考点08 指数与指数函数-2020年领军高考数学一轮必刷题(江苏版)(解析版)

考点08 指数与指数函数 1、不等式(13)x2－8>3－2x的解集是________． 【答案】{x|－2【解析】原不等式为(13)x2－8>(13)2x， ∴x2－8<2x，解之得－22、设a＝40.9，b＝80.48，c＝(12)－1.5，则a、b、c从大到小排列的顺序为________． 【答案】a>c>b 【解析】∵a＝40.9＝21.8，b＝80.48＝21.44，c＝(12)－1.5＝21.5， ∴21.8>21.5>21.44，即a>c>b. 3、已知f(x)＝2x＋2－x，若f(a)＝3，则f(2a)等于________． 【答案】7 【解析】由f(a)＝3得2a＋2－a＝3， ∴(2a＋2－a)2＝9，即22a＋2－2a＋2＝9. 所以22a＋2－2a＝7，故f(2a)＝22a＋2－2a＝7. 4、若a>1，b<0，且ab＋a－b＝22，则ab－a－b的值等于________． 【答案】－2 【解析】∵a>1，b<0， ∴01. 又∵(ab＋a－b)2＝a2b＋a－2b＋2＝8，∴a2b＋a－2b＝6， ∴(ab－a－b)2＝a2b＋a－2b－2＝4，∴ab－a－b＝－2. 5、若f(x)＝a－x与g(x)＝ax－a(a>0且a≠1)的图象关于直线x＝1对称，则a＝________. 【答案】2 【解析】函数f(x)＝a－x上任意一点(x0，y0)关于直线x＝1对称的点为(2－x0，y0)，即有g(2－x0)＝a2－x0－a＝f(x0)＝a－x0，故a＝2.

6、若直线ax－by＋2＝0(a>0，b>0)和函数f(x)＝ax＋1＋1(a>0且a≠1)的图象恒过同一个定点，则当1a＋1b取最小值时，函数f(x)的解析式是________． 【答案】(22－2)x＋1＋1

【解析】函数f(x)＝ax＋1＋1(a>0且a≠1)的图象恒过点(－1,2)，故12a＋b＝1，1a＋1b＝(12a＋b)(1a＋1b)＝32＋ba＋a2b

≥32＋2，当且仅当b＝22a时等号成立，将b＝22a代入12a＋b＝1，得a＝22－2，故f(x)＝(22－2)x＋1＋1. 7、给出下列结论：

①当a<0时，＝a3； ②nan＝|a|(n>1，n∈N*，n为偶数)； ③函数f(x)＝(x－2)12－(3x－7)0的定义域是{x|x≥2且x≠73}；

④若2x＝16,3y＝127，则x＋y＝7. 其中正确结论的序号有________． 【答案】②③

【解析】∵a<0时，>0，a3<0，∴①错； ②显然正确；

解 x－2≥03x－7≠0，得x≥2且x≠73，∴③正确； ∵2x＝16，∴x＝4，∵3y＝127＝3－3，∴y＝－3， ∴x＋y＝4＋(－3)＝1，∴④错．故②③正确． 8、若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围为____． 【答案】[－1，1] 【解析】分别作出两个函数的图象，通过图象的交点个数来判断参数的取值范围. 曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得：若|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1，1]．

9、若函数y＝a2x＋2ax－1(a>0且a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，求实数a的值． 【答案】3或13. 【解析】设t＝ax，则y＝f(t)＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2. ①当a>1时，t∈[a－1，a]，所以ymax＝a2＋2a－1＝14，解得a＝3或a＝－5(舍去)； ②当0故所求a的值为3或13. 10、函数f(x)＝ 2－xx－1的定义域为集合A，关于x的不等式22ax<2a＋x(a∈R)的解集为B，求使A∩B＝A的实数a的取值范围． 【答案】(－∞，23)

【解析】由2－xx－1≥0，得1

∵y＝2x是R上的增函数， ∴由22ax<2a＋x，得2ax∴(2a－1)x

(1)当2a－1>0，即a>12时，x

又A⊆B，∴a2a－1>2，得12(2)当2a－1＝0，即a＝12时，x∈R，满足A∩B＝A. (3)当2a－1<0，则a<12时，x>a2a－1. ∵A⊆B， ∴a2a－1≤1，得a<12或a≥1，故a<12.

由(1)，(2)，(3)得a∈(－∞，23)． 11、已知函数f(x)＝3x，f(a＋2)＝18，g(x)＝λ·3ax－4x的定义域为[0,1]． (1)求a的值； (2)若函数g(x)在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围． 【答案】(1) log32 (2) λ≤2 【解析】(1)由已知得3a＋2＝18⇒3a＝2⇒a＝log32. (2)此时g(x)＝λ·2x－4x， 设0≤x12≤1，

因为g(x)在区间[0,1]上是单调减函数， 所以g(x1)－g(x2)＝(2x1－2x2)(λ－2x2－2x1)>0 恒成立，即λ<2x2＋2x1恒成立． 由于2x2＋2x1>20＋20＝2， 所以实数λ的取值范围是λ≤2.

12、已知函数f(x)＝12x－1＋12x3. (1) 求f(x)的定义域； (2) 证明：f(－x)＝f(x)； (3) 证明：f(x)>0. 【答案】(1) (－∞，0)∪(0，＋∞) (2) 见解析 (3) 见解析 【解析】(1) 由2x－1≠0得x≠0， 所以定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． (2) f(x)＝12x－1＋12x3可化为f(x)＝2x＋12（2x－1）·x3， 则f(－x)＝2－x＋12（2－x－1）(－x)3＝2x＋12（2x－1）x3＝f(x)，所以f(－x)＝f(x)． (3) 当x>0时，2x>1，x3>0， 所以f(x)＝(12x－1＋12)x3>0. 因为f(－x)＝f(x)，所以当x<0时，f(x)＝f(－x)>0. 综上所述，f(x)>0.

13、已知函数y＝13|x＋1|. (1) 作出函数的图象(简图)； (2) 由图象指出其单调区间；

(3) 由图象指出当x取什么值时函数y＝13|x＋1|有最值，并求出最值． 【答案】(1) 见图 (2) 单调增区间为(－∞，－1)，单调减区间为(－1，＋∞) (3) (－∞，－1]

【解析】(1) 方法一：由函数解析式可得y＝13|x＋1|＝13x＋1，x≥－1，3x＋1， x<－1.其图象由两部分组成： 一部分是：y＝13x(x≥0)――→向左平移1个单位长度y＝

1

3

x＋1

(x≥－1)；

另一部分是：y＝3x(x<0)――→向左平移1个单位长度 y＝3x＋1(x<－1)． 如图所示．

方法二：①由y＝13|x|可知函数是偶函数，其图象关于y轴对称，故先作出y＝13x的图象，保留x≥0的部分，当x<0时，其图象是将y＝13x(x≥0)图象关于y轴对折，从而得出y＝13|x|的图象． ②将y＝13|x|的图象向左平移1个单位长度，即可得y＝13|x＋1|的图象，如图所示． (2) 由图象知函数的单调增区间为(－∞，－1)，单调减区间为(－1，＋∞)． (3) 由图象知当x＝－1时，有最大值1，无最小值． 14、已知函数f(x)＝aa2－1(ax－a－x)(a>0且a≠1)． (1) 判断函数f(x)的奇偶性； (2) 讨论函数f(x)的单调性； (3) 若当x∈[－1，1]时，f(x)≥b恒成立，求实数b的取值范围． 【答案】(1) 奇函数 (2) 单调递增 (3) (－∞，－1] 【解析】(1) 因为函数定义域为R，关于原点对称， 又因为f(－x)＝aa2－1(a－x－ax)＝－f(x)， 所以函数f(x)为奇函数． (2) 当a>1时，a2－1>0，因为y＝ax为增函数，y＝a－x为减函数， 从而y＝ax－a－x为增函数， 所以函数f(x)为增函数． 当0因为y＝ax为减函数，y＝a－x为增函数， 从而y＝ax－a－x为减函数， 所以函数f(x)为增函数． 故当a>0，且a≠1时，函数f(x)在定义域内单调递增． (3) 由(2)知f(x)在R上是增函数，所以在区间[－1，1]上为增函数， 所以f(－1)≤f(x)≤f(1)， 所以f(x)min＝f(－1)＝aa2－1(a－1－a)＝aa2－1·1－a2a＝－1， 所以要使f(x)≥b在[－1，1]上恒成立， 则只需b≤－1， 故b的取值范围是(－∞，－1]． 15、已知函数f(x)＝(13)x，x∈[－1,1]，函数g(x)＝[f(x)]2－2af(x)＋3的最小值为h(a)． (1)求h(a)； (2)是否存在实数m、n同时满足下列条件： ①m>n>3； ②当h(a)的定义域为[n，m]时，值域为[n2，m2]？若存在，求出m、n的值；若不存在，说明理由．

【答案】(1) h(a)＝ 289－2a3 a<13，3－a2 13≤a≤3，12－6a a>3. (2) 不存在 【解析】(1)∵x∈[－1,1]， ∴(13)x∈[13，3]．

设t＝(13)x，t∈[13，3]， 则φ(t)＝t2－2at＋3＝(t－a)2＋3－a2. 当a<13时，ymin＝h(a)＝φ(13)＝289－2a3；

当13≤a≤3时，ymin＝h (a)＝φ(a)＝3－a2； 当a>3时，ymin＝h(a)＝φ(3)＝12－6a.

∴h(a)＝＝ 289－2a3 a<13，3－a2 13≤a≤3，12－6a a>3. (2)假设满足题意的m、n存在， ∵m>n>3， ∴h(a)＝12－6a在(3，＋∞)上是减函数． ∵h(a)的定义域为[n，m]，值域为[n2，m2]，

∴ 12－6m＝n2， ①12－6n＝m2， ② ②－①得6(m－n)＝(m－n)(m＋n)， ∵m>n>3， ∴m＋n＝6，但这与“m>n>3”矛盾， ∴满足题意的m、n不存在．