《高考数学第一轮复习课件》第50讲二项式定理
高考数学一轮复习---二项式定理知识点与题型复习精选全文
可编辑修改精选全文完整版二项式定理知识点与题型复习一、基础知识1.二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)(2)通项公式：T k＋1＝C k n a n－k b k，它表示第k＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C0n，C1n，…，C n n.2.二项式系数的性质注：(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.二项式系数与项的系数的区别二项式系数是指C0n，C1n，…，C n n，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关.如(a＋bx)n的二项展开式中，第k＋1项的二项式系数是C k n，而该项的系数是C k n a n－k b k.当然，在某些二项展开式中，各项的系数与二项式系数是相等的.二、考点解析考点一二项展开式中特定项或系数问题考法(一)求解形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量例1、(1)522⎪⎭⎫⎝⎛+xx的展开式中x4的系数为()A.10B.20C.40D.80(2)若(2x－a)5的二项展开式中x3的系数为720，则a＝________.(3)已知5⎪⎭⎫⎝⎛+xax的展开式中x5的系数为A，x2的系数为B，若A＋B＝11，则a＝________.[解题技法]求形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项公式T r＋1＝C r n a n－r b r，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)；第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r；第三步，把r代入通项公式中，即可求出T r＋1，有时还需要先求n，再求r，才能求出T r＋1或者其他量.考法(二)求解形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量例2、(1)(1－x)6(1＋x)4的展开式中x的系数是()A.－4B.－3C.3D.4(2)已知(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，则正实数a＝________.[解题技法]求形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤第一步，根据二项式定理把(a＋b)m与(c＋d)n分别展开，并写出其通项公式；第二步，根据特定项的次数，分析特定项可由(a＋b)m与(c＋d)n的展开式中的哪些项相乘得到；第三步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量.考法(三)求形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量例3、(1)(x2＋x＋y)5的展开式中x5y2的系数为()A.10B.20C.30D.60(2)将344⎪⎭⎫⎝⎛-+xx展开后，常数项是________.[解题技法]求形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤第一步，把三项的和a＋b＋c看成是(a＋b)与c两项的和；第二步，根据二项式定理写出[(a＋b)＋c]n的展开式的通项；第三步，对特定项的次数进行分析，弄清特定项是由(a＋b)n－r的展开式中的哪些项和c r相乘得到的；第四步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量.跟踪训练1.在(1－x3)(2＋x)6的展开式中，x5的系数是________.(用数字作答)3.5212⎪⎭⎫⎝⎛++xx(x＞0)的展开式中的常数项为________.考点二二项式系数的性质及各项系数和[典例精析](1)若531⎪⎪⎭⎫⎝⎛+xx的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是()A.63x B.4xC.4x6x D.4x或4x6x(2)若nxx⎪⎭⎫⎝⎛-12的展开式中含x的项为第6项，设(1－3x)n＝a＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，则a1＋a2＋…＋a n的值为________.(3)若(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________.[解题技法]1.赋值法的应用二项式定理给出的是一个恒等式，对于x，y的一切值都成立.因此，可将x，y设定为一些特殊的值.在使用赋值法时，令x，y等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值.如：(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x＝1即可.(2)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可.2.二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，则f(x)的展开式中(1)各项系数之和为f(1).(2)奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2.(3)偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.跟踪训练1.已知(2x －1)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0，则|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 5|＝( ) A.1 B.243 C.121 D.1222.若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为________.3.已知(1＋3x )n 的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项为____.考点三 二项展开式的应用例、设a ∈Z ，且0≤a ＜13，若512 018＋a 能被13整除，则a ＝( ) A.0 B.1 C.11 D.12[解题技法]利用二项式定理解决整除问题的思路(1)要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开.(2)用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开.但要注意两点：①余数的范围，a ＝cr ＋b ，其中余数b ∈[0，r )，r 是除数，若利用二项式定理展开变形后，切记余数不能为负；②二项式定理的逆用.跟踪训练]1.使得多项式81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1能被5整除的最小自然数x 为( ) A.1 B.2 C.3 D.4课后作业1.3422⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中的常数项为( ) A.－32 B.32 C.6 D.－6 2.设(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，则a 2＋a 4a 1＋a 3的值为( )A.－6160B.－122121C.－34D.－901213.若二项式72⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的展开式的各项系数之和为－1，则含x 2项的系数为( )A.560B.－560C.280D.－2804.已知(1＋x )n 的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( ) A.29 B.210 C.211 D.2125.二项式9221⎪⎭⎫⎝⎛-x x 的展开式中，除常数项外，各项系数的和为( )A.－671B.671C.672D.673 6.在(1－x )5(2x ＋1)的展开式中，含x 4项的系数为( )A.－5B.－15C.－25D.257.若(x 2－a )101⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( )A.13B.12C.1D.2 8.若(1＋mx )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，且a 1＋a 2＋…＋a 6＝63，则实数m 的值为( ) A.1或3 B.－3 C.1 D.1或－3 9.(2x －1)6的展开式中，二项式系数最大的项的系数是________.(用数字作答)10.9⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的展开式中x 3的系数为－84，则展开式的各项系数之和为________.11.511⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x 展开式中的常数项为________.12.已知nx x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+41的展开式中，前三项的系数成等差数列.(1)求n；(2)求展开式中的有理项；(3)求展开式中系数最大的项.。
高考数学一轮总复习 10.3二项式定理课件
J 基础回扣·自主学习
理教材 夯基础 厚积薄发
知识梳理
知识点一
二项式定理
1.二项式定理的内容 (a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b1＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn(n∈N*) ．
这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n 的二项 展开式，其中的系数 Cnk(k＝0,1,2，…，n)叫做 二项式系数．式中 的 Cnkan－kbk 叫做二项展开式的通项 ，用 Tk＋1 表示，即展开式的 第 k＋1 项：Tk＋1＝ Cnkan－kbk .
(3)求有理项：即求通项公式中未知数的指数恰好都是整数的 项．解这种类型的问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根 据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解．
问题 3 利用赋值法求系数和有哪些技巧？ 涉及展开式的系数和的问题，一般要用“赋值法”，对展开 式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn 两端的 x 赋以同值，利用恒等 关系确定系数的和．如何赋值，要观察所求和式的特征，发现差 异，确保正确．常用技巧有： (1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子求其展开式 的各项系数之和，只需令 x＝1 即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R) 的式子求其展开式各项系数之和，只需令 x＝y＝1 即可．
项式系数最大．
3．各二项式系数的和：(a＋b)n 的展开式的各个二项式系数的
和等于 2n，即 Cn0＋C1n＋…＋Cnn＝2n
.
4．奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，
即 Cn0＋C2n＋…＝C1n＋Cn3＋…＝2n－1
.
对点自测
知识点一
二项式定理
1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)Cknan－kbk 是二项展开式的第 k 项．( ) (2) 二 项 展 开 式 中 ， 系 数 最 大 的 项 为 中 间 一 项 或 中 间 两 项．( ) (3)(a＋b)n 的展开式中某一项的二项式系数与 a，b 无关．( )
2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第10章 §10.3 二项式定理
2024年高考数学一轮复习课件（新高考版）第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布§10.3 二项式定理考试要求能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练第一部分二项式定理(a ＋b )n ＝____________________________________(n ∈N *)二项展开式的通项T k ＋1＝_________，它表示展开式的第_____项二项式系数____(k ＝0,1，…，n )1.二项式定理k ＋12.二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数 .(2)增减性与最大值：当n 是偶数时，中间的一项______取得最大值；当n 是奇数时，中间的两项_______与_______相等，且同时取得最大值.2C n n 12C n n －12Cn n ＋相等2n常用结论判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1) 是(a ＋b )n 的展开式中的第k 项.( )(2)(a ＋b )n 的展开式中每一项的二项式系数与a ，b 无关.( )(3)通项公式 中的a 和b 不能互换.( )(4)二项式的展开式中的系数最大项与二项式系数最大项是相同的.( )××√√因为展开式的通项为T k ＋1＝ ，A.45 B.20 C.－30D.－90√()311010100221C C ()(1)k k k k kk k x x x -+⋅－－－＝－令－10＋ ＝2，得k ＝8，所以展开式中x 2的系数为(－1)8×C ＝45.√A.31B.32C.15D.16即3n＝35，所以n＝5，3.若的展开式中二项式系数之和为64，则展开式的常数项为____.20因为二项式系数之和为2n＝64，第二部分命题点1 形如(a ＋b )n (n ∈N *)的展开式的特定项例1 (1)二项式 的展开式中的常数项是A.－45B.－10C.45D.65题型一通项公式的应用√55210(1)C k k k x －－(2)已知的展开式中x5的系数为A，x2的系数为B，若A＋B＝11，则a＝______.±1则由1＋10a2＝11，解得a＝±1.3 52k x命题点2 形如(a＋b)m(c＋d)n (m，n∈N*)的展开式问题例2 (1)(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是√A.56B.84C.112D.168(2)在(2x＋a) 的展开式中，x2的系数为－120，则该二项展开式中的常数项为√A.3 204B.－160C.160D.－320∵7－2k≠0，在－2T k＋1中，令6－2k＝0，解得k＝3，思维升华(1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项即可.(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏.跟踪训练1 (1)(2022·新高考全国Ⅰ) 的展开式中x2y6的系数为－28_____(用数字作答).(2)在二项式的展开式中，常数项是_______；系数为有理数的项5的个数是______.若展开式的系数为有理数，则k＝1,3,5,7,9，有T2，T4，T6，T8，T10，共5个.命题点1 二项式系数和与系数和例3 (1)在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则A.二项式系数和为32B.各项系数和为128C.常数项为－135√D.常数项为135令x＝1，得各项系数和为2n，又二项式系数和为2n，则2×2n＝128，得n＝6，即二项式系数和为64，各项系数和也为64，故A，B不正确；3 6 2kx②对原式两边求导得，10(1＋x )9＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋…＋10a 10x 9.令x ＝1，得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋10a 10＝10×29＝5 120.(2)若(1＋x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则a 2＋a 6＋a 8＝_______；a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋10a 10＝________.3005 120命题点2 系数与二项式系数的最值问题例4 (多选)(2023·唐山模拟)下列关于 的展开式的说法中正确的是A.常数项为－160B.第4项的系数最大C.第4项的二项式系数最大D.所有项的系数和为1√√√对于A，令2k－6＝0，解得k＝3，对于B，由通项公式知，若要系数最大，k所有可能的取值为0,2,4,6，∴展开式第5项的系数最大，B错误；对于C，展开式共有7项，得第4项的二项式系数最大，C正确；对于D，令x＝1，则所有项的系数和为(1－2)6＝1，D正确.思维升华赋值法的应用一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，令g(x)＝(a ＋bx)n，则(a＋bx)n的展开式中各项的系数和为g(1)，(a＋bx)n的展开式中奇数项的系数和为 [g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n的展开式中偶数项的系数和为 [g(1)－g(－1)].跟踪训练2 (1)(多选)对于 的展开式，下列说法正确的是A.所有项的二项式系数和为64B.所有项的系数和为64C.常数项为1 215D.系数最大的项为第3项√√√由C的分析可知第2,4,6项系数为负值，第1项系数为1，故(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10)2 －(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…(2)设 ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10)2 －(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9)2的值为_____.1因为a ∈Z ，且0≤a ≤13，例5 (1)设a ∈Z ，且0≤a ≤13，若512 023＋a 能被13整除，则a 等于A.0B.1C.11D.12√因为512 023＋a 能被13整除，所以a ＝1.(2)利用二项式定理计算1.056，则其结果精确到0.01的近似值是√A.1.23B.1.24C.1.33D.1.34思维升华二项式定理应用的题型及解法(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式.(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不是很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.跟踪训练3 (1)设n为奇数，那么11n＋1除以13的余数是√A.－3B.2C.10D.11＝12n－2＝(13－1)n－2(2)0.996的计算结果精确到0.001的近似值是√A.0.940B.0.941C.0.942D.0.943＝1－0.06＋0.001 5－0.000 02＋…＋0.016≈0.941.第三部分1. 的展开式中x4的系数为√A.10B.20C.40D.80令10－3k＝4，则k＝2，√√令12－3k＝0，得k＝4.√①当6－2k＝0，即k＝3时，可得①式中的后一项即为所求，A.2B.3C.4D.5√512624C k k x －所以当k ＝0,6,12,18,24时，x 的指数是整数，故x 的指数是整数的有5项.根据题意，奇数项的二项式系数之和也为128，所以在(1－2x )n 的展开式中，二项式系数之和为256，即2n ＝256，得n ＝8，则(1－2x )8的展开式的中间项为第5项，5.在二项式(1－2x )n 的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为A.－960B.960C.1 120D.1 680√6.设a＝，则当n＝2 023时，a除以15所得余数为√A.3B.4C.7D.8∴a＝4n－1，当n＝2 023时，a＝42 023－1＝4×161 011－1＝4×[(15＋1)1 011－1]＋3，故此时a除以15所得余数为3.A.常数项是第3项B.各项的系数和是C.第4项二项式系数最大D.奇数项二项式系数和为32√√√62361.C 2k k k x ⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭－＝－对于C选项，展开式共7项，故第4项二项式系数最大，C正确；对于D选项，奇数项二项式系数和为25＝32，D正确.8.(多选)(2023·沧州模拟)已知(1－2x)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023，则√A.展开式中所有项的二项式系数和为22 023B.展开式中系数最大项为第1 350项√易知(1－2x)2 023的展开式中所有项的二项式系数和为22 023，故A正确；所以第1 350项不是系数最大项，故B错误；当x＝1时，有a0＋a1＋a2＋…＋a2 023＝－1，①当x＝－1时，有a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 022－a2 023＝32 023，②9.若x 5＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋…＋a 5(x －2)5，则a 1＝_____，a 1＋a 2＋…＋a 5＝______.令x ＝3，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝35＝243；令x ＝2，得a 0＝25＝32，故a 1＋a 2＋…＋a 5＝243－32＝211.8021110.(1＋2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，展开式中二项式系数1 120x4 1 792x5和1 792x6最大的项为_________；系数最大的项为_________________.。
高考数学《二项式定理》课件
解析 2x＋1x－35表示五个2x＋1x－3相乘，则展开式中的常数项由三种情况
产生，第一种是从五个2x＋1x－3中分别抽取 2x，2x，1x，1x，－3，则此时的
常数项为 C25·C23·22·(－3)＝－360； 第二种情况是从五个2x＋1x－3中都抽取－3，则此时的常数项为(－3)5＝－243； 第三种情况是从五个2x＋1x－3中分别抽取 2x，x1，－3，－3，－3，则此时 的常数项为 C15·C14·21·(－3)3＝－1 080，则展开式中常数项为－360－243－ 1 080＝－1 683.
索引
诊断自测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)Cknan－kbk 是二项展开式的第 k 项.( × ) (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.( × ) (3)(a＋b)n 的展开式中某一项的二项式系数与 a，b 无关.( √ )
(4)(a＋b)n 某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项
1＝[1－(2－x)]100－1＝(x－1)100－1， 即(x－1)100－1＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100. 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝－1. 令x＝0，得a0＝0. 又易知a100＝1，所以a1＋a2＋a3＋…＋a99＝－2.
索引
高考数学一轮复习课件——第3节 二项式定理
r=2.故展开式中 x2 的系数为（-
1 2
）2
C
2 5
=5 2
.
答案:(1) 5 2
︱高中总复习︱一轮·理数
(2)(2018·安徽安庆二模)若二项式（x- a ）6 的展开式中常数项为 20,则 a=
.
x
解析:(2)（x-
a x
）6 的展开式的通项
Tr
= +1
C
r 6
x6-r·（-
a x
）r
=
C
x2
017
017(x∈R),则
a1
2
+ a2 22
+…+ a2017 22017
的值
为
.
解析:(1)令等式中 x=0 得 a0=1;再令 x= 1 , 2
则
a0+
a1 2
+
a2 22
+…+
a2017 22017
=0 ,
所以
a1 2
+
a2 22
+…+
a2017 22017
=-a0 =-1.
答案:(1)-1
答案:(2)180
︱高中总复习︱一轮·理数
反思归纳 (1)对于几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题,只需依据二项展开式 的通项,求出每个多项式的特定项(系数),再求和即可; (2)对于两个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题,一般都可以根据因式 连乘的规律,结合组合思想求解. (3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决.
高考高中数学二项式定理[优质ppt]
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(ab)n的展开 T k 1C 式 k nan kbk的 通
①项数：共n+1项,是关于a与b的齐次多项式
②指数:a的指数从n逐项递减到0,是降幂排列；
b的指数从0逐项递增到n，是升幂排列。
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(ab)3, (ab)4 的展开式？
猜想： (ab)n ____?____
没有大胆的猜想，就不能有伟大的发现和发明。 ------牛顿
(ab) C C n
C 0an 1an1b
n
n
2an2b2
n
C k n a n k b k C n n b n
该公式所表示的定理叫做二项式定理，
右边的多项式叫做的 (a b)n 展开式，其中
的系数 C k k 0 ,1 ,2 , ,n 叫做二项式系数。 n
T 式中
Ca b k nk k n
的叫做二项式通项，用
k 1
表示，即通项为展开式的第 k1项。
1.写出1（q） 7的展开式
(1q)7 17q21q235q3
（ a南+b宋）末的年平钱方塘，人（，a是+当b）时的有三名次的方数…学…家
（和a教+育b）家的，n杨次辉方一的生乘编法写展的开数式学的书规很律多，， 法但国散数佚学严家重帕。斯卡在17世纪发现了它，国外 把这一规律称为帕斯卡三角。其实，我国数学
杨辉生活在浙江杭州一带，曾当过地方官， 家杨辉早在1261年在他的《详解九章算法》 中到就过有苏了州相、应台的州图等表地。，他每到一处都会有人 慕名前来 请教数学问题。
3 5q4 2 1q5 7q6 q7
2025高考数学一轮复习-10.3-二项式定理【课件】
第三节 二项式定理
课前双基巩固
——整合知识 夯实基础
『知识聚焦』
1．二项式定理 (1)二项式定理：(a＋b)n＝C0nan＋Cn1an－1b＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn(n∈N*)． (2)通项公式：Tk＋1＝Cknan－kbk，它表示第_____k_＋__1______项． (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为 Cn0，Cn1，…，Cnn.
A．2
B．4
C．2022
D．2021×2022
【解析】 原式＝222022012－2 1＝2222002202＝4，故选 B.
4．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则 a0＋a2＋a4 的值为( B ) A．9 B．8 C．7 D．6
【解析】 令 x＝1，则 a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令 x＝－1，则 a0－a1＋a2－a3＋a4＝ 16，两式相加得 a0＋a2＋a4＝8.故选 B.
易错易混 5．(2022·郑州模拟)若二项式x2－2xn 的展开式的二项式系数之和为 8，则该展开式每 一项的系数之和为( A ) A．－1 B．1 C．27 D．－27
【解析】 依题意得 2n＝8，解得 n＝3.令 x＝1 得，该二项展开式每一项的系数之和 为(1－2)3＝－1.故选 A.
6．在(x－2)n 的展开式中，只有第 三项的二项式系数最大，则含 x 项的系数为 ____－__3_2_______．
的项，D 错误，故选 AC.
3．(2019·浙江卷)在二项式( 2＋x)9 的展开式中，常数项是____1_6___2______，系数为有 理数的项的个数是______5________．
2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第10章 §10.3 二项式定理
(2)利用二项式定理计算1.056，则其结果精确到0.01的近似值是
A.1.23
B.1.24
√ C.1.33 D.1.34
1.056＝(1＋0.05)6＝C06＋C16×0.05＋C26×0.052＋C36×0.053＋…＋C66× 0.056＝1＋0.3＋0.037 5＋0.002 5＋…＋0.056≈1.34.
思维升华
赋值法的应用 一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令g(x)＝(a ＋bx)n，则(a＋bx)n的展开式中各项的系数和为g(1)，(a＋bx)n的展开 式中奇数项的系数和为12 [g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n的展开式中偶数项的 系数和为1[g(1)－g(－1)].
知识梳理
2.二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数 相等 .
n
(2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项__C__n2__取得最大值；当n是
n－1
n＋1
奇数时，中间的两项_C___n_2__与_C___n_2__相等，且同时取得最大值.
(3)各二项式系数的和：(a＋b)n 的展开式的各二项式系数的和为 C0n＋C1n ＋C2n＋…＋Cnn＝_2_n_.
2
跟踪训练2 (1)(多选)对于 x2－3x6的展开式，下列说法正确的是
√A.所有项的二项式系数和为64 √B.所有项的系数和为64 √C.常数项为1 215
D.系数最大的项为第3项
x2－3x6 的展开式中所有项的二项式系数和为 26＝64，故 A 正确； 在x2－3x6 中，令 x＝1，得(1－3)6＝64，故 B 正确； 展开式的通项为 Tk＋1＝Ck6(x2)6－k·－3xk＝(－3)kCk6x12－3k(0≤k≤6，k∈N)， 令 12－3k＝0，得 k＝4，所以常数项为(－3)4C46＝1 215，故 C 正确； 由C的分析可知第2,4,6项系数为负值，第1项系数为1， 第 3 项系数为(－3)2C26＝135，第 5 项系数为(－3)4C46＝1 215， 第 7 项系数为(－3)6C66＝729，则系数最大的项为第 5 项，故 D 不正确.