2015-2016学年上海市华东师大二附中高三(上)期中数学试卷和答案

第1页（共22页） 2015-2016学年上海市华东师大二附中高三（上）期中数学试卷 一、填空题（本题满分56分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．（4分）已知全集U=R，集合，则∁UM= ． 2．（4分）设z1=1﹣i，z2=a+2ai（a∈R），其中i 是虚数单位，若复数z1+z2 是纯虚数，则a= ． 3．（4分）经过圆（x﹣1）2+y2=1的圆心M，且与直线x﹣y=0垂直的直线方程是 ． 4．（4分）△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，则A= ． 5．（4分）已知数列{an}是等差数列，且a1+a7+a13=2π，则tan（a2+a12）═ ． 6．（4分）若命题“∃x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是 ． 7．（4分）对任意非零实数a、b，定义一种运算：a⊗b，其结果y=a⊗b的值由如图确定，则= ．

8．（4分）（理科）极坐标系中两点，，则线段AB的长等 第2页（共22页）

于 ． 9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于 ．

10．（4分）若关于x，y的二元一次方程组至多有一组解，则实数m的取值范围是 ． 11．（4分）从集合A={﹣1，1，2}中随机选取一个数记为k，从集合B={﹣2，1，2}中随机选取一个数记为b，则直线y=kx+b不经过第三象限的概率为 ． 12．（4分）不等式sin2x+acosx+a2≥1+cosx对一切x∈R成立，则实数a的取值范围为 ． 13．（4分）如图已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，∠BAD=60°，长为2的线段MN的一个端点M在DD1上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动，则MN中点P的轨迹与直平行六面体的面所围成的几何体的体积为 ．

14．（4分）在平面直角坐标系中，定义（n∈N*为点Pn（xn，yn）到点Pn+1（xn+1，yn+1）的一个变换，我们把它称为点变换．已知P1（0，1），P2

（x2，y2），…，Pn（xn，yn），Pn+1（xn+1，yn+1）是经过点变换得到的一列点．设 第3页（共22页）

an=|PnPn+1|，数列{an}的前n项和为Sn，那么的值为= ． 15．（4分）若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X={a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ： ①τ={∅，{a}，{c}，{a，b，c}}； ②τ={∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}； ③τ={∅，{a}，{a，b}，{a，c}}； ④τ={∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}． 其中是集合X上的拓扑的集合τ的序号是 ．

二、选择题（本题满分16分）本大题共有5题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的选对得4分，否则一律得零分. 16．（4分）A，B两点在半径为2的球面上，且以线段AB为直径的小圆周长为2π，则A，B两点间的球面距离为（ ） A．π B．2π C． D．

17．（4分）已知函数，则“f（2）＜f（3）”是“f（x）在区间（﹣2，+∞）上单调递增”的什么条件．（ ） A．“充要” B．“充分不必要” C．“必要不充分” D．“既不充分也不必要” 18．（4分）设直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π），则下列命题中是真命题的个数是（ ） ①存在一个圆与所有直线相交； ②存在一个圆与所有直线不相交； ③存在一个圆与所有直线相切； ④M中所有直线均经过一个定点； ⑤不存在定点P不在M中的任一条直线上； ⑥对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上； 第4页（共22页）

⑦M中的直线所能围成的正三角形面积都相等． A．3 B．4 C．5 D．6

19．在约束条件下，若3≤S≤5，则目标函数z=3x+2y的最大值变化范围是（ ） A．[6，8] B．[6，15] C．[7，8] D．[7，15] 20．（4分）长度分别为2、x、x、x、x、x的六条线段能成为同一个四面体的六条棱的充要条件是（ ） A．x B． C． D．x＞1

三、解答题 21．（12分）关于x的不等式＜0的解集为（﹣1，b）． （1）求实数a、b的值； （2）若z1=a+bi，z2=cosα+isinα，且z1z2为纯虚数，求的值． 22．（16分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k，（k＞0） （1）求证：CD⊥平面ADD1A1

（2）若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值

（3）现将与四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f（k），写出f（k）的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）

23．（16分）如图，△ABC的内切圆与三边AB、BC、CA的切点分别为D、E、F， 第5页（共22页）

已知B（﹣，C，内切圆圆心I（1，t）．设A点的轨迹为L （1）求L的方程； （2）过点C作直线m交曲线L于不同的两点M、N，问在x轴上是否存在一个

异于点C的定点Q．使对任意的直线m都成立？若存在，求出Q的坐标，若不存在，说明理由．

24．（16分）设Sn是各项均为非零实数的数列{an}的前n项和，给出如下两个命题上：命题p：{an}是等差数列；命题q：等式

对任意n（n∈N*）恒成立，其中k，b是常数． （1）若p是q的充分条件，求k，b的值； （2）对于（1）中的k与b，问p是否为q的必要条件，请说明理由； （3）若p为真命题，对于给定的正整数n（n＞1）和正数M，数列{an}满足条件，试求Sn的最大值．

25．（18分）已知f（x）=． （1）求f（f（x））； （2）对参数a的哪些值，方程|x|+||=a正好有3个实数解；

（3）设b为任意实数，证明：x+﹣=b共有3个不同的实数解x1，x2，x3，并且x1+x2+x3=b． 第6页（共22页）

2015-2016学年上海市华东师大二附中高三（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析

一、填空题（本题满分56分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．（4分）已知全集U=R，集合，则∁UM= {x|x＜1} ． 【解答】解：因为集合M={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}， 全集U=R， ∴CUM={x|x＜1}． 故答案为：{x|x＜1}．

2．（4分）设z1=1﹣i，z2=a+2ai（a∈R），其中i 是虚数单位，若复数z1+z2 是纯虚数，则a= ﹣1 ． 【解答】解：∵z1=1﹣i，z2=a+2ai， ∴z1+z2=a+1+（2a﹣1）i， ∵复数z1+z2 是纯虚数， ∴a+1=0，2a﹣1≠0， ∴a=﹣1， 故答案为：﹣1．

3．（4分）经过圆（x﹣1）2+y2=1的圆心M，且与直线x﹣y=0垂直的直线方程是 x+y﹣1=0 ． 【解答】解：圆（x﹣1）2+y2=1的圆心M为（1，0）， 又直线x﹣y=0的斜率为1， 由垂直关系可得要求直线的斜率为﹣1， ∴直线方程为y﹣0=﹣（x﹣1），即x+y﹣1=0． 故答案为：x+y﹣1=0． 第7页（共22页）

4．（4分）△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，则A= 45° ． 【解答】解：∵a=，b=，B=60°， ∴由正弦定理=得：sinA==， 又＜，即a＜b，∴A＜B， 则A=45°． 故答案为：45°

5．（4分）已知数列{an}是等差数列，且a1+a7+a13=2π，则tan（a2+a12）═ ． 【解答】解：由等差数列的性质可得a1+a7+a13=3a7=2π，∴a7=， ∴tan（a2+a12）=tan（2a7）=tan= 故答案为：

6．（4分）若命题“∃x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是 （﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） ． 【解答】解：∵“∃x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1＜0 ∴x2+（a﹣1）x+1=0有两个不等实根 ∴△=（a﹣1）2﹣4＞0 ∴a＜﹣1或a＞3 故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）

7．（4分）对任意非零实数a、b，定义一种运算：a⊗b，其结果y=a⊗b的值由如图确定，则= 1 ． 第8页（共22页）

【解答】解：由程序框图知 S=a⊗b=， ∴=3⊗4==1 故答案为：1．

8．（4分）（理科）极坐标系中两点，，则线段AB的长等于 ． 【解答】解：极坐标系中，， ∴线段AB的长为 |AB|==．

故答案为：．

9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于 ．