清华大学 杨虎 应用数理统计课后习题参考答案

习题一

1 设总体X 的样本容量5=n ，写出在下列4种情况下样本的联合概率分布. 1）),1(~p B X ； 2）)(~λP X ； 3）],[~b a U X ； 4）)1,(~μN X .

解 设总体的样本为12345,,,,X X X X X ， 1）对总体~(1,)X B p ，

11223344555

11

1

55(1)

(,,,,)()(1)(1)i i

n

x x i i i i x x P X x X x X x X x X x P X x p p p p -==-========-=-∏∏

其中：5

1

15i

i x x ==∑

2）对总体~()X P λ

11223344555

1

1

555

1

(,,,,)()!

!

i

x

n

i i i i i x

i i P X x X x X x X x X x P X x e x e x λ

λ

λλ-==-==========

∏∏

∏

其中：5

1

15i

i x x ==∑

3）对总体~(,)X U a b

55

1151

1

,,1,...,5 (,

,)()0i i i i a x b i f x x f x b a

==⎧≤≤=⎪==-⎨⎪⎩

∏∏

，其他

4）对总体~(,1) X N μ

()()

()2

55

55/2

22

1511

1

1 (,

,)()=2exp 2i x i i i i i f x x f x x μπμ--

-===⎛⎫==-- ⎪⎝⎭

∑∏

2 为了研究玻璃产品在集装箱托运过程中的损坏情况，现随机抽取20个集装箱检查其产品损坏的件数，记录结果为：1，1，1，1，2，0，0，1，3，1，0，0，2，4，0，3，1，4，0，2，写出样本频率分布、经验分布函数并画出图形.

解 设(=0,1,2,3,4)i i 代表各箱检查中抽到的产品损坏件数，由题意可统计出如下的样本频率分布表：

经验分布函数的定义式为：

()()()

(1)10,(),,=1,2,

,1,1,n k k k x x k

F x x x x k n n x x +<⎧⎪⎪≤<-⎨⎪≥⎪⎩，

据此得出样本分布函数：

200,00.3,010.65,12()0.8,

230.9,341,4x x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪

⎪≤<⎨

≤<⎪⎪≤<⎪

≥⎩

图 经验分布函数

3 某地区测量了95位男性成年人身高，得数据(单位：

cm)如下：

试画出身高直方图，它是否近似服从某个正态分布密度函数的图形.

解

图 数据直方图

它近似服从均值为172，方差为的正态分布，即(172,5.64)N .

4 设总体X 的方差为4，均值为μ，现抽取容量为100的样本，试确定常数k ，使得满足9.0)(=<-k X P μ.

x

()

n F x

解 (

)

- 5P X k P k μ⎫

⎪<=<⎪⎭

()()

555 P k X k μ=-<-<

因k 较大，由中心极限定理

(0,1)X N ： ()

()()

-55P X k k k μ<≈Φ-Φ-

(5)(1(5))

k k =Φ--Φ

()2510.9k =Φ-=

所以：()50.95

k Φ=

查表得：5 1.65k =，0.33k ∴=.

5 从总体2

~(52,6.3)X N 中抽取容量为36的样本，求样本均值落在到之间的概率.

解 (

)50.853.8 1.1429 1.7143X P X P ⎛⎫<<=-<

< ⎪⎝⎭

(0,1) 6.3X U N =

()()

50.853.8 1.1429 1.7143(1.7143)( 1.14290.9564(10.8729)0.8293

P X P U ∴<<=-<<=Φ-Φ-=--=）

6 从总体~(20,3)X N 中分别抽取容量为10与15的两个独立的样本，求它们的均值之差的绝对值大于的概率.

解 设两个独立的样本分别为：110,,X X 与115,,Y Y ，其对应的样本均值为：X 和Y .

由题意知：X 和Y 相互独立，且：

3~(20,)10X N ，3~(20,)15Y N

(0.3)1(0.3)P X Y P X Y ->=--≤

1P =-

~(0,0.5)

~(0,1)

(0.3)22(0.4243)0.6744

X Y N

X Y

N

P X Y

-

->=-Φ=

7 设

110

,,

X X是总体~(0,4)

X N的样本，试确定C，使得

10

2

1

()0.05

i

i

P X C

=

>=

∑.

解因~(0,4)

i

X N，则~(0,1)

2

i

X

N，且各样本相互独立，则有：

10

1

2

2

~(10)

2

i

i

X

χ

=

⎛⎫

⎪

⎝⎭

∑

所以：

1010

22

11

()()

1

44

i i

i i

C

P X C P X

==

>=>

∑∑

10

2

1

1

10.05

44

i

i

c

P X

=

⎛⎫

=-≤=

⎪

⎝⎭

∑

10

2

1

1

0.95

44

i

i

c

P X

=

⎛⎫

≤=

⎪

⎝⎭

∑

查卡方分位数表：c/4=，则c=.

8设总体X具有连续的分布函数()

X

F x，

1

,,

n

X X 是来自总体X的样本，且i

EXμ

=，定义随机变量：

1,

,1,2,,

0,

i

i

i

X

Y i n

X

μ

μ

>

==

≤

⎧

⎨

⎩

试确定统计量∑

=

n

i

i

Y

1

的分布.

解由已知条件得：~(1,)

i

Y B p，其中1()

X

p Fμ

=-.

因为

i

X互相独立，所以

i

Y也互相独立，再根据二项分布的可加性，有

1

~(,)

n

i

i

Y B n p

=

∑，1()

X

p Fμ

=-.

9 设

1

,,

n

X X是来自总体X的样本，试求2

,,

EX DX ES。假设总体的分布为：1）~(,);

X B N p 2) ~();

X Pλ 3) ~[,];

X U a b 4) ~(,1);

X Nμ

解 1) EX EX Np

==

(1)

DX Np p

DX

n n

-

==

2(1)

ES DX Np p

==-