博士生课程空间机器人关键技术
空间机器人技术的现状和未来趋势
空间机器人技术的现状和未来趋势随着人类对太空探索的不断深入，空间机器人技术也得到了迅猛发展。
目前，空间机器人已独立地完成了许多任务，例如科学观测、维修卫星和速度调整等。
但是，随着全球经济的发展和太空技术的不断革新，未来空间机器人将如何发展呢？本文将从现状和未来趋势两方面来探讨这一问题。
一、现状1、当前的技术发展当前，在太空中执行任务和维护设施的机器人数量已经大幅增长。
它们可以从轻型滑轨到复杂的手臂、腿和脚的各种形式，甚至带着内置的3D打印机、伸缩式钻机和其他工具。
这些机器人不仅更加智能和灵活，而且还能够以更快的速度完成任务。
2、最近的进展目前，一些媒体报道称，美国NASA正在研究开发一种新型的“机器人蜘蛛”。
这种机器人由多个完全独立的、自主地工作的微型机器人组成。
这些微型机器人可以在外部太空环境中自主组合，以形成一种能够移动和执行任务的大型“机器人蜘蛛”。
此外，NASA最近宣布，他们将派出一辆无人驾驶车去火星，以接替地球轨道上的机器人任务。
这辆车是由一家名为Maxar Technologies的公司设计的，目前正在进行最后的测试。
二、未来1、潜在的应用未来，空间机器人将有广泛的应用领域。
例如，维修或升级卫星、清除太空垃圾、科学观测、实施任务和执行任务等。
2、可持续性在未来，太空探索的可持续性是非常重要的一个话题。
太空机器人将能够提高太空船技术，大大减少对人类航天员的依赖。
此外，机器人还可以提高在空间中的自我维护能力，减少设备的损坏和人工维修的需要，进而降低航天任务的成本。
3、技术发展请注意，由于这些机器人的精度和移动方式需要完全精确的计算和控制，因此未来空间机器人技术的发展将非常激烈。
在计算和控制技术方面的发展将带动更加精准的测量和控制技术，还有更强大的工具和设备。
4、智能性和自主性除了技术方面的进步，未来的空间机器人还将具备更高的智能性和自主性。
人工智能和机器学习将使这些机器人具备自主处理能力和更好的任务执行策略。
智能机器人技术专业介绍
智能机器人技术专业介绍【实用版】目录1.智能机器人技术专业简介2.专业培养目标与课程设置3.专业发展前景与就业方向4.优秀院校及其特点正文智能机器人技术专业介绍随着科技的飞速发展，智能机器人技术专业应运而生，成为近年来备受关注的新兴专业。
智能机器人技术专业旨在培养具备机械设计、运动控制、传感器技术、人工智能算法等方面的基本理论和基础知识，有较强实践能力，具有崇高理想信念、良好职业道德品质、创新精神和就业创业能力的高素质创新型技能人才。
专业培养目标与课程设置智能机器人技术专业的基本修业年限为三年，主要课程涵盖了机械设计、运动控制、传感器技术、人工智能算法等领域的基本理论和基础知识。
此外，专业还会设置一些实践性较强的课程，如智能机器人装调、智能机器人系统运维、智能机器人系统设计等，以培养学生的实践能力。
专业发展前景与就业方向智能机器人技术专业的发展前景十分广阔，毕业生可在家庭服务、教育娱乐、助老助残、康复护理、医疗、物流、送餐等多个领域寻找就业机会。
此外，智能机器人技术专业也是国家高新技术发展的重点领域，有着极高的社会需求和广阔的发展空间。
优秀院校及其特点我国有多所院校开设了智能机器人技术专业，其中一些院校在专业建设、师资力量、实训设备等方面具有较高的水平。
例如，某院校智能机器人技术专业成立于 2021 年，是国内第一批开设此专业的院校之一。
该专业在 2020 年 11 月被评为中国人工智能学会发布的 2020 中国高职智能机器人专业群国际影响力 50 强之一。
该专业拥有 6 名专业教师，其中副高以上职称 1 人，博士 3 人，境外硕士和博士各 1 名，有德国访学经历教师 2 名，教师平均年龄 35 岁，年富力强。
此外，该专业还建有智能服务机器人跨企业培训中心等实训室，实训设备总额近千万，技能大赛成果丰硕。
综上所述，智能机器人技术专业是一门具有广泛发展前景和就业方向的新兴专业。
建筑机器人发展与关键技术综述
引言：六足机器人是一种仿生机器人，具有六个足部，可以实现在不同地形 和环境下的稳定行走。由于其具有较高的灵活性和适应性，六足机器人在救援、 探测、军事、生物医学等领域得到了广泛的应用。本次演示旨在综述六足机器人 的关键技术，以期为相关领域的研究人员和技术人员提供一定的参考。
1、六足机器人关键技术概述六 足机器人作为一种仿生机器人， 其应用领域非常广泛
五、结论
回顾过去，我们可以看到机器人技术的发展历程是一个不断进步和创新的过 程。展望未来，我们有理由相信未来的机器人将更加智能、功能更强大、应用更 广泛。随着科技的不断发展，机器人技术将在我们的生活中发挥更大的作用，为 我们的生活带来更多的便利和可能性。
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然而，六足机器人在一些方面仍存在问题和挑战。例如，在动态行走和复杂 环境下的自适应行走方面，六足机器人的性能还有待进一步提高。此外，六足机 器人的能耗和鲁棒性也是需要解决的问题。
3、六足机器人关键技术的未来 发展方向随着科技的不断发展
未来，六足机器人还将面临更多的技术挑战和实际应用挑战。例如，如何提 高六足机器人的运动速度和效率，如何使其在更加复杂和恶劣的环境下进行自适 应行走，以及如何解决六足机器人的鲁棒性和能耗问题等。
一、建筑机器人发展历程
建筑机器人的发展可以追溯到20世纪80年代。当时，由于人力成本的上升和 建筑环境的恶劣，人们开始探索使用机器人进行建筑作业的可能性。最早的建筑 机器人主要用于挖掘和搬运等重体力劳动，随着技术的进步，逐渐出现了能够进 行精细作业的建筑机器人。
近年来，随着人工智能和计算机视觉技术的快速发展，建筑机器人的智能化 程度越来越高。一些先进的建筑机器人已经具备了自主导航、物体识别、抓取和 放置等能力，可以完成复杂的建筑任务。
智能机器人技术专业介绍
智能机器人技术专业介绍摘要：一、智能机器人技术专业概述1.智能机器人技术专业的定义2.智能机器人技术专业的发展历程二、智能机器人技术专业的学科体系1.基础课程2.专业课程3.实践课程三、智能机器人技术专业的就业前景1.行业需求2.职业发展方向3.薪资待遇四、智能机器人技术专业的国内外知名高校1.国内高校2.国外高校五、智能机器人技术专业的报考建议1.报考条件2.报考时间3.报考方式正文：智能机器人技术专业是一门涉及计算机科学、电子工程、机械工程等多个领域的交叉学科。
该专业旨在培养具备机器人设计、制造、编程、应用等方面知识和技能的高级工程技术人才。
随着科技的发展，智能机器人已经广泛应用于工业生产、医疗健康、家庭服务、教育科研等多个领域，因此，智能机器人技术专业成为了当今社会热门的专业之一。
智能机器人技术专业的学科体系包括基础课程、专业课程和实践课程。
基础课程主要包括数学、物理、英语等，为专业学习打下基础。
专业课程涵盖了计算机科学、电子工程、机械工程等方面的知识，如机器人学、自动控制原理、传感器与检测技术、机器视觉、机器人编程等。
实践课程则注重培养学生的动手能力和实际操作技能，如机器人实验、实习、课程设计等。
智能机器人技术专业的毕业生具有广阔的就业前景。
随着智能制造、工业互联网等战略的实施，我国对智能机器人技术人才的需求越来越大。
毕业生可以在机器人制造企业、系统集成商、科研机构、高校等从事研发、设计、制造、应用等方面的工作。
此外，毕业生还可以选择继续深造，攻读硕士、博士学位，或从事相关领域的教学和科研工作。
薪资待遇方面，智能机器人技术专业毕业生的收入水平普遍较高，且具有较大的晋升空间。
国内外众多知名高校均设有智能机器人技术专业，如我国的哈尔滨工业大学、北京航空航天大学、上海交通大学等，国外的麻省理工学院、斯坦福大学、卡内基梅隆大学等。
这些高校在智能机器人技术领域的研究和教学方面具有较高的声誉和影响力。
机械手臂自由度分析在机器人技术课程教学中的应用
机械手臂自由度分析在机器人技术课程教学中的应用1.杭州电子科技大学机械工程学院，杭州 310032摘要：在机器人技术教学中，以机械手的工作原理和结构特点进行分析，让学生参考仿生学的原理确定了自由度的分配。
然后根据技术要求选定机械手的操作范围和抓取能力，并以性能参数为依据选择舵机作为驱动方式，结合理论教学的同时，引入特定的机械装备，有助于学生对知识点更好的融会贯通。
关键词：机械手臂自由度机器人技术作者简介：郭龙川，博士，男，杭州人，现任教于杭州电子科技大学基金项目：本文受国家自然科学基金(61807010)和浙江省自然科学基金(LQ18F030007)资助1前言机器人技术课程是业机械设计制造及其自动化本科专业中培养学生机械设计能力和创新能力的一门专业基础课，为今后从事机器人相关技术工作，为提高机器人系统开发和创新能力打下良好基础。
通过该课程学习，学生可以掌握机器人的基本机械结构、控制系统的软件及硬件结构，为从事机器人系统开发提供技术基础；掌握机器人的基本机械结构、能够根据实际应用需要，提出机器人结构合理的设计方案；了解机器人技术产生的技术及文化背景，了解机器人技术发展与工业技术进步之间的相互影响与相互促进关系；了解工业、民用、国防等不断出现的行业需求是机器人技术不断发展的推动力，树立从行业中发现新的需求并开发新的机器人系统的能动性。
针对机器人技术这门课理论与工程应用的客观需求，教师在教授课堂知识之余，引入机械自由度的概念，进行教学实践，自由度概念的提出，对于机器人的通俗化理解和教学实践具有指导意义[1-2]。
2、机械手臂实例介绍机械手能够被自动化控制及定位，可以重复编辑程序实现操控。
水下机械手是一个热门的研究方向，涉及机械、、仿生、电子、计算机、防水密封等多个领域。
研究水下机械手的同时也带动了这些领域的进步与发展。
机械手能够被自动化控制及定位，可以重复编辑程序实现操控。
机械手可以代替人的手臂按给定的程序实现抓取物体及搬运，能够持续工作并能适应多种环境，十分高效。
【课程思政优秀案例】《机器人学导论》课程
一、课程基本情况介绍《机器人学导论》是由计算机科学技术学院开设的一门研究生课程。
课程负责人是计算机科学技术学院研究员、博士生导师，智能机器人研究院副院长，市智能信息重点实验室副主任，少年科学院首席顾问。
先后主持国家自然科学基金、科技创新2030“新一代人工智能”重大项目、市科委重大专项等20余项科研项目。
在机器人、人工智能、智能装备等方面进行了系统深入的研究，发表学术论文150余篇（包括CVPR、ICCV、NeurIPS、AAAI、TIP等顶级期刊/会议论文50余篇），申请发明专利50余项。
自2004年入职以来，先后开设了《大学物理》、《机器人学》、《工程伦理》等本科生和研究生课程，并创新性地将人工智能技术和产业发展等思政元素融入到教学实践中，教学和科研成果获得了2021年市计算机学会教学成果一等奖、2018年罗马尼亚科学院奖、2017年中国国际工业博览会特等奖、2016年教育部技术发明二等奖等。
他始终坚持“培养学生是我们的本分”，以潜心治学来要求自己，也影响学生。
坚守做科研要甘守寂寞、淡泊名利、持之以恒，做“纯粹”的学问。
二、课程思政教学开展情况介绍党的十八大以来，面对新一轮科技革命和产业变革形势，党中央和国务院审时度势，发布和实施了《新一代人工智能发展规划》，制定和实施了人工智能发展国家战略。
作为人工智能重要载体的机器人，被誉为“制造业皇冠顶端的明珠”，是衡量一个国家创新能力和产业竞争力的重要标志，已成为全球新一轮科技和产业革命的重要切入点。
经过多年的持续积累，我国在人工智能和机器人领域取得重要进展，部分领域关键技术实现重要突破。
但我国机器人整体发展水平与发达国家相比仍存在差距，缺少重大原创成果，在基础理论、核心算法以及关键元器件等方面尚存在差距，机器人领域的尖端人才远远不能满足需求。
如何深入挖掘机器人学导论课程蕴含的思想政治教育资源，引导广大学生爱国和爱党、爱社会主义高度统一，将爱国热情与报国行动有机结合，成为该课程思政改革的指导思想。
空间机器人研究进展及技术挑战
目录
01 一、空间机器人技术 概述
02
二、空间机器人研究 进展
03
三、技术挑战与解决 方案
04 四、展望未来
05 五、结论
06 参考内容
内容摘要
随着人类对太空探索的不断深入，空间机器人技术得到了迅速发展。空间机 器人是指在太空环境中能够自主运行、完成特定任务的无人机器系统。它们在太 空探测、科学研究、卫星维修等领域发挥着越来越重要的作用。然而，空间机器 人技术的发展也面临着许多技术挑战。本次演示将介绍空间机器人的研究进展及 技术挑战，并探讨未来的发展趋势。
四、展望未来
四、展望未来
随着技术的不断进步，空间机器人未来的发展前景十分广阔。从空间机器人 的发展前景来看，未来将会有更多种类的空间机器人被研发出来，应用于更广泛 的领域。例如，可以预见未来在月球探测、火星探测等深空探测任务中，空间机 器人将发挥更加重要的作用。此外，随着商业航天的发展，空间机器人技术也将 得到更广泛的应用，例如在太空旅游、太空资源开发等领域。
五、结论
五、结论
空间机器人技术作为航天技术的重要组成部分，其发展对于人类探索太空、 开发太空资源具有重要意义。近年来，国际和国内在空间机器人技术方面都取得 了一系列进展，但同时也面临着诸多技术挑战。未来，随着技术的不断进步和应 用场景的拓展，空间机器人技术的发展前景十分广阔。我们应空间机器人技术的 发展趋势和应用前景，加强国际合作和技术研发，为人类航天事业的进步贡献力 量。
农业机器人技术的研究进展
然而，目前农业机器人技术还存在一些不足。例如，机器人的自主导航能力 有待提高，以满足更加复杂和不规则的农田环境。此外，农业机器人的使用寿命 和可靠性也需要进一步提高，以满足农业生产的需求。
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博士生课程空间机器人关键技术1空间机器人概述2数学力学基础3冗余自由度机器人4柔性机械臂5欠驱动机器人6机器人灵巧手（一）空间机器人的概述1.空间机器人在空间技术中的地位从20世纪50年代，以美国和苏联为首的空间技术大国就在空间技术领域展开了激烈的竞赛。
i 苏联1957年8月3日，前苏联研制的第一枚洲际弹道导弹SS-6首次发射成功。
不久，前苏联火箭总设计师柯罗廖夫从美国新闻界得知美国试图在1957-1958年的国际地球物理年里发射一颗人造地球卫星。
于是，他立即将SS-6导弹稍加修改，将弹头换上一个结构简单的卫星，抢先将第一颗人造卫星送上了太空。
接着，在第一颗人造卫星发射后一个月，即11月3日，又用SS-6导弹作航天运输工具，将装有小狗“莱伊卡”的第二颗人造卫星送入太空的圆形地球轨道。
1959年5月，前苏联又将“月球”l号人造卫星送入了月球轨道。
ii 美国在1958年以前，以“红石”近程导弹和“维金”探空火箭为基础，分别研制成“丘比特”C和“先锋”号等小型运载火箭，用于发射最初的几个有效载荷仅为数千克至十几千克的小卫星。
发展到今天，从地面实验室研究到人造卫星、空间站、载人飞船、航天飞机、行星表面探测器，空间技术大国都投入了大量人力、物力和财力。
空间技术对于天文学、气象、通信、医学、农业以及微电子等领域都产生了很大的效益。
不仅如此，空间技术对于未来国家安全更具有重要的意义。
在空间技术发展的过程中空间机器人的作用越来越明显。
20世纪60年代前苏联的移动机器人研究所(著名的俄罗斯Rover科技有限公司前身)研制了世界上第一台和第二台月球车Lunohod-1和Lunohod-2。
1976年美国发射海盗一号和二号(Rover-1、Rover-2)的登陆舱相继在在火星表面登陆，通过遥操作机械臂进行火星表面土壤取样。
随着空间技术研究的日益深入，人类空间活动的日益频繁，需要进行大量的宇航员的舱外活动(EV A)，这对宇航员不仅危险，而且没有大气层的防护，宇宙射线和太空的各种飞行颗粒都会对宇航员造成伤害。
建造国际空间站，以及未来的月球和火星基地，工程浩大，只靠宇航员也是非力所能及的。
还有空间产业、空间科学实验和探测，这些工作是危险的，但有一定重复性，各航天大国都在研究用空间机器人来代替宇航员的大部分工作。
此外许多空间飞行器长期工作在无人值守的状态，这些飞行器上面各种装置的维护和修理依靠发射飞船，把宇航员送上太空的办法既不经济，也不现实。
在未来的空间活动中，许多工作仅靠宇航员的舱外作业是无法完成的，必须借助空间机器人来完成空间作业。
2空间机器人的任务和分类1)空间建筑与装配。
一些大型的安装部件，比如无线电天线，太阳能电池，各个舱段的组装等舱外活动都离不开空间机器人，机器人将承担各种搬运，各构件之间的连接紧固，有毒或危险品的处理等任务。
有人预计，在不久将来空间站建造初期，一半以上的工作都将由机器人完成。
2)卫星和其他航天器的维护与修理。
随着人类在太空活动的不断发展，人类在太空的资产越来越多，其中人造卫星占了绝大多数。
如果这些卫星一旦发生故障，丢弃它们再发射新的卫星就很不经济，必须设法修理后使它们重新发挥作用。
但是如果派宇航员去修理，又牵涉到舱外活动的问题，而且由于航天器在太空中，是处于强烈宇宙辐射的环境之下，有时人根本无法执行任务，所以只能依靠空间机器人。
挑战者号和哥伦比亚号航天飞机的坠毁引起人们对空间飞行安全的关注，采用空间机械臂修复哈勃太空望远镜似乎是一件很自然的事情。
安装上新的科学仪器(包括一台视野宽阔的摄象仪和一台摄谱仪)后，哈勃望远镜的观测能力可增强十倍以上。
空间机器人所进行的维护和修理工作包括回收失灵卫星，对故障卫星进行就地修理，为空间飞行器补给物资等。
3)空间生产和科学实验。
宇宙空间为人类提供了地面上无法实现的微重力和高真空环境，利用这一环境可以生产出地面上无法或难以生产出的产品。
在太空中还可以进行地面上不能做的科学实验。
和空间装配，空间修理不同，空间生产和科学实验主要在舱内环境里进行，操作内容多半是重复性动作，在多数情况下，宇航员可以直接检查和控制。
这时候的空间机器人如同工作在地面的工厂里的生产线上一样。
因此，可以采用的机器人多是通用型多功能机器人。
空间机器人是空间技术研究的重要内容，它是代替宇航员进行空间科学研究和作业的有力工具。
空间机器人按照用途可以分为i 空间站机器人(包括空间站与航天飞机舱内机器人和空间站与航天飞机舱外机械臂)；ii 星载机器人(包括空间自由飞行机器人和空间自由漂浮机器人)；iii 外星表面探测机器人。
从空间机器人的结构组成来看，可分为单臂和多臂(主要是双臂)空间机器人。
(3)空间机器人的特点空间环境和地面环境差别很大，空间机器人工作在微重力、高真空、超低温、强辐射、弱照明的环境中，因此，空间机器人与地面机器人的要求也必然不相同，有它自身的特点。
由于空间机器人在空间微重力的环境下工作，因此当机械臂运动时，会对载体产生反作用力和力矩，从而改变载体的位置和姿态，即空间机器人的机械臂和载体之间存在着运动学和动力学耦合问题。
如果不考虑这种力学耦合问题，而依然采用地面固定基座机器人的运动控制技术，空间机器人就无法完成预定的操作任务。
所以研究空间机器人，首先要解决的是如何考虑这种因素，建立相互作用的运动学、动力学模型及运动控制算法。
另一个关键问题是在地面上模拟微重力条件的地面试验平台，用来验证空间机器人运动特殊性、卫星姿态、捕捉目标路径规划等各种运动控制算法的可行性。
由于是高真空，液体无法附着在固体表面，而且极易挥发，无法采用地面上常规的液体润滑和密封技术，而必须考虑固体润滑和磁流体密封。
对于舱内空间机器人，要求体积比较小，重量比较轻，抗干扰能力强。
其次，要求空间机器人的智能程度高，功能全。
空间机器人消耗的能量要尽可能小，工作寿命要尽可能长。
由于是工作在太空这一特殊的环境之下，对它的安全性、可靠性和可维修性要求也比较高。
从控制的角度看，由于空间的遥操作距离远大于地面，时延成为不可忽略的因素，在地面上成功的控制策略和控制方法对于空间的遥操作往往行不通，必须考虑空间机器人的自主性和智能性，以及控制和通信的智能系统。
总之，由于空间活动的成本高昂，空间技术的研究和发展需要强大的经济基础为后盾，这导致空间飞行器的设计需要采取特殊的思路，控制系统需要采用先进的策略和软硬件装备。
由于空间活动的未知因素多，必须具备一定的自主工作能力(智能性和灵活性)，同时还必须具有良好的容错能力和可靠性。
空间发射成本高，减轻发射重量成为诸多考虑因素的首选因素，这就使空间机器人大多为轻质柔性结构，因此具有较大的变形。
微重力和载体不固定，使得空间机器人系统为非完整系统。
因此空间机器人的基本特点是：轻质柔性、灵活性、容错性、非完整约束、智能性。
此外为了使空间机器人具有容错性，一般都采用冗余自由度的构形、欠驱动方式和柔性结构。
这些造成空间机器人系统的高度复杂性和综合性。
空间机器人的研究涉及多学科领域，它集成了力学、机械学、控制工程、计算机科学、测试技术和通信技术等多学科领域的最新成就。
(4)空间机器人发展现状加拿大臂(Canadarm)的空间机械臂的正式名称是SRMS(the Shuttle Remote Manipulator System)，长15.2m,重410kg。
已制造并交付使用了5套完整机械臂系统。
每套臂系统中有2套手动控制器，分别控制3个移动和3个转动等6个自由度。
该臂末端速度为600mm/s(空载);有载荷的情况下的速度为60mm/s。
已飞向太空执行任务34次。
在地面上是用气浮方式模拟太空微重力环境，作二维水平运动来试验、维护的。
加拿大为国际空间站提供一个移动服务系统(MSS)及其有关地面设备。
作为回报，加拿大将获得国际空间站3%的使用权。
移动服务系统包括空间站遥控机械臂系统(SSRMS)、专用机械手(SPDM)两部分。
SSRMS长17.6m，重936kg，负荷时移动速度为6mm/s，空载时移动速度为600mm/s，定位精度10mm/(°)，能搬动重量为19500kg、尺寸为18.3m×4.6m的有效载荷。
SSRMS可用于空间站的装配与服务、轨道器的对接与分离、有效载荷操作以及协助出舱活动等，在国际空间站的装配和维护中将发挥关键作用。
SPDM是一个双臂机器人，每个臂长2m，有7个自由度，能承担目前由舱外活动航天员完成的许多维修和装配任务。
从1981年第一次太空飞行，SRMS就表现出高可靠性、高效性和万能性，能够对负载进行准确、精细和复杂的操作。
它是由加拿大MDA公司为美国NASA设计和制造的。
以后NASA又订制了4台SRMS。
加拿大臂能够无缝地实现把卫星放入轨道和回收有故障的卫星。
1990年4月24日加拿大臂稳固地将Hubble空间望远镜放入轨道。
从1990年4月到2002年3月它在4次太空飞行中协助宇航员完成了18次太空行走，进行了总计129小时的EVA。
Canadarm 的非计划性任务包括清除阻塞的废水口的冰块，它们可能对航天飞机返回时收起天线和激活失效卫星重新放入正确轨道造成威胁。
在1998 年12月，Canadarm 在国际空间站的第一次装配任务中发挥了关键作用, 实现了美国单元与俄国空间站Zarya的对接。
Canadarm 将会继续在空间站装配中发挥重大的作用。
加拿大臂由肩关节(2个自由度)、肘关节(1个自由度)和腕关节(3个自由度)，整个臂分为上臂和下臂。
总质量905磅(410kg)。
碳复合材料2数学力学基础(1).矩阵理论①矩阵的四个基本子空间线性方程组可以用矩阵形式写为Ax=(1)b式中，A为m×n系数矩阵，x为n维向量空间R n的列向量，b为m维向量空间R m的列向量。
如果方程的数目小于未知数的数目，即m<n。
我们假设A是行满秩的，即A的秩r等于m。
由于方程数m小于变量数n，方程组为欠定方程组。
由线性代数可知，方程组的解不唯一，在所有的解向量中，有一个解向量是最小范数解。
其他的解可以认为是由这个解和线性方程组对应的齐次线性方程组Ax = 0通解之和。
齐次线性方程的这些解组成了向量空间R n中的一个子空间，称为矩阵A的零空间，或者称为A的核。
它的维数是n - m。
记作N(A)。
如果矩阵A的秩r小于m，零空间的维数则为n-r。
类似地，齐次线性方程组A T x = 0的全体解组成了向量空间R m的一个子空间，称为矩阵A的左零空间。
它的维数是m - r。
记作N(A T)。
如果矩阵行满秩，即r = m，N(A T)为零。
A的r个线性无关列在m维向量空间中张成一个r维子空间，记作R(A)，称为矩阵A的列空间。
A的r个线性无关行在n维向量空间中张成一个r维子空间，，它也可以看成是矩阵A T的列空间。