九年级数学下册第二章二次函数

(打“√”或“×”)
(1)与最大面积有关的问题只能用二次函数解决. ( ×) (2)用二次函数只能解决最大面积问题，而不能解决最小面积
问题.( ) ×
(3)周长一定的矩形，当其为正方形时面积最大.( ) √
知识点 最大面积问题 【例】小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中， 长度为x(单位：cm)的边与这条边上的高之和为40 cm，这个三 角形的面积S(单位：cm2)随x的变化而变化. (1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的 取值范围). (2)当x是多少时，这个三角形面积S最大？最大面积是多少？
∴当x=0 4时x ，9y最大值=20， 即△PBQ的最2 大面积是20 cm2.
7.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)与x轴交于A, B两点,与y轴交于点C,三个交点坐标分别为A(-1,0),B(3,0), C(0,3). (1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标. (2)若点P为线段BD上的一个动点,过点P作PM⊥x轴于点M,求四 边形PMAC的面积的最大值和此时点P的坐标.
【解析】(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A(－1，0)， B(3，0)，C(0,3)，
0 a b c,
a 1，
0 9a 3b c,解得 b 2，
∴y3＝－c,x2＋2x＋3. c 3.
又∵y＝－x2＋2x＋3=－(x－1)2+4.
∴顶点D的坐标是(1,4).
(2)设直线BD的表达式为y=kx+n(k≠0). ∵直线y=kx+n过点B(3,0)，D(1,4)，
【解析】(1)依题意得2πr1+2πr2=16π,化简得：
r1+r2=8,0<r1<8.
(2)两圆面积和
S r即12 S＝r222π(rr112-4r)222+32［πr1,2 8 r1小2值［3r12π4.2 16］,
6.如图，矩形ABCD的两边长AB=18 cm，AD=4 cm，点P,Q分别从 A,B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2 cm的速度匀速运动， Q在边BC上沿BC方向以每秒1 cm的速度匀速运动．设运动时间 为x秒，△PBQ的面积为y(cm2).
梯形ABCD面积的最大值为
.
【解析】如图，过D作DE∥AC交BC的延长线于点E.则∠BDE＝
90°,DE=AC,CE=AD=3,在Rt△BDE中，BE＝7+3＝10，设BD＝
x，
则 DE BE2 BD2 100 x2 ,
S 1 AC BD＝1 DE BD＝1 x 100 x2
2
2
2
1
【思路点拨】(1)求出边上的高，代入面积公式即可确定S与x 的关系. (2)由(1)得到的关系式，求出函数的最值即可．
【自主解答】(1) S 1 x2 20x.
(2) Q a ∴1S＜有0,最大值，2
∴当
2
时,
x b ＝ 20 20
2a 2 ( 1)
2
S有最大值为
(cm2).
∴当x为20 cm4时ac4，a b三2 角4形 (最4 12大)(面01积) 2是02 202000cm2.
AD 30－2x＝15 x m.
2
2.设矩形ABCD的面积为S，则S与x的关系是什么？
提示：S＝x(15-x)＝-x2+15x.
3.求出S的最值.
提示：
∴当 时，S的最大值为
Q S －(x－15)2 225， x 15
225 .
24
2
4
15
4.综上所述，当AB的长为___m时，围成矩形的面积最大，最
2
2
1 13 1 －2m 6 3 m
2
2
－m2 9 m 3 －(m－9)2 105.
22
4 16
∴Q当1 9 时3,，四边形PMAC的最大面积为 4
此时，m P点9 的坐标是
105 .
4
16
( 9 ，3 ). 42
【想一想错在哪？】正方形ABCD边长为4，M，N分别是BC，CD 上的两个动点，当点M在BC上运动时，保持AM和MN垂直，当点M 在什么位置时，△ADN的面积最大或最小，并求出最大或最小 面积．
【解析】选B.分三种情况讨论，当0≤x≤1时， y 3当x2；
1≤x≤2时，
y
3当x；2≤x≤3时，
y 1故x 选9－B3.x.
2
2
2
3.如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=12cm,BC=24cm,动点P从点A开
始沿AB向B以2cm/s的速度移动(不与点B重合),动点Q从点B开始
沿边BC向C以4cm/s的速度移动(不与点C重合).如果P,Q分别从
A.1 350
B.1 300
C.1 250
D.1 200
【解析】选C.设AE=AH=CF=CG=x,四边形EFGH的面积是S. 由题意，BE=DG=60-x,BF=DH=40-x, 则
所以S△四AH边E 形S△ECFGFGH12的x2面,S△积DG为H ：SS△B=EF601×2 (4600-xx2)-(4600-xx),(40-x)=
2
大面积为_2_2_5m2. 4
【总结】利用二次函数求几何图形的最大面积的基本方法： (1)引入自变量. (2)用含自变量的代数式分别表示与所求几何图形相关的量. (3)根据几何图形的特征,列出其面积的计算公式,并且用函数表 示这个面积. (4)根据函数关系式,求出最大值及取得最大值时自变量的值.
提示:在解决实际问题中的最值问题时,要在自变量的取值范围 内确定最值,本题不仅有最小值,也有最大值.
-2x2+(60+40)x=-2(x-25)2+1 250(0<x≤40);当x=25时， S最大值=1 250.
2.如图,在正方形ABCD中,AB=3cm, 动点M自A点出发沿AB方向以每秒 1cm的速度运动,同时动点N自A点 出发沿折线AD—DC—CB以每秒3cm的速度运动,到达B点时运动 同时停止,设△AMN的面积为y(cm2),运动时间为x(秒),则下列 图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是( )
(1)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围. (2)求△PBQ的面积的最大值.
【解析】(1)
Q
SVPBQ
1 2
PB
BQ,
PB=AB－AP=18－2x，BQ=x，
y 1 18－2xx，
即y=2－x2+9x(0<x≤4).
(2)由(1)知：y=－x2+9x，
∵当y －(x－时9，)2y随81x,的增大而增大，而0<x≤4， 24
7 最大面积是多少
1.能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数 关系,并能够运用二次函数的知识解决实际问题.(重点) 2.从几何背景或实际情景中抽象出函数模型.(难点)
如图，用一条长为30 m的绳子围成一个矩形ABCD.
【思考】1.如果设边AB的长为x m,则AD的长是多少？ 提示：
2
【总结提升】应用二次函数解决面积最大问题的步骤 1.分析题中的变量与常量、几何图形的基本性质. 2.找出等量关系，建立函数模型. 3.结合函数图象及性质，考虑实际问题中自变量的取值范围， 常采用配方法求出，或根据二次函数顶点坐标公式求出面积的 最大或最小值.
题组:最大面积问题 1.在矩形ABCD的各边AB,BC,CD和DA上分别选取点E,F,G,H, 使得AE=AH=CF=CG,如果AB=60,BC=40,四边形EFGH的最大面 积是( )
100x2 x4 1
x2 50
2
2 500.
2
2
当x2=50时，S的最大值为1 2 500 1 50 25.
答案：25
2
2
5.将一根长为16π厘米的细铁丝剪成两段,并把每段铁丝围成 圆,设所得两圆半径分别为r1和r2. (1)求r1与r2的关系式,并写出r1的取值范围. (2)将两圆的面积和S表示成r1的函数关系式，求S的最小值.
∴直04线B3kkDn的n，,表解达得式kn为 ：6.2,y=－2x+6.
∵P点在线段BD上，因此，设P点的坐标为(m，－2m+6). 又∵PM⊥x轴于点M，∴PM=－2m+6，OM=m. 又∵A(－1，0)， C(0，3)，∴OA=1，OC=3.
设四边形PMAC的面积为S，则
S 1 OAgOC 1 (PM OC)gOM
A,B同时出发,那么经过
s,△BPQ的面积最大.
【解析】设运动的时间为xs,△BPQ的面积为ycm2,根据题意得:
y 1 12 2x 4x 4x2 24x
=-42(x-3)2+36.
∴当经过3s时,△BPQ的面积最大. 答案:3
4.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC⊥BD,若AD=3,BC=7,则