高等数学 不定积分(习题)
2019-20202第一学年年高等数学上册第四场不定积分的思考与练习
（1） x 5dx , （2） 2 x dx , （3） e x1dx ,
（4） (cos x sin x)dx ,
（5）
1
2 x
2
dx ,（6）
2 1 x2
dx ,（7） (ex
3
x
)dx
,（8）
(
s
1 in 2
x
1 cos2
)dx . x
解：（1） x5dx x15 C x6 C .
dx 1
1 d( x ) 2 arctan 2 x C .
2 x2 2 1 ( x )2
2 1 ( x )2
2
2
2
2
2
（12）
dx
dx
=
=
4 - x2 2 1-(x)2
1 d( x ) = arcsin x C .
1-(x)2 2
2
2
2
（13） d(5cosx 2sin x) (2cosx 5sin x)dx ,
dx
1 (2x)2
= x arctan 2x
d(x2 ) 1 4x2
= x arctan 2x 1 1 d(1 4x2 )
4 1 4x2
= x arctan 2x 1 ln(1 4x2 ) C . 4
（3） xe4xdx 1 xde4x 1 xe4x 1 e4xdx
4
4
4
2
2
（5）
x
dx
1
(1
x
2
)
1 2
d(1
x
2
)
1 x2
C .
1 x2
2
（6） xdx 1 d(x2 ) 1 arcsin x2 C .
高等数学基础版习题
求一个函数的原函数，叫做求它的不定积分；
求一个函数相应于闭区间的一个带标志点划 分的黎曼和关于这个划分的参数趋于零时的 极限，叫做这个函数在这个闭区间上的定积 分。
整理课件
下面主要讲下不定积分的求解；求定积 分，可先求不定积分，再利用牛顿-莱 布尼兹公式，可得结果。
1
整理课件
3、分部积分法
d d
(1) Pm (x)为m次多项式， eax ,sin axቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ cos ax (2) ln x, arctan x, arcsin x， Pm (x) (3) eax， cos x,sin x (3)会出现循环，注意， 选取的函数不能改变。
I1
认真观察被积函数，找特点，应用 恰当的方法，再求解
•1、直接积分法。
所谓直接积分法，就是被积函数比较简单的情况下 ，可直接利用基本积分公式（3.1-P131）或积分基 本性质（3.2-P133）（这两个一定要记牢）求解或 者稍微拆分变型一下再求积分。
整理课件
习题3.1——1 求不定积分
3
1 x dx
0
2
2 x2d cos x
0
2
2
x
2
cos
x 2
0
2
0
x cos
x 2
dx
x
80 xd sin 2
8
x
sin
x 2
0
0
sin
x 2
dx
8
16 cos x 2
0
8 16
整理课件
4
1
0
x
arctan
xdx
1 1arctan xdx2
高等数学：第三讲 不定积分的分部积分法
出现循环, 怎么办?
移项 , 两边除以2 , 并加积分常数,得
ex sin xdx ex (sin x cos x) C积分时, 我们是用解
方程的方法求出积分结果的.
内容小结：
1.合理选择 u,dv ，正确使用分部积分公式
uvdx udv uv vdu
谢谢
解 (3) ex sin xdx sin xdex ex sin x exd sin x
ex sin x ex cos xdx ex sin x cos xdex
ex sin x (ex cos x exd cos x) ex (sin x cos x) ex sin xdx
分部积分公式
例 求下列不定积分
(1) x cos xdx; (2) x2exdx;
(3) ex sin xdx.
解 (1) x cos xdx xd sin x
u dv
uv
x sin x sin xdx
x sin x cos x C
例 求下列不定积分
解 (2) x2exdx x2dex
u dv
uv
再一次使用分 部积分法
x2ex exdx2 x2ex 2 xexdx
x2ex 2 xdex x2ex 2(xex exdx)
(x2 2x 2)ex C
当应用分部积分公式后，得到的积分还需用分部积分时, 可以继续使用，直到可以求出积分结果为止.
例 求下列不定积分
分部积分法
求解：两个不同类型函数之积的积分
vdxdv
udxdu
导数运算与积分运算为互逆运算，求积分能否考虑先求导数？
设函数u(x)和v(x)连续可导， (uv) uv uv
移项，得 uv (uv) uv
高等数学(同济第6版习题课4-1)
（３） xd x ＝ d（ x２ ） ；
（４） xd x ＝ d（５ x２ ） ；
（５） xd x ＝ d（１ － x２ ） ；
（６） x３ d x ＝ d（３ x４ － ２） ；
（７） e２ x d x ＝ d（e２ x ） ；
（８）
e－
x ２
dx
＝
d（１
＋
e－
x ２
）
；
（９）
１
x －
x都是
１的 x － x２
原函数 畅
证 ［arcsin（２ x － １）］′ ＝
１
·２＝
１ － （２ x － １）２
１， x － x２
［arccos（１ － ２ x）］′ ＝ －
１
· （ － ２） ＝
１ － （１ － ２ x）２
１， x － x２
２arctan
x １－ x
′
＝
２
１
＋
１ １
x －
dx ＝３
dx １ ＋ x２
－２
dx １ － x２
＝ ３arctan x － ２arcsin x ＋ C ．
∫ ∫ ∫ （１５）
ex
１ － e－ x x
dx＝
exd x －
x－
１ ２
d
x
＝
ex
１
－ ２x２
＋
C．
∫ ∫ （１６） ３x ex d x ＝
（３e） x d x
＝
（３e） x ln（３e）
＋
t＝ ０
（２）
求使
d d
s t
＝
０的
t值
；
（３） 求使 s ＝ ５０ 的 k 值 畅
《高等数学(上)》不定积分(全)
23
第二讲 第一换元积分法
例3
求不定积分 cos3 xsin5 xdx.
解
cos3 xsin5 xdx cos2 xsin5 xdsin x
(1 sin2 x)sin5 xd sin x
sin5 xdsin x sin7 xdsin x
1 sin6 x 1 sin8 x C.
接积分法和第一换元法计算的题目.
31
第二讲 第二换元积分法
例 1 求 a2 x2 dx (a 0).
解
令x a sin t( π t π),则dx a costdt,于是有 22
a2 x2 dx a cost a costdt a2 cos2 tdt a2 1 cos 2tdt 2
类似可得
x2
1
a2
dx
1 2a
ln
|
a a
x x
|
C.
20
第二讲 第一换元积分法
例2
求 csc xdx.
解法一
csc
xdx
sin
x
dx
sin
x
sin
xdx
cos
d x
cos
x
利用例结论，得
原式 ln cos x cos x
C ln
( cos x) cos x
C
ln cos x C ln | csc x cot x | C sin x
1
3.
1dx x
ln
|
x
|
C;
6. sin xdx cos x C;
12
五、基本积分公式
7. cos xdx sin x C;
11. cot x csc xdx csc x C;
考研必备——《高等数学》第六版课后全部答案(第四章)
(3) ∫ 1 dx ;
x
解
∫
1 x
dx =
∫
−1
x2
dx =
−
1 1 +1
− 1 +1
x2
+C
=2
x +C .
2
(4) ∫ x 2 3 xdx ;
解
∫x23
7
xdx = ∫ x 3 dx =
1
7 +1
x3
+C =
3
7 +1
10
x33
x +C
.
3
(5)
∫
1 x2
x
dx
;
解
∫
1 x2
x
dx
=
∫
x
−
5 2
4. 证明函数 1 e 2x , ex s hx和ex ch x 都是 e x 的原函数.
2
chx −shx
证明
ex chx −shx
=
ex
ex +e−x − ex
−e−x
=
ex e−x
= e2x
.
2
2
因为 (1 e2x)′ = e2x , 2
所以
1 2
e2x
是
ex chx −shx
的原函数.
因为
(e x s h x ) ′ = e x s h x + e x c h x = e x ( s h x + c h x )
dx
;
解
∫
ex
1 +e−x
dx
=∫
e x dx = e2x +1
∫
§4.5 不定积分应用案例
因此
高等数学 第4章 不定积分
4.5 不定积分应用案例
dR ( t ) 300 (18 0.3 t ) dt
即
dR ( t ) 5400 90 t , dt
两边同时求不定积分，得
R( t ) (5400 90 t )dt 5400 t 60 t C ,
3 2
而 R(0) 0, 得 C 0 ，于是
R( t ) 5400 t 60t ,
由于这口井将在36个月后干枯，于是将来的总收入是 （美元）. R(36) 5400 36 60 36 207360
3 2
3 2
高等数学 第4章 不定积分
4.5 不定积分应用案例
二、石油的消耗量的估计
（2）停车线的确定
停车线的确定需考虑两点： ①驾驶员看到黄灯并决定停车需要一段的反应时间 t1 ，在此段时间 内，驾驶员尚未刹车. ②驾驶员刹车后，车还需继续向前行驶一段距离，此段距离称为 刹车距离.
高等数学 第4章 不定积分
4.5 不定积分应用案例
一般驾驶员的反应时间 t 1 可以根据经验或由统计数据确定.而刹 车距离可采用如下方法确定. 当驾驶员踩动刹车踏板时，便产生 一种摩擦力，它使汽车减速并最终停下. 设道路规定的速度为 v 0 , 汽车质量为 m , 刹车摩擦系数为 k ,
T ( t ) 是石油消耗总量， 所以 T ( t ) 就是石油消耗率 R( t ) ，即
T (t ) R(t ) .那么 T ( t ) 就是 R( t ) 的一个原函数.
高等数学 第4章 不定积分
4.5 不定积分应用案例
T ( t ) R( t )dt 161 e 0.07 t dt 161 e 0.07 t C 2300 e 0.07 t C , 0.07 由 T (0) 0 , 得 C 2300 ,
高等数学(第三版)课件：不定积分的积分方法
还应注意到，在换元—积分—还原的解题过程中,关 键是换元,若在被积函数中作变量代换 j(x) = u,还需要在
被积表达式中再凑出 j '(x)dx 即 dj(x),也就是 du ,这样才能
以u为积分变量作积分,也就是所求积分化为
f j(x)dj(x) f (u) du Fj(x) C
在上述解题过程中u可不必写出，从这个意义上讲，第 一换元积分法也称为“凑微分”法.
式而可能使其容易积分.当然在求出原函数后， 还要
将 t j1(x) 代回.还原成x的函数，这就是第二换元
积分法计算不定积分的基本思想.
定理2 设 x j(t) 是单调可导的函数，且
j(t) 0. 如果 f j(t)j(t) dt F(t) C,
则有
f (x) d x f j(t)j(t) d t F(t) C
3
1
2x
dx
1 u
1 2
du
=
1 2
1 du u
12 u C 2
3 2x C.
例4 求 x x2 4 dx.
解 令u x2 4，则du 2xdx，则
x
x2
4dx
1 2
udu
12 3
= 2 3u2 C
1 3
(
x2
3
4)2
C.
例5
求
(lnx)2
dx x
解 1 dx d(ln x)， x
= sect dt
= ln | sect tant | C.
x
x2 a2
t
a
根据sec t x ,利用图所示三角形，易得 a
对边 tan t 邻边
x2 a2 ， a
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第五章 不定积分第一节 不定积分的概念与性质习题5-11、求下列不定积分(1)C xC x dx x x dx +-=++-==+--⎰⎰213332113.(2) C x x C x dx x dx x x +=++==+⎰⎰312525272125. (3)C xx C xdx x xxdx+-=++-==+--⎰⎰32125125252.(4)C x C x dx x dx x x x +=++==+⎰⎰81518787158187.(5)C h C hdh h hdh +=++-==+--⎰⎰21212121212121.(6)C xn m mC mn x dx x dx x mn m mn mn mn++=++==++⎰⎰11.(7) C x C x dx x dx x +=++⋅==+⎰⎰5144414555.(8) C x x x dx x x +++=++⎰2233)23(232.(9) C x x x dx x x dx x ++-=+-=-⎰⎰352422325)12()1(.(10) C x x x dx x x dx x +++=++=+⎰⎰423)44()2(2322.(11) C x x dx x x dx x x +-=-=-⎰⎰23252123252)3()3(.(12) C x x x x dx x x x dx x x ++++=+++=++⎰⎰2523323212352323)1()1)(1(.(13) C tt t dt t t dt t t +-+=++=+⎰⎰-1||ln 2)21()1(222. (14)C x x dx x xdx xx ++=+=+⎰⎰-232121322)()1(.(15)C x x dx xdx x x dx x x +-=+-=+-+=+⎰⎰⎰arctan )111(11)1(122222.(16)C x x dx xx dx x x x ++=++=+++⎰⎰arctan 2)123(1233322224. (17)C x x dx xx ++=-++⎰arcsin 5arctan 3)1513(22.C x x x dx x x x dx x x x +++=++=++⎰⎰-32613383167353322913683)3(3.(19)C x e dx xe x x +-=-⎰||ln 32)32(.(20)C x e dx x e dx xe e x xx x++=+=+⎰⎰--2)()1(21.(21)C e C e e dx e dx e xx x xxx++=+==⎰⎰5ln 15)5ln()5()5(5.(22)C x dx dx xx x x x +⋅-+=⋅+=⋅+⋅⎰⎰)32(3ln 2ln 52])32(52[32532.(23)C x xdx x x dx x x x x x x dx +--=+-=+-+=+⎰⎰⎰-arctan 1)11()1()1()1(22222222.(24)C x e dx e dx e e x x x x ++=+=--⎰⎰)1(112.(25)C x x dx x x x dx x x x ++=+=+⎰⎰sec tan )tan sec (sec )tan (sec sec 2.(26)C x x dx x dx x ++=+=⎰⎰)sin (21)cos 1(212cos 2.(27)C x x dx x x dx xx xx dx x x x ++=-=+-=+⎰⎰⎰cos sin )sin (cos cos sin sin cos cos sin 2cos 22.(28)C x x dx x x dx x x x x dx x x x +--=-=-=⎰⎰⎰tan cot )sec (csc cos sin sin cos cos sin 2cos 22222222.C x dx x dx x dx x +==+=+⎰⎰⎰tan 21cos 12122cos 11212cos 112.(30)C x x dx x xdx +--=-=⎰⎰cot )1(csc cot 22.2、一曲线通过点)3,(2e ,且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数,求曲线的方程.解：设所求曲线为)(x f y =,依题意有xy 1=',于是 C x xdxx f y +===⎰ln )( 因曲线通过点)3,(2e ,有 C C e +=+=2ln 32,得1=C , 从而所求曲线为1ln +=x y .3、已知某产品产量的变化率是时间t 的函数b at t f +=)((b a ,为常数),设此产品的产量为函数)(t P ,且0)0(=P ,求)(t P . 解：已知b at t f dtdP+==)(,有 C bt t adt b at dt t f t P ++=+==⎰⎰22)()()(,因0)0(=P ,有0=C ,于是bt t at P +=22)(.习题5-21、求下列不定积分 (1)C e x d e dx e xx x +==⎰⎰55551)5(51.(2)C x x d x dx x ++=++=+⎰⎰433)23(81)23()23(21)23(.C x x x d x dx ++=++=+⎰⎰|23|ln 2123)23(2123.(4)C x x d x xdx+--=---=-⎰⎰-32313)32(21)32()32(3132.(5)C t t d t dt tt +-==⎰⎰cos 2sin 2sin .(6)C x dx x dx x x +-==⎰⎰2222cos 51sin 21sin .(7)C e x d e dx xe x x x +-=--=---⎰⎰22221)(212. (8)C x x d x x xdx+--=---=-⎰⎰-2221223231)32()32(6132.(9)C x x x d x dx x ++=++=+⎰⎰)1ln(431)1(431344443.(10)C x x xd xdx x +==⎰⎰9828tan 91tan tan sec tan . (11)C x x x d x x xdx x x dx +===⎰⎰⎰|tan |ln tan )(tan cos sin cos cos sin 2.(12)C t t d t dt t t ++-=++=++⎰⎰)(cos 31)cos()(cos 1)sin()(cos 322ϕωωϕωϕωωϕωϕω. (13)C xx xd x xdx +=-=⎰⎰-455cos 41)(cos cos cos sin .C x x x d x xdx +-=-=⎰⎰323sin 31sin sin )sin 1(cos . (15)C t t dt t dt t ++-=+-=+⎰⎰)(2sin 412)](2cos 1[21)(sin 2ϕωωϕωϕω.(16)C t t t d t tdt t +-=-=⎰⎰sec sec 31sec )1(sec sec tan 323.(17)C x x dx x x xdx x +-=-=⎰⎰5cos 101cos 21)sin 5(sin 213cos 2sin .(18)C x x dx x x dx xx ++=+=⎰⎰2sin 23sin 31)2cos 23(cos 212cos cos .(19)C x x dx x x xdx x +-=-=⎰⎰12sin 2414sin 81)12cos 4(cos 218sin 4sin . (20)C x x x x d x x dx xx xx ++-=++-=+-⎰⎰-32313)cos (sin 23)cos (sin )cos (sin cos sin cos sin . (21)⎰⎰⎰--⋅--⋅=-+222249)49(2141)32(1)32(3123491x x d x x d dx x x C x x +--=2494132arcsin 21.(22)C x x x x d xdx dx x x x x dx x x ++-=++-=+-+=+⎰⎰⎰⎰)]1ln([211)1(211122222323.C x x x x d x dx ++-=-=-⎰⎰1313ln 3211)3()3(311322.(24)C x x x dx x dx x x dx +++=+-+=++⎰⎰⎰21ln 21)2)(1(.(25)222221)1(1tan 2111tan xx d x dx x xx +++=++⎰⎰C x x d x ++-=++=⎰|1cos |ln 11tan 222.(26)x d x x d x xdx x x x arctan arctan 2)(1arctan 2)1(arctan 2⎰⎰⎰=+=+ C x +=2)(arctan .(27)C x d dx xxxx +-=-=-⎰⎰10ln 10arccos 10110arccos arccos 2arccos .(28)C xx d x x dx x +-==-⎰⎰-arcsin 1arcsin )(arcsin 1)(arcsin 1222. (29)⎰⎰⎰=⋅=xx xd dx x x x x dx x x x tan )(tan tan ln cos sin cos tan ln cos sin tan ln 2 C x x xd +==⎰2)tan (ln 21tan ln tan ln .(30)C x x x x x x d dx x x x +-==+⎰⎰ln 1)ln ()ln ()ln (ln 122.(31)dt t dt tt t x dx x tx ⎰⎰⎰-=-⋅====-=)2cos 1(24sin 12cos 2sin 4422sin 222t t t C t t +-=+-=cos sin 222sin 2C x xx +--=2422arcsin 2.(32)C x C t dt dt t t tt x x dx tx +=+==-====-⎰⎰⎰=1arccos 1sec sec tan sec 12sec 2.(33)C t tdt dt t tx dxtx +======+⎰⎰⎰=sin cos sec sec )1(32tan 32 C x x C t tt++=++=11tan 1cos sin 22.(34)⎰⎰⎰⎰-======-=dt t tdt tdt t tt dx x x t x )1(sec 2tan 2sec tan 2sec 2tan 2422sec 22 C xx C t t C t t +--=+--=+-=2arccos 2421sec 22tan 222.(35)⎰⎰⎰⎰⎰-=+-=+====-+=2cos 21cos 1cos 1cos 112sin 2t dtt t dt dt t tdt x dxtx C t t t C t t t t C t t ++-=+-=+-=cos 1sin 2cos 22cos2sin 22tan 2 C xxx +-+-=211arcsin .(36)dt tt tt t t t t tdt x x dxtx ⎰⎰⎰+-++=+====-+=cos sin sin cos cos sin 21cos sin cos 1sin 2C t t t t t t t d dt +++=+++=⎰⎰|cos sin |ln 2121cos sin )cos (sin 2121 C x x x +-++=|1|ln 21arcsin 212.(37)C t t t dtdt dt t t t tdt x dx x t t x ++-=+-=+-+=+====+⎰⎰⎰⎰⎰==)1ln(1111121222C x x ++-=)21ln(2.(38)dt t t t t tdt t x dx x t t x ⎰⎰⎰+++-+=+====+++=-=11)1()(313112211333C t t t t dt dt dt t +++-=++-=⎰⎰⎰|1|ln 3323)1(32C x x x +++++-+=|11|ln 313)1(233332.(39)dt t t t t tdt t t dx x x x t t x ⎰⎰⎰++--+=⋅+-====++-++=-=122222111111211212|1|ln 44)122(2C t t t dt t t +++-=++-=⎰C x x x +++++-=)11ln(414, 其中, 11C C +=.(40)dt t t t t dt tt t x x dx x t t x ⎰⎰⎰++--+=+====+==11144223444C t t t dt t t +++-=++-=⎰|1|ln 442)111(42C x x x +++-=)1ln(44244.(41)dt t t t dt t t t t t dx x x x xxt ttt x ⎰⎰⎰+--=+-⋅⋅⋅-+=======+-+-=-+=+-=)1)(1(4)1()2(21111122222221111211222C t t t dt t t +++-⋅=+--⋅-=⎰arctan 211ln 212)1111(21422 C x xxx x x ++-+-++--+=11arctan 21111ln.42)⎰⎰+--=-+3234211)1()1()1(x x x dx x x dx⎰⎰--+=---+-⋅-=======+-=--=-+=23232323321111211)1()1(6)1(]1)11[()3(23333t t tdtt t t t dt t x x t tt t x C x x C t t dt t tdt +-+-=+-===⎰⎰32311232323226.2、用指定的换元法求下列不定积分 (1)C x C t dt t t tdt t x x dx t x +=+======-⎰⎰⎰=arcsin 222cos sin cos sin 2)1(2sin .(2)⎰⎰⎰⎰=====++=++-=tdt t tdtx dxx x dx t x sec sec sec 1)1(2221tan 22C x x x C t t +++++=++=|122|ln |tan sec |ln 2.(3)⎰⎰⎰⎰======--=-+=tdt ttdtt x dxx x dxtx sec tan 2sec tan 24)2(4sec 2222C t t C t t ++=+++=|tan 2sec 2|ln 2ln |tan sec |ln C x x x +-+-=|42|ln 2.(4)C t dt dt t t x dx x xdxt x +======-=-⎰⎰⎰⎰=2121cos cos 211211sin 4242C x +=2arcsin 21.习题5-31、求下列不定积分C x x x xdx x x x xd xdx x ++-=+-=-=⎰⎰⎰sin cos cos cos cos sin .(2)C x x x dx x x x xd x x xdx +-=-=-=⎰⎰⎰ln ln ln ln ln .(3)⎰⎰⎰-+=-=dx xx x x x xd x x xdx 21arccos arccos arccos arccos .C x x x +--=21arccos .其中:C x C x x x d dx x x +--=+-⋅-=---=-⎰⎰22222112211)1(211.(4)C x e C e xe x d e xe xde dx xe x x x x x x x ++-=+--=+-=-=-------⎰⎰⎰)1(.(5)⎰⎰⎰⎰-=-==dx x x x x d x x x xdx xdx x 34444341ln 41ln 41ln 41ln 41ln C x x x +-=44161ln 41. (6)C x x x dx x x x x xd dx x x ++=-==⎰⎰⎰3cos 93sin 33sin 33sin 33sin 33cos .(7)⎰⎰⎰⎰⎰-=-=xdx x xd xdx xdx x xdx x tan sec tan 22C x x x x xdx xdx x x +-+=--=⎰⎰221|cos |ln tan tan tan .(8)⎰⎰⎰+-=-=2222cos cos cos sin xdx x x x d x xdx xC x x x x x +++-=cos 2sin 2cos 2.其中:C x x x xdx x x x xd xdx ++=-==⎰⎰⎰cos 2sin 2sin 2sin 2sin 2cos 2.(9)⎰⎰⎰-==x d x x x xdx xdx x arctan 31arctan 31arctan 31arctan 3332.C x x x x +++-=)1ln(6161arctan 31223. 其中:C x x dx x x dx xx x d x 3)1ln(2121111211arctan 22222233-+-=+-+=+=⎰⎰⎰. (10)⎰⎰⎰-==x xd xdx x xdx x x 2cos 412sin 21cos sin C x x x dx x x x ++-=+-=⎰2sin 812cos 412cos 412cos 41.(11)C x x x x xdx x xdx dx x x +++=+=⎰⎰⎰cos 21sin 2141cos 21212cos 22. 其中:C x x x xdx x x x xd xdx x 2cos sin sin sin sin cos ++=-==⎰⎰⎰.(12)I x x x d x xdx x 212cos )1(212cos )1(212sin )1(222++-=+-=+⎰⎰ C x x x x x ++++-=2cos 412sin 212cos )1(212C x x x x +++-=2sin 212cos )21(212.其中:⎰⎰⎰==+=)2(2cos )2(212cos 2)1(2cos 2x xd x xdx x x xd IC x x x 2]2cos 2sin 2[21++=.(13))1ln(21)1ln(21)1ln(21)1ln(222+-+=+=+⎰⎰⎰x d x x x dx x dx x x C x x x x x ++-+-+=)1ln(212141)1ln(2122 C x x x x ++-+-=2141)1ln()1(2122. 其中:x d x x x x x d x x x d x ⎰⎰⎰++--+=+=+1111)1ln(222C x x x x d x x 2)1ln(21)111(2-++-=++-=⎰.(14)x d x x x x xd dx x x 22222ln 1ln 1)1(ln ln ⎰⎰⎰+-=-=C x x x C x x x x x +++-=+---=)2ln 2(ln 12ln 2ln 122.其中:⎰⎰⎰⎰+-=-==x d x x x x xd dx x x x d x ln 12ln 2)1(ln 2ln 2ln 122C xx x dx x x x +--=+-=⎰2ln 212ln 22.(15)⎰⎰⎰-=======tdt t t t t d t dx x xt sin 2sin sin )(arcsin 22arcsin 2C t t t t t C t t t t t +--+=+-+=sin 2sin 12sin sin 2cos 2sin 222)1(C x x x x x +--+=2arcsin 12)(arcsin 22.(16)⎰⎰⎰⎰⎰-=⋅-=======tt t t t t x t tx x tde e t dt te e t de t dt e t dx e 632333322223331C t t e C e te e t dt e te e t t t t t t t t ++-=++-=+-=⎰)22(3663663222C x x e x ++-=)22(33323.(17)⎰⎰⎰-==xdx e x e x d e xdx e xx x x sin sin sin cos⎰⎰-+=+=xdx e x e x e x d e x e x x x x x cos cos sin cos sin ,∴C x x e xdx e x x ++=⎰)cos (sin 21sin .(18)I e xdx e dx e xdx e x x x x 21212cos 2121cos 2+-=+=----⎰⎰⎰ C x e x e e x x x +-+-=---2cos 1012sin 5121.:x xd e x e x d e I xx x ⎰⎰---+==2sin 212sin 212sin 21 x d e x e x x 2cos 412sin 21⎰---= x xd e x e x e x x x ⎰-----=2cos 412cos 412sin 21, ∴C x e x e I x x 22cos 41542sin 2154+⋅-⋅=--.2、利用指定的变量代换求下列不定积分 (1)C t t e t td e dx x tte x t++======⎰⎰=)cos (sin 21cos )cos(ln )17( C x x x ++=)]cos(ln )[sin(ln 21.(2)⎰⎰⎰-=======tdt t t t t d t dx x tx cos 2cos cos )(arccos 22cos 2⎰⎰+-=-=tdt t t t t t td t t sin 2sin 2cos sin 2cos 22C t t t t t C t t t t t +---=+--=cos 2cos 12cos cos 2sin 2cos 222 C x x x x x +---=2arccos 12)(arccos 22.习题5-41、求下列不定积分(1) x d x x x x x x x d x x ⎰⎰+-++--+=+288442222233 C x x x x x d x x x ++-+-=+-+-=⎰|2|ln 8431)2842(232.(2)x d x x x x d x x x ⎰⎰-++=-++)2)(5(13103132C x x x d x x +-++=-++=⎰|2|ln |5|ln 2)2152(. 其中: )2)(5(5225)2)(5(13-+++-=-++=-++x x BBx A Ax x B x A x x x , 有 3=+B A , 152=+-B A ,得1,2==B A .(3) x d xx x x x x x x x d x x x x ⎰⎰--++-+-=--+3242534588 x d x x x x x x d x x x x x x x ⎰⎰--+-++=-+-+++=]13148[])1)(1(8[222C x x x x x +--+-++=|1|ln 3|1|ln 4||ln 8213123. 其中: )1)(1()()()1(11)1)(1(82222-+++-+-=-+++=-+-+x x x x x C x x B x A x C x B x A x x x x x ,有 1=++C B A ,1=+-C B ,8-=-A ,得3,4,8-=-==C B A .(4)x d x x x x x d x x x x d x ⎰⎰⎰+++-+-=+-+=+)12142()1)(1(616223 ⎰⎰⎰⎰⎰+++--++-+--=+++-+--=12)23()21()21(343)21(]43)21[(1243)21(3)21(222222x dx x x d x x d x dx x d x xC x x x +++-⋅++--=|1|ln 22321arctan 2313]43)21ln[(2C x x x x +++-++--=|1|ln 2312arctan 32)1ln(2.其中: )1)(1()1()(11)1)(1(62222-++-++++=+++-+=+-+x x x x x C B x B A Ax x C x x B Ax x x x , 有 0=+C A ,0=-+C B A ,6=+C B ,得2,4,2==-=C B A .5)x d x x x x d x x x ⎰⎰+++-=++-)111()1)(1(122C x x x dx x x d ++++-=++++-=⎰⎰|1|ln )1ln(2111)1(21222.其中: )1)(1()1()(11)1)(1(12222-++++++=++++=++-x x x x C B x B A Ax x C x B Ax x x x , 有 0=+C A ,1-=+B A ,1=+C B ,得1,0,1==-=C B A .(6)x d x x x x d x x x ⎰⎰-⋅++⋅++-=-++]11211121)1(1[)1()1(1222 C x x C x x x +-++=+-++++=|1|ln 2111|1|ln 21|1|ln 21112 其中: 11)1()1()1(1222-++++=-++x Cx B x A x x x)1()1()12()1()1(222-++++-+-=x x x x C x B x A ,有 1=+C B ,02=+C A ,1=+--C B A ,得21,21,1==-=C B A . (7)x d x x x x x x dx ⎰⎰+++-+=+++)312211()3)(2)(1(2C x x x ++++-+=|3|ln |2|ln 2|1|ln .其中: 321)3)(2)(1(2+++++=+++x Cx B x A x x x)3)(2)(1()23()34()65(222+++++++++++=x x x x x C x x B x x A ,有 0=++C B A ,0345=++C B A ,2236=++C B A , 得1,2,1=-==C B A .(8)⎰⎰+---+++=+dx x x x x x x x dx )122122(421224⎰+----++++=dx x x x x x x )122)22(122)22((8222 ⎰⎰+-+--++++=12)12(8212)12(822222x x x x d x x x x d dx x x ]21)21(121)21(1[4122+-++++⎰ )12ln(82)12ln(8222+--++=x x x x C x x +-⋅++⋅+2121arctan 211412121arctan21141C x x x x x x +-++++-++=)12arctan(42)12arctan(421212ln 8222. 其中: 121211224+-+++++=+x x DCx x x B Ax x )12)(12(222222223223+-+++++++++-++-=x x x x DDx Dx Cx Cx Cx B Bx Bx Ax Ax Ax ,有 0=+C A , 022=+++-D C B A ,022=++-D C B A ,1=+D B , 得21,42,21,42=-===D C B A .。