础题．15．（5分）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=﹣．【考点】GP：两角和与差的三角函数；H4：正弦函数的定义域和值域．【专题】16：压轴题；56：三角函数的求值．【分析】f（x）解析式提取，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由x=θ时，函数f（x）取得最大值，得到sinθ﹣2cosθ=，与sin2θ+cos2θ=1联立即可求出cosθ的值．【解答】解：f（x）=sinx﹣2cosx=（sinx﹣cosx）=sin（x﹣α）（其中cosα=，sinα=），∵x=θ时，函数f（x）取得最大值，∴sin（θ﹣α）=1，即sinθ﹣2cosθ=，又sin2θ+cos2θ=1，联立得（2cosθ+）2+cos2θ=1，解得cosθ=﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．16．（5分）若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，则f（x）的最大值为16．【考点】57：函数与方程的综合运用；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】11：计算题；16：压轴题；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．【分析】由题意得f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，由此求出a=8且b=15，由此可得f（x）=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15．利用导数研究f（x）的单调性，可得f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣）、（﹣2，﹣2+）上是增函数，在区间（﹣2﹣，﹣2）、（﹣2+，+∞）上是减函数，结合f（﹣2﹣）=f（﹣2+）=16，即可得到f（x）的最大值．【解答】解：∵函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，∴f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，即[1﹣（﹣3）2][（﹣3）2+a•（﹣3）+b]=0且[1﹣（﹣5）2][（﹣5）2+a•（﹣5）+b]=0，解之得，因此，f（x）=（1﹣x2）（x2+8x+15）=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15，求导数，得f′（x）=﹣4x3﹣24x2﹣28x+8，令f′（x）=0，得x1=﹣2﹣，x2=﹣2，x3=﹣2+，当x∈（﹣∞，﹣2﹣）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2﹣，﹣2）时，f′（x）＜0；当x∈（﹣2，﹣2+）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2+，+∞）时，f′（x）＜0∴f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣）、（﹣2，﹣2+）上是增函数，在区间（﹣2﹣，﹣2）、（﹣2+，+∞）上是减函数．又∵f（﹣2﹣）=f（﹣2+）=16，∴f（x）的最大值为16．故答案为：16．【点评】本题给出多项式函数的图象关于x=﹣2对称，求函数的最大值．着重考查了函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性和函数的最值求法等知识，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°．（1）若PB=，求PA；（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】（I）在Rt△PBC，利用边角关系即可得到∠PBC=60°，得到∠PBA=30°．在△PBA中，利用余弦定理即可求得PA．（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，可得PB=sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化简即可求出．【解答】解：（I）在Rt△PBC中，=，∴∠PBC=60°，∴∠PBA=30°．在△PBA中，由余弦定理得PA2=PB2+AB2﹣2PB•ABcos30°==．∴PA=．（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，PB=BCcos（90°﹣α）=sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化为．∴．【点评】熟练掌握直角三角形的边角关系、正弦定理和余弦定理是解题的关键．18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．【考点】LW：直线与平面垂直；LY：平面与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．【专题】5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，由已知可证OA1⊥AB，AB⊥平面OA1C，进而可得AB⊥A1C；（Ⅱ）易证OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立坐标系，可得，，的坐标，设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，可解得=（，1，﹣1），可求|cos＜，＞|，即为所求正弦值．【解答】解：（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，因为CA=CB，所以OC⊥AB，由于AB=AA1，∠BAA1=60°，所以△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB，又因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C，又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C；（Ⅱ）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立如图所示的坐标系，可得A（1，0，0），A1（0，，0），C（0，0，），B（﹣1，0，0），则=（1，0，），=（﹣1，，0），=（0，﹣，），设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，即，可取y=1，可得=（，1，﹣1），故cos＜，＞==，又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值，故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为：．【点评】本题考查直线与平面所成的角，涉及直线与平面垂直的性质和平面与平面垂直的判定，属难题．19．（12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A1B1）∪（A2B2），且A1B1与A2B2互斥，由概率得加法公式和条件概率，代入数据计算可得；（Ⅱ）X可能的取值为400，500，800，分别求其概率，可得分布列，进而可得期望值．【解答】解：（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A1B1）∪（A2B2），且A1B1与A2B2互斥，所以P（A）=P（A1B1）+P（A2B2）=P（A1）P（B1|A1）+P（A2）P（B2|A2）==（Ⅱ）X可能的取值为400，500，800，并且P（X=800）=，P（X=500）=，P（X=400）=1﹣﹣=，故X的分布列如下：X 400 500 800P故EX=400×+500×+800×=506.25【点评】本题考查离散型随机变量及其分布列涉及数学期望的求解，属中档题．20．（12分）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N 内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|．【考点】J3：轨迹方程；J9：直线与圆的位置关系．【专题】5B：直线与圆．【分析】（I）设动圆的半径为R，由已知动圆P与圆M外切并与圆N内切，可得|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，求出即可；（II）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤4﹣2=2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2+y2=4．分①l的倾斜角为90°，此时l与y轴重合，可得|AB|．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，设l与x轴的交点为Q，根据，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系利用弦长公式即可得出．【解答】解：（I）由圆M：（x+1）2+y2=1，可知圆心M（﹣1，0）；圆N：（x﹣1）2+y2=9，圆心N（1，0），半径3．设动圆的半径为R，∵动圆P与圆M外切并与圆N内切，∴|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，∴a=2，c=1，b2=a2﹣c2=3．∴曲线C的方程为（x≠﹣2）．（II）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤3﹣1=2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2+y2=4．①l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|=．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，设l与x轴的交点为Q，则，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），由l于M相切可得：，解得．当时，联立，得到7x2+8x﹣8=0．∴，．∴|AB|===由于对称性可知：当时，也有|AB|=．综上可知：|AB|=或．【点评】本题综合考查了两圆的相切关系、直线与圆相切问题、椭圆的定义及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式等基础知识，需要较强的推理能力和计算能力及其分类讨论的思想方法．21．（12分）已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=e x（cx+d），若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．【考点】3R：函数恒成立问题；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】16：压轴题；53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）对f（x），g（x）进行求导，已知在交点处有相同的切线及曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），从而解出a，b，c，d的值；（Ⅱ）由（I）得出f（x），g（x）的解析式，再求出F（x）及它的导函数，通过对k的讨论，判断出F（x）的最值，从而判断出f（x）≤kg（x）恒成立，从而求出k的范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意知f（0）=2，g（0）=2，f′（0）=4，g′（0）=4，而f′（x）=2x+a，g′（x）=e x（cx+d+c），故b=2，d=2，a=4，d+c=4，从而a=4，b=2，c=2，d=2；（Ⅱ）由（I）知，f（x）=x2+4x+2，g（x）=2e x（x+1）设F（x）=kg（x）﹣f（x）=2ke x（x+1）﹣x2﹣4x﹣2，则F′（x）=2ke x（x+2）﹣2x﹣4=2（x+2）（ke x﹣1），由题设得F（0）≥0，即k≥1，令F′（x）=0，得x1=﹣lnk，x2=﹣2，①若1≤k＜e2，则﹣2＜x1≤0，从而当x∈（﹣2，x1）时，F′（x）＜0，当x∈（x1，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，x1）上减，在（x1，+∞）上是增，故F（x）在[﹣2，+∞）上的最小值为F（x1），而F（x1）=﹣x1（x1+2）≥0，x≥﹣2时F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．②若k=e2，则F′（x）=2e2（x+2）（e x﹣e﹣2），从而当x∈（﹣2，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，+∞）上是增，而F（﹣2）=0，故当x≥﹣2时，F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．③若k＞e2时，F′（x）＞2e2（x+2）（e x﹣e﹣2），而F（﹣2）=﹣2ke﹣2+2＜0，所以当x＞﹣2时，f（x）≤kg（x）不恒成立，综上，k的取值范围是[1，e2]．【点评】此题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程，函数恒成立问题，考查分类讨论思想，解题的关键是能够利用导数工具研究函数的性质，此题是一道中档题．四、请考生在第22、23、24题中任选一道作答，并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.22．（10分）（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB 垂直BE交圆于D．（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．【考点】NC：与圆有关的比例线段．【专题】5B：直线与圆．【分析】（I）连接DE交BC于点G，由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，由已知角平分线可得∠ABE=∠CBE，于是得到∠CBE=∠BCE，BE=CE．由已知DB⊥BE，可知DE为⊙O的直径，Rt △DBE≌Rt△DCE，利用三角形全等的性质即可得到DC=DB．（II）由（I）可知：DG是BC的垂直平分线，即可得到BG=．设DE的中点为O，连接BO，可得∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．得到CF⊥BF．进而得到Rt△BCF的外接圆的半径=．【解答】（I）证明：连接DE交BC于点G．由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，而∠ABE=∠CBE，∴∠CBE=∠BCE，BE=CE．又∵DB⊥BE，∴DE为⊙O的直径，∠DCE=90°．∴△DBE≌△DCE，∴DC=DB．（II）由（I）可知：∠CDE=∠BDE，DB=DC．故DG是BC的垂直平分线，∴BG=．设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．∴CF⊥BF．∴Rt△BCF的外接圆的半径=．【点评】本题综合考查了圆的性质、弦切角定理、等边三角形的性质、三角形全等、三角形的外接圆的半径等知识，需要较强的推理能力、分析问题和解决问题的能力．23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）曲线C1的参数方程消去参数t，得到普通方程，再由，能求出C1的极坐标方程．（2）曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程，与C1的普通方程联立，求出C1与C2交点的直角坐标，由此能求出C1与C2交点的极坐标．【解答】解：（1）将，消去参数t，化为普通方程（x﹣4）2+（y﹣5）2=25，即C1：x2+y2﹣8x﹣10y+16=0，将代入x2+y2﹣8x﹣10y+16=0，得ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0．∴C1的极坐标方程为ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0．（2）∵曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．。

高考真题数学答案及解析

高考真题数学答案及解析一、选择题1. 题目：若函数f(x) = ax^2 + bx + c在点x=2处取得极小值，且已知f(1)=3，f(3)=15，则a的值为____。

解析：由题意可知，函数f(x) = ax^2 + bx + c在x=2处取得极小值，所以f'(x)在x=2处为0。

首先求导数f'(x) = 2ax + b。

将x=2代入得到4a + b = 0。

又已知f(1)=3，f(3)=15，将x=1和x=3分别代入原函数得到两个方程：a + b + c = 3和9a + 3b + c = 15。

联立这三个方程解得a=1，b=-2，c=4。

所以a的值为1。

2. 题目：设集合A={x|x=2n, n∈Z}，B={x|x=2n+1, n∈Z}，则A∪B的元素个数为____。

解析：集合A表示所有偶数的集合，集合B表示所有奇数的集合。

由于整数集包括所有的偶数和奇数，所以A∪B就是整个整数集。

因此，A∪B的元素个数为无穷多个。

3. 题目：已知三角形ABC中，∠A=90°-∠B，AB=AC，点D为BC中点，连接AD，若∠BAD=15°，则∠BAC的度数为____。

解析：由于AB=AC，所以三角形ABC为等腰直角三角形，∠BAC=45°。

又因为∠A=90°-∠B，所以∠B=45°。

由于点D为BC中点，AD为中线，所以AD=BD=CD。

又因为∠BAD=15°，所以∠DAC=∠BAC-∠BAD=45°-15°=30°。

因此，∠BAC的度数为30°。

二、填空题1. 题目：若等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=2，公差d=3，求S10的值为____。

解析：等差数列的前n项和公式为Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d)。

将n=10，a1=2，d=3代入公式得：S10 = 10/2 * (2*2 + (10-1)*3) = 5 * (4 + 27) = 5 * 31 = 155。