2017-2018学年辽宁省朝阳市凌源市高一(上)期末数学试卷含参考答案

2017-2018学年辽宁省朝阳市凌源市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5.00分）已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，6}，则A∩B=（）A．2 B．2，4 C．2，4，6 D．1，2，3，4，62．（5.00分）函数的定义域为（）A．（﹣∞，2]B．（0，2]C．（0，+∞）D．[2，+∞）3．（5.00分）下列各组几何体中，都是多面体的一组是（）A．三棱柱、四棱台、球、圆锥B．三棱柱、四棱台、正方体、圆台C．三棱柱、四棱台、正方体、六棱锥D．圆锥、圆台、球、半球4．（5.00分）下列函数中，既是奇函数，又在（0，1）上是增函数的是（）A．y=x（x﹣1）B．y=﹣x C．y=2x﹣D．y=x（x2﹣1）5．（5.00分）若三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为8，过AB，AC，A1B1中点截去一个小的三棱柱，则剩下的几何体的体积为（）A．1 B．4 C．6 D．76．（5.00分）如图，下列四个几何体中，它们的三视图（正视图、侧视图、俯视图）有且仅有两个相同的是（）（1）棱长为2的正方体（2）底面直径和高均为2的圆柱（3）底面直径和高均为2的圆锥（4）长、宽、高分别为2、3、4的长方体A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（3）D．（1）（4）7．（5.00分）如图所示，△A'B'C'是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及线段AD中，最长的线段是（）A．AB B．AD C．BC D．AC8．（5.00分）已知3a=5，b=log3，log3c=﹣1，则a，b，c三个数的大小关系为（）A．b＜c＜a B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．c＜b＜a9．（5.00分）若函数f（x）=（m+2）x a是幂函数，且其图象过点（2，4），则函数g（x）=log a（x+m）的单调增区间为（）A．（﹣2，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣1，+∞）D．（2，+∞）10．（5.00分）已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），那么这个几何体的表面积是（）A．（1+）cm2B．（3+）cm2 C．（7+）cm2 D．（8+）cm211．（5.00分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，且f（﹣2）=3，则满足f（2x﹣3）＜3的x的取值范围是（）A．B．C．D．12．（5.00分）已知函数f（x）=，且a＜b＜c时，f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（）A．（1，10）B．（10，13）C．（6，10）D．（13，16）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上13．（5.00分）已知集合A={1，a2}，B={a，﹣1}，若A∪B={﹣1，a，1}，则a=．14．（5.00分）面积为1的正方形，绕其一边旋转一周，则所得几何体的侧面积为．15．（5.00分）函数的值域为．16．（5.00分）如图，有一圆锥形粮堆，其正（主）视图是边长为6m的正△ABC，粮堆母线AC的中点P处由一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是m．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10.00分）设全集U=R，集合A={1，2，a}，B={2，a2}，C={x|32x﹣1＞27}．（1）若A∪B={1，2，a}，求a的值；（2）若A⊆（∁U C），求实数a的取值范围．18．（12.00分）设如图是某几何体的三视图，求该几何体的体积和表面积．19．（12.00分）设函数为定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数．（1）求实数a的值；（2）判断函数f（x）的单调性，并用定义法证明f（x）在（0，+∞）上的单调性．20．（12.00分）如图，直角△ABC满足∠C=90°，∠B=30°，AC=1，将△ABC沿斜边AB旋转一周得到一个旋转体，试判断该旋转体的形状，并求这个旋转体的表面积S和体积V．21．（12.00分）已知函数，若函数f（x）的图象过（﹣1，3）点，（1）求k的值；（2）若f（a）≥27，求实数a的取值范围；（3）若函数y=f（|x|）﹣b有两个零点，求实数b的取值范围．22．（12.00分）已知二次函数g（x）=ax2﹣2ax+b+1（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4，最小值1．（1）求函数g（x）的解析式；（2）设f（x）=，若f（log3x）﹣k•log3x≥0在x∈[，]时恒成立，求实数k的取值范围．2017-2018学年辽宁省朝阳市凌源市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5.00分）已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，6}，则A∩B=（）A．2 B．2，4 C．2，4，6 D．1，2，3，4，6【解答】解：因为A={1，2，3，4}B={2，4，6}所以其公共元素为2，4∴A∩B={2，4}故选：B．2．（5.00分）函数的定义域为（）A．（﹣∞，2]B．（0，2]C．（0，+∞）D．[2，+∞）【解答】解：由2﹣x≥0，得x≤2．∴函数的定义域为（﹣∞，2]．故选：A．3．（5.00分）下列各组几何体中，都是多面体的一组是（）A．三棱柱、四棱台、球、圆锥B．三棱柱、四棱台、正方体、圆台C．三棱柱、四棱台、正方体、六棱锥D．圆锥、圆台、球、半球【解答】解：因为球与圆锥、圆台是旋转体，所以选项A、B、D，都含有旋转体，所以不正确；选项C：三棱柱、四棱台、正方体、六棱锥，都是多面体，故选：C．4．（5.00分）下列函数中，既是奇函数，又在（0，1）上是增函数的是（）A．y=x（x﹣1）B．y=﹣x C．y=2x﹣D．y=x（x2﹣1）【解答】解：A，y=x（x﹣1）不满足f（﹣x）=﹣f（x），不为奇函数；B，y=﹣x不满足f（﹣x）=﹣f（x），不为奇函数；C，y=2x﹣（x≠0）满足f（﹣x）=﹣f（x），为奇函数，且在（0，1）递增，符合题意；D，y=x（x2﹣1）满足f（﹣x）=﹣f（x），为奇函数，导数为3x2﹣1，可得f（x）在（0，）递减，不符合题意．故选：C．5．（5.00分）若三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为8，过AB，AC，A1B1中点截去一个小的三棱柱，则剩下的几何体的体积为（）A．1 B．4 C．6 D．7【解答】解：如图，取AB，AC，A1B1，A1C1的中点D、E、F、G，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为8，∴三棱柱ADE﹣A1FG的体积：×AA1===2，V=S∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为8，过AB，AC，A1B1中点截去一个小的三棱柱，剩下的几何体的体积为V=﹣=8﹣2=6．故选：C．6．（5.00分）如图，下列四个几何体中，它们的三视图（正视图、侧视图、俯视图）有且仅有两个相同的是（）（1）棱长为2的正方体（2）底面直径和高均为2的圆柱（3）底面直径和高均为2的圆锥（4）长、宽、高分别为2、3、4的长方体A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（3）D．（1）（4）【解答】解：∵正方体的三视图是相同的，故（1）不正确，圆柱的主视图和侧视图相同，故（2）正确，圆锥的主视图和侧视图相同，故（3）正确，长宽高分别不等的长方体三视图都不等，故（4）不正确，总上可知（2）（3）正确，故选：C．7．（5.00分）如图所示，△A'B'C'是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及线段AD中，最长的线段是（）A．AB B．AD C．BC D．AC【解答】解：，△A'B'C'是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC中，AB⊥BC，AC为斜边，AD为三角形内部的一条线段，AC的长度最长，即最长的线段是AC；故选：D．8．（5.00分）已知3a=5，b=log3，log3c=﹣1，则a，b，c三个数的大小关系为（）A．b＜c＜a B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．c＜b＜a【解答】解：∵3a=5，∴a=log35＞1，b=log3＜0，由log3c=﹣1，则c=．∴b＜c＜a，故选：A．9．（5.00分）若函数f（x）=（m+2）x a是幂函数，且其图象过点（2，4），则函数g（x）=log a（x+m）的单调增区间为（）A．（﹣2，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣1，+∞）D．（2，+∞）【解答】解：由题意得：m+2=1，解得：m=﹣1，故f（x）=x a，将（2，4）代入函数的解析式得：2a=4，解得：a=2，故g（x）=log a（x+m）=log2（x﹣1），令x﹣1＞0，解得：x＞1，故g（x）在（1，+∞）递增，故选：B．10．（5.00分）已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），那么这个几何体的表面积是（）A．（1+）cm2B．（3+）cm2 C．（7+）cm2 D．（8+）cm2【解答】解：由几何体的三视图得：该几何体是一个棱长为1的正方体与一个三棱柱的组合体，其中，三棱柱的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，如图，∴这个几何体的表面积：S=5×12+2×（）++12=7+（cm2）．故选：C．11．（5.00分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，且f（﹣2）=3，则满足f（2x﹣3）＜3的x的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，f（x）为偶函数，则（2x﹣3）=f（|2x﹣3|），f（﹣2）=f（2）=3，又由f（x）在[0，+∞）上单调递增，则f（2x﹣3）＜3⇒f（|2x﹣3|）＜f（2）⇒|2x﹣3|＜2，解可得＜x＜．故选：B．12．（5.00分）已知函数f（x）=，且a＜b＜c时，f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（）A．（1，10）B．（10，13）C．（6，10）D．（13，16）【解答】解：∵函数f（x）=，且a＜b＜c时，f（a）=f（b）=f（c），∴作出函数f（x）的图象如图，不妨设a＜b＜c，则﹣lga=lgb=﹣（c2﹣cx+13）∈（0，1），∴ab=1，0＜﹣（c2﹣14c+13）＜1，且c＞10，解得10＜c＜13，∴abc=c∈（10，13）．∴abc的取值范围是（10，13）．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上13．（5.00分）已知集合A={1，a2}，B={a，﹣1}，若A∪B={﹣1，a，1}，则a= 0．【解答】解：集合A={1，a2}，B={a，﹣1}，若A∪B={﹣1，a，1}，则a=a2，∴a=0或a=1，当a=1时，a2=1不满足题意，∴a=0．故答案为：0．14．（5.00分）面积为1的正方形，绕其一边旋转一周，则所得几何体的侧面积为2π．【解答】解：边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，则所得几何体的侧面积为：1×2π×1=2π，故答案为：2π．15．（5.00分）函数的值域为．【解答】解：令（t≥0），得x=﹣t2+1，∴原函数化为y=．∴数的值域为：．故答案为：．16．（5.00分）如图，有一圆锥形粮堆，其正（主）视图是边长为6m的正△ABC，粮堆母线AC的中点P处由一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是3m．【解答】解：∵△ABC为正三角形，∴BC=6，∴l=2π×3=6π，根据底面积圆的周长等于展开后扇形的弧长，得：=6π，故n=180°，则∠B′AC=90°，∴B′P==3 （m）故答案为：3．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10.00分）设全集U=R，集合A={1，2，a}，B={2，a2}，C={x|32x﹣1＞27}．（1）若A∪B={1，2，a}，求a的值；（2）若A⊆（∁U C），求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵A={1，2，a}，B={2，a2}，∴若A∪B={1，2，a}，∴a2=a或a2=1，∴a=0或a=﹣1或a=1，经检知a=0或a=﹣1．（2）C={x|32x﹣1＞27}={x|2x﹣1＞3}={x|x＞2}，则∁U C={x|x≤2}，由A⊆（∁U C，得a≤2，又a=2及a=1与集合中元素相异矛盾，所以a的取值范围是（﹣∞，1）∪（1，2）．18．（12.00分）设如图是某几何体的三视图，求该几何体的体积和表面积．【解答】解：该几何体是由一个球与一个长方体组成的组合体，球的直径为3，长方体的底面是边长为3的正方形，高为2，故所求体积为，表面积为．19．（12.00分）设函数为定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数．（1）求实数a的值；（2）判断函数f（x）的单调性，并用定义法证明f（x）在（0，+∞）上的单调性．【解答】解：（1）∵f（x）是奇函数，x≠0，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴，∴2a=0，∴a=0．经检验a=0为所求．（2）的单调减区间为（﹣∞，0）与（0，+∞），没有单调增区间，当x＞0时，设0＜x1＜x2，则=+5（x2﹣x1）=，∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（0，+∞）上是减函数．20．（12.00分）如图，直角△ABC满足∠C=90°，∠B=30°，AC=1，将△ABC沿斜边AB旋转一周得到一个旋转体，试判断该旋转体的形状，并求这个旋转体的表面积S和体积V．【解答】解：该旋转体是由底面相同的两个圆锥将两底面重合形成的组合体．作斜边AB的高CD，根据直角三角形的性质可求得：，，，，∴这个旋转体的表面积．这个旋转体的体积V==．21．（12.00分）已知函数，若函数f（x）的图象过（﹣1，3）点，（1）求k的值；（2）若f（a）≥27，求实数a的取值范围；（3）若函数y=f（|x|）﹣b有两个零点，求实数b的取值范围．【解答】解：（1）∵f（﹣1）=3，∴，∴k﹣2=﹣1，解得：k=1．（2）∵，∴2a+1≤﹣3，解得：a≤﹣2．（3）当x≥0时，是减函数，值域为．∵y=f（|x|）是偶函数，∴x≤0时，y=f（|x|）是增函数，值域为，∴函数y=f（|x|）﹣b有两个零点时，．22．（12.00分）已知二次函数g（x）=ax2﹣2ax+b+1（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4，最小值1．（1）求函数g（x）的解析式；（2）设f（x）=，若f（log3x）﹣k•log3x≥0在x∈[，]时恒成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）∵g（x）=a（x﹣1）2﹣a+1+b，a＞0，∴g（x）=a（x﹣1）2﹣a+1+b在区间[2，3]上递增．依题意得即，解得，∴g（x）=x2﹣2x+1．（2）∵f（x）=，∴f（x）==x+﹣2．∵f（log3x）﹣k•log3x≥0在x∈[，]时恒成立，令log3x=t∈[﹣3，﹣1]即t+﹣2﹣k•t≥0在t∈[﹣3，﹣1]时恒成立，当t∈[﹣3，﹣1]时，k≥1+﹣=（1﹣）2，恒成立，可得k≥4；∴k的取值范围为：[4，+∞）．。