中考数学专题复习--数与式

教学目标 数与式是初中数学的基础知识,且知识点较多,是以大容量、小综合的形式命题,试题的难度为中低档,主要考查灵活运用知识的能力,一般考生都 能解答.常见题型有填空题、选择题、计算题以及部分开放性探索型试题,这些题占总题量的4%～6%,分值占总分的4%～8%. 重点、难点 数与式的综合练习。 教 学 内 容

知识梳理： 数与式 一．实数和代数式的有关概念 1.实数分类：

实数无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 2.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。数轴上所有的点与全体实数是一一对应关系，即每个实数都可以用数轴上的一个点表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。

3.相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。0的相反数是0。数轴上，表示互为相反数的两个点位于原点的两边（0除外），并且与原点的距离相等。

4.倒数：1除以一个数的商，叫做这个数的倒数。一般地，实数a的倒数为a1。0没有倒数。两个互为倒数的数之积为1.反之，若两个数之积为1，则这两个数必互为倒数。

5.绝对值：一个正实数的绝对值等于它本身，零的绝对值等于零，负实数的绝对值等于它的相反数。 a=0000aaaaa，绝对值的几何意义：数轴上表示一个数到原点的距离。

-2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2 6.实数大小的比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 （1）正数大于零，零大于负数。 （2）两正数相比较绝对值大的数大，绝对值小的数小。 （3）两负数相比较绝对值大的数反而小，绝对值大小的数反而大。

（4）对于任意两个实数a和b，①a>b,②a=b,③a7.代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连结而成的式子，叫代数式。单独的一个数或字母也是代数式。

8.整式：单项式与多项式统称为整式。 单项式：只含有数与字母乘积形式的代数式叫做单项式。一个数或一个字母也是单项式。单项式中数字因数叫做这个单项式的系数。一个单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 多项式：几个单项式的代数和多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。多项式里，次数最高的项的次数就是这个多项式的次数。一个多项式有n项且次数是m，我们就称这个多项式为m次n项式。

9.分式：一般地，用A,B表示两个整式，若B中含有字母，且B≠0，则式子BA叫做分式。 10.有理式：整式和分式统称为有理式。 11.无理式：根号里含有字母的代数式叫做无理式。 12.a0=1（a≠0），ap=ap1（a≠0，p是正整数）。

13.平方根：若x2=a（a≥0），则x叫做a的平方根（或二次方根）。一个整数有两个平方根，它们互为相反数，整数a的平方根记为+a和—a；0的平方根是0；负数没有平方根。 若x2=a（a≥0），则x=±a。 14.算术平方根：整数a的正的平方根+a叫做a的算术平方根，+a可简记为a。0的算术平方根仍为0.

15.立方根：若x3=a，则x叫做a的立方根（或三次方根），记为3a，即x=3a。正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数。

16.有理数的开方： a2=a（a≥0），a2=a=)0()0(0)0(aaaaa

17.科学记数法：把一个数写成a×10n（1≤a＜10，n是整数），叫做科学记数法。 18.有效数字：从最左边的不是零的数字算起，到最后一位要保留的数字为止。 19.运算律： （1）加法交换律：a+b=b+a。 （2）加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）。 （3）乘法交换律：a*b=b*a。 （4）乘法结合律：（a*b）*c=a*（b*c）。 （5）乘法分配律：（a+b）*c=a*c+b*c。

20.am*an=anm，am÷an=anm（a≠0），amn=amn，abn=an*bm。

21.平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2 完全平方公式：ba2=a2+2ab+b2，ba2=a2-2ab+b2 22.十字相乘法：x2+bx+c=（x+m）（x+n）其中b=m+n，c=mn。 23.最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，这种分式叫做最简分式。

24.分式的加减法：（1）同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。 （2）异分母的分式相加减，先通分，变成同分母的分式，然后相加减。

25.分式的乘除法：（1）分式乘分式，用分子的积作为分子，分母的积作为分母。 （2）分式除以分式，等于被除式乘除式的倒数。

26.二次根式：形如a（a≥0）的式子，叫做二次根式。

27.二次根式的性质： (1)a2 =a(a≥0);(2)a2=a =)0()0(0)0(aaaaa

(3)ab=ab (a≥0, b≥0);(4)ba=ba( a≥0, b＞0)。 28.最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。 （1）被开方数的因数是整数，因式是整式。 （2）被开方数中不含能开得尽的因数或因式。

29.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。 30.分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 注意：分母有理化时，分子与分母需要同时乘分母的有理化因式。

经典例题解析：

例1. 在在，，，，，中，无理数的个数为2031308010174..() A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 分析：应当知道，只有无限不循环的小数才是无理数，有限小数0.80108，无限循环小 数和分数都是有理数，还应当知道，并非含有根号的数就是无理数，如031174.24，所以不是无理数，而是有理数，故本题应选正确。()B 例2. 已知下列5个命题 （1）零是最小的实数 （2）数轴上所有的点都表示实数 （3）两个无理数的和仍然是无理数 ()412713的立方根是± （5）任何实数都有两个互为相反数的平方根 其中正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 分析：（1）要正确区分实数的最小值和实数绝对值最小值的意义 （2）要正确区分平方根和立方根的相同点和不同点 （3）“任何数……”就意味着没有例外，因此若能举出一个反例便可证明原命题是假命题。 因此可以得出5个命题中只有（2）是真命题，故选A。 例3. 已知、、是实数，且满足，求的值。xyzxyzzxyz()||42102 解：010|2|0)4(2zzyx，，∵ 又()||xyzz42102

∴()||xyzz4020102 即xyzz402010 ∴，，xyz421 当，，时，×xyzxyz4214216 注意：这是一个条件求值问题，利用非负数的性质可以求出x、y、z的值，从而使问题得解。

例4. 计算：×()()()13200422116121102

解：原式×314142121212()()() 2414212122×()212124 归纳：()()111注意负指数的意义：或aaaaPPPP 其中a≠0，P是正整数，在本题中， ()1311331

()()2012004202004210任何非零实数的次方等于，在本题中，≠，故 例5. xpxqxxpxqx1120011133时，代数式的值为，则当时，代数式 的值为（ ） 解：当时，代数式的值为：xpxqx113 pqpq()()111120013 故当时，的值为：xpxqx113 pqpq()()()11113 [()]pq12 ()200121999

例6. 计算÷·xxxxxxxxxxxxyy22222224423429922

解：原式÷·()()()()()()()()()()()xxxxxxxxxxyx1222312232322 ()()()()()()()()()()xxxxxxxxxxyx1222223132322··xxy3 归纳：对分子、分母都是多项式的分式进行乘除运算时，一定要先将每个多项式分解因式，然后将除法统一成乘法，最后再进行约分化简。 课堂练习：

一、选择题： 1. 下列各组数中，相等的是_________

A. ()13和1 B. ()12和－1 C. ()12和－1 D. ()||11和 2. 设a，b为两实数，则下列命题中是假命题的是_________ A. 若a+b=0，则|a|=|b| B. 若|a|+|b|=0，则a=b=0 C. 若a2+b2=0，则a=b=0 D. 若|a+b|=0，则a=b=0 3. 一天的时间共86400秒，用科学记数法表示应为_________