2019年高考数学试题分项版—解析几何(解析版)
2019年高考数学(理)试题分项版解析：专题05-平面向量(分类汇编)Word版含解析
1. 【2019高考福建卷第8题】在下列向量组中，能够把向量()2,3=a 表示出来的是（ ） A.)2,1(),0,0(21==e e B .)2,5(),2,1(21-=-=e e C.)10,6(),5,3(21==e e D.)3,2(),3,2(21-=-=e e2. 【2019高考广东卷理第5题】已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60的是（ ） A.()1,1,0- B. ()1,1,0- C.()0,1,1- D.()1,0,1-3. 【2019高考湖南卷第16题】在平面直角坐标系中,O 为原点,()),0,3(),3,0(,0,1C B A -动点D 满足CD =1，则OA OB OD ++的最大值是_________.【答案】17+【解析】因为C 坐标为()3,0且1CD =,所以动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆,则D 满足参数方程4. 【2019高考江苏卷第12题】如图在平行四边形ABCD 中，已知8,5AB AD ==，3,2CP PD AP BP =⋅=，则AB AD ⋅的值是 .5. 【2019陕西高考理第13题】设20πθ<<，向量()()1cos cos 2sin ，，，θθθb a=，若b a //，则=θtan _______.6. 【2019高考安徽卷理第10题】在平面直角坐标系xOy 中，已知向量,,1,0,a b a b a b ==⋅=点Q 满足2()OQ a b =+.曲线{cos sin ,02}C P OP a b θθθπ==+≤≤，区域{0,}P r PQ R r R Ω=<≤≤<.若CΩ为两段分离的曲线，则( )A. 13r R <<<B.13r R <<≤C.13r R ≤<<D.13r R <<<考点：1.平面向量的应用；2.线性规划.7. 【2019高考北京版理第10题】已知向量a 、b 满足1||=a ，)1,2(=b ，且0b a =+λ（R λ∈），则||λ= .8. 【2019高考湖北卷理第11题】设向量(3,3)a =，(1,1)b =-，若()()a b a b λλ+⊥-，则实数λ= .【答案】3±10. 【2019江西高考理第15题】已知单位向量1e 与2e 的夹角为α，且1cos 3α=，向量1232a e e =-与123b e e =-的夹角为β，则cos β= .11. 【2019辽宁高考理第5题】设,,a b c 是非零向量，已知命题P ：若0a b ∙=，0b c ∙=，则0a c ∙=；命题q ：若//,//a b b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是（ ） A ．p q ∨ B ．p q ∧ C ．()()p q ⌝∧⌝ D ．()p q ∨⌝12. 【2019全国1高考理第15题】已知C B A ,,为圆O 上的三点，若()AC AB AO +=21，则AB 与AC 的夹角为_______．【考点定位】1、平面向量基本定理；2、圆的性质．13. 【2019全国2高考理第3题】设向量a,b 满足|a+b |=10，|a-b |=6，则a ⋅b = ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 514. 【2019高考安徽卷理第15题】已知两个不相等的非零向量,,b a 两组向量54321,,,,x x x x x 和54321,,,,y y y y y 均由2个a 和3个b 排列而成.记5544332211y x y x y x y x y x S ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=，min S 表示S 所有可能取值中的最小值.则下列命题的是_________（写出所有准确命题的编号）. ①S 有5个不同的值. ②若,b a ⊥则min S 与a 无关. ③若,b a ∥则min S 与b 无关. ④若a b 4>，则0min >S .⑤若2min||2||,8||b a Sa ==，则a 与b 的夹角为4π2222min 34()8||cos 4||8||S S a b b a a a θ==⋅+=+=，∴2cos 1θ=，∴3πθ=，故⑤错误.所以准确的编号为②④.考点：1.平面向量的运算；2.平面向量的数量积.15. 【2019四川高考理第7题】平面向量(1,2)a =，(4,2)b =，c ma b =+（m R ∈），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m =（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．216. 【2019浙江高考理第8题】记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x y x y x x y≥⎧=⎨<⎩，设,a b 为平面向量，则（ ）A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤B.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥C.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≥+ D.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≤+17. 【2019重庆高考理第4题】已知向量(,3),(1,4),(2,1)a k b c ===，且(23)a b c -⊥，则实数k =（ ）9.2A -.0B .C 3 D.15218. 【2019天津高考理第8题】已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD?，点,E F 分别在边,BC DC 上，BE BC l =，DF DC m =．若1AE AF?，23CE CF ?-，则l m += （ ） （A ）12 （B ）23 （C ）56 （D ）71219. 【2019大纲高考理第4题】若向量,a b 满足：()()1,,2,a a b a a b b =+⊥+⊥则b = （ ）A ．2B ．2C ．1D ．22。
2019年高考数学试题分项版——三角函数(解析版)
2019年高考数学试题分项版——三角函数（解析版）1、（2019年高考新课标Ⅰ卷文）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a ，2c ，2cos 3A，则b=（A ）2（B ）3（C ）2 （D ）3【答案】D 【解析】试题分析：由由余弦定理得3222452b b，解得3b（31b舍去），选 D.2、（2019年高考新课标Ⅰ卷文）若将函数y=2sin (2x+π6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为（A ）y=2sin(2x+π4) （B ）y=2sin(2x+π3) （C ）y=2sin(2x –π4) （D ）y=2sin(2x –π3)【答案】D 【解析】试题分析：函数y2sin(2x)6的周期为，将函数y2sin(2x)6的图像向右平移14个周期即4个单位，所得函数为y2sin[2(x))]2sin(2x)463，故选 D.3、（2019年高考新课标Ⅰ卷文）若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x 在,单调递增，则a 的取值范围是（A ）1,1（B ）11,3（C ）11,33（D ）11,3【答案】C 【解析】试题分析：用特殊值法：取1a ，1sin 2sin 3f x xx x，21cos 2cos 3f x x x，但2201133f ，不具备在,单调递增，排除A ，B ，D ．故选C ．4、（2019年高考新课标Ⅰ卷理）已知函数()sin()(0),24f x x+x，为()f x 的零点，4x为()y f x 图像的对称轴，且()f x 在51836，单调，则的最大值为（A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 【答案】B 【解析】试题分析：因为4x为()f x 的零点，4x为()f x 图像的对称轴，所以()444T kT ，即41412244k k T，所以41(*)k kN ，又因为()f x 在5,1836单调，所以5236181222T，即12，由此的最大值为9.故选B.5、（2019年高考新课标Ⅱ卷文）函数=sin()y A x 的部分图像如图所示，则（A ）2sin(2)6y x（B ）2sin(2)3yx（C ）2sin(2+)6yx （D ）2sin(2+)3yx 【答案】A6、（2019年高考新课标Ⅱ卷理）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为（A ）ππ26k x k Z （B ）ππ26k x k Z （C ）ππ212Zk xk（D ）ππ212Zk xk【答案】B考点：三角函数的图象变换与对称性.【名师点睛】平移变换和伸缩变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωｘ加减多少值．7、（2019年高考新课标Ⅱ卷理）若π3cos45，则sin 2= （A ）725（B ）15（C ）15（D ）725【答案】D 【解析】试题分析：2237cos 22cos12144525，且cos 2cos2sin 242，故选 D.8、（2019年高考新课标Ⅲ卷文）若，则（）（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】D考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、二倍角．9、（2019年高考新课标Ⅲ卷文理）在中，，BC 边上的高等于,则tan13cos 245151545ABC △π4B =13BC sin A =（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】D 【解析】试题分析：设边上的高线为，则，所以．由正弦定理，知，即，解得，故选D ．[来源:学科网ZXXK]10、（2019年高考新课标Ⅲ卷理）若，则(A)(B)(C) 1 (D)【答案】A 【解析】试题分析：由，得或，所以，故选A ．考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．11、(2019年高考北京卷理) 将函数图象上的点向左平移（）个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则（）A.，的最小值为B.，的最小值为[来源:Z 。
2019年高考数学试题解析(2)课件
【答案】C
4
6.2 （2019年1卷理数第6题）
我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻组成，
爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该
重卦恰有 3 个阳爻的概率是
A． 5 16
B． 11 32
C． 21 32
D． 11 16
【解析】所有重卦的个数为
26
64
，恰有
3
个阳爻的个数为
C
3 6
C33
20
，因此恰有
3
个阳
爻的概率为
P 20 5 64 16
【答案】A
5
6.3 （2019年2卷文数第4题）
生物实验室有 5 只兔子，其中只有 3 只测量过某项指标，若从这 5 只兔子中随机取出 3 只，
则恰有 2 只测量过该指标的概率为
高中数学
2019年高考数学试题解析（2）
本课件包括了2019年全国卷1、2、3的文科数学和理科数学.
高中数学
2019年高考数学试题解析（2）
2019年高考数学试题解析（1）：集合、复数、框图、推理、平面向量、不等式与线性规划 2019年高考数学试题解析（2）：概率统计、数列 2019年高考数学试题解析（3）：三角函数、解三角形、函数与导数 2019年高考数学试题解析（4）：解析几何、立体几何 2019年高考数学试题解析（5）：坐标系与参数方程、不等式选讲
以所求的概率 P 12 1 . 24 2
【答案】D
10
6.6 （2019年3卷文数第4题、理数第3题）
《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小
2019年高考数学试题分项版—复数(解析版)
2019年高考数学试题分项版——复数（解析版）一、选择题1．(2019·全国Ⅰ文，1)设z＝，则|z|等于()A．2 B. C.D．1答案 C解析∵z＝＝＝，∴|z|＝＝.2．(2019·全国Ⅱ文，2)设z＝i(2＋i)，则等于()A．1＋2i B．－1＋2iC．1－2i D．－1－2i答案 D解析∵z＝i(2＋i)＝－1＋2i，∴＝－1－2i.3．(2019·全国Ⅲ文，2)若z(1＋i)＝2i，则z等于()A．－1－i B．－1＋iC．1－i D．1＋i答案 D解析z＝＝＝＝1＋i.4．(2019·北京文，2)已知复数z＝2＋i，则z·等于()A. B.C．3 D．5答案 D解析∵z＝2＋i，∴＝2－i，z·＝(2＋i)(2－i)＝5.故选D.5．(2019·全国Ⅰ理，2)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则() A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1答案 C解析∵z在复平面内对应的点为(x，y)，∴z＝x＋y i(x，y∈R)．∵|z－i|＝1，∴|x＋(y－1)i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选C.6．(2019·全国Ⅱ理，2)设z＝－3＋2i，则在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 C 解析 由题意，得 ＝－3－2i ，其在复平面内对应的点为(－3，－2)，位于第三象限，故选C.7．(2019·全国Ⅲ理，2)若z (1＋i)＝2i ，则z 等于( )A ．－1－iB ．－1＋iC ．1－iD ．1＋i 答案 D解析 z ＝ ＝ ＝＝1＋i. 8．(2019·北京理，1)已知复数2z i =+，则(z z = )A B C ．3 D ．5【思路分析】直接由2||z z z =求解．【解析】：2z i =+，22||5z z z ∴===．故选：D ．【归纳与总结】本题考查复数及其运算性质，是基础的计算题．二、填空题1．(2019·天津文，9)i 是虚数单位，则的值为________． 答案解析 方法一＝ ＝ ＝2－3i ，故 ＝ ＝ . 方法二＝＝＝ ＝ . 2．(2019·浙江，11)复数z ＝(i 为虚数单位)，则|z |＝________. 答案解析 z ＝ ＝ ＝ － ，所以|z |＝ ＝. 3．(2019·江苏，2)已知复数(a ＋2i)(1＋i)的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是________．答案 2解析 (a ＋2i)(1＋i)＝a －2＋(a ＋2)i ，∵实部是0，∴a －2＝0，a ＝2.4．(2019·天津理，9)i 是虚数单位，则 的值为________．答案解析 方法一 ＝ ＝ ＝2－3i ，故 ＝ ＝ .方法二＝＝＝＝.。
专题13 平面解析几何解答题(解析版)
专题13平面解析几何解答题1．【2019年天津理科18】设椭圆1（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的短轴长为4，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上．若|ON|＝|OF|（O为原点），且OP⊥MN，求直线PB的斜率．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得2b＝4，即b＝2，e，a2﹣b2＝c2，解得a，c＝1，可得椭圆方程为1；（Ⅱ）B（0，2），设PB的方程为y＝kx+2，代入椭圆方程4x2+5y2＝20，可得（4+5k2）x2+20kx＝0，解得x或x＝0，即有P（，），y＝kx+2，令y＝0，可得M（，0），又N（0，﹣1），OP⊥MN，可得•1，解得k＝±，可得PB的斜率为±．2．【2019年新课标3理科21】已知曲线C：y，D为直线y上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．（1）证明：直线AB过定点；（2）若以E（0，）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积．【解答】解：（1）证明：y的导数为y′＝x，设切点A（x1，y1），B（x2，y2），即有y1，y2，切线DA的方程为y﹣y1＝x1（x﹣x1），即为y＝x1x，切线DB的方程为y＝x2x，联立两切线方程可得x（x1+x2），可得y x1x2，即x1x2＝﹣1，直线AB的方程为y（x﹣x1），即为y（x1+x2）（x﹣x1），可化为y（x1+x2）x，可得AB恒过定点（0，）；（2）法一：设直线AB的方程为y＝kx，由（1）可得x1+x2＝2k，x1x2＝﹣1，AB中点H（k，k2），由H为切点可得E到直线AB的距离即为|EH|，可得，解得k＝0或k＝±1，即有直线AB的方程为y或y＝±x，由y可得|AB|＝2，四边形ADBE的面积为S△ABE+S△ABD2×（1+2）＝3；由y＝±x，可得|AB|•4，此时D（±1，）到直线AB的距离为；E（0，）到直线AB的距离为，则四边形ADBE的面积为S△ABE+S△ABD4×（）＝4；法二：（2）由（1）得直线AB的方程为y＝tx．由，可得x2﹣2tx﹣1＝0．于是x1+x2＝2t，x1x2＝﹣1，y1+y2＝t（x1+x2）+1＝2t2+1，|AB|2（t2+1）．设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离，则d1，d2．因此，四边形ADBE的面积S|AB|（d1+d2）＝（t2+3）．设M为线段AB的中点，则M（t，t2）．由于，而，与向量（1，t）平行，所以t+（t2﹣2）t＝0．解得t＝0或t＝±1．当t＝0时，S＝3；当t＝±1时，S＝4．综上，四边形ADBE的面积为3或4．3．【2019年全国新课标2理科21】已知点A（﹣2，0），B（2，0），动点M（x，y）满足直线AM与BM的斜率之积为．记M的轨迹为曲线C．（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G．（i）证明：△PQG是直角三角形；（ii）求△PQG面积的最大值．【解答】解：（1）由题意得，整理得曲线C的方程：，∴曲线C是焦点在x轴上不含长轴端点的椭圆；（2）（i）设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），E（x0，0），G（x G，y G），∴直线QE的方程为：，与联立消去y，得，∴，∴，∴，∴，把代入上式，得k PG，∴k PQ×k PG1，∴PQ⊥PG，故△PQG为直角三角形；（ii）S△PQG令t，则t≥2，S△PQG利用“对号”函数f（t）＝2t在[2，+∞）的单调性可知，f（t）（t＝2时取等号），∴（此时），故△PQG面积的最大值为．4．【2019年新课标1理科19】已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．（1）若|AF|+|BF|＝4，求l的方程；（2）若3，求|AB|．【解答】解：（1）设直线l的方程为y（x﹣t），将其代入抛物线y2＝3x得：x2﹣（t+3）x t2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x22t，①，x1x2＝t2②，由抛物线的定义可得：|AF|+|BF|＝x1+x2+p＝2t4，解得t，直线l的方程为y x．（2）若3，则y1＝﹣3y2，∴（x1﹣t）＝﹣3（x2﹣t），化简得x1＝﹣3x2+4t，③由①②③解得t＝1，x1＝3，x2，∴|AB|．5．【2019年北京理科18】已知抛物线C：x2＝﹣2py经过点（2，﹣1）．（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y＝﹣1分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．【解答】解：（Ⅰ）抛物线C：x2＝﹣2py经过点（2，﹣1）．可得4＝2p，即p＝2，可得抛物线C的方程为x2＝﹣4y，准线方程为y＝1；（Ⅱ）证明：抛物线x2＝﹣4y的焦点为F（0，﹣1），设直线方程为y＝kx﹣1，联立抛物线方程，可得x2+4kx﹣4＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），可得x1+x2＝﹣4k，x1x2＝﹣4，直线OM的方程为y x，即y x，直线ON的方程为y x，即y x，可得A（，﹣1），B（，﹣1），可得AB的中点的横坐标为2（）＝2•2k，即有AB为直径的圆心为（2k，﹣1），半径为||＝2•2，可得圆的方程为（x﹣2k）2+（y+1）2＝4（1+k2），化为x2﹣4kx+（y+1）2＝4，由x＝0，可得y＝1或﹣3．则以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点（0，1），（0，﹣3）．6．【2019年江苏17】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1（a＞b＞0）的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，1与圆F2：（x﹣1）2+y2＝4a2交于点A，与椭圆C交于点D．连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．【解答】解：（1）如图，∵F2A＝F2B，∴∠F2AB＝∠F2BA，∵F2A＝2a＝F2D+DA＝F2D+F1D，∴AD＝F1D，则∠DAF1＝∠DF1A，∴∠DF1A＝∠F2BA，则F1D∥BF2，∵c＝1，∴b2＝a2﹣1，则椭圆方程为，取x＝1，得，则AD＝2a．又DF1，∴，解得a＝2（a＞0）．∴椭圆C的标准方程为；（2）由（1）知，D（1，），F1（﹣1，0），∴，则BF2：y，联立，得21x2﹣18x﹣39＝0．解得x1＝﹣1或（舍）．∴．即点E的坐标为（﹣1，）．7．【2019年浙江21】如图，已知点F（1，0）为抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点．过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F 的右侧．记△AFG，△CQG的面积分别为S1，S2．（Ⅰ）求p的值及抛物线的准线方程；（Ⅱ）求的最小值及此时点G点坐标．【解答】解：（Ⅰ）由抛物线的性质可得：1，∴p＝2，∴抛物线的准线方程为x＝﹣1；（Ⅱ）设A（x A，y A），B（x B，y B），C（x C，y C），重心G（x G，y G），令y A＝2t，t≠0，则，由于直线AB过F，故直线AB的方程为x，代入y2＝4x，得：，∴2ty B＝﹣4，即y B，∴B（，），又x G（x A+x B+x C），y G（y A+y B+y C），重心在x轴上，∴0，∴C（（）2，2（）），G（，0），∴直线AC的方程为y﹣2t＝2t（x﹣t2），得Q（t2﹣1，0），∵Q在焦点F的右侧，∴t2＞2，∴2，令m＝t2﹣2，则m＞0，2221，∴当m时，取得最小值为1，此时G（2，0）．8．【2018年江苏18】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点（），焦点F1（，0），F2（，0），圆O的直径为F1F2．（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于A，B两点．若△OAB的面积为，求直线l的方程．【解答】解：（1）由题意可设椭圆方程为，∵焦点F1（，0），F2（，0），∴．∵∴，又a2﹣b2＝c2＝3，解得a＝2，b＝1．∴椭圆C的方程为：，圆O的方程为：x2+y2＝3．（2）①可知直线l与圆O相切，也与椭圆C，且切点在第一象限，因此k一定小于0，∴可设直线l的方程为y＝kx+m，（k＜0，m＞0）．由圆心（0，0）到直线l的距离等于圆半径，可得．由，可得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，△＝（8km）2﹣4（4k2+1）（4m2﹣4）＝0，可得m2＝4k2+1，∴3k2+3＝4k2+1，结合k＜0，m＞0，解得k，m＝3．将k，m＝3代入可得，解得x，y＝1，故点P的坐标为（．②设A（x1，y1），B（x2，y2），由⇒k．联立直线与椭圆方程得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，|x2﹣x1|，O到直线l的距离d，|AB||x2﹣x1|，△OAB的面积为S，解得k，（正值舍去），m＝3．∴y为所求．9．【2018年新课标1理科19】设椭圆C：y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）．（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB．【解答】解：（1）c1，∴F（1，0），∵l与x轴垂直，∴x＝1，由，解得或，∴A（1.），或（1，），∴直线AM的方程为y x，y x，证明：（2）当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°，当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，∴∠OMA＝∠OMB，当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y＝k（x﹣1），k≠0，A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2，直线MA，MB的斜率之和为k MA，k MB之和为k MA+k MB，由y1＝kx1﹣k，y2＝kx2﹣k得k MA+k MB，将y＝k（x﹣1）代入y2＝1可得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，∴x1+x2，x1x2，∴2kx1x2﹣3k（x1+x2）+4k（4k3﹣4k﹣12k3+8k3+4k）＝0从而k MA+k MB＝0，故MA，MB的倾斜角互补，∴∠OMA＝∠OMB，综上∠OMA＝∠OMB．10．【2018年新课标2理科19】设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8．（1）求l的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．【解答】解：（1）方法一：抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），设直线AB的方程为：y＝k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：k2x2﹣2（k2+2）x+k2＝0，则x1+x2，x1x2＝1，由|AB|＝x1+x2+p2＝8，解得：k2＝1，则k＝1，∴直线l的方程y＝x﹣1；方法二：抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），设直线AB的倾斜角为θ，由抛物线的弦长公式|AB|8，解得：sin2θ，∴θ，则直线的斜率k＝1，∴直线l的方程y＝x﹣1；（2）由（1）可得AB的中点坐标为D（3，2），则直线AB的垂直平分线方程为y﹣2＝﹣（x﹣3），即y ＝﹣x+5，设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则，解得：或，因此，所求圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2＝16或（x﹣11）2+（y+6）2＝144．11．【2018年新课标3理科20】已知斜率为k的直线l与椭圆C：1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）．（1）证明：k；（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且．证明：||，||，||成等差数列，并求该数列的公差．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），∵线段AB的中点为M（1，m），∴x1+x2＝2，y1+y2＝2m将A，B代入椭圆C：1中，可得，两式相减可得，3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）＝0，即6（x1﹣x2）+8m（y1﹣y2）＝0，∴k点M（1，m）在椭圆内，即，解得0＜m∴．①（2）由题意得F（1，0），设P（x3，y3），则x1﹣1+x2﹣1+x3﹣1＝0，y1+y2+y3＝0，由（1）及题设得x3＝3﹣（x1+x2）＝1，y3＝﹣（y1+y2）＝﹣2m＜0．又点P在C上，所以m，从而P（1，），．于是2．同理2．所以||+||＝4，故||+||＝2||，即||，||，||成等差数列．设改数列的公差为d，则2|d||x1﹣x2|②将m代入①得k＝﹣1．所以l的方程为y＝﹣x，代入C的方程，并整理得70．故x1+x2＝2，x1x2，代入②解得|d|．所以该数列的公差为或．12．【2018年浙江21】如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足P A，PB的中点均在C上．（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；（Ⅱ）若P是半椭圆x21（x＜0）上的动点，求△P AB面积的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：可设P（m，n），A（，y1），B（，y2），AB中点为M的坐标为（，），抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足P A，PB的中点均在C上，可得（）2＝4•，（）2＝4•，化简可得y1，y2为关于y的方程y2﹣2ny+8m﹣n2＝0的两根，可得y1+y2＝2n，y1y2＝8m﹣n2，可得n，则PM垂直于y轴；（Ⅱ）若P是半椭圆x21（x＜0）上的动点，可得m21，﹣1≤m＜0，﹣2＜n＜2，由（Ⅰ）可得y1+y2＝2n，y1y2＝8m﹣n2，由PM垂直于y轴，可得△P AB面积为S|PM|•|y1﹣y2| （m）•＝[•（4n2﹣16m+2n2）m]•（n2﹣4m），可令t，可得m时，t取得最大值；m＝﹣1时，t取得最小值2，即2≤t，则S t3在2≤t递增，可得S∈[6，]，△P AB面积的取值范围为[6，]．13．【2018年上海20】设常数t＞2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x＝t，曲线Γ：y2＝8x（0≤x≤t，y≥0）．l与x轴交于点A、与Γ交于点B．P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点．（1）用t表示点B到点F的距离；（2）设t＝3，|FQ|＝2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；（3）设t＝8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）方法一：由题意可知：设B（t，2t），则|BF|t+2，∴|BF|＝t+2；方法二：由题意可知：设B（t，2t），由抛物线的性质可知：|BF|＝t t+2，∴|BF|＝t+2；（2）F（2，0），|FQ|＝2，t＝3，则|F A|＝1，∴|AQ|，∴Q（3，），设OQ的中点D，D（，），k QF，则直线PF方程：y（x﹣2），联立，整理得：3x2﹣20x+12＝0，解得：x，x＝6（舍去），∴△AQP的面积S；（3）存在，设P（，y），E（，m），则k PF，k FQ，直线QF方程为y（x﹣2），∴y Q（8﹣2），Q（8，），根据，则E（6，），∴（）2＝8（6），解得：y2，∴存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上，且P（，）．14．【2018年北京理科19】已知抛物线C：y2＝2px经过点P（1，2），过点Q（0，1）的直线l与抛物线C 有两个不同的交点A，B，且直线P A交y轴于M，直线PB交y轴于N．（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O为原点，λ，μ，求证：为定值．【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线C：y2＝2px经过点P（1，2），∴4＝2p，解得p＝2，设过点（0，1）的直线方程为y＝kx+1，设A（x1，y1），B（x2，y2）联立方程组可得，消y可得k2x2+（2k﹣4）x+1＝0，∴△＝（2k﹣4）2﹣4k2＞0，且k≠0解得k＜1，且k≠0，x1+x2，x1x2，又∵P A、PB要与y轴相交，∴直线l不能经过点（1，﹣2），即k≠﹣3，故直线l的斜率的取值范围（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0）∪（0，1）；（Ⅱ）证明：设点M（0，y M），N（0，y N），则（0，y M﹣1），（0，﹣1）因为λ，所以y M﹣1＝﹣y M﹣1，故λ＝1﹣y M，同理μ＝1﹣y N，直线P A的方程为y﹣2（x﹣1）（x﹣1）（x﹣1），令x＝0，得y M，同理可得y N，因为2，∴2，∴为定值．15．【2018年天津理科19】设椭圆1（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，点A的坐标为（b，0），且|FB|•|AB|＝6．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l：y＝kx（k＞0）与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q．若sin ∠AOQ（O为原点），求k的值．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆1（a＞b＞0）的焦距为2c，由椭圆的离心率为e，∴；又a2＝b2+c2，∴2a＝3b，由|FB|＝a，|AB|b，且|FB|•|AB|＝6；可得ab＝6，从而解得a＝3，b＝2，∴椭圆的方程为1；（Ⅱ）设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），由已知y1＞y2＞0；∴|PQ|sin∠AOQ＝y1﹣y2；又|AQ|，且∠OAB，∴|AQ|y2，由sin∠AOQ，可得5y1＝9y2；由方程组，消去x，可得y1，由（Ⅰ）知直线AB的方程为x+y﹣2＝0；由方程组，消去x，可得y2；由5y1＝9y2，可得5（k+1）＝3，两边平方，整理得56k2﹣50k+11＝0，解得k或k；∴k的值为或．16．【2017年江苏17】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e，则a＝2c，①椭圆的准线方程x＝±，由28，②由①②解得：a＝2，c＝1，则b2＝a2﹣c2＝3，∴椭圆的标准方程：；（2）方法一：设P（x0，y0），当x0＝1时，不存在，解得：Q与F1重合，不满足题意，当x0≠1时，则直线PF2的斜率，直线l2的斜率k2，直线l2的方程y（x﹣1），直线PF1的斜率，则直线l1的斜率k1，直线l1的方程y（x+1），联立，解得：，则Q（﹣x0，），由P，Q在椭圆上，P，Q的横坐标互为相反数，纵坐标应相等，则y0，∴y02＝x02﹣1，则，解得：，则，又P在第一象限，所以P的坐标为：P（，）．方法二：设P（m，n），由P在第一象限，则m＞0，n＞0，当m＝1时，不存在，解得：Q与F1重合，不满足题意，当m≠1时，，，由l1⊥PF1，l2⊥PF2，则，，直线l1的方程y（x+1），①直线l2的方程y（x﹣1），②联立解得：x＝﹣m，则Q（﹣m，），由Q在椭圆方程，由对称性可得：±n2，即m2﹣n2＝1，或m2+n2＝1，由P（m，n），在椭圆方程，，解得：，或，无解，又P在第一象限，所以P的坐标为：P（，）．17．【2017年新课标1理科20】已知椭圆C：1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．【解答】解：（1）根据椭圆的对称性，P3（﹣1，），P4（1，）两点必在椭圆C上，又P4的横坐标为1，∴椭圆必不过P1（1，1），∴P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）三点在椭圆C上．把P2（0，1），P3（﹣1，）代入椭圆C，得：，解得a2＝4，b2＝1，∴椭圆C的方程为1．证明：（2）①当斜率不存在时，设l：x＝m，A（m，y A），B（m，﹣y A），∵直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，∴1，解得m＝2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设l：y＝kx+t，（t≠1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4＝0，，x1x2，则1，又t≠1，∴t＝﹣2k﹣1，此时△＝﹣64k，存在k，使得△＞0成立，∴直线l的方程为y＝kx﹣2k﹣1，当x＝2时，y＝﹣1，∴l过定点（2，﹣1）．18．【2017年新课标2理科20】设O为坐标原点，动点M在椭圆C：y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足．（1）求点P的轨迹方程；（2）设点Q在直线x＝﹣3上，且•1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．【解答】解：（1）设M（x0，y0），由题意可得N（x0，0），设P（x，y），由点P满足．可得（x﹣x0，y）（0，y0），可得x﹣x0＝0，y y0，即有x0＝x，y0，代入椭圆方程y2＝1，可得1，即有点P的轨迹方程为圆x2+y2＝2；（2）证明：设Q（﹣3，m），P（cosα，sinα），（0≤α＜2π），•1，可得（cosα，sinα）•（﹣3cosα，m sinα）＝1，即为﹣3cosα﹣2cos2αm sinα﹣2sin2α＝1，当α＝0时，上式不成立，则0＜α＜2π，解得m，即有Q（﹣3，），椭圆y2＝1的左焦点F（﹣1，0），由•（﹣1cosα，sinα）•（﹣3，）＝3+3cosα﹣3（1cosα）＝0．可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．另解：设Q（﹣3，t），P（m，n），由•1，可得（m，n）•（﹣3﹣m，t﹣n）＝﹣3m﹣m2+nt﹣n2＝1，又P在圆x2+y2＝2上，可得m2+n2＝2，即有nt＝3+3m，又椭圆的左焦点F（﹣1，0），•（﹣1﹣m，﹣n）•（﹣3，t）＝3+3m﹣nt＝3+3m﹣3﹣3m＝0，则⊥，可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．19．【2017年新课标3理科20】已知抛物线C：y2＝2x，过点（2，0）的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．（1）证明：坐标原点O在圆M上；（2）设圆M过点P（4，﹣2），求直线l与圆M的方程．【解答】解：方法一：证明：（1）当直线l的斜率不存在时，则A（2，2），B（2，﹣2），则（2，2），（2，﹣2），则•0，∴⊥，则坐标原点O在圆M上；当直线l的斜率存在，设直线l的方程y＝k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），，整理得：k2x2﹣（4k2+2）x+4k2＝0，则x1x2＝4，4x1x2＝y12y22＝（y1y2）2，由y1y2＜0，则y1y2＝﹣4，由•x1x2+y1y2＝0，则⊥，则坐标原点O在圆M上，综上可知：坐标原点O在圆M上；方法二：设直线l的方程x＝my+2，，整理得：y2﹣2my﹣4＝0，A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y2＝﹣4，则（y1y2）2＝4x1x2，则x1x2＝4，则•x1x2+y1y2＝0，则⊥，则坐标原点O在圆M上，∴坐标原点O在圆M上；（2）由（1）可知：x1x2＝4，x1+x2，y1+y2，y1y2＝﹣4，圆M过点P（4，﹣2），则（4﹣x1，﹣2﹣y1），（4﹣x2，﹣2﹣y2），由•0，则（4﹣x1）（4﹣x2）+（﹣2﹣y1）（﹣2﹣y2）＝0，整理得：k2+k﹣2＝0，解得：k＝﹣2，k＝1，当k＝﹣2时，直线l的方程为y＝﹣2x+4，则x1+x2，y1+y2＝﹣1，则M（，），半径为r＝丨MP丨，∴圆M的方程（x）2+（y）2．当直线斜率k＝1时，直线l的方程为y＝x﹣2，同理求得M（3，1），则半径为r＝丨MP丨，∴圆M的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2＝10，综上可知：直线l的方程为y＝﹣2x+4，圆M的方程（x）2+（y）2，或直线l的方程为y＝x﹣2，圆M的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2＝10．20．【2017年浙江21】如图，已知抛物线x2＝y，点A（，），B（，），抛物线上的点P（x，y）（x），过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；（Ⅱ）求|P A|•|PQ|的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题可知P（x，x2），x，所以k AP x∈（﹣1，1），故直线AP斜率的取值范围是：（﹣1，1）；（Ⅱ）由（I）知P（x，x2），x，所以（x，x2），设直线AP的斜率为k，则k x，即x＝k，则AP：y＝kx k，BQ：y x，联立直线AP、BQ方程可知Q（，），故（，），又因为（﹣1﹣k，﹣k2﹣k），故﹣|P A|•|PQ|•（1+k）3（k﹣1），所以|P A|•|PQ|＝（1+k）3（1﹣k），令f（x）＝（1+x）3（1﹣x），﹣1＜x＜1，则f′（x）＝（1+x）2（2﹣4x）＝﹣2（1+x）2（2x﹣1），由于当﹣1＜x时f′（x）＞0，当x＜1时f′（x）＜0，故f（x）max＝f（），即|P A|•|PQ|的最大值为．21．【2017年上海20】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点．（1）若P在第一象限，且|OP|，求P的坐标；（2）设P（），若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；（3）若|MA|＝|MP|，直线AQ与Γ交于另一点C，且，，求直线AQ的方程．【解答】解：（1）设P（x，y）（x＞0，y＞0），∵椭圆Γ：1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，P在第一象限，且|OP|，∴联立，解得P（，）．（2）设M（x0，0），A（0，1），P（），若∠P＝90°，则•，即（x0，）•（，）＝0，∴（）x00，解得x0．如图，若∠M＝90°，则•0，即（﹣x0，1）•（x0，）＝0，∴0，解得x0＝1或x0，若∠A＝90°，则M点在x轴负半轴，不合题意．∴点M的横坐标为，或1，或．（3）设C（2cosα，sinα），∵，A（0，1），∴Q（4cosα，2sinα﹣1），又设P（2cosβ，sinβ），M（x0，0），∵|MA|＝|MP|，∴x02+1＝（2cosβ﹣x0）2+（sinβ）2，整理得：x0cosβ，∵（4cosα﹣2cosβ，2sinα﹣sinβ﹣1），（cosβ，﹣sinβ），，∴4cosα﹣2cosβ＝﹣5cosβ，且2sinα﹣sinβ﹣1＝﹣4sinβ，∴cosβcosα，且sinα（1﹣2sinα），以上两式平方相加，整理得3（sinα）2+sinα﹣2＝0，∴sinα，或sinα＝﹣1（舍去），此时，直线AC的斜率k AC（负值已舍去），如图．∴直线AQ为y x+1．22．【2017年北京理科18】已知抛物线C：y2＝2px过点P（1，1）．过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：A为线段BM的中点．【解答】解：（1）∵y2＝2px过点P（1，1），∴1＝2p，解得p，∴y2＝x，∴焦点坐标为（，0），准线为x，（2）证明：设过点（0，）的直线方程为y＝kx，M（x1，y1），N（x2，y2），∴直线OP为y＝x，直线ON为：y x，由题意知A（x1，x1），B（x1，），由，可得k2x2+（k﹣1）x0，∴x1+x2，x1x2∴y1kx12kx12kx12kx1+（1﹣k）•2x1＝2x1，∴A为线段BM的中点．23．【2017年天津理科19】设椭圆1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率为．已知A 是抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，F到抛物线的准线l的距离为．（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为，求直线AP的方程．【解答】（Ⅰ）解：设F的坐标为（﹣c，0）．依题意可得，解得a ＝1，c，p ＝2，于是b 2＝a 2﹣c 2．所以，椭圆的方程为x 21，抛物线的方程为y 2＝4x ．（Ⅱ）解：直线l 的方程为x ＝﹣1，设直线AP 的方程为x ＝my +1（m ≠0）， 联立方程组，解得点P （﹣1，），故Q （﹣1，）．联立方程组，消去x ，整理得（3m 2+4）y 2+6my ＝0，解得y ＝0，或y．∴B （，）．∴直线BQ 的方程为（）（x +1）﹣（）（y ）＝0，令y ＝0，解得x ，故D （，0）．∴|AD |＝1．又∵△APD 的面积为，∴，整理得3m 2﹣2|m |+2＝0，解得|m |，∴m ＝±．∴直线AP 的方程为3x y ﹣3＝0，或3x y ﹣3＝0．1．【四川省名校联盟2019届高考模拟信息卷（一)】抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，抛物线过点(),1P p .（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程与其准线l 的方程；（Ⅱ）过F 点作直线与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线的切线，证明两条切线的交点在抛物线C 的准线l 上.【答案】（Ⅰ）抛物线的标准方程为24x y =，准线l 的方程为1y =-；（Ⅱ）详见解析. 【解析】（Ⅰ）由221p p =⨯，得2p =，所以抛物线的标准方程为24x y =，准线l 的方程为1y =-.（Ⅱ）根据题意直线AB 的斜率一定存在，又焦点()0,1F ，设过F 点的直线方程为1y kx =+，联立241x yy kx ⎧=⎨=+⎩，得，2440x kx --=. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，124x x =-.∴()22221212122168x x x x x x k +=+-=+.由214y x =得，1'2y x =，过A ，B 的抛物线的切线方程分别为 ()()1112221212y y x x x y y x x x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩， 即21122211241124y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，两式相加，得()()2212121148y x x x x x =+-+，化简，得()221y kx k =-+，即()21y k x k =--， 所以，两条切线交于点()2,1k -，该点显然在抛物线C 的准线l ：1y =-上.2．【山东省淄博市部分学校2019届高三5月阶段性检测】已知圆22:4O x y +=，抛物线2:2(0)C x py p =>．（1）若抛物线C 的焦点F 在圆O 上，且A 为抛物线C 和圆O 的一个交点，求AF ；（2）若直线l 与抛物线C 和圆O 分别相切于,M N 两点，设()00,M x y ，当[]03,4y ∈时，求MN 的最大值．【答案】（1）2；（2）5. 【解析】（1）由题意知(0,2)F ，所以4p =. 所以抛物线C 的方程为28x y =.将28x y =与224x y +=联立得点A的纵坐标为2)A y =，结合抛物线定义得||22A pAF y =+=. （2）由22x py =得：22x y p=，x y p '=，所以直线l 的斜率为0x p ，故直线l 的方程为()000x y y x x p-=-. 即000x x py py --=.又由||2ON ==得02084y p y =-且2040y -> 所以2222200||||||4MN OM ON x y =-=+-220000020824244y py y y y y =+-=+-- ()2202200022001644164444y y y y y y -+=+-=+--- 2020641644y y =++-- 令204t y =-，0[3,4]y ∈，则[5,12]t ∈， 令64()16f t t t =++，则264()1f t t'=-； 当[5,8]t ∈时()0f t '≤，()f t 单调递减，当(8,12]t ∈时()0f t '>，()f t 单调递增，又64169(5)16555f =++=，64100169(12)16121235f =++=<， 所以max 169()5f x =，即||MN. 3．【山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试】已知ABC ∆的周长为6，B ，C 关于原点对称，且(1,0)B -.点A 的轨迹为Γ. （Ⅰ）求Γ的方程；（Ⅱ）若(2,0)D -，直线l ：(1)(0)y k x k =-≠与Γ交于E ，F 两点，若1DEk ，kλ，1DFk 成等差数列，求λ的值.【答案】（Ⅰ）()221243x y x +=≠±；（Ⅱ）2.【解析】（Ⅰ）依题意，(1,0)B -，(1,0)C ，故2BC =，则42AB AC BC +=>=，故点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆（不含左、右两顶点），故Γ的方程为221(2)43x y x +=≠±.（Ⅱ）依题意，112DE DFk k k λ⋅=+，故2DE DFk k k k λ=+. 联立22(1)34120y k x x y =-⎧⎨+-=⎩整理得()22223484120k x k x k +-+-=. 设11(,)E x y ，22(,)F x y ，则2122834k x x k+=+，212241234k x x k-=+.故()()121222DE DF k x k x k kk k y y +++=+()()()()12122211k x k x k x k x ++=+-- ()()()1212123233221111x x x x x x +-=++=+----()()1212123221x x x x x x +-=+-++222222832342412813434k k k k k k⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+--+++()22222386822242412834k k k k k λ--=+=+==--++， 则2λ=.4．【内蒙古呼伦贝尔市2019届高三模拟统一考试】已知椭圆C ：()222211x y a b a b +=>>线1x =（1）求椭圆方程；（2）设直线y kx m =+交椭圆C 于A ，B 两点，且线段AB 的中点M 在直线1x =上，求证：线段AB 的中垂线恒过定点.【答案】（1）2214x y +=（2）见解析【解析】（1）由直线1x =⎛ ⎝⎭，即221314a b +=，又c e a ===，得224a b =， 所以24a =，21b =，即椭圆方程为2214x y +=.（2）由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222148440k x kmx m +++-=，由222222644(14)(44)1664160k m k m m k ∆=-+-=-++>， 得2214m k <+. 由122814kmx x k +=-+，设AB 的中点M 为()00,x y ， 得024114kmx k=-=+，即2144k km +=-，∴0021144m y kx m k k=+==-+. ∴AB 的中垂线方程为()1114y x k k+=--. 即134y x k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，故AB 的中垂线恒过点3,04N ⎛⎫⎪⎝⎭. 5．【湖南省益阳市桃江县第一中学2019届高三5月模拟考试】已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为2，焦距为（1）求C 的方程； （2）若斜率为12-的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点（点P ，Q 均在第一象限），O 为坐标原点. ①证明：直线,,OP PQ OQ 的斜率依次成等比数列. ②若Q '与Q 关于x 轴对称，证明：4tan 3POQ '∠>. 【答案】（1）2214x y +=； （2）①见解析；②见解析.【解析】（1）由题意可得：22c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得：2a c =⎧⎪⎨=⎪⎩ 2221b a c ∴=-= ∴椭圆C 的方程为：2214x y += （2）证明：①设直线l 的方程为：12y x m =-+，()11,P x y ，()22,Q x y 由221214y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得：()222210x mx m -+-= 则()()222481420m m m∆=--=->，且122x xm +=，()21221x x m =-()22121212121111122422m y y x m x m x x m x x m -⎛⎫⎛⎫∴=-+-+=-++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()2212212112421OP OQPQ m y y k k k x x m -∴====- 即直线,,OP PQ OQ 的斜率依次成等比数列 ②由题可知：xOQ xOQ '∠=∠ 由①可知：1tan tan 4xOQ xOP '∠⋅∠=，tan 0xOQ '∠>，tan 0xOP ∠> ()tan tan tan tan 1tan tan xOQ xOP POQ xOQ xOP xOQ xOP'∠+∠''∴∠=∠+∠='-∠⋅∠()44tan tan 3343xOQ xOP '=∠+∠⨯=≥ 若xOQ xOP '∠=∠，则,P Q 两点重合，不符合题意；可知无法取得等号4tan 3POQ '∴∠>6．【广东省肇庆市2019届高中毕业班第三次统一检测】已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点．（1）若直线l 过点F 且8AB =，求直线l 的方程；（2）已知点(2,0)E -，若直线l 不过点E 、不与坐标轴垂直，且AEO BEO ∠=∠，证明：直线l 过定点． 【答案】（1）1y x =-或1y x =-+；（2）(2,0). 【解析】（1）法一：焦点(1,0)F ，当直线l 斜率不存在时，方程为1x =，与抛物线的交点坐标分别为(1,2)，(1,2)-， 此时AB 4=，不符合题意，故直线的斜率存在．设直线l 方程为(1)y k x =-与24y x =联立得()2222220k x k x k -+-=，当0k =时，方程只有一根，不符合题意，故0k ≠.()212222k x x k++=，抛物线的准线方程为1x =-，由抛物线的定义得()()12||||||11AB AF BF x x =+=+++()222228k k+=+=，解得1k =±，所以l 方程为1y x =-或1y x =-+.法二：焦点(1,0)F ，显然直线l 不垂直于x 轴，设直线l 方程为1x my =+,与24y x =联立得2440y my --=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，124y y m +=，124y y =.||AB ==()241m ==+，由8AB =，解得1m =±， 所以l 方程为1y x =-或1y x =-+. （2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，设直线l 方程为(0)x my b m =+≠与24y x =联立得：2440y my b --=， 可得124y y m +=，124y y b =-. 由AEO BEO ∠=∠得EA EB k k =，即121222y yx x =-++. 整理得121122220y x y x y y +++=，即121122()2()20y my b y my b y y +++++=， 整理得12122(2)()0my y b y y +++=， 即84(2)0bm b m -++=，即2b =. 故直线l 方程为2x my =+过定点(2,0).7．【广东省潮州市2019届高三第二次模拟考试】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，()2,0A 是长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，点C 在第一象限，且0AC BC ⋅=，||2||OC OB AB BC -=+． （1）求椭圆的标准方程；（2）设P 、Q 为椭圆上不重合的两点且异于A 、B ，若PCQ ∠的平分线总是垂直于x 轴，问是否存在实数λ，使得PQ AB =λ？若不存在，请说明理由；若存在，求λ取得最大值时的PQ 的长．【答案】(1) 223144x y += (2)【解析】（1）∵0AC BC ⋅=，∴90ACB ∠=︒，∵||2||OC OB AB BC -=+．即||2||BC AC =， ∴AOC △是等腰直角三角形， ∵()2,0A ，∴()1,1C ， 而点C 在椭圆上，∴22111a b +=，2a =，∴243b =， ∴所求椭圆方程为223144x y +=．（2）对于椭圆上两点P ，Q ， ∵PCQ ∠的平分线总是垂直于x 轴， ∴PC 与CQ 所在直线关于1x =对称，PC k k =，则CQ k k =-，∵()1,1C ，∴PC 的直线方程为()11y k x =-+，①QC 的直线方程为()11y k x =--+，②将①代入223144x y +=，得()()22213613610k x k k x k k +--+--=，③∵()1,1C 在椭圆上，∴1x =是方程③的一个根，∴2236113P k k x k --=+，以k -替换k ，得到2236131Q k k x k +-=+．∴()213P Q PQ P Qk x x kk x x +-==-， ∵90ACB ∠=，()2,0A ，()1,1C ，弦BC 过椭圆的中心O ， ∴()2,0A ，()1,1B --，∴13AB k =， ∴PQ AB k k =，∴PQ AB ∥， ∴存在实数λ，使得PQ AB =λ，||1PQ⎛=3=≤，当2219k k =时，即3k =±时取等号， max||PQ=又||10AB =，maxλ==，∴λ取得最大值时的PQ 8．【山东省实验中学等四校2019届高三联合考试】抛物线C ：2y x =，直线l 的斜率为2．（Ⅰ）若l 与C 相切，求直线l 的方程；（Ⅱ）若l 与C 相交于A ，B ，线段AB 的中垂线交C 于P ，Q ，求PQ AB的取值范围．【答案】（Ⅰ）21y x =-；（Ⅱ）1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 【解析】（1）设直线l 的方程为2y x b =+，联立直线l 抛物线C 的方程22y x by x=+⎧⎨=⎩，得220x x b --=， 440b ∆=+=，所以，1b =-，因此，直线l 的方程为21y x =-；（2）设直线l 的方程为2y x b =+，设点()11A x y ，、()22B x y ，、()33P x y ，、()44Q x y ，，联立直线l 与抛物线C 的方程22y x by x=+⎧⎨=⎩，得220x x b --=，440b ∆=+>，所以，1b >-． 由韦达定理得122x x +=，12x x b =-．所以，12AB x =-=因为线段AB 的中点为()12b +，，所以，直线PQ 的方程为1522y x b =-++， 由21522y x b y x ⎧=-++⎪⎨⎪=⎩，得22520x x b +--=，由韦达定理得3412x x +=-，3452x x b =--，所以，34PQ x =-=所以，12PQ AB==>，所以，PQ AB的取值范围是1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭． 9．【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试】在平面直角坐标系xOy的椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点M ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线0x y m ++=上存在点G ，且过点G 的椭圆C 的两条切线相互垂直，求实数m 的取值范围．【答案】(1) 2213x y +=(2) [-【解析】（1）由题意，2223,c a a b c ⎧=⎪⎨⎪=+⎩解得223a b ，又221213a b +=，解得223,1,a b ⎧=⎨=⎩所以椭圆C 的标准方程为2213x y +=．（2）①当过点G 的椭圆C 的一条切线的斜率不存在时，另一条切线必垂直于y轴，易得(1)G ± ②当过点G 的椭圆C的切线的斜率均存在时，设000(,), G x y x ≠ 切线方程为00()y k x x y =-+，代入椭圆方程得2220000(31)6()3()30k x k kx y x kx y +--+--=，2220000[6()]4(31)[3()3]0k kx y k kx y ∆=--+--=，化简得：2200()(31)0kx y k --+=， 由此得2220000(3)210x k x y k y --+-=，设过点G 的椭圆C 的切线的斜率分别为12,k k ，所以20122013y k k x -=-．因为两条切线相互垂直，所以2020113y x -=--，即220004(x y x +=≠， 由①②知G 在圆22004x y +=上，又点G 在直线0x y m ++=上， 所以直线0x y m ++=与圆224x y +=有公共点，2≤，所以m -≤≤综上所述，m的取值范围为[-．10．【甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺】椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F，离心率为2，过焦点2F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点000(,)(0)P x y y ≠为椭圆C 上一动点，连接1PF 、2PF ，设12F PF ∠的角平分线PM 交椭圆C 的长轴于点(,0)M m ，求实数m 的取值范围.【答案】（Ⅰ）2214x y +=；（Ⅱ）3322-<<m .【解析】（Ⅰ）将x c =代入22221x y a b +=中，由222a c b -=可得422b y a=，所以弦长为22b a，故有222221b a c a a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，所以椭圆C 的方程为：2214x y +=.（Ⅱ）设点()00,P x y ()00y ≠，又())12,F F ，则直线12,PF PF的方程分别为(1000:0l y x x y -+=；(2000:0l y x x y --=.=由于点P 为椭圆C 上除长轴外的任一点，所以220014x y +=，=因为m <<，022x -<<，=034=m x 因此，3322-<<m . 11．【辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试】经过坐标原点O 的两条直线与椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>分别相交于点A 、C 和点B 、D ，其中直线AB 经过E 的左焦点(1,0)-，直线CD经过E 的右焦点(1,0).当直线AB 不垂直于坐标轴时，AB 与AD 的斜率乘积为34-. （1）求椭圆E 的方程；（2）求四边形ABCD 面积的最大值.【答案】（1）22143x y +=（2）最大值6.【解析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，由对称性()22,D x y --，直线AB 与直线AD 的斜率乘积为22212221y y x x --.由2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，相减得2222122221y y b x x a -=--. 所以2234b a =，因为221a b -=，所以24a =，23b =，C 的方程为22143x y +=.（2）由题设CD 不平行于x 轴，设CD ：1x my =+，与22143x y +=联立得()2234690m y my ++-=.()214410m ∆=+>，1223,34m y y m -±=+.由对称性四边形ABCD 是平行四边形，其面积S 的等于OCD ∆面积的4倍，于是1242OCD S S y y ∆==-241==.t =，当1t ≥时，'2113|30t t t t ⎛⎫+=-> ⎪⎝⎭，函数13y t t=+单调递增， 所以当1t =，即0m =时，S 取最大值6.12．【安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷】已知P 是圆1F ：22(1)16x y ++=上任意一点，2(1,0)F ，线段2PF 的垂直平分线与半径1PF 交于点Q ，当点P 在圆1F 上运动时，记点Q 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）记曲线C 与x 轴交于,A B 两点，M 是直线1x =上任意一点，直线MA ，MB 与曲线C 的另一个交点分别为,D E ，求证：直线DE 过定点(4,0)H .【答案】(1) 22143x y +=；(2)见解析【解析】（1）由线段2PF 的垂直平分线与半径1PF 交于点Q ，得12111242QF QF QF QP PF F F +=+==>=，所以点Q 的轨迹为以12,F F 为焦点，长轴长为4的椭圆， 故24,2a a == ，22,1c c == ，2223b ac =-=曲线C 的方程为22143x y +=（2）由（1）得()()2,0,2,0A B - ,设点M 的坐标为()1m ， ，直线MA 的方程为:()23my x =+ ， 将()23m y x =+与22143x y +=联立整理得：()222242716161080+m x m x m ++-= ，设点D 的坐标为(),D D x y ，则22161082427D m x m --=+ ，故22548427D m x m -=+，则()23623427DD m m y x m =+=+ ，直线MB 的方程为:()2y m x =--，将()2y m x =--与22143x y +=联立整理得：()2222431616120+mx m x m +--=，设点E 的坐标为(),E E x y ，则221612243E m x m -=+ ，故228643E m x m -=+，则()212243E E m y m x m =--=+，HD 的斜率为()12223664495484427D D y m mk x m m m ===--+--+HE 的斜率为()222212644986443E E y m mk x m m m ===--+--+ 因为12k k = ，所以直线DE 经过定点H .13．【陕西省汉中市2019届高三全真模拟考试】已知点为直线上的动点，，过作直线。
2019年高考数学试题解析(3)课件
tan255°=
A． 2 3
B． 2 3
C． 2 3
D． 2 3
【解析】
tan 255
tan(180
75 )
tan 75Leabharlann tan(45 30 )
tan 45 tan 30 1 tan 45 tan 30
2
3
【答案】D
4
8.2 （2019年1卷文数第11题）
△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 asinA-bsinB=4csinC，cosA= 1 ，则 b =
4c
A．6
B．5
C．4
D．3
【解析】∵asinA-bsinB=4csinC，∴由正弦定理可得 a2 b2 4c2 ，即 a2 b2 4c2 . 又由
余弦定理有： cos A b2 c2 a2 = b2 c2 4 c2 b2 3 c2 3 c 1 ，
5 ，所以sin
5 5.
【答案】B
10
8.7 （2019年2卷文数第15题）
△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．已知 bsinA+acosB=0，则 B=__________.
【解析】由正弦定理有 asin B bsin A ，∵bsin A acosB 0 ，∴ asin B acosB 0 ， 即 sin B cosB 0 .由此可得 tan B 1. ∵ B (0, ) ，∴ B 3 .
2bc
2bc
2bc 2 b 4
∴b 6. c
【答案】A
5
8.3 （2019年1卷文数第15题）
专题2.2 以解析几何中离心率、最值、范围为背景解答题-2019年高考数学备考系列(江苏专版)(解析版)
专题二 压轴解答题第二关 以解析几何中离心率、最值、范围为背景解答题【名师综述】解析几何中的范围、最值和离心率问题仍是高考考试的重点与难点，试题难度较大．注意分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想等的应用，如解析几何中的最值问题往往需建立求解目标函数，通过函数的最值研究几何中的最值．类型一 离心率问题典例1．【2019江苏南京模拟】设双曲线与直线相交于两个不同的点求双曲线的离心率的取值范围． 【答案】【解析】由双曲线C 与直线l 相交于两个不同的点，知方程组有两个不同的实数解． 消去y 并整理得：，所以，解得且．所以双曲线的离心率．因为且，所以且，故离心率e 的取值范围为．【名师指点】本题考查双曲线的几何性质及其应用，对于双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围)．【举一反三】已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 且与x 轴垂直的直线交椭圆于A B 、两点，直线2AF 与椭圆的另一个交点为C ，若23ABC BCF S S ∆∆=，则椭圆的离心率为________．【答案】55类型二最值、范围问题典例2．【2019江苏扬州第一学期期末检测】在平面直角坐标系中，椭圆M：(a＞b＞0)的离心率为，左右顶点分別为A，B，线段AB的长为4．P在椭圆M上且位于第一象限，过点A，B分别作l1⊥PA，l2⊥PB，直线l1，l2交于点C．（1）若点C的横坐标为﹣1，求P点的坐标；（2）直线l1与椭圆M的另一交点为Q，且，求的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意得，解得a＝2，c＝1，∴b2＝a2﹣c2＝3，∴椭圆M的方程是1，且A（﹣2，0），B（2，0），设P（x0，y0），则k P A，∵l1⊥P A，∴直线AC的方程为y（x+2），同理：直线BC的方程为y（x﹣2）．联立方程，解得，又∵y0，∴点C的坐标为（﹣x0，y0），∵点C的横坐标为﹣1，∴x0＝1，又∵P为椭圆M上第一象限内一点∴y0∴P点的坐标为．（2）设Q（x Q，y Q）∵λ，∴，解得：，∵点Q在椭圆M上，∴，又，整理得：，解得：x0＝2或，∵P为椭圆M上第一象限内一点，∴，解得：，故λ的取值范围为（，）．【名师指点】求最值、范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围．在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件，把需要的量都用我们选用的变量表示，有时为了运算的方便，在建立关系的过程中也可以采用多个变量，只要在最后结果中把多变量归结为单变量即可，同时要特别注意变量的取值范围．例3．【2019江苏清江中学第二次调研】在平面直角坐标系中，已知点F为抛物线的焦点，点A在抛物线E上，点B在x轴上，且是边长为2的等边三角形．（1）求抛物线E的方程；（2）设C是抛物线E上的动点，直线为抛物线E在点C处的切线，求点B到直线距离的最小值，并求此时点C的坐标．【答案】（1）（2）最小值为2，【解析】（1）因为是边长为2的等边三角形，所以，将代入得，，解得或（舍去）．所以抛物线的方程．(2)设点，直线的方程为，由，得，因为直线为抛物线在点处的切线，所以，解得，所以直线的方程为，所以点到直线的距离为，当且仅当，即时取得最小值2，此时．学-科网【举一反三】1．【2019江苏南通三县第一学期期末联考】如图，A是椭圆的左顶点，点P，Q在椭圆上且均在x轴上方．（1）若直线AP与OP垂直，求点P的坐标；（2）若直线AP，AQ的斜率之积为，求直线PQ的斜率的取值范围．【答案】(1) (2)【解析】（1）设，则，因为直线AP与OP垂直，所以，即，得①又点P 在椭圆上，所以②由①②得或-2（舍去），代入②得，因为点P 在x 轴上方，所以．（2）由于直线AP ，AQ 的斜率之积为，点P ，Q 在椭圆上且均在x 轴上方． 所以可设直线AP ，AQ 的斜率分别为，则，所以直线AP 的方程为，联立得，设，则，即，同理可得，．所以直线PQ 的斜率为，因为，所以，注意到，点P ，Q 不重合，所以等号不成立，所以，所以直线PQ 的斜率的取值范围为．2．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率33e =，左、右焦点分别为12,F F ，且2F 与抛物线24y x=的焦点重合．（1）求椭圆的标准方程；（2）若过1F 的直线交椭圆于,B D 两点，过2F 的直线交椭圆于,A C 两点，且AC BD ⊥，求AC BD +的最小值．学科-网【答案】（1）椭圆的标准方程为22132x y +=；（2）AC BD +的最小值为1635．【解析】（1）抛物线24y x =的焦点为()1,0，所以1c =，又因为13c e a a ===，所以3a =所以22b =，所以椭圆的标准方程为22132x y +=．()()22121212114BD k x x k x x x x ⎡⎤=+⋅-=+⋅+-⎣⎦()2243132k k +=+．易知AC 的斜率为1k -， 所以()2222143143112332k k AC k k⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==+⨯+． ()222114313223AC BD k k k ⎛⎫+=++ ⎪++⎝⎭ ()()()()()()22222222220312031322332232k k k k k k ++=≥++⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦()()2222203116352514k k +==+． 当21k =，即1k =±时，上式取等号，故AC BD +的最小值为1635． （ii ）当直线BD 的斜率不存在或等于零时，易得103163AC BD +=> 综上：AC BD +的最小值为1635． 类型三 面积问题典例3．【2019江苏锡期末考】在平面直角坐标系x Oy 中，已知椭圆C：的离心率为，且过点(，)，点P 在第四象限，A 为左顶点，B 为上顶点，PA 交y 轴于点C，PB 交x 轴于点D．(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 求△PCD 面积的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由已知得，⇒，点（，）代入1可得．代入点（，）解得b2＝1，a=2，∴椭圆C的标准方程：．（2）可得A（﹣2，0），B（0，1）．设P（m，n），m＞0，n<0，且．P A：，PB：，可得C（0，），D（）．．由，可设．则．令，则，，则．又，当时，取得最大值，最大值为1．【名师指点】对于平面图形的面积问题，可以直接表示或者可以利用割补的办法，将面积科学有效表示，其中通过设直线和曲线的交点，利用韦达定理是解决该种问题的关键．本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆和直线相交所形成的三角形的面积计算及面积最大值的求法，考查利用三角换元求最大值，综合性较强，属于较难的题目．求解椭圆中三角形的面积问题，一方面要利用几何关系表示面积，另一方面求出面积的表达后，要选择合适的方法来求最值．【2019江苏如东中学模拟二】已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，离心率，典例4．且椭圆的短轴长为2．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线l1，l2过右焦点F2，且它们的斜率乘积为﹣1，设l1，l2分别与椭圆交于点A，B和C，D．①求AB＋CD的值；②设AB的中点M，CD的中点为N，求△OMN面积的最大值．【答案】（1）（2）①②【解析】（Ⅰ）由题意得2b=2，∴b=1，∵，a2=b2+c2，∴a=，c=1，∴椭圆的方程为．（2）由题意知k0，右焦点设：设A（）B()，，因为l1，l2的斜率乘积为﹣1，所以，所以= +=3，过定点可通过特殊情形猜想，若有定点，则在x 轴上．在k≠0，k≠±1的情况下，设直线l的方程为：x=ky+1，直线l的方程为：，由（2）得，y= ，故，即M（，），则N()…．（12分）可得直线MN的方程：，即，则，即y=，故直线MN 过定点（或令y=0，即得x=），易验证当k=0，k=±1时，结论仍成立．综上，直线MN 过定点，所以S = = ，所以面积最大．【举一反三】已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的左、右焦点，点()2,3A --在椭圆M 上，且离心率为12e =． (1)求椭圆M 的方程；(2)若12F AF ∠的角平分线所在的直线l 与椭圆M 的另一个交点为,B C 为椭圆M 上的一点，当ABC 面积最大时，求点C 的坐标．【答案】(1)2211612x y += (2) 16191619⎝⎭【解析】(1)由椭圆M 经过点()2,3A --，离心率12e =，可得22491a { 12b c a +==，解得2216,12a b ==，所以椭圆的标准方程为2211612x y +=∴直线l 的方程为210x y -+=，设过C 点且平行于l 的直线为20x y m -+=由221{ 161220x y x y m +=-+=，整理得()2219164120x mx m ++-= 由()()22164194120m m =-⨯⨯-=，解得276m =，因为m 为直线20x y m -+=在y 轴上的截距，依题意，0m <，故219m =- 解得161919x =，161919y =-，所以C 点的坐标为16191619,1919⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ 【精选名校模拟】1．【2019江苏如皋第一学期调研三】在平面直角坐标系中，已知定点，点在轴上运动，点在轴上运动，点为坐标平面内的动点，且满足，．（1）求动点的轨迹的方程； （2）过曲线第一象限上一点（其中）作切线交直线于点，连结并延长交直线于点，求当面积取最大值时切点的横坐标．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）设，，．因为，，所以，，，所以．（2）切线：，将代入得，直线：，将代入得，，因为在抛物线上且在第一象限，所以，所以，设，，，，．2．【2019江苏七市联考】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左焦点为，右顶点为，上顶点为．（1）已知椭圆的离心率为，线段中点的横坐标为，求椭圆的标准方程；（2）已知△外接圆的圆心在直线上，求椭圆的离心率的值．【答案】（1）（2）【解析】（1）因为椭圆的离心率为，所以，则．因为线段中点的横坐标为，所以．所以，则，，所以椭圆的标准方程为．（2）因为，所以线段的中垂线方程为：．又因为△外接圆的圆心C在直线上，所以．因为，所以线段的中垂线方程为：．由C在线段的中垂线上，得，整理得，，即．因为，所以，所以椭圆的离心率．3．【2019江苏南京期末调研】如图，在平面直角坐标系中，，分别为椭圆的左、右焦点．动直线过点，且与椭圆相交于，两点（直线与轴不重合）．（1）若点的坐标为，求点坐标；（2）点，设直线，的斜率分别为，，求证：；（3）求面积最大时的直线的方程．【答案】(1) (2)见证明；(3)【解析】（1）因为直线经过点，，所以直线的方程为．由解得或所以．（3）方法一：的面积．由（2）知，，故，设函数．因为，所以在上单调递增，所以当，即时，取最小值10．即当时，的面积取最大值，此时直线的方程为．方法二：的面积．由（2）知，，，故，因为，所以，所以，即时，的面积取最大值．因此，的面积取最大值时，直线的方程为．学-科网4．【2019江苏清江中学模拟】如图，设点为椭圆的右焦点，圆过且斜率为的直线交圆于两点，交椭圆于点两点，已知当时，（1）求椭圆的方程．（2）当时，求的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】(1)因为直线过点，且斜率．所以直线的方程为，即，所以圆心到直线的距离为，又因为，圆的半径为，所以，即，解之得，或（舍去）．所以，所以所示椭圆的方程为．(2)由(1)得，椭圆的右准线方程为，离心率，则点到右准线的距离为，所以，即，把代入椭圆方程得，，因为直线的斜率，所以，因为直线经过和，所以直线的方程为，联立方程组得，解得或，所以，所以的面积．5．【2019江苏泰州上学期期末考】如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆C：的左顶点为A，点B是椭圆C上异于左、右顶点的任一点，P是AB的中点，过点B且与AB垂直的直线与直线OP交于点Q，已知椭圆C的离心率为，点A到右准线的距离为6．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设点Q的横坐标为，求的取值范围．【答案】（1）（2）（4，8）【解析】（1）依题意，有：，即，又＝6，所以，＝6，解得：＝2，c＝1，b＝＝，所以，椭圆C的方程为：，6．【2019江苏连云港第一学期期末考】已知椭圆的离心率，且经过点，，，，为椭圆的四个顶点（如图），直线过右顶点且垂直于轴．（1）求该椭圆的标准方程；（2）为上一点（轴上方），直线，分别交椭圆于，两点，若，求点的坐标．【答案】（1）（2）【解析】（1）因的离心率，且经过点，所以解得，．所以椭圆标准方程为．（2）由（1）知椭圆方程为，所以直线方程为，，．设，，则直线的方程为，联立方程组消得，所以点的横坐标为；又直线的方程为联立方程组消得，所以点的横坐标为．由得，则有，则，化简得，解得，因为，所以，所以点的坐标为．7．【2019江苏七校联盟期中联考】已知直线经过椭圆的左顶点A和上顶点D，椭圆的右顶点为，点为椭圆上位于轴上方的动点，直线与直线分别交于两点．（1）求椭圆的方程；（2）求证：直线AS与BS的斜率的乘积为定值；（3）求线段MN的长度的最小值【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）由已知得，椭圆的左顶点为上顶点为故椭圆的方程为（2）设（3）（常规方法，函数思想）直线AS的斜率显然存在，且，故可设直线的方程为，从而由得0设则得，从而即又由得故又当且仅当，即时等号成立时，线段的长度取最小值．8．【2019江苏如皋第一学期调研一】已知椭圆T的焦点分别为F1(﹣1，0)、F2(1，0)，且经过点P(，)．（1）求椭圆T的标准方程；（2）设椭圆T的左右顶点分别为A、B，过左焦点的直线与椭圆交于点C、D，△ABD和△ABC的面积分别为S1、S2，求的最大值；（3）设点M在椭圆T外，直线ME、MF与椭圆T分别相切于点E、F，若ME⊥MF，求证：点M在定圆上．【答案】（1）（2）点M在定圆上【解析】（1）设所求的方程为，其中，且，解得，，椭圆T的标准方程为．（2）点A、B的坐标分别为、，设点C、D的坐标为、，因为要构成三角形，又直线CD过焦点，则C、D分别在x轴两侧，所以，不妨设，，则，直线CD过焦点，且斜率不为0，设直线CD方程为，与椭圆方程联立消元得，、是该方程的两个异号实根，，当时，当时，，当且仅当，即时取等号，综上，的最大值为．（3）当直线ME、MF斜率分别不存在和为0时，ME、MF分别垂直于坐标轴，点M坐标为或或或，则（定值），其中O是坐标原点，点M在定圆上．当直线ME、MF斜率存在且不为0时，设点M坐标为，设直线ME、MF的方程分别为、，可以统一为的形式，并与椭圆方程联立消元得：，直线ME、MF与椭圆相切，则直线ME、MF与椭圆相切，则展开化简得：（且），、可以看作是这个方程的两根，由得，即，并且此时方程中的判别式恒成立，点M也在定圆上．综上，点M在定圆上．9．【2019江苏苏北四市第一学期期末考】如图，在平面直角坐标系中，已知直线：，抛物线：（）．（1）若直线过抛物线的焦点，求抛物线的方程；（2）已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点和．①求证：线段PQ的中点坐标为；②求的取值范围．【答案】（1）（2）①见证明；②【解析】（1）抛物线：（）的焦点为，由点在直线：上得，即，所以抛物线的方程为（2）设、，线段的中点．因为点和关于直线对称，所以直线垂直平分线段，于是的方程可设为．①由得（﹡），因为和是抛物线上相异两点，所以，从而，化简得，方程（﹡）的两根为，从而．因为在直线上，所以，因此，线段的中点坐标为②因为在直线上，所以，即．由①知，于是，所以，即的取值范围为．10．【2019江苏明德实验学校12月调研】把半椭圆（x≥0）与圆弧（x﹣c）2+y2=a2（x＜0）合成的曲线称作“曲圆”，其中F（c，0）为半椭圆的右焦点．如图，A1，A2，B1，B2分别是“曲圆”与x轴、y轴的交点，已知∠B1FB2=，扇形FB1A1B2的面积为．（1）求a，c的值；学-科网（2）过点F且倾斜角为θ的直线交“曲圆”于P，Q两点，试将△A1PQ的周长L表示为θ的函数；（3）在（2）的条件下，当△A1PQ的周长L取得最大值时，试探究△A1PQ的面积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请求出面积的取值范围．-【答案】（1）a=2，c=1；（2）见解析；（3）．【解析】（1）根据椭圆的性质有，根据扇形面积公式得，由于，故．（2）由（1）知，故半椭圆方程为，圆弧的方程为．且恰好是椭圆的左焦点．显然直线的斜率不能为，故设的方程为．①当时，分别在圆弧和半椭圆上，为腰为的当腰三角形，，故的周长②当时，分别圆弧和半椭圆上，同理①可求得的周长．③当时，都在半椭圆上，此时的周长．（3）由（2）知，当都在半椭圆上时，的周长取得最大值．将直线的方程代入椭圆方程并化简得，所以，由弦长公式得，点到直线的距离，故三角形的面积，令，，，而在上递增，故，所以．11．【2019江苏前黄高级中学、溧阳中学检测二】在平面直角坐标系中，已知椭圆的左右顶点为，右焦点为，一条准线方程是，点为椭圆上异于的两点，点为的中点．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线交直线于点，记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值；（3）若，求直线斜率的取值范围．【答案】（1）；（2）见解析；（3）．【解析】（1）设椭圆焦距为，∵右焦点为，∴，∵一条准线方程是，∴，∴．∴椭圆的标准方程为；（3）设直线，代入，消去整理得，由，得，，∵，∴直线，同理可得，∵点为的中点，∴，又，∴，设，则，∴，当时，，当时，，∵或，∴或．综上可知直线斜率的取值范围是．。
2019年高考真题——数学(江苏卷)+Word版含解析
2019 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。
本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
参考公式：样本数据x1, x2 ,⋯, x n 的方差n12s x xini 12，其中n1x xn ．ii 1柱体的体积V Sh，其中S 是柱体的底面积，h是柱体的高．锥体的体积1V Sh，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．3一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题．．卡．相．应．位．置．上．1.已知集合A={ －1,0,1,6} ，B x | x 0,x R ，则A∩B=_____.【答案】{1,6}.【解析】【分析】由题意利用交集的定义求解交集即可.【详解】由题知， A B { 1,6} .【点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题.2.已知复数(a 2i)(1 i) 的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数 a 的值是_____.【答案】2【解析】【分析】本题根据复数的乘法运算法则先求得z ，然后根据复数的概念，令实部为0 即得 a 的值.【详解】 2(a 2i )(1 i) a ai 2i 2i a 2 (a2)i ，令a 2 0得a 2.- 1 -【点睛】本题主要考查复数的运算法则，虚部的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.下图是一个算法流程图，则输出的S 的值是_____.【答案】5【解析】【分析】结合所给的流程图运行程序确定输出的值即可.【详解】执行第一次，x 1S S ,x 1 4不成立，继续循环，x x 1 2；2 2执行第二次，x 3S S , x 2 4 不成立，继续循环，x x 1 3；2 2x执行第三次，3, 3 4S S x 不成立，继续循环，x x 1 4 ；2x执行第四次，5, 4 4S S x 成立，输出S 5.2【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．4.函数y 7 6x x2 的定义域是_____.【答案】[ －1,7]【解析】【分析】由题意得到关于x 的不等式，解不等式可得函数的定义域.【详解】由已知得 27 6x x 0 ,即 2 6 7 0x x- 2 -解得 1 x 7，故函数的定义域为[－1,7].【点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．5.已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是____.【答案】【解析】5 3【分析】由题意首先求得平均数，然后求解方差即可.【详解】由题意，该组数据的平均数为67 8 8 9 1068 ，所以该组数据的方差是1 52 2 2 2 2 2 [(6 8) (7 8) (8 8) (8 8) (9 8) (10 8) ]6 3.【点睛】本题主要考查方差的计算公式，属于基础题.6.从3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学参加志愿者服务，则选出的 2 名同学中至少有 1 名女同学的概率是_____.【答案】【解析】7 10【分析】先求事件的总数，再求选出的 2 名同学中至少有 1 名女同学的事件数，最后根据古典概型的概率计算公式得出答案.【详解】从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学参加志愿服务，共有 2C5 10 种情况.若选出的 2 名学生恰有 1 名女生，有 1 1C3C2 6 种情况，若选出的 2 名学生都是女生，有 2C2 1种情况，所以所求的概率为6 1 710 10.【点睛】计数原理是高考考查的重点内容，考查的形式有两种，一是独立考查，二是与古典概型结合考查，由于古典概型概率的计算比较明确，所以，计算正确基本事件总数是解题的重要一环.在处理问题的过程中，应注意审清题意，明确“分类”“分步”，根据顺序有无，明确“排列”组“合”.7.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2y2x bb2 1( 0)经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_____.【答案】y 2x- 3 -【解析】 【分析】根据条件求 b ，再代入双曲线的渐近线方程得出答案.【详解】由已知得24231，2b解得 b2或b2，因为 b 0，所以 b2 .因为 a 1，所以双曲线的渐近线方程为y 2x .【点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考 必得分题 .双曲线渐近线与双曲线标准方程中的 a,b 密切相关，事实上，标准方程中化1 为 0，即得渐近线方程 .8.已知数列 { a n } *(n N ) 是等差数列， S n 是其前 n 项和.若 a 2a 5 a 8 0, S 9 27 ，则 S 8 的值是_____. 【答案】 16 【解析】 【分析】由题意首先求得首项和公差，然后求解前 8 项和即可 .a aaad a4d a 7d0 2 58111【详解】由题意可得：9 8S9ad 27 912，解得：a 15 d 2 ，则8 7S 8a d 40 28 2 16.8 12【点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函 数方程思想，灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程（组），如本题，从已知出发，构建a , d 的方程组 .19.如图，长方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1 的体积是 120，E 为 CC 1 的中点，则三棱锥 E-BCD 的体积是 _____.- 4 -【答案】10【解析】【分析】由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积. 【详解】因为长方体ABCD A1B1C1D1 的体积为120，所以AB BC CC1 120 ，因为E 为C C1 的中点，所以1CE CC ，12由长方体的性质知CC1 底面ABCD ，所以C E是三棱锥E BCD 的底面BCD上的高，所以三棱锥E BCD 的体积1 1 1 1 1 1V AB BC CE AB BC CC1 120 10 .3 2 3 2 2 12【点睛】本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中，往往需要注意理清整体和局部的关系，灵活利用“割”与“补”的方法解题.10.在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线的距离的最小值是_____.4y x (x0)x上的一个动点，则点P 到直线x+ y=0【答案】4【解析】【分析】将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离【详解】当直线2gR2r平移到与曲线y x4x相切位置时，切点Q 即为点P 到直线2gR2r的距离最小.由y41 1，得x 2( 2舍) ，y 32 ，2x即切点Q( 2,3 2) ，- 5 -WORD格式则切点Q 到直线2gR2r的距离为2 3 22 21 14，故答案为：4．【点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养. 采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.11.在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y=ln x 上，且该曲线在点 A 处的切线经过点（-e，-1)(e 为自然对数的底数），则点 A 的坐标是____.【答案】(e,1)【解析】【分析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标.【详解】设点 A x0 ,y0 ，则y0 ln x0 .又y 1 x，当x x0 时，y 1x，点A 在曲线y ln x上1y y (x x ) 切线为0 0x，x即0 ，y ln x 1xe代入点e, 1 ，得01 ln x 1，x的WORD格式即x0 ln x0 e ，考查函数H x xln x，当x 0,1 时，H x 0，当x 1, 时，H x 0，且H ' x ln x 1，当x 1时，H ' x 0,H x 单调递增，注意到H e e，故x0 ln x0 e 存在唯一的实数根x0 e，此时y0 1，故点A的坐标为A e,1 .【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．12.如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点， E 在边AB 上，BE=2EA，AD 与CE 交于点O.若- 6 -AB ACAO EC ，则6AB AC的值是 _____. 【答案】 3 【解析】 【分析】由题意将原问题转化为基底的数量积，然后利用几何性质可得比值.【详解】如图，过点 D 作DF // CE ，交AB 于点 F ，由 BE=2EA ，D 为BC 中点，知BF =FE =EA ,AO =OD .36AO EC 3AD AC AEAB ACAC AE231 311 22AB ACACABAB ACAB ACAB AC2 3233 3 2 1 2 2123 2 AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ， 2 332 2得1 3AB2 2AB AC , 即 AB 3 AC ,故322AC. 【点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运 算素养 .采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.tan2 π3 4，则 sin 2π 4的值是 _____.13.已知tan【答案】210- 7 -【解析】 【分析】 由题意首先求得tan 的值，然后利用两角和差正余弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.tantan tan 1 tan 2 【详解】由tan4tan 1 tan 1 3 1 tan， 得3tan 25tan 2 0，解得tan 2，或 tan1 3.sin 2 sin 2 cos cos 2 sin444222 2 2sin coscos sinsin 2 cos2 =222 2sin cos= 22 2tan 1 tan22 tan1，当t an 2 时，上式22 2 2 1 22 = =； 222 110当 tan1 3时，上式 =21 1 212 3 32= 22 101 13. 综上，2 sin2.410【点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养 .采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.14.设 f(x)，g(x)是定义在 R 上的两个周期函数， f(x)的周期为 4，g(x)的周期为 2，且 f (x)是奇函k(x 2),0 x 1数.当 x (0,2] 时， f (x)1 (x 1)2 ， g (x)12,1 x 2，其中 k>0.若在区间 (0， 9]上，关于 x 的方程 f( x )= g (x)有 8 个不同的实数根，则 k 的取值范围是 _____. 【答案】 1 2,3 4- 8 -【解析】【分析】分别考查函数 f x 和函数g x 图像的性质，考查临界条件确定k 的取值范围即可.【详解】当x 0,2 时，2f (x) 1 x 1 , 即2 2x 1 y 1,y 0.又 f (x) 为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为4，如图，函数 f (x) 与g( x) 的图象，要使f (x) g (x) 在(0,9] 上有8 个实根，只需二者图象有8 个交点即可.当1g( )x 时，函数 f (x) 与g(x) 的图象有2 个交点；2当g(x) k(x 2) 时，g( x) 的图象为恒过点（-2，0）的直线，只需函数 f ( x) 与g( x) 的图象有6 个交点.当f (x) 与g(x) 图象相切时，圆心（1，0）到直线kx y 2k 0的距离为1，即k 2k 1 2 k 1 ，得 2k ，函数 f ( x) 与g( x) 的图象有3 个交点；当g(x) k(x 2) 过点（1,1）4时，函数 f ( x) 与g(x) 的图象有6 个交点，此时1 3k ，得1 k .3综上可知，满足 f (x) g(x) 在(0,9]上有8 个实根的k 的取值范围为1 2 ，.3 4【点睛】本题考点为参数的取值范围，侧重函数方程的多个实根，难度较大.不能正确画出函数图象的交点而致误，根据函数的周期性平移图象，找出两个函数图象相切或相交的临界交点个数，从而确定参数的取值范围.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c．（1）若a=3 c，b= 2 ，cosB= 23，求c的值；- 9 -（2）若s in A cos Ba 2b ，求s in( B ) 的值．2【答案】（1） 3c ；（2）3 2 5 5.【解析】【分析】(1)由题意结合余弦定理得到关于 c 的方程，解方程可得边长 c 的值；(2)由题意结合正弦定理和同角三角函数基本关系首先求得cosB的值，然后由诱导公式可得sin( B ) 的值.2【详解】（1）因为2 a 3c, b 2,cos B ，3由余弦定理cos B2 2 2a c b2ac，得2 2 22 (3 c) c ( 2)3 2 3c c，即 21c .3所以3 c .3（2）因为s in A cosB a 2b，由正弦定理a bsin A sin B，得c os B sin B2b b ，所以cosB 2sin B .从而 2 2cos B (2sin B) ，即2 2cos B 4 1 cos B ，故2 4cos B .5因为s in B 0，所以cosB 2sin B 0，从而cos 2 5B .5因此π 2 5 sin B cosB .2 5【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.16.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1 中，D，E 分别为BC，AC 的中点，AB=BC．- 10 -求证：（1）A1B1∥平面DEC 1；（2）BE⊥C1E．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】(1)由题意结合几何体的空间结构特征和线面平行的判定定理即可证得题中的结论；(2)由题意首先证得线面垂直，然后结合线面垂直证明线线垂直即可.【详解】（1）因为D，E 分别为BC，AC 的中点，所以ED∥AB.在直三棱柱ABC-A1B1C1 中，AB∥A1B1，所以A1B1∥ED.又因为ED ? 平面DEC1，A1B1 平面DEC1，所以A1B1∥平面DEC1.（2）因为AB=BC，E 为AC 的中点，所以BE⊥AC.因为三棱柱ABC-A1B1C1 是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC .又因为BE? 平面ABC，所以CC1⊥BE.因为C1C? 平面A1ACC1，AC? 平面A1ACC1，C1C∩AC= C，所以BE⊥平面A1ACC1.因为C1E? 平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.【点睛】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.17.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C:2 2x y2 2 1( 0)a ba b的焦点为F1（–1、0），- 11 -F2（1，0）．过F2 作x 轴的垂线l，在x 轴的上方，l 与圆F2: 2 2 2(x1) y 4a 交于点A，与椭圆 C 交于点 D.连结AF1 并延长交圆F2于点B，连结BF2 交椭圆 C 于点E，连结DF1．已知DF1= 5 2 ．（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）求点 E 的坐标．【答案】（1）2 2x y4 31 ；（2）3 E( 1, ) .2【解析】【分析】(1)由题意分别求得a,b 的值即可确定椭圆方程；(2)解法一：由题意首先确定直线AF1 的方程，联立直线方程与圆的方程，确定点 B 的坐标，联立直线BF2 与椭圆的方程即可确定点 E 的坐标；解法二：由题意利用几何关系确定点 E 的纵坐标，然后代入椭圆方程可得点 E 的坐标.【详解】（1）设椭圆 C 的焦距为2c.因为F1(－1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.又因为DF 1= 52，AF 2⊥x 轴，所以DF 2=5 32 2 2 2DF F F ( ) 2 ，1 1 22 2因此2a= D F 1+DF 2=4，从而a=2 2=a2-c2，得b2=3.由b因此，椭圆 C 的标准方程为2 2x y4 31 .（2）解法一：由（1）知，椭圆C：2 2x y4 31 ，a=2，因为AF2⊥x 轴，所以点 A 的横坐标为 1.- 12 -将x=1 代入圆F2的方程(x-1) 2 2+y =16，解得y=±4.因为点 A 在x 轴上方，所以A(1，4).又F1(-1，0)，所以直线AF1：y=2x+2.y 2x 2由 22x 1 y 16 ，得 25x 6x11 0 ，解得x 1或11 x .5将11x 代入y 2x 2，得512y ，5因此11 12B( , ) .又F2(1，0)，所以直线BF2：5 53y (x1) .4 3y (x 1)4由 2 2x y4 31 ，得 27x 6x 13 0，解得x 1或13x .7又因为 E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以x 1 .将x1代入解法二：3y (x1) ，得43y .因此23E( 1, ) .2由（1）知，椭圆C：2 2x y4 31 .如图，连结EF1.- 13 -因为BF2=2a，EF1+ E F2=2a，所以EF1=EB，从而∠BF 1E=∠B.因为F2A= F2B，所以∠A=∠B，所以∠A=∠BF1E，从而EF1∥F2A.因为AF2⊥x 轴，所以EF1⊥x 轴.x 1因为F1(-1，0)，由 2 2x y ，得14 33 y .2又因为 E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以3 y .2因此3 E( 1, ) .2【点睛】本题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.18.如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求: 线段PB、QA 上的所有点到点O 的距离均不．小．于．圆．O 的半径．已知点A、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD（C、D 为垂足），测得AB=10，AC =6，BD =12（单位:百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在 D 处？并说明理由；（3）对规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d（单位：百米）.求当 d 最小时，P、Q 两点间的距离．【答案】（1）15（百米）；（2）见解析；（3）17+ 3 21（百米）.【解析】【分析】解：解法一：（1）过 A 作AE BD ，垂足为E.利用几何关系即可求得道路PB 的长；（2）分类讨论P 和Q 中能否有一个点选在 D 处即可.（3）先讨论点P 的位置，然后再讨论点Q 的位置即可确定当 d 最小时，P、Q 两点间的距离．解法二：（1）建立空间直角坐标系，分别确定点P 和点 B 的坐标，然后利用两点之间距离公式可得道- 14 -路PB 的长；（2）分类讨论P和Q 中能否有一个点选在 D 处即可.（3）先讨论点P 的位置，然后再讨论点Q 的位置即可确定当 d 最小时，P、Q 两点间的距离．【详解】解法一：（1）过A作AE BD ，垂足为 E.由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，DE BE AC 6, AE CD 8 .因为PB⊥AB，所以8 4 cos PBD sin ABE .10 5所以PBBD 12154cos PBD .5因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得 E 在圆上，则线段B E 上的点（除B，E）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD，由（1）知AD AE2 ED2 10 ，从而2 2 2 7AD AB BDcos BAD 02AD AB 25，所以∠BAD 为锐角.所以线段A D 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此，Q 选在 D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在 D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP<90°时，线段P B 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP≥90°时，对线段P B 上任意一点F，OF ≥OB，即线段P B 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设P1为l 上一点，且P1B AB ，由（1）知，P1B 15 ，此时3PD PB sin PBD PB cos EBA 15 9 ；1 1 1 15当∠OBP>90°时，在△PPB 中，PB P1B 15.1由上可知，d≥15.再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点 C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15 时，- 15 -2 2 152 623 21CQ QA AC .此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB⊥AB，点Q 位于点 C 右侧，且CQ= 3 21时，d 最小，此时P，Q 两点间的距离PQ=PD+CD +CQ =17+ 3 21.因此，d 最小时，P，Q 两点间的距离为17+ 3 21（百米）.解法二：（1）如图，过O 作OH⊥l，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC=6，所以OH =9，直线l 的方程为y=9，点A，B 的纵坐标分别为3，- 3. 2+y2=25. 因为AB 为圆O 的直径，AB=10，所以圆O 的方程为x从而A（4，3），B（- 4，- 3），直线AB 的斜率为3 4 .因为PB⊥AB，所以直线PB 的斜率为43，直线PB 的方程为4 25 y x .3 3所以P（- 13，9），PB ( 13 4)2 (9 3)2 15.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E（- 4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD，由（1）知D（- 4，9），又A（4，3），所以线段AD：3y x 6( 4 x 4) .4在线段AD 上取点M（3，154 ），因为22 15 2 2OM 3 3 4 5 ，4所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此Q 选在 D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在 D 处.（3）先讨论点P 的位置.- 16 -当∠OBP<90°时，线段P B 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP≥90°时，对线段P B 上任意一点F，OF ≥OB，即线段P B 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设P1为l上一点，且P1B AB ，由（1）知，P1B 15 ，此时P1 13,9 ；当∠OBP>90°时，在△PP1B 中，PB P1B 15.由上可知，d≥15.再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点 C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15 时，设Q（a，9），由AQ (a 4)2 (9 3)2 15( a4) ，得a= 4 3 21，所以Q（4 3 21，9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P（- 13，9），Q（4 3 21，9）时，d 最小，此时P，Q 两点间的距离PQ 4 3 21 ( 13) 17 3 21 .因此，d 最小时，P，Q 两点间的距离为17 3 21（百米）.【点睛】本题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.19.设函数 f (x) (x a)( x b)( x c), a,b,c R ，f '( x)为f（x）的导函数．（1）若a=b= c，f（4）=8，求 a 的值；（2）若a≠b，b=c，且f（x）和 f '( x) 的零点均在集合{－3,1,3} 中，求f（x）的极小值；（3）若a 0,0 b 1, c 1 ，且f（x）的极大值为M，求证:M≤【答案】（1）a 2；（2）见解析；4 27．（3）见解析.【解析】【分析】（1）由题意得到关于 a 的方程，解方程即可确定 a 的值；（2）由题意首先确定a, b,c 的值从而确定函数的解析式，然后求解其导函数，由导函数即可确定函数的极小值.（3）由题意首先确定函数的极大值M 的表达式，然后可用如下方法证明题中的不等式：解法一：由函数的解析式结合不等式的性质进行放缩即可证得题中的不等式；解法二：由题意构造函数，求得函数在定义域内的最大值，因为0 b 1，所以x1 (0,1)．- 17 -当x (0,1) 时， f ( x) x(x b)( x1) x( x 1)2 ．令 2g(x) x(x 1) , x (0,1) ，则1g' (x) 3 x (x 1) ．3令g'( x) 0 ，得 1x ．列表如下：3x (0, 1)3 131( ,1)3g' x + 0 –( )g(x) ↗极大值↘所以当1 1 4 x 时，g(x) 取得极大值，且是最大值，故g( x)max g ．3 3 27所以当x (0,1) 时，4f (x) g(x) ，因此274M ．27【详解】（1）因为a b c，所以 3f ( x) (x a)( x b)( x c) (x a) ．因为 f (4) 8，所以(4 a)3 8 ，解得a 2．（2）因为 b c ，所以 2 3 2 2f (x) (x a)( x b) x (a2b) x b(2 a b)x ab ，从而2a bf '(x) 3(x b) x ．令 f '(x) 0 ，得x=b 或32a bx ．3因为2a ba b ，都在集合{ 3,1,3} 中，且 a b，, ,3所以2a b31,a 3,b 3．此时 2f x x x ，f'(x) 3(x 3)( x1)．( ) ( 3)( 3)令 f '(x) 0 ，得x 3或x1．列表如下：x (－∞,－3) －3 (－3,1) 1 (1,+ ∞) + 0 –0 +- 18 -f (x) ↗极大值↘极小值↗所以 f (x) 的极小值为 2f (1) (1 3)(1 3) 32 ．（3）因为 a 0,c 1，所以 f (x) x(x b)( x 1) x3 (b 1)x2 bx ，2f '( x) 3x 2(b 1)x b ．因为0 b 1，所以 2 24(b 1) 12b (2b 1) 3 0 ，则有2 个不同的零点，设为x1 ,x2 x1 x2 ．由 f '(x) 0 ，得2 2b 1 b b 1 b 1 b b 1 x ,x．1 23 3列表如下：x ( , x ) x1 x1, x2 x2 (x2,)1+ 0 –0 +f (x) ↗极大值↘极小值↗所以 f (x) 的极大值M f x1 ．解法一：3 2M f x1 x1 (b 1)x1 bx122 b b 1x b 1 b(b 1) 213x 2(b 1)x b x1 1 13 9 9 922 b b 1 (b 1) b(b 1) 227 9 272b b 132b(b 1) 2(b 1) (b 1) 227 27 27( b(b 1) 1) 3b(b 1) 2 4 27 27 27 ．因此4M ．27解法二：因为0 b 1，所以x1 (0,1)．- 19 -当x (0,1) 时， f ( x) x(x b)( x1) x( x 1)2 ．令12g' (x) 3 x (x 1) ．g(x) x(x 1) , x (0,1) ，则3令g'( x) 0 ，得 1x ．列表如下：3x (0, 1)3 131( ,1)3g'( x) + 0 –g(x) ↗极大值↘所以当1 1 4x 时，g(x) 取得极大值，且是最大值，故m axg( x) g ．3 3 27所以当x (0,1) 时，4f (x) g(x) ，因此274M ．27【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．20.定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“M－数列”.（1）已知等比数列{ a n} 满足：a2a4 a5 ,a3 4a2 4a1 0 ，求证:数列{ a n} 为“M－数列”；b （2）已知数列{ b n} 满足: 11,1 2 2S b bn n n1，其中S n 为数列{ b n} 的前n 项和．①求数列{ b n}的通项公式；②设m为正整数，若存在“M－数列”{c n}( n∈N * )，对任意正整数k，当k≤m 时，都有c b ck k k1 成立，求m 的最大值．【答案】（1）见解析；（2）①b n=n *n N；②5.【解析】【分析】（1）由题意分别求得数列的首项和公比即可证得题中的结论；（2）①由题意利用递推关系式讨论可得数列{ b n} 是等差数列，据此即可确定其通项公式；②由①确定b k 的值，将原问题进行等价转化，构造函数，结合导函数研究函数的性质即可求得m 的最大值．- 20 -【详解】（1）设等比数列{ a n} 的公比为q，所以a1≠0，q≠0.由a a a2 4 5，得a3 4a2 4a1 02 4 4a q a q1 12a1q 4a1q 4a1 0，解得a1 1q 2．因此数列{ }a 为“M—数列”.n（2）①因为1 2 2S b bn n n1，所以0b ．n由b1 1, S1 b1 得1 2 21 1 b2，则b2 2 .由1 2 2S b bn n n1，得Snb bn n12(b b )n 1 n，当n 2 时，由b n S n S n 1 ，得bnb b b bn n 1 n 1 n2 b b 2 b bn 1 n n n 1，整理得b 1 b 1 2b ．n n n所以数列{ b n}是首项和公差均为 1 的等差数列.因此，数列{ b n} 的通项公式为b n=n *n N .②由①知，b k=k，k N* .因为数列{ c n} 为“M –数列”，设公比为q，所以c1=1，q>0.因为c k≤b k≤c k+1，所以k 1 kq k q ，其中k=1，2，3，⋯，m.当k=1 时，有q≥1；ln k ln k当k=2，3，⋯，m 时，有l n qk k 1．设f（x）= l nxx(x 1) f '(x)，则1ln2xx．令f '( x) 0 ，得x=e.列表如下：x （1，e） e (e，+∞) f '( x) + 0 –f（x）↗极大值↘- 21 -ln 2 ln8 ln9 ln 3 ln3 f (k) f (3) ．因为，所以max2 6 63 3取q ，当k=1，2，3，4，5 时，3 33 3 lnkkln q ，即kk q ，经检验知k 1q k 也成立．因此所求m 的最大值不小于5．若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥24，3且q15≤216，所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6.综上，所求m 的最大值为5．【点睛】本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．数学Ⅱ(附加题)【选做题】本题包括21、22、23 三小题，请．选．定．其．中．两．小．题．，．并．在．相．应．的．答．题．区．域．内．作．答．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证过程或演算步骤．21.已知矩阵 A 3 1 2 2（1）求 A2；（2）求矩阵 A 的特征值.【答案】（1）11 5 10 6；（2） 1 1, 2 4 .【解析】【分析】(1)利用矩阵的乘法运算法则计算A的值即可；2(2)首先求得矩阵的特征多项式，然后利用特征多项式求解特征值即可.3 1【详解】（1）因为A，2 2所以2 3 1 3 1 A2 2 2 2= 3 3 1 2 3 1 1 22 3 2 2 2 1 2 2=11 510 6．（2）矩阵 A 的特征多项式为- 22 -3 12f ( ) 5 4.2 2令 f ( ) 0，解得A的特征值 1 1, 2 4 .【点睛】本题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力．A B ，直线l 的方程为sin 322.在极坐标系中，已知两点3, , 2,4 2 4.（1）求A，B 两点间的距离；（2）求点 B 到直线l 的距离.【答案】（1） 5 ；（2）2.【解析】【分析】(1)由题意，在△OAB 中，利用余弦定理求解AB 的长度即可；(2)首先确定直线的倾斜角和直线所过的点的极坐标，然后结合点 B 的坐标结合几何性质可得点B 到直线l 的距离.【详解】（1）设极点为O.在△OAB 中，A（3，），B（ 2 ，），4 2由余弦定理，得AB= 32 ( 2) 2 2 3 2 cos( ) 52 4.（2）因为直线l 的方程为sin( ) 34，则直线l 过点(3 2, )2 ，倾斜角为34．又B( 2, ) ，所以点B 到直线l 的距离为23(3 2 2) sin( ) 24 2.【点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．23.设x R，解不等式| x|+|2 x 1|>2 .【答案】1 { x|x或x 1} .3【解析】【分析】由题意结合不等式的性质零点分段即可求得不等式的解集.- 23 -【详解】当 x<0 时，原不等式可化为 x 1 2x 2 ，解得 x<– 13：当 0≤ x ≤ 1 2时，原不等式可化为x+1–2x>2，即 x<–1，无解；当 x> 1 2时，原不等式可化为x+2 x –1>2，解得 x>1.综上，原不等式的解集为1 {x |x或x 1} .3【点睛】本题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力． 【必做题】第24 题、第25 题，每题 10 分，共计 20 分 ． 请 在 答．题．卡．指．定．区．域． 内 作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． n2n*(1 x)aa x a xa x ,n ⋯ 4,n N .已知 24.设12n2a32a 2a 4 .（1）求 n 的值；na b，其中 （2）设(1 3)3*a, b N ，求23 2ab 的值 .【答案】（1） n 5； （2） -32. 【解析】 【分析】(1)首先由二项式展开式的通项公式确定a 2 ,a 3, a 4 的值，然后求解关于n 的方程可得 n 的值；(2)解法一： 利用 (1)中求得的 n 的值确定有理项和无理项从而可得 a,b 的值，然后计算23 2ab的值即可；解法二：利用 (1)中求得的 n 的值，由题意得到51 3 的展开式，最后结合平方差公式即可确定 a 23b 2 的值 .n12 2n n【详解】（1）因为(1 x)CC x C xC x ，n 4 ，nnnn所以n(n 1)n(n 1)( n 2) 23aC,aC，2n3n26n(n 1)( n 2)( n 3) 4 aC．4n242因为a 3 2a 2a 4 ，所以n(n 1)(n 2) n(n 1) n(n 1)(n 2)( n 3)2[ ] 26 2 24，解得n 5．（2）由（1）知，n 5 ．- 24 -n 5(1 3) (1 3)0 1 2 2 3 3 4 4 5 5C C 3 C ( 3) C ( 3) C ( 3) C ( 3)5 5 5 5 5 5a b 3 ．解法一：因为*a,b N，所以0 2 4 1 3 5a C 3C 9C 76,b C 3C 9C 44 ，5 5 5 5 5 5从而a2 3b2 762 3 442 32 ．解法二：5 0 1 2 2 3 3 4 4 5 5 (1 3) C C ( 3) C ( 3) C ( 3) C ( 3) C ( 3)5 5 5 5 5 50 1 2 2 3 3 4 4 5 5C C 3 C ( 3) C ( 3) C ( 3) C ( 3) ．5 5 5 5 5 5因为*a,b N，所以5(1 3) a b 3 ．因此 2 3 2 ( 3)( 3) (1 3)5 (1 3) 5 ( 2)5 32a b a b a b ．【点睛】本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力.25.在平面直角坐标系x Oy 中，设点集A n {(0,0),(1,0),(2,0), ,( n,0)} ，B (0,1),(n,1)},C {(0,2),(1 ,2),(2,2), ,( n,2)}, n N .令M n A n B n C n .从集n n合M n 中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离.（1）当n=1 时，求X 的概率分布；（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n 表示）.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】(1)由题意首先确定X 可能的取值，然后利用古典概型计算公式求得相应的概率值即可确定分布列；(2)将原问题转化为对立事件的问题求解P X n 的值，据此分类讨论①. b d ，②.b 0,d 1，③. b 0,d 2 ，④.b 1,d 2 四种情况确定X 满足X n的所有可能的取值，然后求解相应的概率值即可确定P X ≤n 的值.【详解】（1）当n 1时，X 的所有可能取值是1，2 ，2，5 ．- 25 -7 7 4 4P(X 1) , P(X2) ，X 的概率分布为2 2C 15 C 156 62 2 2 2P(X 2) ,P(X 5) ．2 2C 15 C 156 6（2）设A(a ，b) 和B(c ，d)是从M n 中取出的两个点．因为P(X n) 1 P(X n) ，所以仅需考虑X n的情况．①若b d ，则AB n ，不存在X n的取法；②若b 0，d 1，则AB (a c)2 1 n2 1，所以X n当且仅当 2 1AB n ，此时a 0，c n 或a n ，c 0 ，有2 种取法；③若b 0，d 2 ，则AB (a c)2 4 n2 4 ，因为当n 3时， 2(n1) 4 n ，所以X n当且仅当AB n2 4 ，此时a 0，c n 或a n ，c 0 ，有 2 种取法；④若b 1，d 2，则AB (a c)2 1 n2 1，所以X n当且仅当 2 1AB n ，此时a 0，c n 或a n ，c 0 ，有2 种取法．综上，当X n时，X 的所有可能取值是n2 +1 和 2 4n ，且2 24 2P(X n 1) , P(X n 4) ．2 2C n C n2 4 2 4因此，62 2P( X n) 1 P( X n 1) P( X n 4) 1 ．2C n2 4【点睛】本题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识，考查逻辑思维能力和推理论证能力．- 26 -。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2019年高考数学试题分项版——解析几何（解析版） 一、选择题 1．(2019·全国Ⅰ文，10)双曲线C： － ＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为( ) A．2sin 40° B．2cos 40° C. D. 答案 D 解析 由题意可得－ ＝tan 130°，
所以e＝ ＝
＝ ＝ ＝ . 2．(2019·全国Ⅰ文，12)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为( ) A. ＋y2＝1 B. ＋ ＝1 C. ＋ ＝1 D. ＋ ＝1 答案 B 解析 由题意设椭圆的方程为 ＋ ＝1(a>b>0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝ ，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sin θ＝ ＝ .在等腰三角形ABF1中，cos 2θ＝ ＝ ，因为cos 2θ＝1－2sin2θ，所以 ＝1－2 2，得a2＝3.又c2＝1，所以
b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为 ＋ ＝1，故选B. 3．(2019·全国Ⅱ文，9)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆 ＋ ＝1的一个焦点，则p等于( ) A．2 B．3 C．4 D．8 答案 D 解析 由题意知，抛物线的焦点坐标为 ，椭圆的焦点坐标为(± ，0)，所以 ＝ ，解得p＝8，故选D. 4．(2019·全国Ⅱ文，12)设F为双曲线C： － ＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为( ) A. B. C．2 D. 答案 A 解析 如图，由题意知，以OF为直径的圆的方程为 2＋y2＝ ①，将x2＋y2＝a2记为②式，①－②得x＝ ，则以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2的相交弦所在直线的方程为x＝ ，所以|PQ|＝2 .
由|PQ|＝|OF|，得2 ＝c，整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，即e4－4e2＋4＝0，解得e＝ ，故选A. 5．(2019·全国Ⅲ文，10)已知F是双曲线C： － ＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为( ) A. B. C. D. 答案 B 解析 由F是双曲线 － ＝1的一个焦点， 知|OF|＝3，所以|OP|＝|OF|＝3. 不妨设点P在第一象限，P(x0，y0)，x0>0，y0>0，
则 解得 所以P
，
所以S△OPF＝ |OF|·y0＝ ×3× ＝ . 6．(2019·北京文，5已知双曲线 －y2＝1(a>0)的离心率是 ，则a等于( ) A. B．4 C．2 D. 答案 D 解析 由双曲线方程 －y2＝1，得b2＝1， ∴c2＝a2＋1. ∴5＝e2＝ ＝ ＝1＋ . 结合a>0，解得a＝ . 7．(2019·天津文，6)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线 － ＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为( ) A. B. C．2 D. 答案 D 解析 由题意，可得F(1,0)，直线l的方程为x＝－1，双曲线的渐近线方程为y＝± x.将x＝－1代入y＝± x，得y＝± ，所以点A，B的纵坐标的绝对值均为 .由|AB|＝4|OF|可得 ＝
4，即b＝2a，b2＝4a2，故双曲线的离心率e＝ ＝ ＝ . 8．(2019·浙江，2)渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是( ) A. B．1 C. D．2 答案 C 解析 因为双曲线的渐近线方程为x±y＝0，所以无论双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，都满足a＝b，所以c＝ a，所以双曲线的离心率e＝ ＝ . 9．(2019·全国Ⅰ理，10)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为( ) A. ＋y2＝1 B. ＋ ＝1 C. ＋ ＝1 D. ＋ ＝1 答案 B 解析 由题意设椭圆的方程为 ＋ ＝1(a>b>0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝ ，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sin θ＝ ＝ .在等腰三角形ABF1中，cos 2θ＝ ＝ ，因为cos 2θ＝1－2sin2θ，所以 ＝1－2 2，得a2＝3.又c2＝1，所以
b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为 ＋ ＝1，故选B. 10．(2019·全国Ⅱ理，8)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆 ＋ ＝1的一个焦点，则p等于( ) A．2 B．3 C．4 D．8 答案 D 解析 由题意知，抛物线的焦点坐标为 ，椭圆的焦点坐标为(± ，0)，所以 ＝ ，解得p＝8，故选D. 11．(2019·全国Ⅱ理，11)设F为双曲线C： － ＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为( ) A. B. C．2 D. 答案 A 解析 如图，
由题意知，以OF为直径的圆的方程为 2＋y2＝ ①，将x2＋y2＝a2记为②式，①－②得x＝ ，则以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2的相交弦所在直线的方程为x＝ ，所以|PQ|＝2 . 由|PQ|＝|OF|，得2 ＝c，整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，即e4－4e2＋4＝0，解得e＝ ，故选A. 12．(2019·全国Ⅲ理，10)双曲线C： － ＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点．若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为( ) A. B. C．2 D．3 答案 A 解析 不妨设点P在第一象限，根据题意可知c2＝6， 所以|OF|＝ . 又tan∠POF＝ ＝ ，所以等腰△POF的高h＝ × ＝ ，所以S△PFO＝ × × ＝ .
13．(2019·北京理，4)已知椭圆22221(0)xyabab的离心率为12，则( ) A．222ab B．2234ab C．2ab D．34ab 【思路分析】由椭圆离心率及隐含条件222abc得答案．
【解析】：由题意，12ca，得2214ca，则22214aba， 22244aba，即2234ab．
故选：B． 【归纳与总结】本题考查椭圆的简单性质，熟记隐含条件是关键，是基础题． 14．(2019·北京理，8)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线22:1||Cxyxy就是其中之一（如图）．给出下列三个结论： ①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2； ③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是( )
A．① B．② C．①② D．①②③ 【思路分析】将x换成x方程不变，所以图形关于y轴对称，根据对称性讨论y轴右边的图形可得． 【解析】：将x换成x方程不变，所以图形关于y轴对称， 当0x时，代入得21y，1y，即曲线经过(0,1)，(0,1)；
当0x时，方程变为2210yxyx，所以△224(1)0xx…，解得(0x，23]3， 所以x只能取整数1，当1x时，20yy，解得0y或1y，即曲线经过(1,0)，(1,1)， 根据对称性可得曲线还经过(1,0)，(1,1)， 故曲线一共经过6个整点，故①正确．
当0x时，由221xyxy得222212xyxyxy„，（当xy时取等）， 222xy„，222xy„，即曲线C上y轴右边的点到原点的距离不超过2，根据对
称性可得：曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2；故②正确． 在x轴上图形面积大于矩形面积122，x轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积12112，因此曲线C所围成的“心形”区域的面积大于213，故③错误．
故选：C． 【归纳与总结】本题考查了命题的真假判断与应用，属中档题． 15．(2019·天津理，5)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线 － ＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为( ) A. B. C．2 D. 答案 D 解析 由题意，可得F(1,0)，直线l的方程为x＝－1，双曲线的渐近线方程为y＝± x.将x＝－1代入y＝± x，得y＝± ，所以点A，B的纵坐标的绝对值均为 .由|AB|＝4|OF|可得 ＝
4，即b＝2a，b2＝4a2，故双曲线的离心率e＝ ＝ ＝ . 二、填空题 1．(2019·全国Ⅲ文，15)设F1，F2为椭圆C： ＋ ＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________． 答案 (3， ) 解析 不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c＝ ＝4.因为△MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4.
设M(x，y)，则 得 所以M的坐标为(3， )． 2．(2019·北京文，11)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为________． 答案 (x－1)2＋y2＝4 解析 ∵抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为(1,0)， 准线l为直线x＝－1，∴圆的圆心坐标为(1,0)． 又∵圆与l相切，∴圆心到l的距离为圆的半径， ∴r＝2. ∴圆的方程为(x－1)2＋y2＝4. 3．(2019·浙江，12)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________. 答案 －2