2021年新高考数学分类专练：离散型随机变量及其分布列

2021年新高考数学分类专练 离散型随机变量及其分布列 A级——夯基保分练

1．若随机变量X的分布列为 X －2 －1 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1

则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是( ) A．(－∞，2] B．[1,2] C．(1,2] D．(1,2) 解析：选C 由随机变量X的分布列知：P(X＜－1)＝0.1，P(X＜0)＝0.3，P(X＜1)＝0.5，P(X＜2)＝0.8， 则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(1,2]． 2．若P(ξ≤x2)＝1－β，P(ξ≥x1)＝1－α，其中x1A．(1－α)(1－β) B．1－(α＋β) C．1－α(1－β) D．1－β(1－α) 解析：选B 显然P(ξ>x2)＝β，P(ξP(ξ>x2)－P(ξ

3．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝a13k(其中k＝1,2,3)，则a的值为( ) A．1 B.913 C.1113 D.2713 解析：选D 因为随机变量X的分布列为 P(X＝k)＝a13k(k＝1,2,3)， 所以根据分布列的性质有a×13＋a132＋a133＝1，所以a13＋19＋127＝a×1327＝1，所以a＝2713. 4．一只袋内装有m个白球，n－m个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X个白球，下列概率等于n－mA2mA3n的是( ) A．P(X＝3) B．P(X≥2) C．P(X≤3) D．P(X＝2) 解析：选D 依题意知，n－mA2mA3n是取了3次，所以取出白球应为2个． 5．(多选)下列说法正确的是( ) A．设随机变量X等可能取1,2,3，…，n，如果P(X＜4)＝0.3，则n＝10

B．若随机变量ξ的概率分布规律为P(ξ＝n)＝ann＋1(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则a

＝34 C．设离散型随机变量η服从两点分布，若P(η＝1)＝2P(η＝0)，则P(η＝0)＝13 D．超几何分布的实质是古典概型问题 解析：选ACD 由题意知，对于A，P(X＜4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝3n＝0.3，∴n＝10，故A正确；对于B，由P(ξ＝n)＝ann＋1(n＝1,2,3,4)，∴a2＋a6＋a12＋a20＝1，∴a＝54，故B错误；对于C，因为P(η＝1)＝2P(η＝0)且P(η＝1)＋P(η＝0)＝1，∴P(η＝0)＝13，故C正确；对于D，由超几何分布的定义可知，D正确． 6．(多选)(2019·山东烟台期中)某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道．现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，规定至少答对2题才算合格．则下列选项正确的是( )

A．答对0道题和答对3道题的概率相同，都为18

B．答对1道题的概率为38 C．答对2道题的概率为512 D．合格的概率为12 解析：选CD 设此人答对题目的个数为ξ，则ξ＝0,1,2,3，P(ξ＝0)＝C05C35C310＝112，P(ξ＝1)＝C15C25C310＝512，P(ξ＝2)＝C25C15C310＝512，P(ξ＝3)＝C35C05C310＝112，则答对0道题和答对3道题的概率相同，都为112，故A错误；答对1道题的概率为512，故B错误；答对2道题的概率为512，故C正确；合格的概率P＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝512＋112＝12，故D正确．故选C、D. 7．某射击选手射击环数的分布列为 X 7 8 9 10 P 0.3 0.3 a b 若射击不小于9环为优秀，其射击一次的优秀率为________． 解析：由分布列的性质得a＋b＝1－0.3－0.3＝0.4，故射击一次的优秀率为40%. 答案：40% 8．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数不超过1人的概率是________． 解析：设所选女生人数为X，则X服从超几何分布， 其中N＝6，M＝2，n＝3，

则P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝C02C34C36＋C12C24C36＝45. 答案：45 9．设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1，则随机变量ξ的分布列是________． 解析：若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3

条棱，所以共有8C23对相交棱，因此P(ξ＝0)＝8C23C212＝8×366＝411. 若两条棱平行，则它们的距离为1或2，其中距离为2的共有6对，故P(ξ＝2)＝6C212

＝111，

于是P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝2)＝1－411－111＝611， 所以随机变量ξ的分布列是 ξ 0 1 2

P 411 611 111

答案： ξ 0 1 2

P 411 611 111

10．(一题两空)已知随机变量X的概率分布列为，且依次成等差数列，则p2＝________，公差d的取值范围是________． X 1 2 3 p p1 p2 p3 解析：由分布列的性质及等差数列的性质得p1＋p2＋p3＝3p2＝1，p2＝13， 又 p1≥0，p3≥0，即 13－d≥0，13＋d≥0，得－13≤d≤13. 答案：13 －13，13 11．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛． (1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率； (2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列．

解：(1)由已知，得P(A)＝C22C23＋C23C23C48＝635. 所以事件A发生的概率为635. (2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4， 其中P(X＝k)＝Ck5C4－k3C48(k＝1,2,3,4)． 故P(X＝1)＝C15C33C48＝114， P(X＝2)＝C25C23C48＝37， P(X＝3)＝C35C13C48＝37， P(X＝4)＝C45C03C48＝114， 所以随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4

P 114 37 37 114

12．长春市的“名师云课”活动自开展以来获得广大家长和学生的高度赞誉，在推出的第二季名师云课中，数学学科共计推出36节云课，为了更好地将课程内容呈现给学生，现对某一时段云课的点击量进行统计： 点击量 [0,1 000] (1 000,3 000] (3 000，＋∞) 节数 6 18 12 (1)现从36节云课中采用分层抽样的方式选出6节，求选出的点击量超过3 000的节数； (2)为了更好地搭建云课平台，现将云课进行剪辑，若点击量在区间[0,1 000]内，则需要花费40分钟进行剪辑，若点击量在区间(1 000,3 000]内，则需要花费20分钟进行剪辑，点击量超过3 000，则不需要剪辑，现从(1)中选出的6节课中随机取出2节课进行剪辑，求剪辑时间X的分布列．

解：(1)根据分层抽样可知，选出的6节课中点击量超过3 000的节数为1236×6＝2. (2)由分层抽样可知，(1)中选出的6节课中点击量在区间[0,1 000]内的有1节，点击量在区间(1 000,3 000]内的有3节，故X的可能取值为0,20,40,60.

P(X＝0)＝1C26＝115， P(X＝20)＝C13C12C26＝615＝25， P(X＝40)＝C12＋C23C26＝515＝13， P(X＝60)＝C13C26＝315＝15， 则X的分布列为 X 0 20 40 60

P 115 25 13 15

B级——提能综合练 13．一个人有n把钥匙，其中只有一把可以打开房门，他随意地进行试开，若试开过的钥匙放在一旁，试过的次数X为随机变量，则P(X＝k)等于( )

A.kn B.1n

C.k－1n D.k！n！ 解析：选B {X＝k}表示“第k次恰好打开，前k－1次没有打开”，∴P(X＝k)＝n－1n

×n－2n－1×…×n－k－1n－k－2×1n－k－1＝1n. 14．在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品数，则P(X＝2)＝________.

解析：由题意，X服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝4，故P(X＝2)＝C23C27C410＝310. 答案：310 15．(2019·河南省八市重点高中联盟第五次测评)2019年1月4日，据某微信公众号消息，点外卖已成为众多消费者一大常规的就餐形式，外卖员也成为了一种职业．为调查某外卖平台外卖员的送餐收入，现从该平台随机抽取100名点外卖的用户进行统计，按送餐距离分类统计得到频率分布直方图如图所示． 将上述调查所得到的频率视为概率． (1)求a的值，并估计利用该外卖平台点外卖用户的平均送餐距离； (2)若该外卖平台给外卖员的送餐费用与送餐距离有关，规定2千米内为短距离，每份3元，2千米到4千米为中距离，每份5元，超过4千米为远距离，每份9元． ①记X为外卖员送一份外卖的收入(单位：元)，求X的分布列和数学期望； ②若某外卖员一天的收入不低于150元，试利用上述数据估计该外卖员一天的送餐距离至少为多少千米？ 解：(1)由(0.05＋0.15＋2a＋0.30)×1＝1，解得a＝0.25. 点外卖用户的平均送餐距离为0.05×0.5＋0.25×1.5＋0.3×2.5＋0.25×3.5＋0.15×4.5＝2.7(千米)． (2)①由题意知，X的所有可能取值为3,5,9. P(X＝3)＝0.05＋0.25＝0.30； P(X＝5)＝0.30＋0.25＝0.55； P(X＝9)＝0.15. 所以X的分布列为 X 3 5 9 P 0.30 0.55 0.15 X的数学期望为E(X)＝3×0.30＋5×0.55＋9×0.15＝5. ②因为150÷5＝30，则估计该外卖员一天至少要送30份外卖， 所以该外卖员一天的送餐距离至少为30×2.7＝81(千米)． C级——拔高创新练 16．(2019·郑州市第一次质量预测)2012年12月18日，作为全国首批开展空气质量新标准监测的74个城市之一，郑州市正式发布PM2.5数据．资料表明，近几年来，郑州市雾霾治理取得了很大成效，空气质量与前几年相比得到了很大改善．郑州市设有9个监测站点监测空气质量指数(AQI)，其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2,5,2个监测站点，以9个站点测得的AQI的平均值为依据，播报我市的空气质量． (1)若某日播报的AQI为118，已知轻度污染区AQI的平均值为74，中度污染区AQI