浮体在波浪中的运动响应

2.3 浮体在波浪中的运动响应2.3.1 浮体动力学方程单自由度刚体自由振动时其动力学方程为:(M+∆M)X+BX+KX=0(2-48)式中：M为刚体对应自由度的质量或惯性质量；∆M为刚体对应自由度的附加质量或附加质量惯性质量；B为阻尼；K为刚体对应自由度的恢复刚度。

式（2-48）每一项都除以(M+∆M)，则式子变为：X+2ζλX+λ2X= 0（2-49）式中：ζ=B/[2(M+∆M)λ]为无量纲阻尼比；λ=√KM+∆M为刚体对应自由度的运动固有周期。

当浮体受到简谐载荷作用时，其运动方程为：X+2ζλX+λ2X=F0M+∆Msinωt （2-50）浮体运动稳态解为：X(t)=Asin(ωt−β)（2-51）其中：A=0K√(1−γ2)+(2ζλ)2为运动幅值；γ=ωλ为简谐载荷频率与结构固有频率的比；β=arctan2ζλ1−γ2为运动滞后于简谐载荷的相位。

运动幅值与静位移的比称为动力放大系数DAF（图2.9），即：DAF=AF0/K =√(1−γ2)2+(2ζλ)2（2-52）图2.9 动力放大系数与无量纲阻尼及频率比的关系无量纲阻尼比ζ=0时，DAF=，当激励频率与固有频率接近时，√(1−γ2)2DAF趋近于∞；；当无量纲阻尼比ζ≠0时，DAF极值为DAF max=2ζ√1−ζ2当无量纲阻尼比ζ较小时，DAF极值近似为DAF max≈1。

2ζ由此可以看出，系统阻尼越大，动力放大系数DAF越小，阻尼的存在对于抑制共振幅值起着关键作用。

对于相位：当阻尼比较小，且频率比γ远小于1时，相位角β趋近于0；当频率比γ远大于1时，相位角β趋近于π；当频率比γ=1时，无论阻尼比为何值，响应相位β=π/2。

如图2.10所示为相位角与无量纲阻尼比及频率比的关系。

图2.10 相位角与无量纲阻尼比及频率比的关系在多种环境载荷作用下，浮体动力方程可以表达为：[M+∆M]X+[B rad+B vis]X+[K stillwater+K mooring]X=F1+F2Low+F2Higℎ+F wind+F current+F otℎers（2-53）其中：M为浮体质量矩阵；∆M 为浮体附加质量矩阵；B rad 为辐射阻尼矩阵；B vis 为黏性阻尼矩阵；K stillwater 为静水刚度；K mooring 为系泊系统刚度；F 1为一阶波频载荷；F 2Low 为二阶低频载荷；F 2Higℎ为二阶高频载荷；F wind 为风载荷；F current 为流载荷；F otℎers 为其他载荷。

浮体运动自由度的固有周期表达式为：T i =2π√M ii +∆M ii Kii,stillwater +K ii,mooring （2-54） 其中质量矩阵表达式为：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=zz zy zx G G yz yy yx G G xz xy xx G G G G G G G G I I I Mx My I I I Mx Mz I I I My Mz Mx My M Mx Mz M My Mz M M 000000000000 （2 - 55） 式中（x G ,y G ,z G ）为重心位置；I ij 为惯性质量。

刚度矩阵表达式为：（2 - 56） 其中：（X B ,Y B ,Z B ）为浮心位置；S 为水线面面积；S i /S ij 为水线面面积一阶/二阶矩。

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+-+--+-+---+-=0000)(00)(00000000000000000K 111211222212,GYB G XB G YB G ZB G XB G ZB Stillwater ij Mgy gV Mgx gV Mgy gV Mgz S S g gS gS Mgx gV gS Mgz V S g gS gS gS gS ρρρρρρρρρρρρρ∆M、B rad、F1、F2Low、F2Higℎ可以由水动力计算软件求出；B vis可以通过莫里森单元进行计算，也可以自行指定并添加到计算模型中；K mooring为系泊刚度，可以由系泊分析软件给出结果，也可以自行输入到计算模型中；F wind风载荷一般通过指定风力系数，在计算模型中输入风速来进行计算；F current流载荷一般通过指定流力系数，在计算模型中输入流速来进行计算。

图2.11浮体的六个运动自由度对于浮体运动通常需要考虑六个自由度：纵荡（Surge）、横荡（Sway）、升沉（Heave）、横摇（Roll）、纵摇（Pitch）以及艏摇（Yaw），如图2.11所示。

对于一般的船型结构物，纵荡、升沉、纵摇运动是耦合的；横荡、横摇运动是耦合的。

2.3.2 频域分析（1）RAO浮体运动幅值响应算子（Response Amplitude Operaters, RAO）的含义是浮体对应自由度运动幅值与波幅的比，表明在线性波浪作用下浮体的运动响应特征。

以船舶的横摇运动为例，横摇RAO为船舶在单位波幅的规则波作用下所产生的，关于波浪频率的横摇运动幅值函数，近似表达式为：Roll RAO=θXξa =DAF Rollω2g57.3sinβ(2-57)其中：θX为船舶横摇运动幅值；ξa为入射波波幅，此处为规则波单位波幅；DAF Roll 为横摇运动方程得到的动力放大系数；ω为入射波圆频率；β为入射波角度，式（2-57）单位为°/m。

RAO本质上描述的是线性条件下入射波福与浮体运动幅值的关系。

但描述刚体运动仅关注幅值响应是不够的，还需要关注运动响应相位的变化。

当对运动响应结果求一次导数、二次导数后，对应的运动RAO变为运动速度响应RAO 和加速度响应RAO 。

（2）不规则波作用下的波频运动响应对于一个给定的波浪谱S(ω)，零航速下浮体的波频运动响应谱S R （ω）可以表达为：S R (ω)=RAO 2S(ω) (2-58)根据响应谱得到的第n 阶矩的表达式为：m nR =∫ωn S R (ω)dω∞0 (2-59)其中：m nR 为运动方差。

一般认为短期海况符合窄带瑞利分布，浮体的波频运动近似认为同样符合瑞利分布，则浮体波频运动有义值可以根据谱矩求出，即R 1/3=2√m 0R (2-60)对应运动平均周期T 1R 和平均跨零周期T 2R 为：T 1R =2πm0R m 1R (2-61) T 2R =2π√m0R m 2R (2-62) （3）不规则波作用下的波频运动统计分析浮体运动响应值R a 以瑞利分布表达：f (R a )=R a m 0R exp {Ra 2m 0R } (2-63) 那么R a 大于a 的概率为：P (R a >a )=∫R a m 0R exp (−R a 22m 0R )dR a =exp (−a 22m 0R ∞a) (2-64) 对上式两边求对数，则:R a =k √m 0R (2-65)K 代表不同保证率，其与超越概率的关系如表2.3所示。

表2.3 超越概率与保证率及对应统计值关系对于服从窄带瑞利分布的波浪和波浪频域的浮体运动响应，可以从频域角度根据方差来推断极值，如千分之一极值等于3.72倍的方差，等于1.86倍的有义值。

对于“短期海况”时间t ，浮体波频运动次数为t/T 1R 次，那么出现的最大值所对应的超越概率为发生次数的倒数T 1R /t ，则浮体运动最大值R max 为：exp (−R max 22m 0R )=T 1R t (2-66)R max =√−2m 0R lnT 1Rt =√2m 0R ln tT 1R (2-67) （4）低频运动的谱分析 低频波浪载荷以谱的形式可以表达为下式：S F2−(∆ω)=8∫S (ω)S (ω+∆ω)[F i (ω+∆ω2)ξa ]2dω∞0 (2-68) 其中：S(ω)为波浪谱，F i (ω+∆ω2)为对应频率ω+∆ω2的平均波浪漂移力。

系泊状态下的浮体低频响应动力方程为：(M +∆M )X +B ′X +K m X =F i (t) (2-69)式中：∆M 为低频附加质量；B′为系泊状态下的系统阻尼；K m 为系泊恢复刚度；F i (t)为低频漂移力。

对于系泊状态的浮体纵荡运动，其响应谱可以表达为：S 0R2−(∆ω)=|R 2−(∆ω)|2S F2−(∆ω) (2-70)R 2−(∆ω)为质量-阻尼-弹簧系统的动力学导纳。

根据之前的谱分析理论，则纵荡运动的低频方差为：m 0R2−(∆ω)=∫S F2−(∆ω)[K m −(M+∆M )∆ω2]2+B′2∆ω2d∆ω∞0 (2-71)由于系泊系统往往是小阻尼低频共振系统，因而上式中对于运动方差的主要贡献是纵荡固有周期附近的共振激励载荷，典型的低频运动极值为标准差的3-4倍。

2.3.3 时域分析时域分析引入了单位脉冲函数δ(τ)，其作用在系统上产生一个对应的响应h(t −τ)，即脉冲响应函数，其含义为浮式系统受到脉冲作用后产生的响应，表达的是受到脉冲影响发生运动直至恢复平静状态的过程中系统所经历的响应特性。

线性系统在某段时间内的响应可以视作多个线性响应的叠加，即：R (t )=∫ξ(1−τ)ℎ(τ)dτ∞−∞ (2-72)其中：ξ(1−τ)为一段时间内的波高升高。

ℎ(τ)可以通过频域分析中的频率响应函数经过傅里叶变换得到：h (τ)=∫H(ω)e iwt dω∞−∞ (2-73)对于有系泊系统的浮式结构物，其运动方程可以写为：∑[(a ij +m ij (t ))ẍj (t )+∫K ij(t −τ)ẋj (τ)dτ+C ij x j (t)]=F i (t) t 06j=1 i=1,……,6 (2-74) 其中：[a ij ]为浮体的惯性质量矩阵；[m ij (t)]为附体的附加质量矩阵；[K ij (t)]为延迟函数矩阵；[C ij ]为静水恢复力矩阵；[F i (t)]为波浪激励力；[x j (t)]为浮体位移矩阵。

延迟函数矩阵[K ij (t)]为：K ij (t )=2π∫B ij (ω)cos (ωt )dω∞0 (2-75)延迟函数K ij (t)为频域水动力求解出的辐射阻尼B ij (ω)经傅里叶逆变换求出。

为获得浮体在波浪中的运动位移矩阵[x j (t)]，必须知道浮体的附加质量矩阵[m ij (t)]、延迟函数矩阵[K ij (t)]和波浪激励力矩阵[F i (t)]。

波浪激励力[F i (t)]为：F i (t )=∑R{A K F i (ωk )e −i (ωk t+θk )}N k=1 (2-76) 式中：A K 、ωk 、θk 对应波谱中每个规则波成分波的波幅、频率和相位；F i (ωk )是频率为ωk 的单位波幅对应波浪激励力。