高二数学教案：三角函数图形变换y=Asin(ωx+φ)

课题：4.9.1 函数sin()y A x ωϕ=+的图象（1）教学目的：1）理解振幅的定义;2) 理解振幅变换和周期变换的规律,会对函数sin y x =进行振幅和周期变换; 3) 培养动与静的辩证关系,提高数学修养. 教学重点：1) 理解振幅变换和周期变换的规律; 2) 熟练的对函数sin y x =进行振幅和周期变换.教学难点：理解振幅变换和周期变换的规律.教学方法：启发引导式(引导学生结合作图过程和动态的变换过程理解振幅变换和周期变换的规律)教学地点：多媒体教室. 应用软件：几何画板 一、课题引入『老师』在我们前面的学习中，我们已经解决了函数sin ,y x x R =∈与函数cos ,y x x R =∈的图象与性质。

在作图时我们还学习了一种作图的方法：五点作图法。

请大家回忆五点作图法作sin ,y x x R =∈的图时在X 轴上的五个值取的是？函数的主要性质有哪些？『学生』五点作图法作s i n ,y x x R =∈的图时在X 轴上的五个值取的是30,,,,222ππππ 主要性质有：定义域：R 值 域：[-1,1] 周 期：2π 奇偶性：sin ,y x x R =∈是奇函数；cos ,y x x R =∈是偶函数.单调性『老师』很好，在实际生活中啊，我们常常会遇到的不是sin ,y x x R =∈这样简单的函数，而是形如sin()y A x ωϕ=+的函数解析式（其中,,A ωϕ都是常数）。

这样的函数图象是什么样子的呢？它的性质与sin y x =比较发生了哪些变换呢？二、讲解新课首先我们一起来研究形如sin ,y A x x R =∈的图象与性质。

例1．画出函数2sin ,y x x R =∈与1sin ,2y x x R =∈的简图；解：画简图，我们用“五点作图法”这两个函数都是周期函数，且周期为2π ∴我们先画它们在[0，2π]上的简图。

注意：“五点法作图”的步骤为：列表，描点，连线。

x0 2π π32π 2πsin x 0 1 0 -1 0 2sin x0 20 -20 1sin 2x 01212-描点画图：然后我们利用其周期性，把它们在[0，2π]上的简图向左，右分别扩展，便可得到它们的简图。

『老师』大家思考一下：把它们与sin ,y x x R =∈比较，有什么联系？其哪些性质发生了变化？（师生一起）：1、2sin ,y x x R =∈的图象可以看作把sin ,y x x R =∈上所有的点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）而得到；函数的值域变为了[-2，2] 2、1sin ,2y x x R =∈的图象可以看作把sin ,y x x R =∈上所有的点的纵坐标缩短到原来的12倍（横坐标不变）而得到； 函数的值域变为了[11,22-]1sin 2y x =sin y x =2sin y x=『老师』再请大家思考：如果换成一般情况sin ,y A x x R =∈，你能归纳出它与sin ,y x x R =∈ 的联系吗？（师生一起）： 一般地,函数sin ,y A x x R =∈, (其A>0,且A ≠1)的图象,可以看作是把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A 倍(横坐标不变)而得到.函数sin ,y A x x R =∈的值域是[-A ，A]，max min ,y A y A ==-在物理上，A 称为振幅，我们把这种变换称为振幅变换。

说明：这要注意以下几点1) 在变动中，变的是纵坐标，不变的是横坐标，伸长时A>1，缩短时0<A<1 2) 规定的A>0，解释振幅的定义：物体离开平衡位置的距离。

例2．画出函数sin 2,y x x R =∈与1sin ,2y x x R =∈的简图。

解：函数sin 2,y x x R =∈的周期为22T ππ==，我们先画在[0,π]上的简图 令2,sin sin 2z x z x ==（换元法）描点连线：函数1sin ,2y x x R =∈的周期为2412T ππ==，我们先画在[0,4π]上的简图令12X x =，则1sin sin 2X x =（换元法）列表3：2z x =2π π32π 2πx4π 2π 34π πsin 2x1-112X x =0 2π π32π 2πx0 π2π3π4πsin 2x1-1sin y x=sin 2y x=同理，利用它们的周期性，把它们分别向左，右扩展得到它们在R 上的简图。

『老师』大家思考一下：把它们与sin ,y x x R =∈比较，有什么联系？其哪些性质发生了变化？（师生一起）：1、sin 2,y x x R =∈的图象可以看作把sin ,y x x R =∈上所有的点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）而得到； 函数的定义域、值域和奇偶性不变，周期变为原来的12倍，单调区间也发生了改变。

2、1sin,2y x x R =∈的图象可以看作把sin ,y x x R =∈上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）而得到；函数的定义域、值域和奇偶性不变，周期变为原来的2倍，单调区间也发生了改变。

『老师』再请大家思考：如果换成一般情况sin ,y x x R ω=∈，你能归纳出它与sin ,y x x R =∈的联系吗？（学生先回答）（师生一起）： 一般地,函数sin ,y x x R ω=∈, (其ω>0,且ω≠1)的图象,可以看作是把正弦曲线上所有点的横坐标伸长(当0<ω<1时)或缩短(当ω>1时)到原来的1ω倍(纵坐标不变)而得到.函数sin ,y x x R ω=∈的中ω决定了其周期，所以我们把这一变换称为周期变换。

sin y x =1sin 2y x=-222π3π23π4π4ππ2-1-33-1yω = 1.64A = 2.33ω(横坐标变换)A 纵坐标变换O说明：1）列表时，x 轴上的五个值怎样计算：换元法，解5个一元一次方程。

2）周期变换中，强调是“x 轴上的所有点伸长或缩短”；“纵坐标不变”。

3）强调与振幅变换的区别：振幅变换是原来的A 倍，周期变换是原来的1ω。

例3．画出函数3sin 2,y x x R =∈的简图。

解：函数3sin 2,yx x R =∈的周期为22T ππ==，我们先画在[0,π]上的简图 令2,3sin 3sin 2z x z x ==（换元法）『老师』大家思考一下：把它 与sin ,y x x R =∈比较，有什么联 系？你可以试着由sin ,y x x R =∈的图象变换得到3sin 2,y x x R =∈吗？（学生思考）『学生1』先把的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），得到3sin ,y x x R =∈，再把横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到3sin 2,y x x R =∈。

『学生2』先把sin ,y x x R =∈的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到sin 2,y x x R =∈，再把纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），得到3sin 2,y x x R =∈。

2z x =2π π32π 2πx4π 2π 34π πsin 2x 0 1 0 -1 0 3sin 2x33sin y x=3sin 2y x=sin y A xω=说明：启发引导学生自己的出结论，如果较困难，可以适当提醒。

三、课堂练习：P73练习1、在坐标纸上作出下列函数在一个周期上的简图（1）3sin ,2y x x R =∈ （2）sin 4,y x x R =∈ 并说出它们可以由sin ,y x x R =∈通过怎样的变换而得到？.P74练习2、3（学生口答）2、函数1sin ,8y x x R =∈的振幅是多少？它的图象与正弦曲线有什么关系？ 答案：振幅是18，把正弦曲线上的纵坐标缩短到原来的18倍，横坐标不变可得到它的图象。

3、函数2sin,3y x x R =∈的周期是什么？它的图象与正弦曲线有什么关系？ 答案：振幅是3π，把正弦曲线上的横坐标伸长到原来的32倍，纵坐标不变可得到它的图象。

四、课时小结：今天我们一起研究了形如sin ,y A x x R ω=∈的函数图象，它的图象可以通过sin ,y x x R =∈的图象进行振幅变换和周期变换而得来，那么我们就要理解并学会对函数sin ,y x x R =∈进行振幅变换sin ,y A x x R =∈；周期变换sin ,y x x R ω=∈。

五、课后作业：1）预习课本P69例3；2）习题4.9——P76：第二题——（1）（2） 3）目标训练二十六4）复习函数的平移变换与今天的内容。

4.9.1 函数sin()y A x ωϕ=+的图象（1）复习：正弦、余弦函数的性质新课：sin ,y A x x R =∈ （振幅变换）; sin ,y x x R ω=∈ (周期变换) 小结：附录：几何画板详图 附1xy奎屯市第一高级中学 刘杰2007、3、104.9.1函数y=Asin(ωx+φ)的性质和图象开始我们开始上课OA附2附3-10-5510y=sinx0A 的值 = 2.763、试归纳 y = Asinx （A>0，A ≠1)的图象可 由y = sinx x ∈R 的图象怎样变换得到? 其对应的函数性质发生了怎样的改变？2、图象 y = 12sinx x ∈R 的每一个点可以看作 y = sinx x ∈R 的对应点怎样变换得到？我们把这种变换称为振幅变换.函数y=Asinx, (x ∈R)的值域是[-A,A],最大值是A,最小值是-A.结论:且A ≠1)的图象,可以看作是把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A 倍(横坐标不变)而得到.-3π-2π-π4π3πyx2ππ1、图象 y = 2 sinx x ∈R 的每一个点可以 看作y = sinx x ∈R 的对应点怎样变换得到？下一页隐藏变化A 的取值观察y=Asinx 思考3思考2我们得到：思考10.521-1-2-0.5A附4附5-10-5510y=sinx-11ω的值 = 2.29函数y=sin ωx,(x ∈R)的周期是T=2πω.我们把这种变换称为周期变换.一般地,函数y=sin ωx,(x ∈R)(其中ω>0,且ω≠1)的图象,可以看作是把正弦曲线上所有点的横坐标伸长(当0<ω<1时)或缩短(当ω>1时)到原来的1ω倍(纵坐标不变)而得到.3、y=sin ωx （ω>0,ω≠1）的图象可由 y=sinx (x ∈R)的图象怎样变换得到?函 数的性质有什么变化?2、y=sin 12x 在一个周期上的五个关键点坐标分别是什么？它们可由正弦曲线上的哪五个点变换得到?1、y=sin2x 在一个周期上的五个关键点坐标分别是什么？它们可由正弦曲线上的哪 五个点变换得到？xy-4π-3π-2π-π4π3π2ππ下一页思考6结论现形y=sin ωx 变动ω的值观察y=sin ωx思考5思考4隐藏y=sinxo ω附6振幅变换：纵座标伸长到原来的3倍横座标不变周期变换：横座标缩短到原来的12倍纵座标不变y=sin2xy=3sin2xy=3sinx y=3sin2x纵座标不变横座标缩短到原来的12倍周期变换：横座标不变纵座标伸长到原来的3倍振幅变换：我们先画它一个周期上的图象,用五点作图法,那怎样确定X 轴上的五个点呢?-222π3π23π4π4ππ2-1-33-1xyω = 1.42A = 2.060-33-110ππ20002π3π2π3π4π4π20T=2π2=π画出函数:y=3sin2x, x ∈R 的简图.例1思考它可以由y=sinx 怎样变换得到:方法二:方法一:解:下一页隐藏坐标系返回返回连线描点隐藏y=sinx 一个周期上的图象作y=sinx 一个周期上的图象ω(横坐标变换)A 纵坐标变换列表3sin2xsin2x x Z=2x 计算周期OAωy=sinx附73.函数y=sin 23x,x ∈R 的周期是什么?它的图象与正弦曲线有什么关系?2.函数y=18sinx,x ∈R 的振幅是多少?它的图象与正弦曲线有什么关系?答:周期为3π,与y=sinx 的关系:纵坐标步变,横坐标伸长到原来的32倍;答:振幅为18,与y=sinx 的关系为:横坐标不变,纵坐标缩短到原来的18倍;在坐标纸上作出函数y=32sinx,x ∈Ry=sin4x,x ∈R 在一个周期上的图象; 并说出它与y=sinx,x ∈R 的联系.练习2练习2答案-3练习2答案-2练习1下一页附8学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 11 方法二:方法一:y=Asin ωxy=sin ωx 横座标伸长或缩短到1ω倍周期变换：振幅变换：小结:振幅变换：先作函数y=sinx 在闭区间[0，2π]的图象周期变换：横座标伸长或缩短到1ω倍y=Asin ωxy=Asinx 函数y=Asin ωx,(A>0,ω>0,A ≠1,ω≠1)的图象作图步骤把图象向两边扩展得y=Asin ωx （x ∈R ）的图象.下一页然后?得到在R 上的图象?有几种方法?第二步第一步第一步第二步。