8-9二元函数的Taylor公式
第八章-第2节 偏导数及其应用
一、 多元函数的偏导数
三. 多元函数的偏导数
x
y x f y x x f x z x ∆−∆+=∂∂→∆),(),(lim 0
求多元
函数的偏导数相应的一元函数的导数. 实质
上是求忘记了, 请赶快复习
一下.如果一元函数的求
导方法和公式
求偏导数时,只要将 n 个自变量中的某一个看成变量,其余的 n－1个自变量均视为常数, 然后按一元函数的求导方法进行计算即可 .
3xy+
=
x
tan ),( 000β=∂∂=y
y x f x x 平面上在四. 偏导数的几何意义
五. 偏导数存在与连续的关系连续可导连续可导
( ),( 2222≠++=y x y
x xy y x f
该例说明了一个重要问题：
想想是什么问题?
二元函数的偏导数存在 , 只是表明函数沿x 轴和y 轴方向是连续的 , 而二元函数在一点处连续必须是沿空间的任何方向均连续, 故由偏导数存在不能推出函数连续.
六高阶偏导数六 高阶偏导数
二元函数的二阶偏导数共 22 = 4 项二元函数的二阶偏导数共 22 = 4 项
发现求高阶导数与求导顺序有关.
废话! 求出偏导数才能判断连续性, 这时一眼就可看出混合偏导数是否相等了, 还要定理干什么.
七、偏导数在经济分析中的应用
——交叉弹性(cross elastic)
自学
自学的内容也很重要啊！。
8-5隐函数的求导公式85117
思考题
已知 x ( y), 其中为可微函数, 求x z y z ?
zz
x y
思考题解答
记 F(x,
y, z)
x z
( y),
z
则
Fx
1, z
Fy
( y) 1 ,
zz
z x
Fz
x z2
(
y) z
y z2
Fx Fz
x
z
y
(
怎样求偏导数 首先应明确这个方程组确定了几个几元隐函数
当 x 给定以后相当于解含关于 y , z 的方程组
如果有解且唯一则对于不同的 x 就完全确定了y , z 故方程组确定了两个一元隐函数y=y(x),z=z(x)
怎样求 dy , dz F( x, y, z) 0 两边对 x 求导
dx dx
x x
Fx Fv
系数行列式 J Fu Gu
Fv Gv
0,
故得
u x
Gx
Fu Gu
Gv
Fv Gv
u 1 (F,G) x J ( x, v ) v 1 (F,G) x J (u, x ) 同样可得 u 1 (F,G) y J ( y , v ) v 1 (F,G) y J (u , y )
②直接法
在方程 F(x, y, z)=0 两边连续求导两次,
Fx
Fz
z x
0,
Fxx
2Fxz
z x
Fzz
(
z x
)
2z x 2
一元函数的Taylor公式
第三节 Taylor 公式一、一元函数的T aylor 公式先考虑一元函数的Taylor 公式。
前面我们给出了df x A f =∆≈∆．用微分df 在相差x ∆的高阶无穷小的情况下来近似地代替函数增量f ∆，这一种近似方法有时不一定很理想，下面我们将讨论一种新的近似方法，也就是Taylor 公式．由微分的知识可知，()x o x A f ∆+∆=∆，其中的)(x o ∆是否可以写为()()()33221x o x A x A ∆+∆+∆呢？如果可以的话，可以用()()()33221x o x A x A ∆+∆+∆代替()x o x A f ∆+∆=∆式中的()x o ∆，假设21,A A 已知，则可以用()()3221x A x A x A ∆+∆+∆近似f ∆，这一种近似的效果显然要精确的多．看下面的定理：定理 6.14 如果函数()x f y =在含有0x 的开区间()b a ,内有直至1+n 阶导数，则当()b a x ,∈时，()x f 可以表示为0x x x -=∆的一个n 次多项式和一个含有余项()x R n 之和．即()()()()()()x R x x n x f x x x f x f x f x x f n n n +-++-'+==∆+000000!...)()()(． 其中()()()ξξ,1)(10)1(++-+=n n n x x n f x R ！介于x 与0x 之间．证 若令()()()nn n x n f x x f x f x P ∆++∆'+=!...)(00，则只需要证明 =-=)()()(x P x f x R n n ()()10)1(1)(++-+n n x x n f ！ξ，其中ξ介于x 与0x 之间．下面利用Cauchy 中值定理来证明．事实上有()()00x f x P n =，()()00x f x P n '='，．．．，()()()()00x f x P n n n=，所以()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()．!1!1!1.....)1(111)(10000011022200010011011110010001010+=-+--+---==-+⎪⎭⎫ ⎝⎛"-''=-+--+⎪⎭⎫ ⎝⎛'-'-⎪⎭⎫ ⎝⎛'-'=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛'-'=------=--=-+++++n f x x n x n x P x f P f x n n P f x x n x n x P x f P f x n P f x x x x x P x f x P x f x x x P x f x x x R n n n n n n n n nn nn n n n n n n n n n n n n ξξξξξξξξξξξξξ所以()()ξξ,1)(1)1(++∆+=n n n x n f x R ！介于x 与0x 之间．定理中的关系称为Taylor 公式．()x R n 称为Taylor 公式的Lagrange 余项． 特别地，在00=x 时，有()()()()()()11!1!0...0)0()(++++++'+=n n n n x n f x n f x f f x f ξ，（ξ介于0与x 之间） 称为Maclaulin 公式．上面我们给出的Taylor 公式是带Lagrange 余项的，下面我们给出带Peano 余项的Taylor公式定理 6.15如果函数()x f y =在0x 处有n 阶导数，则存在0x 的一个邻域，对于该邻域中任意x 有()()()()()()x R x x n x f x x x f x f x f n n n +-++-'+=00000!...)()(． 其中()())(0nn x x o x R -=．证 （略）定理中的公式称为带Peano 余项的Taylor 公式．()())(00nn x x x R -=称为Taylor 公式Peano 余项.例6.15 求函数x sin ，x cos ，xe ，x-11，()x -1ln 在0=x 处的Taylor 公式． 解 由于对任意的N n ∈，有()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2sin sin πn x x n ；()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2cos cos πn x x n ；()()xnxee =；()()11!11+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-n n x n x ．()()()nn x n x ---=-1)!1()1ln( 所以()()(),...2,1,034,114,1200sin =⎪⎩⎪⎨⎧+=-+===k k n k n k n n ，，； ()()(),...2,1,024,14,11400cos =⎪⎩⎪⎨⎧+=-=±==k k n k n k n n ，，； ()()(),......2,1,0,10===n e x nx； ()(),...2,1,0,!110==⎪⎭⎫⎝⎛-=n n x x n ；所以x sin 在0=x 的Taylor 公式为()())(!121...!5!3221253x R n x x x x n n n++++-+++-；())1,0(),232sin(!323222∈+++=++θπθn x n x R n n x cos 在0=x 的Taylor 公式为()())(!21...!4!2112242x R n x x x n n n ++-+++-；())1,0(),222cos(!222212∈+++=++θπθn x n x R n n x e 在0=x 的Taylor 公式为())(!...!3!21132x R n x x x x n n ++++++；())1,0(,!11∈+=+θθn xn x n e Rx-11在0=x 的Taylor 公式为 )(......132x R x x x x n n ++++++；())1,0(,1)!1(12∈-+=++θθn n n x x n R()x -1ln 在0=x 的Taylor 公式为)(1......312132x R x nx x x n n +-----； ())1,0(,1)!1(12∈-+-=++θθn n n x x n R例6.16 求()x +αsin 在0=x 处的Taylor 公式．解()()()()()．)(0...!3cos !2sin cos sin )(0!21sin !121cos sin cos cos sin sin 123212201201++=+=-++--⋅+=+-++-=+=+∑∑n n n n n n n n n n x x x x x x n x n xx x ααααααααα例6.17 求12+x e 在在0=x 处的Taylor 公式．解()()∑∑==++=+=⋅=nn n nn nn nnxx x n x e x n x e ee e212)(0!2)(0!2．例6.18 求211x+在0=x 处的Taylor 公式． 解()()())(01)(011111202012222+==++-=+-=--=+∑∑n nn n nnn n nx x xx x x ．例6.19 求α)1()(x x f +=（α为任意实数）在0=x 处的Taylor 公式．)(0!)1()1(!2)1(1)1(2n n x x n n x x x ++--++-++=+ααααααα二、多元函数的T aylor 公式与一元函数类似，多元函数也有中值定理与Taylor 公式。
龙格-库塔方法（Runge-Kutta）
龙格-库塔⽅法（Runge-Kutta）龙格-库塔⽅法（Runge-Kutta）3.2 Runge-Kutta法3.2.1 显式Runge-Kutta法的⼀般形式上节已给出与初值问题(1.2.1)等价的积分形式(3.2.1)只要对右端积分⽤不同的数值求积公式近似就可得到不同的求解初值问题(1.2.1)的数值⽅法，若⽤显式单步法(3.2.2)当，即数值求积⽤左矩形公式，它就是Euler法(3.1.2)，⽅法只有⼀阶精度，若取(3.2.3)就是改进Euler法，这时数值求积公式是梯形公式的⼀种近似，计算时要⽤⼆个右端函数f的值，但⽅法是⼆阶精度的.若要得到更⾼阶的公式，则求积分时必须⽤更多的f值，根据数值积分公式，可将(3.2.1)右端积分表⽰为注意，右端f中还不能直接得到，需要像改进Euler法(3.1.11)⼀样，⽤前⾯已算得的f值表⽰为(3.2.3)，⼀般情况可将(3.2.2)的表⽰为(3.2.4)其中这⾥均为待定常数，公式(3.2.2)，(3.2.4)称为r级的显式Runge-Kutta法，简称R-K⽅法.它每步计算r个f值(即)，⽽k由前⾯(i-1)个已算出的表⽰，故公式是显式的.例i如当r=2时，公式可表⽰为(3.2.5) 其中.改进Euler 法(3.1.11)就是⼀个⼆级显式R-K ⽅法.参数取不同的值，可得到不同公式.3.2.2 ⼆、三级显式R-K ⽅法对r=2的显式R-K ⽅法(3.2.5)，要求选择参数，使公式的精度阶p 尽量⾼，由局部截断误差定义11122211()()[(,())(,)]n n n n n n n T y x y x h c f x y x c f x a h y b hk ++=--+++ (3.2.6) 令，对(3.2.6)式在处按Taylor 公式展开，由于将上述结果代⼊(3.2.6)得要使公式(3.2.5)具有的阶p=2,即，必须(3.2.7)即由此三式求的解不唯⼀.因r=2，由（3.2.5）式可知，于是有解(3.2.8)它表明使(3.2.5)具有⼆阶的⽅法很多，只要都可得到⼆阶精度R-K⽅法.若取，则，则得改进Euler法(3.1.11)，若取，则得，此时(3.2.5)为(3.2.9)其中称为中点公式.改进的Euler法(3.1.11)及中点公式(3.2.9)是两个常⽤的⼆级R-K⽅法，注意⼆级R-K⽅法只能达到⼆阶，⽽不可能达到三阶.因为r=2只有4个参数，要达到p=3则在(3.2.6)的展开式中要增加3项，即增加三个⽅程,加上(3.2.7)的三个⽅程，共计六个⽅程求4个待定参数，验证得出是⽆解的.当然r=2,p=2的R-K⽅法(3.2.5)当取其他数时，也可得到其他公式，但系数较复杂，⼀般不再给出.对r=3的情形，要计算三个k值，即其中将按⼆元函数在处按Taylor公式展开，然后代⼊局部截断误差表达式，可得可得三阶⽅法，其系数共有8个，所应满⾜的⽅程为这是8个未知数6个⽅程的⽅程组，解也是不唯⼀的，通常.⼀种常见的三级三阶R-K⽅法是下⾯的三级Kutta⽅法：(3.2.11)附：R-K 的三级Kutta ⽅法程序如下function y = DELGKT3_kuta(f, h,a,b,y0,varvec) format long; N = (b-a)/h;y = zeros(N+1,1); y(1) = y0; x = a:h:b;var = findsym(f); for i=2:N+1K1 = Funval(f,varvec,[x(i-1) y(i-1)]);K2 = Funval(f,varvec,[x(i-1)+h/2 y(i-1)+K1*h/2]); K3 = Funval(f,varvec,[x(i-1)+h y(i-1)-h*K1+K2*2*h]);y(i) = y(i-1)+h*(K1+4*K2+K3)/6; %满⾜c1+c2+c3=1,(1/6 4/6 1/6)endformat short; 3.2.3 四阶R-K ⽅法及步长的⾃动选择利⽤⼆元函数Taylor 展开式可以确定(3.2.4)中r=4,p=4的R-K ⽅法，其迭代公式为111223344()n n y y h c k c k c k c k +=++++其中1(,)n n k f x y =，2221(,(,))n n n n k f x a h y b hf x y =++，⽽33311322(,)n n k f x a h y b hk b hk =+++ 44411422433(,)n n k f x a h y b hk b hk b hk =++++共计13个参数待定，Taylor 展开分析局部截断误差，使得精度达到四阶，即误差为5()O h 。
5 第五节 隐函数的求导公式 (定理 两个方程确定两个一元隐函数 定理 两个方程确定两个二元隐函数
x 2 y 2 z 2 1, z xy
确定了
1 x2 1 x2 和 , 它们是连续函数, 且有连续 z x 1 x2 1 x2 2x
1 x
3 2 2
1 x
2
, z x
x4 2x2 1
1 x
3 2 2
, 满足
2
1 x
4
解
x
47 6 7 47 5, y 2 . 3 4 3 4 7 6 7 6
例 (补) (1) (2)
x 2 y 2 z 2 1, 设 求 z xy.
y x 和 zx ; x 2 y 2 z 2 1, 在点 0, 1, 0 附近所确定的隐 z xy
x 2 y 2 z 2 1, z xy
在点 P x0 , y0 , z0 的某一邻域
内能够唯一确定一对连续且有连续导数的函数 y y x 和
z z x , 它们满足 y0 y x0 , z0 z x0 . 在 x 2 y 2 z 2 1 的两边对 x 求导, 则 x yy x zz x 0 , 从而 yy x zz x x . 在 z xy 的两边对 x 求导, 则 z x y xy x , 从而 xy x z x y .
x0 , y0 , z0
2 y 2z x 1 x , y
0 0 , z0
2 y0 2 x0 z0 0
(这等价于 x0 , y0 , z0 1, 0, 0 , 1, 0, 0 . 理由是: 因
x0 y0 z0 0 , 故 2 y0 2 x0 z0 2 2
（整理）多元复合函数的求导法.
（整理）多元复合函数的求导法.多元复合函数的求导法在⼀元函数中，我们已经知道，复合函数的求导公式在求导法中所起的重要作⽤，对于多元函数来说也是如此。
下⾯我们来学习多元函数的复合函数的求导公式。
我们先以⼆元函数为例：多元复合函数的求导公式链导公式：设均在(x,y)处可导,函数z=F(u,v)在对应的(u,v)处有连续的⼀阶偏导数,那末,复合函数在(x,y)处可导,且有链导公式：例题：求函数的⼀阶偏导数解答：令由于⽽由链导公式可得：其中上述公式可以推⼴到多元，在此不详述。
⼀个多元复合函数，其⼀阶偏导数的个数取决于此复合函数⾃变量的个数。
在⼀阶偏导数的链导公式中，项数的多少取决于与此⾃变量有关的中间变量的个数。
全导数由⼆元函数z=f(u,v)和两个⼀元函数复合起来的函数是x的⼀元函数.这时复合函数的导数就是⼀个⼀元函数的导数,称为全导数.此时的链导公式为:例题：设z=u2v，u=cosx，v=sinx，求解答：由全导数的链导公式得：将u=cosx，v=sinx代⼊上式，得：关于全导数的问题全导数实际上是⼀元函数的导数，只是求导的过程是借助于偏导数来完成⽽已。
多元函数的极值在⼀元函数中我们看到，利⽤函数的导数可以求得函数的极值，从⽽可以解决⼀些最⼤、最⼩值的应⽤问题。
多元函数也有类似的问题，这⾥我们只学习⼆元函数的极值问题。
⼆元函数极值的定义如果在(x0,y0)的某⼀去⼼邻域内的⼀切点(x,y)恒有等式：f(x,y)≤f(x0,y0) 成⽴，那末就称函数f(x,y)在点(x0,y0)处取得极⼤值f(x0,y0)；如果恒有等式：f(x,y)≥f(x0,y0) 成⽴，那末就称函数f(x,y)在点(x0,y0)处取得极⼩值f(x0,y0).极⼤值与极⼩值统称极值.使函数取得极值的点(x0,y0)称为极值点.⼆元可导函数在(x0,y0)取得极值的条件是：.注意：此条件只是取得极值的必要条件。
凡是使的点(x,y)称为函数f(x,y)的驻点.可导函数的极值点必为驻点，但驻点却不⼀定是极值点。
第4章：复变函数的幂级数展开
| f n +1 ( z ) + f n + 2 ( z ).... + f n + p ( z ) |< ε
一致收敛级数的连续性 设
f ( z) = ∑
k =0 ∞
在E上一致收敛，如果{fk(z)} f k ( z ) 在E上连续，那么和函数f(z)
也是E上的连续函数。
7
一致收敛级数的积分 设
f ( z) = ∑
f ( z ) = ∑ f k ( z ) = f1 ( z ) + f 2 ( z ) + ... + f k ( z ) + ...
k =0
5
∞
ε—N语言描述 任给ε>0, 以及给定的z∈E, 存在正整数N=N(ε,z), 当n>N时
| f ( z ) − sn ( z ) |< ε
其中部分和为
16
1 f ( z) = 2 1+ z
+i
的二个奇点为 z = ±i ,故
1 2 4 6 = 1 − z + z − z + ... 2 1+ z
-i
的收敛半径为 | z |<1.
17
4.2 解析函数的Taylor 展开
幂级数在收敛圆内：解析函数 逆定理：解析函数可展开成幂级数
定理：设 f(z) 在以 a 为圆心的圆 C 内 解析，则对于圆 内的任何 z 点, f(z) 可以用幂级数展开为
(−1) ln(1 + z ) = ∑ k k =0
∞
k +1
z
k +1
; (| z |< 1)
2、若取其他分枝：ln1=2kπi, c= 2kπi
7(8)多元函数的极值与二元函数的泰勒公式
第二步 对于每一个驻点 ( x0 , y0 ), 求出二阶偏导数的值 A、B、C.
第三步 定出 AC B2的符号, 再判定是否是极值.
9
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
例 求函数 f ( x, y) 3axy x3 y3 (a 0)
的极值.
解
fx fy
3ay 3ax
3x2 3y2
z
容易判断的.
例 函数 z 3x2 4 y2 椭圆抛物面
在(0,0)点取极小值. (也是最小值).
•O
y
xz
例 函数 z x2 y2
下半个圆锥面
O•
在(0,0)点取极大值. (也是最大值). x
y
例 函数 z xy
在(0,0)点无极值.
马鞍面
z
•O
y
x
5
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
2.极值的必要条件 定理1(必要条件) 设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 具有偏导数,且在点( x0 , y0 )处 有极值, 则它在该 点的偏导数必然为零:
第八节 多元函数的极值与 拉格朗日乘数法
多元函数的极值和最值 条件极值 拉格朗日乘数法 小结 思考题 作业
1
第七章 多元函数微分法及其应用
最大面积 一位农夫请了工程师、物理学家和数学家来， 想用最少的篱笆围出最大的面积。工程师用篱笆 围出一个圆，宣称这是最优设计。物理学家将篱 笆拉开成一条长长的直线，假设篱笆有无限长， 认为围起半个地球总够大了。数学家好好嘲笑了 他们一番。他用很少的篱笆把自己围起来，然后 宣布：“我现在是在外面。”
将上方程组再分别对x, y求偏导数,
A
zxx
|P
2
(完整版)301数学一
301数学一3考试内容与考试要求高等数学函数极限连续1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系．2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系．6．掌握极限的性质及四则运算法则．7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限．9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．一元函数微分学1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系.2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式.了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分.3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数.4.会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数.5.理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并会用柯西(Cauchy)中值定理.6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法.7.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用.8.会用导数判断函数图形的凹凸性(注：在区间内，设函数具有二阶导数。
当f''(x)>0时，f(x)的图形是凹的;当f"(x) <0时，f(x)的图形是凸的)，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形.9.了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径.一元函数积分学考试要求1.理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念.2.掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法.3.会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分.4.理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式.5.了解反常积分的概念，会计算反常积分.6.掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等)及函数的平均值.向量代数和空间解析几何考试要求1.理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示.2.掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积)，了解两个向量垂直、平行的条件.3.理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算的方法.4.掌握平面方程和直线方程及其求法.5.会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系(平行、垂直、相交等)解决有关问题.6.会求点到直线以及点到平面的距离.7.了解曲面方程和空间曲线方程的概念.8.了解常用二次曲面的方程及其图形，会求简单的柱面和旋转曲面的方程.9.了解空间曲线的参数方程和一般方程.了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求该投影曲线的方程.多元函数微分学考试要求1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义.2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质.3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性.4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法.5.掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法.6.了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数.7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程.8.了解二元函数的二阶泰勒公式.9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题.多元函数积分学考试要求1.理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理.2.掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)，会计算三重积分(直角坐标、柱面坐标、球面坐标).3.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系.4.掌握计算两类曲线积分的方法.5.掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数.6.了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，掌握用高斯公式计算曲面积分的方法，并会用斯托克斯公式计算曲线积分.7.了解散度与旋度的概念，并会计算.8.会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量(平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、质心、、形心、转动惯量、引力、功及流量等).无穷级数考试要求1.理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件.2.掌握几何级数与级数的收敛与发散的条件.3.掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法.4.掌握交错级数的莱布尼茨判别法.5. 了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系.6.了解函数项级数的收敛域及和函数的概念.7.理解幂级数收敛半径的概念、并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法.8.了解幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和.9.了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件.10.掌握，，，及的麦克劳林(Maclaurin)展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数.11.了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和函数的表达式.常微分方程考试要求1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.2.掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法.3.会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程.4.会用降阶法解下列形式的微分方程： .5.理解线性微分方程解的性质及解的结构.6.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程.7.会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程.8.会解欧拉方程.9.会用微分方程解决一些简单的应用问题.线性代数第一章：行列式考试内容：行列式的概念和基本性质行列式按行（列）展开定理考试要求：1．了解行列式的概念，掌握行列式的性质．2．会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式．第二章：矩阵考试内容：矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵等价分块矩阵及其运算考试要求：1．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵以及它们的性质．2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质.3．理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵．4．理解矩阵的初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法．5．了解分块矩阵及其运算．第三章：向量考试内容：向量的概念向量的线性组合和线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量空间以及相关概念n维向量空间的基变换和坐标变换过渡矩阵向量的内积线性无关向量组的正交规范化方法规范正交基正交矩阵及其性质考试要求：1．理解n维向量、向量的线性组合与线性表示的概念．2．理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法．3．理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩．4．理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行(列)向量组的秩之间的关系5．了解n维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念．6．了解基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵．7．了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法．8．了解规范正交基、正交矩阵的概念以及它们的性质．第四章：线性方程组考试内容:线性方程组的克莱姆（Cramer）法则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件非齐次线性方程组有解的充分必要条件线性方程组解的性质和解的结构齐次线性方程组的基础解系和通解解空间非齐次线性方程组的通解考试要求l．会用克莱姆法则．2．理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件．3．理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法.4．理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念．5．掌握用初等行变换求解线性方程组的方法．第五章：矩阵的特征值及特征向量考试内容:矩阵的特征值和特征向量的概念、性质相似变换、相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值、特征向量及相似对角矩阵考试要求:1．理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量.2．理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法.3．掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质．第六章：二次型考试内容：二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理二次型的标准形和规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性考试要求：1．掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念，了解合同变化和合同矩阵的概念了解二次型的标准形、规范形的概念以及惯性定理．2．掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，会用配方法化二次型为标准形．3．理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法概率与统计第一章：随机事件和概率考试内容：随机事件与样本空间事件的关系与运算完备事件组概率的概念概率的基本性质古典型概率几何型概率条件概率概率的基本公式事件的独立性独立重复试验考试要求：1．了解样本空间(基本事件空间)的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系与运算．2．理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式，以及贝叶斯(Bayes)公式．3．理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法．第二章：随机变量及其分布考试内容：随机变量随机变量的分布函数的概念及其性质离散型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率密度常见随机变量的分布随机变量函数的分布考试要求：1．理解随机变量的概念．理解分布函数的概念及性质．会计算与随机变量相联系的事件的概率．2．理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0－1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson）分布及其应用．3.了解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布.4．理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布、指数分布及其应用，其中参数为λ（λ>0）的指数分布的概率密度为5．会求随机变量函数的分布．第三章：多维随机变量及其分布考试内容多维随机变量及其分布二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度随机变量的独立性和不相关性常用二维随机变量的分布两个及两个以上随机变量简单函数的分布考试要求1．理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质. 理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度，会求与二维随机变量相关事件的概率．2．理解随机变量的独立性及不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件.3．掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义．4．会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布.第四章：随机变量的数字特征考试内容随机变量的数学期望（均值）、方差、标准差及其性质随机变量函数的数学期望矩、协方差、相关系数及其性质考试要求1．理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数）的概念，会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征2.会求随机变量函数的数学期望.第五章：大数定律和中心极限定理考试内容切比雪夫（Chebyshev）不等式切比雪夫大数定律伯努利（Bernoulli)大数定律辛钦（Khinchine）大数定律棣莫弗－拉普拉斯（De Moivre－laplace）定理列维－林德伯格（Levy-Lindberg）定理考试要求1．了解切比雪夫不等式．2．了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律(独立同分布随机变量序列的大数定律) .3．了解棣莫弗-拉普拉斯定理(二项分布以正态分布为极限分布)和列维-林德伯格定理(独立同分布随机变量序列的中心极限定理) .第六章：数理统计的基本概念考试内容总体个体简单随机样本统计量样本均值样本方差和样本矩分布分布分布分位数正态总体的常用抽样分布考试要求1．理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念，其中样本方差定义为：2．了解分布、分布和分布的概念及性质，了解上侧分位数的概念并会查表计算．3．了解正态总体的常用抽样分布．第七章：参数估计考试内容点估计的概念估计量与估计值矩估计法最大似然估计法估计量的评选标准区间估计的概念单个正态总体的均值和方差的区间估计两个正态总体的均值差和方差比的区间估计考试要求1．理解参数的点估计、估计量与估计值的概念．2．掌握矩估计法（一阶矩、二阶矩）和最大似然估计法．3．了解估计量的无偏性、有效性（最小方差性）和一致性（相合性）的概念，并会验证估计量的无偏性．4．理解区间估计的概念，会求单个正态总体的均值和方差的置信区间，会求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间.第八章：假设检验考试内容显著性检验假设检验的两类错误单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验考试要求1．理解显著性检验的基本思想，掌握假设检验的基本步骤，了解假设检验可能产生的两类错误．2．掌握单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验[1]第11 页共11 页。
高数(二)——二元函数的极值、概率论初步
二元函数的极值1.二元函数极值定义：某一个邻域内有定义，在设)0,0(),(y x y x z [])0,0(),(),0,0(),(y x z y x z y x z y x z ≥≤或若,)(),()0,0(值或极小的一个极大是则称y x z y x z 值点。
或极小的一个极大是称)(),()0,0(y x z y x ☆极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点。
2.极值的必要条件：)0,0()0,0(),(y x y x y x f z 有极值，且在在点若=两个一阶偏导数存在，则：0)0,0(0)0,0(='='y x y f y x x f ，的点使)0,0(0)0,0()0,0(1y x y x y f y x x f ='='的驻点。
称为),(y x f z =的必要条件，定理的结论是极值存在2而非充分条件。
例：122+-=xyz ⎩⎨⎧===+='=-='0000202y x y yz x x z 解出驻点1)0,0(=z 112),0(0,0>+=≠=yy z y x 时，当112)0,(0,0<+-==≠xx z y x 时，当∴驻点不一定是极值点。
3.极值的充分条件：的某个领域内在设：函数)0,0(),(y x y x f y =为驻点，有二阶偏导数，且)0,0(y x [])0,0()0,0(2)0,0(y x yy f y x xx f y x xy f p ''⋅''-''=若：⎩⎨⎧⇒>''⇒<''<为极小值。
时，为极大值。
时，且当：)0,0(0)0,0()0,0(0)0,0(0y x f y x xx f y x f y x xx f p 不是极值。
当：)0,0(,0y x f p ⇒>不能确定。
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二、极值充分条件的证明
利用二元函数的泰勒公式证明第八节中定理2．
定理 2（充分条件） 设函数 z f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 的某邻域内连续， 有一阶及二阶连续偏导数，
f y ( x 0 , y0 ) 0 ， 又 f x ( x 0 , y0 ) 0 , 令 f xx ( x0 , y0 ) A ， f xy ( x0 , y0 ) B ， f yy ( x0 , y0 ) C ，
1 f x (0,1) 0, f y (0,1) , 2 y 2
2
2
cos x ,
3 2
1 y 1 f xx (0,1) 2 , f xy (0,1) 0, f yy (0,1) , 2 2
sin x , f yy (1 y ) cos x ,
1 1 1 2 2 f ( x, y ) 2 ( y 1) ( 2 x ( y 1) ) 2 2 2 2
1 1 h k f ( x 0 , y0 ) h k f ( x 0 , y0 ) 2! x y n! x y 1 h k ( n 1)! x y
高等数学（下）
2
n
n 1
(1) 设 AC B 2 0 ,即
f xx ( x0 , y0 ) f yy ( x0 , y0 ) f xy ( x0 , y0 ) 0. (7)
2
因 f ( x , y ) 的二阶偏导数在U 1 ( P0 ) 内连续,由 不等式(7) 可知,存在点P0 的邻域U 2 ( P0 ) U 1 ( P0 ) , 使得对任一( x 0 h, y 0 k ) U 2 ( P0 ) 有
问题： 能否用多元多项式来逼近一个给定的 多元函数，并能具体地估算出误差的大小呢？
高等数学（下）
定理
设 z f ( x , y ) 在点( x 0 , y 0 ) 的某一邻域内连
续 且 有 直 到 n1 阶 的 连 续 偏 导 数 ,
( x 0 h, y 0 k ) 为此邻域内任一点,则有 h f ( x0 h, y0 k ) f ( x0 , y0 ) h k f ( x0 , y0 ) h y x
x f xx (0,0) 2 xyf xy (0,0) y f yy (0,0)
2 2
( x y ) ,
2
3 2 x y f (0,0) x f xxx (0,0) 3 x yf xxy (0,0) y x 2 3 3 3 xy f xyy (0,0) y f yyy (0,0) 2( x y ) ,
高等数学（下）
( t ) h2 f xx ( x0 ht , y0 kt ) 2hkf xy ( x0 ht , y0 kt ) k f yy ( x0 ht , y0 kt )
2
由归纳假设，得
( n 1 )
( t ) C n 1 h k
高等数学（下）
f xx f yy f xy 0.
2
( 8)
注: 将 f xx ( x , y ) 在 点 ( x 0 h, y0 k ) 处 的 值
记为 f xx ,其他类似.
n 1
2
n
(1)
1 Rn h k ( n 1)! x y
其中
f ( x0 h, y0 k ), ( 2)
(0 1).
高等数学（下）
(3)在泰勒公式中,如果取 x 0 0, y0 0 ,则公式 成为 n 阶麦克劳林公式. f ( x , y ) f (0,0) x y f (0,0) y x
克劳林公式.
f 2! , ( p 0,1,2,3), p 3 p 3 x y (1 x y ) 4 f 3! , ( p 0,1,2,3,4), p 4 p 4 x y (1 x y )
高等数学（下）
x y f (0,0) xf x (0,0) yf y (0,0) x y , y x 2 y f (0,0) x y x
将 ( 0) f ( x 0 , y 0 ) , (1) f ( x 0 h, y 0 k ) 及
n 上面求得的(t ) 直到 阶导数在t 0 的值,以及
( n1 ) ( t ) 在t 的值代入上式.即得
高等数学（下）
f ( x0 h, y0 k ) f ( x0 , y0 ) h k f ( x0 , y0 ) y x 1 h k f ( x 0 , y0 ) 2! x y 1 h k f ( x0 , y0 ) Rn , n! x y
p p p 0
n 1
n1 p
p p n1 p x y
n 1
( x0 ht , y0 kt )
h k y x
n 1
f ( x0 ht , y0 kt ).
高等数学（下）
利用一元函数的麦克劳林公式，得
1 (1) (0) (0) (0) 2! 1 (n) 1 ( n1 ) ( 0) ( ), (0 1). n! ( n 1)!
n
由( 3) 式可知,误差 Rn 是当 0 时比 高阶
的无穷小.
高等数学（下）
例1 求函数 f ( x , y ) ln(1 x y ) 的三阶麦
1 , 解 f x ( x, y) f y ( x, y) 1 x y 1 f xx ( x , y ) f xy ( x , y ) f yy ( x , y ) , 2 (1 x y ) 3
m
( x0 , y 0 )
.
n 注 (1)该定理称为 f ( x , y ) 在点( x 0 , y 0 ) 的
阶泰勒公式,而余项 Rn 又称为拉格朗日型余项.
(2)当n 0 时,泰勒公式成为
f ( x0 h, y0 k ) f ( x0 , y0 ) hf x ( x0 h, y0 k ) kf y ( x0 h, y0 k )
显然
(0) f ( x0 , y0 ), (1) f ( x0 h, y0 k ).
由 (t )的定义及多元复合函数的求导法则,可得
( t ) hf x ( x0 ht , y0 kt ) kf y ( x0 ht , y0 kt ) h k f ( x0 ht , y0 kt ), y x
高等数学（下）
注：若二元函数 z
f ( x, y ) 的各阶导数在点( x
0
, y0 )
的某一邻域内有界M .于是,有下面的误差估计式:
M n 1 h k Rn n 1!
2
n 1
n 1!
M n 1 ,
(3) 其中 h2 k 2 .
高等数学（下）
3
又 f (0,0) 0 ,故
1 1 2 3 ln(1 x y ) x y ( x y ) ( x y ) R3 , 2 3
其中
1 R3 x y f (x ,y ) 4! x y 4 1 ( x y) , (0 1). 4 4 (1 x y )
1 1 x y f ( 0, 0 ) x y f ( 0, 0 ) 2! x y n! x y 1 x y ( n 1)! x y
n 1
2
n
f (x ,y ), (0 1) ( 5 )
对于任一( x 0 h, y0 k ) U 1 ( P0 ) 有
f f ( x0 h, y0 k ) f ( x0 , y0 )
高等数学（下）
1 2 [h f xx ( x0 h, y0 k ) 2hkf xy ( x0 h, y0 k ) 2 k 2 f yy ( x0 h, y0 k )] (0 1). (6)
4
高等数学（下）
例2
设 f ( x , y ) 1 y cos x 写 出 f ( x, y)在(0,1)
2
解
点处的二阶泰勒多项式.
f (0,1) 2 , f x 1 y sin x , f y
2
y 1 y
2
f xx 1 y cos x , f xy
第九节 二元函数的Taylor公式
高等数学（下）
河海大学理学院
一、二元函数的泰勒公式
一元函数的泰勒公式： f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
f ( x0 ) f ( n ) ( x0 ) ( x x0 ) 2 ( x x0 ) n 2 n! ( n 1 ) x0 ( x x0 ) f n 1 ( x x0 ) (0 1). ( n 1)!
(1) (0) ( )
推论 如果函数 f ( x , y ) 的偏导数 f x ( x , y ) , f y ( x , y ) 在某一邻域内都恒等于零,则函数 f ( x , y ) 在该区 域内恒为常数.
高等数学（下）
证
引入函数
(t ) f ( x0 ht , y0 kt ), (0 t 1).
f ( x0 h, y0 k ),
(0 1)