基本代数公式表
初中几何代数公式
初中几何代数公式三角形的面积＝底×高÷2。
公式S= a×h÷2正方形的面积＝边长×边长公式S= a×a长方形的面积＝长×宽公式S= a×b平行四边形的面积＝底×高公式S= a×h梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2 公式S=(a+b)h÷2内角和：三角形的内角和＝180度。
长方体的体积＝长×宽×高公式：V=abh长方体（或正方体）的体积＝底面积×高公式：V=abh正方体的体积＝棱长×棱长×棱长公式：V=aaa圆的周长＝直径×π 公式：L＝πd＝2πr圆的面积＝半径×半径×π 公式：S＝πr2圆柱的表（侧）面积：圆柱的表（侧）面积等于底面的周长乘高。
公式：S=ch=πdh＝2πrh 圆柱的表面积：圆柱的表面积等于底面的周长乘高再加上两头的圆的面积。
公式：S=ch+2s=ch+2πr2圆柱的体积：圆柱的体积等于底面积乘高。
公式：V=Sh圆锥的体积＝1/3底面×积高。
公式：V=1/3Sh分数的加、减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。
异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。
分数的乘法则：用分子的积做分子，用分母的积做分母。
分数的除法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数。
读懂理解会应用以下定义定理性质公式一、算术方面1、加法交换律：两数相加交换加数的位置，和不变。
2、加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，再同第三个数相加，和不变。
3、乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积不变。
4、乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，再和第三个数相乘，它们的积不变。
5、乘法分配律：两个数的和同一个数相乘，可以把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积相加，结果不变。
初中代数几何公式,和基本计算方法
代数首先遇到的一个问题是如何把实际中的数量关系组成代数式，然后根据等量关系列出方程。
所以初等代数的一个重要内容就是代数式。
由于事物中的数量关系的不同，大体上初等代数形成了整式、分式和根式这三大类代数式。
代数式是数的化身，因而在代数中，它们都可以进行四则运算，服从基本运算定律，而且还可以进行乘方和开方两种新的运算。
通常把这六种运算叫做代数运算，以区别于只包含四种运算的算术运算。
将算术中讨论的整数和分数的概念扩充到有理数的范围，使数包括正负整数、正负分数和零。
这是初等代数的又一重要内容，就是数的概念的扩充。
有了有理数，初等代数能解决的问题就大大的扩充了。
但是，有些方程在有理数范围内仍然没有解。
于是，数的概念在一次扩充到了实数，进而又进一步扩充到了复数。
那么到了复数范围内是不是仍然有方程没有解，还必须把复数再进行扩展呢？这就是代数里的一个著名的定理—代数基本定理。
这个定理简单地说就是n次方程有n个根。
把上面分析过的内容综合起来，组成初等代数的基本内容就是：三种数——有理数、无理数、复数三种式——整式、分式、根式初等代数的规则，初等代数研究的对象是代数式的运算和方程的求解。
代数运算的特点是只进行有限次的运算。
全部初等代数总起来有十条规则。
这是学习初等代数需要理解并掌握的要点。
这十条规则是：五条基本运算律：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、分配律；两条等式基本性质：等式两边同时加上一个数，等式不变；等式两边同时乘以一个非零的数，等式不变；三条指数律：同底数幂相乘，底数不变指数相加；指数的乘方等于底数不变指数想乘；积的乘方等于乘方的积。
两个方面发展，一方面是研究未知数更多的一次方程组；另一方面是研究未知数次数更高的高次方程。
①一元二次方程(a≠0）的求根公式：②一元二次方程根的判别式：叫做一元二次方程（a≠0）的根的判别式：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根；③一元二次方程根与系数的关系：设、是方程（a≠0）的两个根，那么+=，=；不等式的基本性质：①不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；1.函数一次函数的图象：函数y=kx+b(k、b是常数，k≠0)的图象是过点（0，b）且与直线y=kx平行的一条直线；一次函数的性质：设y=kx+b（k≠0），则当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0， y随x的增大而减小；正比例函数的图象：函数的图象是过原点及点（1，k）的一条直线。
布尔代数的基本公式和规则
7.分配律 8.吸收律1 9.吸收律2 10.吸收律3 11.多余项定律 12.求反律 13.否否律
AB C AB AC A BC A BA C
( A B)( A B) A
AA B A
AA B AB
AB AB A A AB A A AB A B
(A B)(AC)(B C) (A B)(AC) AB AC BC AB AC
AB A B
A B AB
A A
1. 求反律（摩根定律） 摩根定律的真值表
AB
AB
A B
A B
AB
00
1
1
1
1
01
1
1
0Leabharlann 01011
0
0
11
0
0
0
0
由真值表可知：
AB A B
A B AB
2. 多余项定律
常用的为表2.1中的后一种形式，即 AB AC BC AB AC
它的正确性可用基本公式中的 A A 1 A1 1来证明
证明：
左端 AB AC BC 1 AB AC BC A A
AB AC ABC ABC
AB ABC AC ABC
AB1 C AC1 B AB AC 右端即
AB AC BC AB AC
在基本公式中，我们应当牢记以下几个常用结论： ● 1加任何变量，结果都为1；0乘任何变量，结果都为0。
● 多个同一变量的和仍然是它本身，例如：A A A A
多个同一变量的积仍然是它本身，例如：A A A A
●同一变量的原变量与反变量之和恒为1, 例如： x x 1
同一变量的原变量与反变量之积恒为0，例如： x x 0
代 数 公 式(函数)
代数公式（函数）一、集合：1、集合概念：①两种关系：元素与集合之间的属于．．关系“∈、∉”；集合与集合之间的包含．．关系：包含与真包含：⊆、⊂；②子集．．．：若由x∈A,一定有 x∈B, 则A是B的子集，记作A⊆B, ．．与真子集若A是B的子集，且存在y∈B但y∈A，则A是B的真子集，记作A⊂B,两个集合的相等．．．．．：若A是B的子集，同时，B也是A的子集，即A⊆B且B⊆A，则A=B。
或者说，集合A与B的元素完全相同，则A=B。
③元素的三种特性：确定性，相异性，无序性；④两种表示方法：列举法，描述法；⑤两种特殊集合：全集（I）与空集（φ），他们的性质；全集（I）的概念是相对的，在某个研究过程中被研究的对象（元素）的全体就可以叫做全集。
φ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
⑥五个数集的符号：N、Z、Q、R、C，（R+、R-、Q+、Q-、Q等的含义）。
2、集合的运算：交、并、补及其用文氏图的表示法：①交．：A∩B={x|x∈A且x∈B }; A∪B=B ⇔A∩B=A ⇔ A⊆B;②并．：A∪B={x|x∈A或x∈B }; 性质 A∪B=A∩B, A∩B=A∪B;③补．：A={x|x∈I且x∈A }. A∪A=I,A∩A=∅.3、一个n元的集合，其子集共有2n个。
真子集共有2n-1个，非空真子集共有2n-2个。
二、函数的基本性质：1、函数的定义、定义域与值域的求法⑴定义：非空数集．．。
．．．．的映射．．．．到非空数集确定函数的两要素：定义域．．．．。
．．．与对应法则⑵定义域的求法：①实际问题要根据其实际意义；②分母不为零；③偶次根式的被开方数不为负；④对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；⑤分段函数的定义域是各段函数的自变量取值范围的并集。
⑶值域的求法：①根据函数的解析式讨论函数值的取值范围；例如二次函数的最值，偶次根式与绝对值的值非负等；②根据函数的性质讨论函数值的取值范围；例如函数的单调性等；③利用反函数的定义域就是原来函数的值域；④分式函数常用化简的方法，使分子化成常数，再研究分母的取值情况；⑤转化成求二次函数的判别式；⑥利用换元法，基本不等式，图象法等来求值域。
数学公式速查表
数学公式速查表
1. 基本数学符号与运算•加法: a+b
•减法: a−b
•乘法: a×b或a⋅b
•除法: a
b
2. 常用数学公式
2.1 代数公式
•平方根: √a
•平方: a2
•立方: a3
•开n次根号：√nx
•幂函数：f(x)=x n
2.2 三角函数
•正弦函数: sin(x)
•余弦函数: cos(x)
•正切函数: tan(x)
2.3 对数和指数函数
•自然对数: ln(x)
•指数函数：f(x)=a x
3. 微积分与微分方程
3.1 导数和微分运算
•导数定义: fʹ(x)=limℎ→0f(x+ℎ)−f(x)
ℎ
•高阶导数：fʺ(x),f‴(x),...
3.2 积分与定积分
（省略一些内容，如定积分的定义和基本性质）4. 线性代数与矩阵运算
•矩阵加法和减法: A+B,A−B
•矩阵乘法: AB
•行列式: ∣A∣
5. 概率与统计
（待补充）
6. 几何与立体几何
（待补充）
7. 计算机科学中的数学公式
（待补充）
以上仅列举了一些常用的数学公式，更多内容请参考相关教材或百科全书。
希望这个数学公式速查表对您有所帮助！。
精心整理线性代数公式大全
1. n 行列式共有2n 个元素,展开后有!n 项，可分解为2n行列式; 2. 代数余子式的性质:①、ij A 和ija 的大小无关；②、某行(列）的元素乘以其它行（列)元素的代数余子式为０； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ；3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i ji jijijijijM A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D :将D 上、下翻转或左右翻转,所得行列式为1D ,则(1)21(1)n n D D -=-；将D 顺时针或逆时针旋转90,所得行列式为2D ，则(1)22(1)n n DD-=-;将D 主对角线翻转后（转置)，所得行列式为3D ，则3D D=；将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ,则4DD=;5. 行列式的重要公式:①、主对角行列式:主对角元素的乘积; ②、副对角行列式:副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -;③、上、下三角行列式（ = ◥◣）:主对角元素的乘积；④、 ◤和 ◢:副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -;⑤、拉普拉斯展开式:A O A C A BCBO B==、(1)m n CA OAA BB O B C==-⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；6. 对于n 阶行列式A ,恒有：1(1)n nkn kk k E A S λλλ-=-=+-∑，其中kS 为k 阶主子式；7. 证明0A =的方法: ①、A A =-; ②、反证法;③、构造齐次方程组0Ax =,证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <; ⑤、证明0是其特征值;２、矩阵1. A 是n 阶可逆矩阵：⇔0A ≠（是非奇异矩阵）;⇔()r A n =(是满秩矩阵）⇔A 的行（列）向量组线性无关; ⇔齐次方程组0Ax =有非零解; ⇔n b R ∀∈,Ax b =总有唯一解;⇔A 与E 等价;⇔A 可表示成若干个初等矩阵的乘积; ⇔A的特征值全不为0； ⇔T A A 是正定矩阵；⇔A 的行（列)向量组是nR 的一组基; ⇔A是nR 中某两组基的过渡矩阵；2. 对于n 阶矩阵A ：**AA A A A E == 无条件恒成立;3. 1**111**()()()()()()TT TT A A A A A A ----=== ***111()()()T T T AB B A AB B A AB B A ---===4. 矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和;5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆: 若12s A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则:Ⅰ、12sA AA A =；Ⅱ、111121s A A A A ----⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；②、111A O A O O B O B ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;（主对角分块） ③、111O A O B B O A O ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;（副对角分块) ④、11111A C A A CB O B OB -----⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(拉普拉斯） ⑤、11111A O A O C B B CA B -----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭;(拉普拉斯）３、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个m n ⨯矩阵A ,总可经过初等变换化为标准形,其标准形是唯一确定的：rm nE OF O O⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭； 等价类:所有与A 等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对于同型矩阵A 、B ,若()()r A r B A B= ⇔ ；2. 行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得； ②、每行首个非０元素必须为1；③、每行首个非０元素所在列的其他元素必须为0;3. 初等行变换的应用:（初等列变换类似,或转置后采用初等行变换)①、 若(,)(,)rA E E X ，则A 可逆,且1X A -=；②、对矩阵(,)A B 做初等行变化,当A 变为E 时，B 就变成1A B -,即：1(,)(,)cA B E A B - ~ ;③、求解线形方程组：对于n 个未知数n 个方程Ax b =,如果(,)(,)rA b E x ,则A 可逆，且1x A b -=；4. 初等矩阵和对角矩阵的概念:①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵； ②、12n ⎛⎫ ⎪⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭λλλ，左乘矩阵A ,iλ乘A 的各行元素;右乘,iλ乘A 的各列元素；③、对调两行或两列,符号(,)E i j ,且1(,)(,)E i j E i j -=，例如：1111111-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④、倍乘某行或某列,符号(())E i k ,且11(())(())E i k E i k-=，例如:1111(0)11k k k -⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;⑤、倍加某行或某列,符号(())E ij k ,且1(())(())E ij k E ij k -=-,如:11111(0)11k k k --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；5. 矩阵秩的基本性质： ①、0()min(,)m nr A m n ⨯≤≤;②、()()Tr A r A =；③、若A B,则()()r A r B =；④、若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===;(可逆矩阵不影响矩阵的秩）⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+;（※) ⑥、()()()r A B r A r B +≤+；(※） ⑦、()min((),())r AB r A r B ≤；(※）⑧、如果A 是m n ⨯矩阵，B 是n s ⨯矩阵，且0AB =，则：(※） Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组0AX =解（转置运算后的结论)；Ⅱ、()()r A r B n +≤⑨、若A 、B 均为n 阶方阵,则()()()r AB r A r B n ≥+-;6. 三种特殊矩阵的方幂:①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）⨯行矩阵(向量）的形式,再采用结合律； ②、型如101001a c b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的矩阵:利用二项展开式;ﻩ二项展开式：01111110()nnn n m n m mn n n n m m n mn n n n n n m a b C a C a b C a b C a b C b C a b-----=+=++++++=∑；注:Ⅰ、()na b +展开后有1n +项; Ⅱ、0(1)(1)!1123!()!--+====-mn nn n n n n m n CC C m m n mⅢ、组合的性质:11112---+-===+==∑nmn mm m m r nr r nnn n nnn n r CCCC CCrC nC ;③、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵： ①、伴随矩阵的秩：*()()1()10()1nr A n r A r A n r A n = ⎧⎪==-⎨⎪<-⎩;②、伴随矩阵的特征值:*1*(,)AAAX X AA A A X X λλλ- == ⇒ =；③、*1AA A -=、1*n AA-=8. 关于A 矩阵秩的描述:①、()r A n =，A 中有n 阶子式不为0,1n +阶子式全部为0;（两句话) ②、()r A n <，A 中有n 阶子式全部为0; ③、()r A n ≥,A 中有n 阶子式不为0;9. 线性方程组:Ax b =，其中A 为m n ⨯矩阵，则：①、m 与方程的个数相同，即方程组Ax b =有m 个方程； ②、n 与方程组得未知数个数相同，方程组Ax b =为n 元方程； 10. 线性方程组Ax b =的求解:①、对增广矩阵B 进行初等行变换(只能使用初等行变换）；②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解:自由变量赋初值后求得；11. 由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程： ①、11112211211222221122n n n n m m nm n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++= ⎧⎪+++= ⎪⎨⎪⎪+++=⎩;②、1112111212222212n n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax b a a a x b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⇔= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(向量方程，A 为m n ⨯矩阵,m 个方程，n个未知数) ③、()1212n n x xaa a x β⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(全部按列分块,其中12n b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭）；④、1122n n a x a xa x β+++=（线性表出)⑤、有解的充要条件：()(,)r A r A n β=≤（n 为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1. m 个n 维列向量所组成的向量组A ：12,,,mααα构成n m ⨯矩阵12(,,,)mA =ααα；m个n 维行向量所组成的向量组B :12,,,T T Tmβββ构成m n ⨯矩阵12T T T m B βββ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2. ①、向量组的线性相关、无关0Ax ⇔=ﻩ有、无非零解；(齐次线性方程组）②、向量的线性表出 Ax b ⇔=是否有解;（线性方程组） ③、向量组的相互线性表示 AX B ⇔=是否有解;(矩阵方程) 3. 矩阵m nA ⨯与l nB ⨯行向量组等价的充分必要条件是:齐次方程组0Ax =和0Bx =同解;（101P 例14） 4. ()()Tr A A r A =；(101P 例15)5. n 维向量线性相关的几何意义：①、α线性相关ﻩ ⇔0α=; ②、,αβ线性相关⇔,αβ坐标成比例或共线(平行）; ③、,,αβγ线性相关,,αβγ⇔ﻩ共面；6. 线性相关与无关的两套定理：若12,,,sααα线性相关，则121,,,,ss αααα+必线性相关；若12,,,sααα线性无关，则121,,,s ααα-必线性无关；（向量的个数加加减减,二者为对偶)若r 维向量组A 的每个向量上添上n r -个分量,构成n 维向量组B ： 若A 线性无关,则B 也线性无关;反之若B 线性相关,则A 也线性相关；(向量组的维数加加减减)简言之:无关组延长后仍无关,反之，不确定；7. 向量组A (个数为r ）能由向量组B (个数为s ）线性表示，且A 线性无关,则r s ≤（二版74P 定理7);向量组A 能由向量组B 线性表示，则()()r A r B ≤；（86P 定理３) 向量组A 能由向量组B 线性表示 AX B ⇔=有解； ﻩﻩ()(,)r A r A B ⇔=（85P 定理2)向量组A 能由向量组B 等价()()(,)r A r B r A B ⇔ ==(85P 定理2推论) 8. 方阵A 可逆⇔存在有限个初等矩阵12,,,lP P P ,使12lA P P P =；①、矩阵行等价:~rA B PA B ⇔=（左乘,P 可逆)0Ax ⇔=与0Bx =同解 ②、矩阵列等价：~cA B AQ B ⇔=（右乘，Q 可逆)； ③、矩阵等价:~A B PAQ B ⇔=（P 、Q 可逆）； 9. 对于矩阵m n A ⨯与l nB ⨯:①、若A 与B 行等价,则A 与B 的行秩相等；②、若A 与B 行等价，则0Ax =与0Bx =同解，且A 与B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩; ④、矩阵A 的行秩等于列秩； 10. 若m s s n m nA B C ⨯⨯⨯=，则：①、C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示,B 为系数矩阵； ②、C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示，TA 为系数矩阵;（转置)11. 齐次方程组0Bx =的解一定是0ABx =的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；①、0ABx = 只有零解0Bx ⇒ =只有零解;②、0Bx = 有非零解0ABx ⇒ =一定存在非零解;12. 设向量组12:,,,n rrB b b b ⨯可由向量组12:,,,n ssA a a a ⨯线性表示为：(110P 题19结论）1212(,,,)(,,,)r sb b b a a a K =（B AK =)ﻩ其中K 为s r ⨯,且A 线性无关，则B 组线性无关()r K r ⇔=;(B 与K 的列向量组具有相同线性相关性)(必要性:()()(),(),()r r B r AK r K r K r r K r ==≤≤∴=；充分性:反证法)ﻩ注:当r s =时，K 为方阵,可当作定理使用；13. ①、对矩阵m nA ⨯,存在n mQ ⨯，mAQ E = ()r A m ⇔=、Q 的列向量线性无关；(87P ）②、对矩阵m n A ⨯,存在n m P ⨯,nPA E = ()r A n ⇔=、P 的行向量线性无关； 14. 12,,,sααα线性相关⇔存在一组不全为0的数12,,,s k k k ，使得11220s sk k k ααα+++=成立;(定义)⇔1212(,,,)0s s x xx ααα⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭有非零解，即0Ax =有非零解;⇔12(,,,)s r sααα<,系数矩阵的秩小于未知数的个数；15. 设m n ⨯的矩阵A 的秩为r ，则n 元齐次线性方程组0Ax =的解集S的秩为:()r S n r =-；16. 若*η为Ax b =的一个解，12,,,n rξξξ-为0Ax =的一个基础解系，则*12,,,,n r ηξξξ-线性无关;（111P 题33结论）5、相似矩阵和二次型1. 正交矩阵TA A E ⇔=或1TAA -=(定义)，性质：①、A的列向量都是单位向量,且两两正交，即1(,1,2,)0T i j i ja a i j n i j=⎧==⎨≠⎩; ②、若A 为正交矩阵,则1TA A -=也为正交阵，且1A =±；③、若A 、B 正交阵，则AB 也是正交阵;注意:求解正交阵,千万不要忘记施密特正交化和单位化; 2. 施密特正交化：12(,,,)ra a a 11b a =;1222111[,][,]b a b a b b b =-ﻩ121121112211[,][,][,][,][,][,]r r r r rr r r r b a b a b a ba b b b b b b b b b ----=----;3. 对于普通方阵,不同特征值对应的特征向量线性无关; 对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交;4. ①、A 与B 等价A ⇔ﻩ经过初等变换得到B ;⇔=PAQ B ，P 、Q 可逆； ()()⇔=r A r B ,A 、B 同型；②、A 与B 合同,⇔=TC AC B ﻩ其中可逆;ﻩﻩ ⇔Tx Ax 与Tx Bx 有相同的正、负惯性指数； ③、A 与B 相似1-⇔=P AP B ﻩ；5. 相似一定合同、合同未必相似;若C 为正交矩阵,则TC AC B =⇒A B ,(合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；6. A 为对称阵，则A 为二次型矩阵;7. n 元二次型Tx Ax 为正定： A ⇔的正惯性指数为n ;A ⇔与E 合同,即存在可逆矩阵C ,使TC AC E =； A ⇔的所有特征值均为正数;A ⇔的各阶顺序主子式均大于０; 0,0iia A ⇒>>；(必要条件)。
线性代数公式总结大全
线性代数公式1、行列式1.行列式共有个元素，展开后有项，可分解为行列式；2.代数余子式的性质：①、和的大小无关;②、某行（列)的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0;③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为;3.代数余子式和余子式的关系：4.设行列式:将上、下翻转或左右翻转，所得行列式为，则；将顺时针或逆时针旋转，所得行列式为,则；将主对角线翻转后（转置），所得行列式为，则；将主副角线翻转后，所得行列式为，则；5.行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积;②、副对角行列式：副对角元素的乘积；③、上、下三角行列式（）：主对角元素的乘积；④、和：副对角元素的乘积；⑤、拉普拉斯展开式：、⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积；⑦、特征值；6.对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；7.证明的方法:①、；②、反证法；③、构造齐次方程组，证明其有非零解;④、利用秩，证明；⑤、证明0是其特征值；2、矩阵8.是阶可逆矩阵：（是非奇异矩阵）;（是满秩矩阵）的行（列）向量组线性无关；齐次方程组有非零解；,总有唯一解；与等价；可表示成若干个初等矩阵的乘积；的特征值全不为0；是正定矩阵；的行（列）向量组是的一组基;是中某两组基的过渡矩阵;9.对于阶矩阵: 无条件恒成立；10.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；11.关于分块矩阵的重要结论，其中均、可逆：若,则:Ⅰ、；Ⅱ、;②、;（主对角分块)③、;（副对角分块）④、;（拉普拉斯）⑤、;（拉普拉斯）3、矩阵的初等变换与线性方程组12.一个矩阵，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：；等价类:所有与等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵;对于同型矩阵、，若；13.行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得;②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；14.初等行变换的应用:（初等列变换类似,或转置后采用初等行变换）①、若,则可逆,且；②、对矩阵做初等行变化,当变为时，就变成，即：;③、求解线形方程组：对于个未知数个方程,如果，则可逆，且；15.初等矩阵和对角矩阵的概念:①、初等矩阵是行变换还是列变换,由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；②、，左乘矩阵，乘的各行元素；右乘，乘的各列元素；③、对调两行或两列，符号，且，例如：；④、倍乘某行或某列,符号，且，例如：;⑤、倍加某行或某列，符号,且，如:;16.矩阵秩的基本性质:①、;②、;③、若,则；④、若、可逆，则；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）⑤、；（※）⑥、；（※)⑦、;（※）⑧、如果是矩阵，是矩阵，且,则：(※)Ⅰ、的列向量全部是齐次方程组解(转置运算后的结论）；Ⅱ、⑨、若、均为阶方阵，则;17.三种特殊矩阵的方幂：①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；②、型如的矩阵：利用二项展开式；二项展开式：；注：Ⅰ、展开后有项;Ⅱ、Ⅲ、组合的性质：;③、利用特征值和相似对角化：18.伴随矩阵：①、伴随矩阵的秩:;②、伴随矩阵的特征值：；③、、19.关于矩阵秩的描述：①、,中有阶子式不为0,阶子式全部为0；（两句话)②、，中有阶子式全部为0；③、,中有阶子式不全为0;20.线性方程组：,其中为矩阵，则：①、与方程的个数相同，即方程组有个方程；②、与方程组得未知数个数相同,方程组为元方程；21.线性方程组的求解:①、对增广矩阵进行初等行变换（只能使用初等行变换)；②、齐次解为对应齐次方程组的解；③、特解:自由变量赋初值后求得;22.由个未知数个方程的方程组构成元线性方程：①、；②、(向量方程，为矩阵，个方程，个未知数）③、（全部按列分块，其中）;④、（线性表出）⑤、有解的充要条件:（为未知数的个数或维数)4、向量组的线性相关性23.个维列向量所组成的向量组:构成矩阵；个维行向量所组成的向量组：构成矩阵；含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；24.①、向量组的线性相关、无关有、无非零解;（齐次线性方程组）②、向量的线性表出是否有解；（线性方程组）③、向量组的相互线性表示是否有解；（矩阵方程)25.矩阵与行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组和同解；（例14）26.；(例15）27.维向量线性相关的几何意义：①、线性相关；②、线性相关坐标成比例或共线（平行）；③、线性相关共面；28.线性相关与无关的两套定理：若线性相关，则必线性相关；若线性无关，则必线性无关;(向量的个数加加减减，二者为对偶）若维向量组的每个向量上添上个分量,构成维向量组：若线性无关，则也线性无关；反之若线性相关，则也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之:无关组延长后仍无关，反之，不确定；29.向量组（个数为）能由向量组（个数为）线性表示，且线性无关，则（二版定理7）；向量组能由向量组线性表示，则；（定理3）向量组能由向量组线性表示有解；（定理2）向量组能由向量组等价（定理2推论）30.方阵可逆存在有限个初等矩阵，使；①、矩阵行等价：(左乘,可逆）与同解②、矩阵列等价:（右乘,可逆）；③、矩阵等价：（、可逆）；31.对于矩阵与：①、若与行等价,则与的行秩相等；②、若与行等价，则与同解,且与的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性;③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；④、矩阵的行秩等于列秩；32.若，则:①、的列向量组能由的列向量组线性表示，为系数矩阵；②、的行向量组能由的行向量组线性表示，为系数矩阵;（转置）33.齐次方程组的解一定是的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；①、只有零解只有零解;②、有非零解一定存在非零解；34.设向量组可由向量组线性表示为：（题19结论）（）其中为，且线性无关，则组线性无关；(与的列向量组具有相同线性相关性）（必要性:;充分性：反证法）注：当时，为方阵,可当作定理使用;35.①、对矩阵，存在，、的列向量线性无关;（)②、对矩阵，存在，、的行向量线性无关；36.线性相关存在一组不全为0的数，使得成立;(定义)有非零解，即有非零解；，系数矩阵的秩小于未知数的个数；37.设的矩阵的秩为，则元齐次线性方程组的解集的秩为：；38.若为的一个解，为的一个基础解系，则线性无关；(题33结论）5、相似矩阵和二次型39.正交矩阵或(定义），性质：①、的列向量都是单位向量,且两两正交,即；②、若为正交矩阵，则也为正交阵,且;③、若、正交阵,则也是正交阵；注意：求解正交阵,千万不要忘记施密特正交化和单位化；40.施密特正交化：；;41.对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交;42.①、与等价经过初等变换得到；，、可逆；，、同型；②、与合同，其中可逆；与有相同的正、负惯性指数；③、与相似;43.相似一定合同、合同未必相似；若为正交矩阵，则，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；44.为对称阵，则为二次型矩阵；45.元二次型为正定：的正惯性指数为；与合同，即存在可逆矩阵,使；的所有特征值均为正数；的各阶顺序主子式均大于0；；（必要条件）。
线性代数公式总结大全
线性代数公式总结大全在线性代数中，有许多重要的公式被广泛应用于向量、矩阵和线性方程组的求解。
下面将对这些公式进行一个全面的总结，并说明它们的应用。
1. 向量的加法和减法- 向量加法：给定两个向量A和B，其加法可以表示为A + B = C，其中C的每个分量等于A和B对应分量的和。
- 向量减法：给定两个向量A和B，其减法可以表示为A - B = C，其中C的每个分量等于A和B对应分量的差。
2. 向量的数量积和向量积- 数量积：给定两个向量A和B，其数量积可以表示为A · B = |A| |B| cosθ，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模长，θ表示两个向量的夹角。
- 向量积：给定两个向量A和B，其向量积可以表示为A × B = |A| |B| sinθ * n，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模长，θ表示两个向量的夹角，n是垂直于A和B所在平面的单位向量。
3. 矩阵的基本运算- 矩阵加法：给定两个矩阵A和B，其加法可以表示为A + B = C，其中C的每个元素等于A和B对应元素的和。
- 矩阵减法：给定两个矩阵A和B，其减法可以表示为A - B = C，其中C的每个元素等于A和B对应元素的差。
- 矩阵数乘：给定一个矩阵A和一个标量k，其数乘可以表示为kA = B，其中B的每个元素等于A对应元素乘以k。
4. 矩阵的乘法- 矩阵乘法：给定两个矩阵A和B，其乘法可以表示为AB = C，其中矩阵C的元素等于A的行向量与B的列向量的数量积。
- 矩阵转置：给定一个矩阵A，其转置可以表示为A^T，其中A^T的第i行第j列元素等于A的第j行第i列元素。
- 矩阵的逆：给定一个可逆矩阵A，其逆可以表示为A^−1，其中AA^−1 = I，I是单位矩阵。
5. 线性方程组的解法- 列主元消去法：通过消去矩阵A的部分元素，将其转化为上三角矩阵，然后通过回代法求解线性方程组的解。
- 伴随矩阵法：利用矩阵的伴随矩阵和行列式的性质求解线性方程组的解。
逻辑代数中的基本公式、常用公式与基本定理
(1)
(2) A+AB=A
(3)
(4)
1．代入定理：在含有变量A的等式中，将A用一个逻辑表达式代替，等式仍然成立。
2．对偶定理：将某逻辑表达式Y中的与和或对换，0和1对换（所有的“+”运算符都换成“·”，“·”换成“+”，0换成1，1换成0）且保持原来的运算优先顺序，那么就得到一定对偶式 。如果两个逻辑表达式相等，那么它们各自的对偶式也就必然相等。例：
若A·(B+C)=A·B+A·C
则A+BC=(A+B)(A+C
求对偶式时，要保证优先次序不变，否则就会出错。如A+AB=A，求对偶式时如不加括号，得到AA+B=A，从而得到错误的结论：A+B=A
3.反演定理：将某逻辑表达式Y中的与和或对换，0和1对换，原变量和反变量对换，这样得到的表达式就是 。
注意：对偶规则和反演规则的区别：对偶规则不需要将逻辑变量取反，而反演规则重要将逻辑变量取反。
逻辑代数中的基本公式、常用公式与基本定理
基本公式
常用公式
基本定理
（1）基本运算
A·0=0
A·1=A A·A=A
A+0=A A+A=A
A+1=1
（2）交换律
A·B=B·A
A+B=B+A
（3）结合律
A(B·C)=(A·B)·C
A+(B+C)=(A+B)+C
（4）分配律
A·(B+C)=A·B+A·C
(A+B)·(A+C)+A+BC
狄摩根定律在我们日常生活中也有应用，如以下两句话的含意一致的：
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1.行列式共有个元素，展开后有项，可分解为行列式；n 2n !n 2n2.代数余子式的性质：①、和的大小无关；ij A ija ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为；A3.代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i ji jijijijijM A A M ++=-=-4.设行列式：n D 将上、下翻转或左右翻转，所得行列式为，则；D 1D (1)21(1)n n D D -=-将顺时针或逆时针旋转，所得行列式为，则；D 902D (1)22(1)n n DD-=-将主对角线翻转后（转置），所得行列式为，则；D 3D 3DD=将主副角线翻转后，所得行列式为，则；D 4D 4DD=5.行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；②、副对角行列式：副对角元素的乘积；(1)2(1)n n -⨯ -③、上、下三角行列式（）：主对角元素的乘积； = ◥◣④、和：副对角元素的乘积；◤ ◢(1)2(1)n n -⨯ -⑤、拉普拉斯展开式：、A O A CA B C B O B==(1)m n C A O AA B B O B C==-:⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；⑦、特征值；6.对于阶行列式，恒有：，其中为阶主n A 1(1)nnkn k kk E A S λλλ-=-=+-∑kS k 子式；7.证明的方法：0A =①、；A A =-②、反证法；③、构造齐次方程组，证明其有非零解；0Ax =④、利用秩，证明；()r A n<⑤、证明0是其特征值；2、矩阵1.是阶可逆矩阵：An （是非奇异矩阵）；⇔0A ≠（是满秩矩阵）⇔()r A n =的行（列）向量组线性无关；⇔A 齐次方程组有非零解；⇔0Ax =，总有唯一解；⇔n b R ∀∈Ax b =与等价；⇔A E 可表示成若干个初等矩阵的乘积；⇔A 的特征值全不为0；⇔A是正定矩阵；⇔T A A 的行（列）向量组是的一组基；⇔A nR 是中某两组基的过渡矩阵；⇔AnR 2.对于阶矩阵： 无条件恒成立；n A **AA A A A E ==3.1**111**()()()()()()TT TT A A A A A A ----===***111()()()T T T AB B A AB B A AB B A ---===4.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5.关于分块矩阵的重要结论，其中均、可逆：A B 若，则：12s A AA A ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭Ⅰ、；12sA A A A = Ⅱ、；111121s A A A A ----⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭②、；（主对角分块）111A O A O O B O B ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭③、；（副对角分块）111O A O B B O A O ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭④、；（拉普拉斯）11111A C A A CB O B OB -----⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⑤、；（拉普拉斯）11111A O A O C B B CAB -----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭3、矩阵的初等变换与线性方程组1.一个矩阵，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是m n ⨯A 唯一确定的：；rm nE OF O O⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭等价类：所有与等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等A 价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵、，若；A B ()()r A r B A B = ⇔ :2.行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3.初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）①、若，则可逆，且；(,)(,)rA E E X :A 1X A -=②、对矩阵做初等行变化，当变为时，就变成，(,)A B A E B 1A B -即：；1(,)(,)cA B E AB - ~ ③、求解线形方程组：对于个未知数个方程，如果n n Ax b =，则可逆，且；(,)(,)rA b E x :A 1x A b -=4.初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；②、，左乘矩阵，乘的各行元素；右乘，12n ⎛⎫ ⎪⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭λλλAiλA乘的各列元素；iλA ③、对调两行或两列，符号，且，例如：(,)E i j 1(,)(,)E i j E i j -=；1111111-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭④、倍乘某行或某列，符号，且，例如：(())E i k 11(())(())E i k E i k-=；1111(0)11k k k-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⑤、倍加某行或某列，符号,且，如：(())E ij k 1(())(())E ij k E ij k -=-；11111(0)11k k k --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5.矩阵秩的基本性质：①、；0()min(,)m nr A m n ⨯≤≤②、；()()Tr A r A =③、若，则；A B :()()r A r B =④、若、可逆，则；（可逆矩阵不影响P Q ()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===矩阵的秩）⑤、；（※）max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+⑥、；（※）()()()r A B r A r B +≤+⑦、；（※）()min((),())r AB r A r B ≤⑧、如果是矩阵，是矩阵，且，则：（※）A m n ⨯B n s ⨯0AB =Ⅰ、的列向量全部是齐次方程组解（转置运算后的B 0AX =结论）；Ⅱ、()()r A r B n+≤⑨、若、均为阶方阵，则；A B n ()()()r AB r A r B n ≥+-6.三种特殊矩阵的方幂：①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵⨯（向量）的形式，再采用结合律；②、型如的矩阵：利用二项展开式；101001a c b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭二项展开式：；1111110()nnnn m n mmn n n nm m n mnnnnnnm a b C a C ab C ab Ca b C b Ca b -----=+=++++++=∑ 注：Ⅰ、展开后有项；()na b +1n +Ⅱ、0(1)(1)!1123!()!--+====- ::: :m n nn n n n n m n CC C m m n m Ⅲ、组合的性质：；11112---+-===+==∑nmn mm m m r nr r nnn n nnn n r CCCC CCrC nC ③、利用特征值和相似对角化：7.伴随矩阵：①、伴随矩阵的秩：；*()()1()10()1nr A n r A r A n r A n = ⎧⎪==-⎨⎪<-⎩②、伴随矩阵的特征值：；*1*(,)AAAX X AA A A X X λλλ- == ⇒ =③、、*1AA A -=1*n AA-=8.关于矩阵秩的描述：A ①、，中有阶子式不为0，阶子式全部为0；（两()r A n =A n 1n +句话）②、，中有阶子式全部为0；()r A n <A n ③、，中有阶子式不为0；()r A n ≥A n 9.线性方程组：，其中为矩阵，则：Ax b =A m n ⨯①、与方程的个数相同，即方程组有个方程；m Ax b =m②、与方程组得未知数个数相同，方程组为元方程；n Ax b =n 10.线性方程组的求解：Ax b =①、对增广矩阵进行初等行变换（只能使用初等行变换）；B ②、齐次解为对应齐次方程组的解；③、特解：自由变量赋初值后求得；11.由个未知数个方程的方程组构成元线性方程：n m n ①、；11112211211222221122n n n n m m nm n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++= ⎪⎨⎪⎪+++=⎩ ②、（向量方程，为矩阵，个111211*********2n n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax ba a a xb ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪=⇔= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A m n ⨯m 方程，个未知数）n ③、（全部按列分块，其中）；()1212n n x xaa a x β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭12n b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭④、（线性表出）1122n n a x a xa x β+++= ⑤、有解的充要条件：（为未知数的个数或维数）()(,)r A r A n β=≤n 4、向量组的线性相关性1.个维列向量所组成的向量组：构成矩阵mn A 12,,,mααα n m ⨯；12(,,,)mA = ααα个维行向量所组成的向量组：构成矩阵；mn B 12,,,T T T mβββ m n ⨯12T T T m B βββ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2.①、向量组的线性相关、无关有、无非零解；（齐次0Ax ⇔=线性方程组）②、向量的线性表出是否有解；（线性方程组）Ax b ⇔=③、向量组的相互线性表示是否有解；（矩阵方程）AX B ⇔=3.矩阵与行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组m nA ⨯l nB ⨯和同解；(例14)0Ax =0Bx =101P 4.；(例15)()()Tr A A r A =101P 5.维向量线性相关的几何意义：n ①、线性相关；α⇔0α=②、线性相关坐标成比例或共线（平行）；,αβ⇔,αβ③、线性相关共面；,,αβγ⇔,,αβγ6.线性相关与无关的两套定理：若线性相关，则必线性相关；12,,,sααα 121,,,,ss αααα+ 若线性无关，则必线性无关；（向量的个数加12,,,sααα 121,,,s ααα- 加减减，二者为对偶）若维向量组的每个向量上添上个分量，构成维向量组：r A n r -n B 若线性无关，则也线性无关；反之若线性相关，则也线A B B A 性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7.向量组（个数为）能由向量组（个数为）线性表示，且A r B s 线性无关，则(二版定理7)；A r s ≤74P 向量组能由向量组线性表示，则；（定理3）A B ()()r A r B ≤86P 向量组能由向量组线性表示A B 有解；AX B ⇔=（定理2）()(,)r A r A B ⇔=85P 向量组能由向量组等价（定理2推论）A B ()()(,)r A r B r A B ⇔ ==85P 8.方阵可逆存在有限个初等矩阵，使；A ⇔12,,,lP P P 12lA P P P = ①、矩阵行等价：（左乘，可逆）与同~rA B PA B ⇔=P 0Ax ⇔=0Bx =解②、矩阵列等价：（右乘，可逆）；~cA B AQ B ⇔=Q ③、矩阵等价：（、可逆）；~A B PAQ B ⇔=P Q 9.对于矩阵与：m nA ⨯l nB ⨯①、若与行等价，则与的行秩相等；A B A B ②、若与行等价，则与同解，且与的任何对应A B 0Ax =0Bx =A B 的列向量组具有相同的线性相关性；③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；④、矩阵的行秩等于列秩；A 10.若，则：m s s n m nA B C ⨯⨯⨯=①、的列向量组能由的列向量组线性表示，为系数矩阵；C A B ②、的行向量组能由的行向量组线性表示，为系数矩阵；C B TA （转置）11.齐次方程组的解一定是的解，考试中可以直接作0Bx =0ABx =为定理使用，而无需证明；①、只有零解只有零解；0ABx =0Bx ⇒ =②、有非零解一定存在非零解；0Bx =0ABx ⇒ =12.设向量组可由向量组线性表示为：12:,,,n rrB b b b ⨯ 12:,,,n ssA a a a ⨯ （题19结论）110P （）1212(,,,)(,,,)r sb b b a a a K = B AK =其中为，且线性无关，则组线性无关；（与K s r ⨯A B ()r K r ⇔=B 的列向量组具有相同线性相关性）K （必要性：；充分性：反证法）()()(),(),()r r B r AK r K r K r r K r ==≤≤∴= 注：当时，为方阵，可当作定理使用；r s =K 13.①、对矩阵，存在，、的列向量线性m nA ⨯n mQ ⨯mAQ E =()r A m ⇔=Q 无关；（）87P ②、对矩阵，存在，、的行向量线性无关；m n A ⨯n m P ⨯nPA E =()r A n ⇔=P 14.线性相关12,,,sααα 存在一组不全为0的数，使得成立；⇔12,,,sk k k 11220ssk k k ααα+++= （定义）有非零解，即有非零解；⇔1212(,,,)0s s x xx ααα⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭0Ax =，系数矩阵的秩小于未知数的个数；⇔12(,,,)s r sααα< 15.设的矩阵的秩为，则元齐次线性方程组的解集m n ⨯A r n 0Ax =的秩为：；S ()r S n r =-16.若为的一个解，为的一个基础解系，则*ηAx b =12,,,n rξξξ- 0Ax =线性无关；（题33结论）*12,,,,n rηξξξ- 111P 5、相似矩阵和二次型1.正交矩阵或（定义），性质：TA A E ⇔=1TA A -=①、的列向量都是单位向量，且两两正交，即A ；1(,1,2,)0T iji j a a i j n i j=⎧==⎨≠⎩②、若为正交矩阵，则也为正交阵，且；A 1TA A -=1A =±③、若、正交阵，则也是正交阵；A B AB 注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；2.施密特正交化：12(,,,)ra a a ；11b a =1222111[,][,]b a b a b b b =-: ;121121112211[,][,][,][,][,][,]r r r r r r r r r b a b a b a b a b b b b b b b b b ----=----: 3.对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；4.①、与等价经过初等变换得到；A B ⇔A B ，、可逆；⇔=PAQ B P Q ，、同型；()()⇔=r A r B A B ②、与合同，其中可逆；A B ⇔=TC AC B 与有相同的正、负惯性指数；⇔Tx Ax T x Bx ③、与相似；A B 1-⇔=P AP B 5.相似一定合同、合同未必相似；若为正交矩阵，则，（合同、相似的约束条件C TC AC B =⇒A B :不同，相似的更严格）；6.为对称阵，则为二次型矩阵；A A7.元二次型为正定：n Tx Ax 的正惯性指数为；A ⇔n 与合同，即存在可逆矩阵，使；A ⇔E C TC AC E=的所有特征值均为正数；A ⇔的各阶顺序主子式均大于0；A ⇔；(必要条件)0,0iia A ⇒>>。
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cotaxl + C
100. J csc'axdx
101.
~tanax J 2J " J if cs~~:~c~ax , -----.uzJ
sec2 axdx = sec ax dx sec,,-2 ax tan ax n a{n _ 1) + n _ 1
=
98. J csc2 axdx
,-2
-~cotax +
83. J 1+ %sax
~tan a; +
C
C
84. J 1
%sax
=
-~cota; + C
:2 cos ax +
85. JXSinaxdx= 87. J x' sinaxdx 89. J tanaxdx
= =
a\Sinax-~cosax+
_x: cos ax +
86. J xcosaxdx 88. J x' cos ax dx 90. J cotaxdx
dx
-
a2
I a sec-llxl a
62.
J J J
4
dx = Yx - a + C 2 x 2Yx 2 -a 2 ax
2
2
Trigonometric Forms
63. JSinaxdx
=
-~cosax +
=
C
64.
66.
cos ax dx =
2 -
~sinax +
x
C
65. J sin2axdx
50. /
= _! In Ia + V:2 - x21 + C ax xVa 2 - x 2
51 /
.
ax x 2Va 2 -
x2
=
Va 2 - x 2 +C 2 ax
0 2
Forms Involving il 52. / 53. /
V. 2ax
x
-
a2
=
In Ix + Vx 2 - a 2 + C
=
X sin-I ax + Xtan-I ax -
~Vl
- a 2x2 + C + a2x 2 ) + C
a
104. J cos-Iaxdx = X COS-I ax -
~Vl
- a2x 2 + C
=
2~ In (1
107.
108. x' tan-I ax dx
J J J
x sm axdx--+ sm ax--+ 1 1 n n
67.
~ - s~~ax + C
smn-I : cos ax
68•
J J
(b)
(c)
sin" ax ax
=
.
+
n-I· ax n cosaX' dx - cos na sm ax +
IJ IJ "--=--n ;
cosaxdx-2+~+C
sin2ax
sin,,-2 ax dx
n
cosn-2 ax dx
=
80.
+ C '
J
1
ttx. smax
ltan(7T + ax) + C 4 2 a
b+ccosax
dx
aVb2-c2
1
2
tan-I
[~b - ctanax] 2 b+c
b2 > c 2 b2<c2
82.J
dx b + ccosax
=
=
aVc2 _ b2
InIC+bcosax+Vc2-b2sinaxl+c b + c cos ax '
1 + dx sinax =
= =
aVb~2_ c 2 tan-I [~~ ~ ~ tan(; -1
T)]
+ C,
2 2 b > c b2 < c2
=
2 c2 In Ic + bsinax + - b cosaxl + C, aVc2 _ b2 b + csmax + C
v'
79.
81.
J J
1 -a tan (7T - 2 4 ax)
J J
n
SID
.
,,-2
m dx axcos ax , n '¢' -m
(reduces sinn ax) (reduces cosmax)
sinn ax cosm-2 ax dx,
m '¢' -n
T-4
A BriefTable of Integrals
77. J b + :inax 78. J dx. b + csmax
1
Vx 2 - a 2 ax
=
IVx2 - a2 -
~21n Ix +
Vx 2 - a 2 + C
1
A BriefTable ofIntegrals
T-3
54.
J
(Yx 2 - a 2)" dx =
x(Yx2 - a 2)n n+ I
nn~
2
J
I
(Yx 2 - a2)"-2 dx,
n'¢' -I
55J dx • (Yx 2 -a 2)"
ax
(b) /
C
/~ ax=- ~ x
X
+'!/
2
x~
+
x2 )
+C
x~
ax
=
~tan-l~ax Vb b
b
+
C
31 /
·
ax x 2Vax + b
= -
~bx
-"-/
2b
xVax + b
ax
+C
Forms Involving
32.
0
2
+ il
33 /
/
a
2
ax
+x
2
2 -
_ atan-1 a + C I x
42.
2
-
il
/
I a 2 ax x 2 = 2a In x + al + C _ - a
Ix
43/
· kXVa 2 - x 2 (a 2 - 2x2) + C
(a 2 _ x 2)2 2 2
ax
=
2a2(a2 _ x2) 2
x
+_I_Inlx+al +C
4a3 x- a 2+
44. /
Va:X- x 2 =
x x2
2 -
a2
2
~ see-1 I~ I + C
eosh- 1 ~
+
C (x
> a > 0)
Forms Involving ax + b
21.
22.
j (ax + b)" dx
j
=
(ax + b)"+1 a(n + 1) + C, n "" -1
" _ (ax + b)"+1 [ax + b b n + 2 - n + 1 + C, x(ax + b) dx a2
2 59. J YX: 2 a dx 60.
61.
J
Yx2x - a dx = v'x 2
=
2
-
a2
-
a sec-I Ixl + C a
In Ix + Yx 2 _ a 2
1- YX 2x-
2 a + C
J J "Ii
x
2
Yx2 _ a2
x2
x
dx
=
2 a 1n Ix + Yx 2 - a 21 + "-Yx 2 - a 2 + C 2 2
2
2 x +C
39./
40. /
2 2 2 x ax=_a 1n (x+Va 2 +x2)+xVa +x2+c 2 2 Va2 + x2 xVa + x 2
0
ax 2
=
-!In la + V:2 + x21 + C
41. /
x 2Va + x 2
ax 2
= _
Va x +C ax
2
,+
2
Forms Involving
2 2 a ,¢,b 2 2 a '¢' b
71. 73.
70.
72.
74.
. J J J J
sm ax cos ax dx = C?sax dx = smax
cos2ax 4a + C + C
~In Isin axl
J J
On _sinn+lax sm axcosaxdx - (n + I)a + C,
C
sec
ax dx, n" 1
+ : ::::