浙教版九年级数学下册第二章

【知识梳理1：切线的判定】

1. 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线

2. 切线判定的三种方法：

（1）和圆只有一个公共点的直线

（2）圆心到直线的距离等于圆的半径的直线 （3）切线判定定理 例题讲解

例1 下列说法中，不正确的是（ ）

A.与圆只有一个交点的直线是圆的切线

B.经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线

C.与圆心的距离等于这个圆的半径的直线是圆的切线

D.垂直于半径的直线是圆的切线

例2 如图，AB 是⊙O 的直径，下列条件中，不能判定直线AT 是⊙O 的切线的是（ ）

A. AB ＝4，AT ＝3，BT ＝5

B. ∠B ＝45°，AB ＝AT

C. ∠B ＝55°，∠TAC ＝55°

D. ∠ATC ＝∠B

第2题 第3题

例3 如图，已知AB 是⊙O 的弦，半径OC 经过AB 的中点D ，CE ∥AB ，点F 在⊙O 上，连结OA ，CF ，BF ，则下列结论中，不正确的是（ ）

A. ∠F ＝1

2∠AOC B. AB ⊥BF C. CE 是⊙O 的切线 D. AC ︵＝BC ︵

例4如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB 与CD 交于点E ，CE ＝DE ，过点B 作BF ∥CD ，交AC 的延长线于点F ，求证：BF 是⊙O 的切线.

【变式训练】

1. 如图，在平面直角坐标系中，过格点A ，B ，C 作一圆弧，则点B 与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（ ）

A.点(0，3)

B.点(2，3)

C.点(5，1)

D.点(6，1)

(第1题) (第2题)

2. 如图，已知∠ABC ＝90°，O 为射线BC 上一点.以点O 为圆心，1

2BO 长为半径作⊙O .当射

线BA 绕点B 按顺时针方向旋转______________(不超过360°)时与⊙O 相切.

3. 如图，四边形ABCD 是平行四边形，以对角线BD 为直径作⊙O ，分别与BC ，AD 交于点E ，F .

（1）求证：四边形BEDF 为矩形.

（2）若BD 2＝BE ·BC ，试判断直线CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由.

4. 如图，在△AOB 中，∠AOB ＝90°，OD ⊥AB 于点D.以点O 为圆心，OD 长为半径的圆交OA 于点 E ，在BA 上截取BC ＝OB ，连结CE .求证： CE 是⊙O 的切线.

5. 如图，⊙O 的直径为AB ，点C 在圆周上(不与点A ，B 重合)，AD ⊥C D. （1）若BC ＝3，AB ＝5，求AC 的长.

（2）若AC 是∠DAB 的平分线，求证：直线CD 是⊙O 的切线.

【知识梳理2：切线的性质】

1. 切线的性质：经过切点的半径垂直于切线

2. 只要知道以下其中两个性质就可以推出第三个：①过圆心；②过切点；③垂直于切线 例题讲解

例1 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是AB 延长线上的一点，且BC=OB ，CD 切⊙O 于点D. 则∠A =（ ）

A. 15°

B. 30°

C. 60°

D. 75°

第1题 第2题

例2 如图，以点O 为圆心的两个圆中，大圆的弦AB 切小圆于点C ，OA 交小圆于点D.若OD ＝2，tan ∠OAB ＝1

2

，则AB 的长是（ ）

A. 4

B. 2 3

C. 8

D. 4 3

例3 如图，AB 为⊙O 的直径，PQ 切⊙O 于点T ，连结AT ，AC ⊥PQ 于点C ，交⊙O 于点D.

（1）求证：AT 平分∠BA C.

（2）若AO ＝2，AT ＝2 3，求AC 的长.

例4如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＋BC ＝8，O 是斜边AB 上一点，以点O 为圆心的⊙O 分别与AC ，BC 相切于点D ，E . （1）当AC ＝2时，求⊙O 的半径.

（2）设AC ＝x ，⊙O 的半径为y ，求y 关于x 的函数表达式.

【变式训练】

1. 如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连结A C.若∠A＝30°，PC＝3，则BP的长为_________.

第1题第2题

2. 如图，半圆O与等腰直角三角形ABC的两腰CA，CB分别切于D，E两点，直径FG在AB上.若BG＝2－1，则△ABC的周长为__________

3. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为（）

A. 13

3 B.

9

2 C.

4

313 D. 2 5

第3题第4题

4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4 3.若动点D在线段AC上(不与点A，C重合)运动，过点D作DE⊥AC交AB边于点E.

（1）当点D运动到线段AC的中点时，DE＝___________.

（2）若点A关于点D的对称点为点F，以FC为半径作⊙C，当DE＝__________时，⊙C 与直线AB相切.

5. 如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，F是DA延长线上的一点，AC平分∠F AB交⊙O于点C，过点C作CE⊥DF，垂足为E.

（1）求证：CE是⊙O的切线.

（2）若AE＝1，CE＝2，求⊙O的半径.

6. 如图，AB为⊙O的直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，过点D，A分别作⊙O的切线交于点G，并与AB的延长线交于点E.

（1）求证：∠1＝∠2.

（2）若OF∶OB＝1∶3，⊙O的半径为3，求AG的长.

【综合例题讲解】

例1如图，公路MN与公路PQ在点P处交会，且QPN＝30°，在点A处有一所中学，AP ＝160 m.假设拖拉机行驶时，周围100 m以内会受噪音影响，那么拖拉机在公路交会处沿PN方向行驶时，学校是否会受噪音影响？如果不受影响，请说明理由；如果受影响，且已知拖拉机的速度为18 km/h，则学校受影响的时间为多少秒？