衡水金卷2020年高考模拟卷(四)数学(文)试题Word版含答案

2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题

文数（四）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合{}0,1,3A =，()(){}

120B x x x =+-<，则A B =I （ ） A ．{}0 B ．{}0,1,3 C ．{}0,1 D ．{}0,1,2 2．若复数3i

12i

z -+=

-（i 是虚数单位），则4i z +=（ ）

A B ．2 D ．4

3．若,,a b c ∈R ，且a b >，则下列不等式一定成立的是（ ）

A ．c c a b >

B ．20c a b >-

C ．22a b >

D ．22

11

a b

c c >++ 4．下列结论中正确的个数是（ ） ①“3

x π

=

”是“1sin 22

x π⎛⎫

+

= ⎪⎝

⎭”的充分不必要条件； ②命题“,sin 1x x ∀∈≤R ”的否定是“,sin 1x x ∀∈>R ”；

③函数()cos f x x =

在区间[)0,+∞内有且仅有两个零点.

A ．1

B ．2

C ．3

D ．0

5．已知关于x 的不等式2680kx kx k -++≥对任意的x ∈R 恒成立，若k 的取值范围为区间

D ，在区间[]1,3-上随机取一个数k ，则k D ∈的概率是（ ）

A ．

12 B ．13 C ．14 D ．1

5

6．我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，目取其半，万事不竭”，其意思是：一尺长木棍，每天截取一半，永远截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则空白处可填入的是（ ） A ．S S i =- B ．1

S S i =- C ．2S S i =- D ．12S S i

=-

7．如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）

A ．

163π B ．643 C ．1664

3

π+ D ．1664π+ 8．已知某函数在[],ππ-上的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（ ）

A ．sin 2

x

y = B ．cos y x x =+ C ．ln cos y x = D ．sin y x x =+

9．《九章算术》卷第五《商功》中有记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”现有一个刍甍，如图，四边形ABCD 为正方形，四边形ABFE 、CDEF 为两个全等的等腰梯形，4AB =，1

2EF AB ∥，若这个刍甍的体积为

40

3

，则CF 的长为（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

10．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，cos cos 2cos a B b A c C +=，c =

且ABC ∆ABC ∆的周长为（ ）

A ．1．2+．4．5

11．设12,F F 分别是椭圆()22

22:10x y E a b a b +=>>的左，右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于

,A B 两点，若12AF F ∆的面积是12BF F ∆的三倍，23

cos 5

AF B ∠=，

则椭圆E 的离心率为（ ）

A ．

12 B ．2

3

C D ．2

12．已知定义在区间0,

2π⎛

⎫

⎪⎝

⎭

上的函数()f x ，()f x '为其导函数，且()()sin cos 0f x x f x x '->恒成立，则（ ）

A ．226f f ππ⎛⎫⎛⎫>

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B 43ππ⎛⎫⎛⎫

> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

C 63f ππ⎛⎫⎛⎫<

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．()12sin16f f π⎛⎫

< ⎪⎝⎭

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．某乡镇中学有初级职称教师160人，中级职称教师30人，高级职称教师10人，要从其中抽取20人进行体检，如果采用分层抽样的方法，则高级职称教师应该抽取的人数为 ．

14．已知平面向量,a b r r ，4a b ==r r ，且6a b +=r r ，则a r 在b r

方向上的投影是 ．

15．若双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>的渐近线与圆(2

22x y -+=相交，则此双曲线

的离心率的取值范围是 ．

16．已知三棱锥P ABC -的各顶点都在同一球面上，且PA ⊥平面ABC ，若2AB =，

1AC =，60BAC ∠=︒，4PA =，则球的体积为 ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤．）

17． 已知数列{}n a 满足11a =，()

1n n n na na a n +=-∈*N . （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）若数列{}n b 的前n 项和为n S ，23n n S b =-，求数列{}n n b a ⋅的前n 项和n T . 18． 在直三棱柱111ABC A B C -中，AD ⊥平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上. （1）求证：BC ⊥平面1A AB ；

（2）若AD =

2AB BC ==，P 为AC 的中点，求三棱锥1P A BC -的体积.

19． 某市甲、乙两地为了争创“市级文明城市”，现市文明委对甲、乙两地各派10名专家进行打分评优，所得分数情况如下茎叶图所示.

（1）分别计算甲、乙两地所得分数的平均值，并计算乙地得分的中位数；

（2）从乙地所得分数在[)60,80间的成绩中随机抽取2份做进一步分析，求所抽取的成绩中，至少有一份分数在[)75,80间的概率；

（3）在甲、乙两地所得分数超过90分的成绩中抽取其中2份分析其合理性，求这2份成绩都是来自甲地的概率.

20． 已知点()00,M x y 在圆2

2

:4O x y +=上运动，且存在一定点()6,0N ，点(),P x y 为

线段MN 的中点.

（1）求点P 的轨迹C 的方程； （2）过()0,

1A 且斜率为k 的直线l 与点P 的轨迹C 交于不同的两点,E F ，

是否存在实数k 使得12OE OF ⋅=uu u r uu u r

，并说明理由.