高考数学总复习课时规范练31二元一次不等式组与简单的线性规划问题文新人教A版
2021版新高考数学一轮复习 课时规范练5 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 新人教A版.docx
基础巩固组1.(2019浙江温州模拟)以下不等式组表示的平面区域是三角形的是( )A.{x ≥1,x -x ≥0,x +2x -6≥0B.{x ≥1,x -x ≥0,x +2x -6≤0C.{x ≥1,x -x ≤0,x +2x -6≥0D.{x ≥1,x -x ≤0,x +2x -6≤02.若P (x ,y )满足约束条件1≤x ≤2x-y ≤4,且3x -xx=2,则z 的最大值为( )A.1B.4C.7D.103.(2019浙江丽水模拟)若实数x ,y 满足约束条件{x +2x -2≥0,x +x ≤2,x ≤2,则x-y 的最大值等于( )A.2B.1C.-2D.-44.设实数x ,y 满足约束条件{x ≥0,x ≥0,x +x ≤2,则z=2x ×4y的最大值为( )A.1B.4C.8D.165.已知实数x ,y 满足{x ≥43,(x -1)(3x +x -6)≤0,则xx 的取值范围为( )A.-3,32B.-3,32C.-3,35D.-13,536.若点P 在不等式组{2x -x +2≥0,x +x -2≤0,x -x +1≤0内,点Q 在曲线x 2+(y+2)2=1上,那么|PQ|的最小值为( )A.4√55-1 B.2√2-1C.3√22-1 D.√5-17.已知实数x ,y 满足:{x 2-x ≤x 2-x ,0≤x ≤12.若目标函数z=ax+y (其中a 为常数)仅在12,12处取得最大值,则a 的取值范围是( ) A.(-1,1)B.(-1,0)C.(0,1)D.{-1,1}8.已知实数x ,y 满足{2x +x -2≥0,x +2x -4≤0,x -x -1≤0,且(k-1)x-y+k-2≥0恒成立,则实数k 的最小值是 .9.若直线ax+y=0将平面区域Ω={(x ,x )|{x ≥0,x +x ≤1,x -x ≤1}划分成面积为1∶2的两部分,则实数a 的值等于 .10.(2019河北石家庄二模)若实数x ,y 满足条件{x ≤x ,x +2x ≥3,2x +x ≥6,则z=2x+2y 的最小值为 .11.(2019湖南岳阳二模)岳阳市某高中文学社计划招入女生x 人,男生y 人,若x ,y 满足约束条件{2x -x ≥5,x -x ≤2,x ≤6,则该社团今年计划招入学生人数最多为 . 综合提升组12.(2019浙江杭州上城区校级月考)若不等式组{x +x ≥0,x -x ≥0,x ≤x(a 为常数),表示的平面区域的面积4,则x 2+y 的最小值为( )A.-34B.-14C.0D.213.(2019山东菏泽模拟)在区域Ω={(x ,x )|{x ≥0x +x ≤1x -x ≤1}中,若满足ax+y ≥0的区域面积占Ω面积的13,则实数a 的值为( )A.23B.12C.-12D.-2314.设x ,y 满足不等式组{x -x +1≥0,x +x -3≤0,x ,x ∈N,则2x-y 的所有值构成的集合中元素个数为 个.15.(2019五华区校级月考)若点A 是区域{x +1≥0,x +x -1≤0,x -x +1≥0内一动点,点B 是圆(x-2)2+(y-1)2=1上一点,则|AB|的最小值为 .创新应用组16.设不等式组{x +x ≤4,x -x ≥0,x -1≥0表示的平面区域为D ,若圆C :(x+1)2+y 2=r 2(r>0)不经过区域D 上的点,则r 的取值范围为( )A.(0,√5)∪(√13,+∞)B.(√13,+∞)C.(0,√5)D.[√5,√13]参考答案课时规范练5 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1.D 对于A,画出不等式组{x ≥1,x -x ≥0,x +2x -6≥0表示的平面区域,如图1阴影所示,图1不是三角形区域;图1对于B,画出不等式组{x≥1,x-x≥0,x+2x-6≤0表示的平面区域,如图2阴影所示,图2不是三角形区域;图2对于C,画出不等式组{x≥1,x-x≤0,x+2x-6≥0表示的平面区域,如图3阴影所示,图3不是三角形区域;图3对于D,画出不等式组{x≥1,x-x≤0,x+2x-6≤0表示的平面区域,如图4阴影所示,图4是三角形区域.图4 故选D.2.C∵点P(x,y)满足约束条件1≤x≤2x-y≤4,∴{x≥1,x-x≥0,2x-x≤4,画出不等式组表示的平面区域,如图所示:由3x -xx=2得目标函数z=3x-2y.由图形可知,目标函数过点A 时,z 取得最大值,由{x =1,2x -x =4,解得A (1,-2).∴z 的最大值为3×1-2×(-2)=7,故选C . 3.A 由实数x ,y 满足约束条件{x +2x -2≥0,x +x ≤2,x ≤2,作出可行域如图,联立{x +2x -2=0,x +x =2,解得A (2,0).化目标函数z=x-y 为y=x-z ,由图可知,当直线y=x-z 过A 时,直线在y 轴上的截距最小,z 有最大值为2. 故选A .4.D 画可行域如图,且z=2x×4y=2x+2y,画直线0=x+2y,平移直线过A(0,2)点时z有最大值16.故选D.5.A先作出不等式组对应的可行域,如图所示,解方程组{x=43,3x+x-6=0得A43,2,xx=x-0x-0表示可行域内的点(x,y)到原点的直线的斜率,所以当点在A点时,斜率最大=243=32,xx没有最小值,无限接近直线3x+y-6=0的斜率-3,所以xx的取值范围为-3,32.故选A.6.D作出不等式组对应的平面区域如图,B(-1,0),曲线x2+(y+2)2=1的半径为1,圆心D(0,-2).由图象可知圆心D(0,-2)到B的距离为d=√1+22=√5.由图象可知|PQ|的最小值为√5-1.故选D .7.A 构造二次函数f (t )=t 2-t ,由函数的单调性可知,f (x )≤f (y ),得到自变量离轴越远函数值越大,故|x -12|≤12-y ,且0≤y ≤12,得到可行域为如图所示,直线斜率为-a ,由图象可得到-1<-a<1即-1<a<1.故选A .8.4 画出{2x +x -2≥0,x +2x -4≤0,x -x -1≤0表示的可行域,如图,直线(k-1)x-y+k-2=0过定点(-1,-1),若(k-1)x-y+k-2≥0恒成立,可行域在直线下面,当直线过(0,2)时,k-1有最小值2+11=3,k 最小值为4,故答案为4.9.12或-12 绘制不等式组表示的平面区域如图所示,由题意可知,该平面区域的面积:S=12×OB ×AC=12×1×2=1,直线ax+y=0的斜率为k=-a ,当a<0时,如图所示,联立方程组:{xx +x =0,x +x =1可得D11-x ,xx -1,此时S △OCD =12×1×|11-x|=13,解得a=-12,由对称性可知,a=12也满足题意.综上可得:实数a 的值等于12或-12.10.6 作出实数x ,y 满足条件{x ≤x ,x +2x ≥3,2x +x ≥6,对应的平面区域如图,由z=2x+2y ,则y=-x+12z.平移直线y=-x+12z ,由图象可知当直线y=-x+12z 经过点A 时,直线y=-x+12z 的截距最小,此时z 最小,无最大值.由{x +2x =3,2x +x =6,解得A (3,0). 此时z min =2×3+2×0=6.11.13 画出约束条件{2x -x ≥5,x -x ≤2,x ≤6表示的平面区域,如图所示,要求招入的人数最多,即z=x+y 取得最大值,目标函数化为y=-x+z. 在可行域内任意取x ,y 且为正整数使得目标函数代表的斜率为定值-1,由{x =6,2x -x =5,求得A (6,7),此时目标函数取得最大值为z=6+7=13.12.B 满足约束条件{x +x ≥0,x -x ≥0的可行域如下图所示,若可行域的面积为4,12×√2a ·√2a=4,则a=2.因为z=x 2+y ,即x 2=-y+z ,表示开口向下的抛物线,当抛物线与直线y=-x 相切时,表达式取得最小值.因为y=-x 2+z ,y'=-2x ,且切线的斜率为-1,可得切点的横坐标为12,此时y=-12.当x=12,y=-12时,x 2+y 取最小值-14.故选B .13.C 根据题意,区域Ω为如图所示的三角形ABC ,则三角形ABC 为等腰直角三角形,所以∠BAC=45°.因为直线ax+y=0过(0,0),结合图形可知a<0时,才能满足ax+y ≥0的区域面积占Ω面积的13,所以满足ax+y ≥0的区域为图中阴影AOD.设D 点坐标为(x ,1-x ),满足ax+y ≥0的区域面积占Ω面积的13,即三角形AOD 的面积为三角形ABC 面积的13,13×12×2×1=12×AO ×AD ×sin45°,即13=12×1×√x 2+(1-x -1)2×√22,解得x=23. 又D 点在直线ax+y=0上,所以a ×23+13=0, 解得a=-12.故选C . 14.7 x ,y 满足不等式组{x -x +1≥0,x +x -3≤0,x ,x ∈N的可行域如图中的8个点,(0,0),(0,1),(1,2),(1,1),(1,0),(2,0),(3,0),(2,1).所以2x-y 的所有值构成的集合中元素个数为7个.15.√2-1 由约束条件画出可行域如图所示,记圆心(2,1)到直线x+y-1=0的距离为d ,则d=√2=√2, 所以|AB|的最小值为√2-1.16.A作出不等式组{x+x≤4,x-x≥0,x-1≥0表示的平面区域,得到如图的△MNP及其内部,其中M(1,1),N(2,2),P(1,3).∵圆C:(x+1)2+y2=r2(r>0)表示以C(-1,0)为圆心,半径为r的圆,∴由图可得,当半径满足r<CM或r>CP时,圆C不经过区域D上的点,∵CM=√(1+1)2+12=√5,CP=√(1+1)2+32=√13,∴当0<r<√5或r>√13时,圆C不经过区域D上的点,故选A.。
高考数学复习第六单元第33讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件理新人教A版4
可行解
满足 线性束缚条件
可行域
所有
最优解
使目标函数取得
的解
可行解 组成的集合
最大值
或
最小值 的可行解
线性规划问题 在线性约束条件下,求线性目标函数的 最小值 或 最大值 的问题
课前双基巩固
3.常用结论
(1)画二元一次不等式表示的平面区域时要用直线定界,特殊点定域.
①直线定界:不等式中不含等号时直线画成虚线,含等号时直线画成实线.
的区域是直线 Ax+By+AB=0 的上方部分且不含坐标原点;当 A<0,B<0 时,不等式
Ax+By+AB>0(AB≠0)表示的区域是直线 Ax+By+AB=0 的下方部分且含坐标原点.结合选项
可知选 B.
课堂考点探究
(2)根据不等式组画出可行域如图中阴影部分所示,由图易知,阴影部分为边长是 2的正方
)
(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的. (
)
(3)目标函数 z=ax+by(b≠0)中,z 的几何意义是直线
ax+by-z=0 在 y 轴上的截距. (
)
(4)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式 xy<0 表示.
(
)
方.
(3) 才是直线 ax+by-z=0 在 y 轴上的截
距.
课前双基巩固
[答案]
(1)B
(2)2
[解析] (1)当 A>0,B>0 时,不等式 Ax+By+AB>0(AB≠0)表示的区域是直线 Ax+By+AB=0 的
上方部分且含坐标原点;当 A>0,B<0 时,不等式 Ax+By+AB>0(AB≠0)表示的区域是直线
2022高考数学总复习(人教A理一轮)课时规范练33 二元一次不等式(组)与简单的线性
课时规范练33 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题基础巩固组1.已知实数x ,y 满足可行域D :{x +y -2≤0,x -y +1≥0,y ≥0,则z=2x+y 取最大值时的最优解为( )A.12,32 B.(2,0) C .52D.42.(2020上海交大附中月考)已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组{0≤x ≤√2,y ≤2,x ≤√2y 组成.若M (x ,y )为D 上的动点,点A 的坐标为(√2,1),则z=OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( ) A.3B.4C.3√2D.4√23.若实数x ,y 满足约束条件{x +2y -2≥0,x +y ≤2,y ≤2,则x-y 的最大值等于( )A.2B.1C.-2D.-4 4.(2020浙江嵊州二模)若实数x ,y 满足约束条件{x -y +1≥0,x +y +1≤0,x -1≤0,则z=x-2y ( )A.既有最大值也有最小值B.有最大值,但无最小值C.有最小值,但无最大值D.既无最大值也无最小值5.(2020浙江高三二模)若实数x ,y 满足{-x +y <1,y ≥|2x -1|,则x 2+y 2的取值范围是( )A.12,√13 B.14,13 C.√55,√13 D.15,136.若点P 在不等式组{2x -y +2≥0,x +y -2≤0,x -y +1≤0表示的平面区域内,点Q 在曲线x 2+(y+2)2=1上,那么|PQ|的最小值为( )A .4√55-1 B.2√2-1 C .3√22-1D .√5-17.(2020湖北十堰模拟,理8)若实数x ,y 满足约束条件{2x -y -4≤0,x +y -2≥0,x -2y +4≥0,则z=x-3y 的最小值为( )A.-10B.-8C.-6D.2 8.(2020江西南昌月考,文5)已知x ,y 满足约束条件{x ≤2,y ≤2,x +y -3≥0,z=y-x ,则z max -z min =( )A.0B.1C.2D.4 9.(2020河北唐山一模,文13,理13)若x 、y 满足约束条件{x -y +1≥0,x +y -3≤0,x -3y +1≤0,则z=2x-y 的最小值为 .10.(2020全国3,文13,理13)若x ,y 满足约束条件{x +y ≥0,2x -y ≥0,x ≤1,则z=3x+2y 的最大值为 .综合提升组11.(2020四川德阳二模,理6)不等式组{2x -y ≥0,y ≥12x ,x +y -3≤0表示的平面区域为Ω,则( )A.∀(x ,y )∈Ω,x+2y>3 B .∃(x ,y )∈Ω,x+2y>5 C.∀(x ,y )∈Ω,y+2x -1>3 D.∃(x ,y )∈Ω,y+2x -1>5 12.(2020湖南长郡中学四模,文9)已知实数x ,y 满足约束条件{y ≥|x -2|,mx -y +m ≥0,其中0<m<1,若x 2+y 2+2y 的最大值为40,则m=( ) A .√2B .√3C .1D .113.(2020江西南昌检测)设变量x ,y 满足约束条件{2x -y -3≥0,x -2y -4≤0,y ≥1,若目标函数z=ax+by (a>0,b>0)的最小值为1,则1a +1b 的最小值为( ) A.7+2√6 B.7+2√2 C.3+2√6D.3+2√214.某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克,B 原料2千克;生产乙产品1桶需耗A 原料2千克,B 原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A ,B 原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是 .创新应用组15.(2020吉林梅河口五中检测,文6)设x ,y 满足{x -1≥0,x -2y ≤0,2x +y ≤4,向量a =(2x ,1),b =(1,m-y ),则满足a ⊥b 的实数m 的最小值为( ) A .125B.-125C .32D.-3216.(2020江西南昌二中模拟,理9)已知点(m+n ,m-n )在{x -y ≥0,x +y ≥0,2x -y ≥2表示的平面区域内,则m 2+n 2的最小值为 ( )A .25 B .√105C .49D .23参考答案课时规范练33 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1.B 画出可行域,因为z=2x+y 有y=-2x+z ,故当z=2x+y 取最大值时的最优解为(2,0).故选B.2.B 画出区域D 如图所示,则M (x ,y )为图中阴影部分对应的四边形OABC 上及其内部的点,又z=OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2x+y ,所以当直线y=-√2x+z 过点B (√2,2)时,z min =4,故选B.3.A 由实数x ,y 满足约束条件{x +2y -2≥0,x +y ≤2,y ≤2,作出可行域如图,联立{x +2y -2=0,x +y =2,解得A (2,0).设目标函数z=x-y ,则y=x-z ,由图可知,当直线y=x-z 过点A 时,直线在y 轴上的截距最小,z 有最大值为2.故选A . 4.C 作出可行域,如图所示,由图可知,当直线z=x-2y 经过点M (-1,0)时,直线在y 轴上的截距最大,z 最小,因为直线z=x-2y 在y 轴上的截距无最小值,所以z 无最大值.故选C. 5.D 画出可行域如图所示,x 2+y 2表示可行域内的点与坐标原点O 距离的平方, 原点O 与直线AB :2x+y-1=0距离为√22+1=√55,原点O 与点C (2,3)的距离最大为√22+32=√13,∵可行域不包含C (2,3),∴15≤x 2+y 2<13,即x 2+y 2的取值范围是15,13,故选D.6.D 作出不等式组对应的平面区域如图,B (-1,0),曲线x 2+(y+2)2=1的半径为1,圆心D (0,-2).由图象可知圆心D (0,-2)到B 的距离为d=2=√5. 由图象可知|PQ|的最小值为√5-1. 故选D .7.B 画出不等式组{2x -y -4≤0,x +y -2≥0,x -2y +4≥0所表示的平面区域,如图所示,由z=x-3y ,可得y=13x-13z ,当直线过点A 时,此时直线y=13x-13z 在y 轴上的截距最大,此时目标函数取得最小值,又由{2x -y -4=0,x -2y +4=0,解得x=4,y=4,即A (4,4),所以目标函数z=x-3y 的最小值为z min =4-3×4=-8.故选B.8.C 作出不等式组表示的平面区域如图,由图知直线z=y-x 经过点A (1,2)时,z max =2-1=1,当直线z=y-x 经过点B (2,1)时,z min =1-2=-1,所以z max -z min =2.故选C.9.-2 作出不等式组{x -y +1≥0,x +y -3≤0,x -3y +1≤0所表示的可行域如图所示,联立{x -y +1=0,x -3y +1=0,解得{x =-1,y =0,即点A (-1,0),平移直线z=2x-y ,当该直线经过可行域的顶点A 时,直线z=2x-y 在x 轴上的截距最小,此时z 取最小值,即z min =2×(-1)-0=-2.10.7 如图,在平面直角坐标系中画出可行域(阴影部分),由z=3x+2y 得y=-32x+12z ,画出直线y=-32x ,并平移该直线,当直线y=-32x+12z 过点A (1,2)时,目标函数z=3x+2y 取得最大值,最大值为3×1+2×2=7.11.D 根据题意,作出不等式组{2x -y ≥0,y ≥12x ,x +y -3≤0表示的平面区域,如图所示,其中A (2,1),B (1,2),设z 1=x+2y ,则y=-x +z 1,z 1的几何意义为直线y=-x +z 1在y 轴上的截距的2倍,由图可得,当y=-x+z 1过点B (1,2)时,直线z 1=x+2y 在y 轴上的截距最大,即x+2y ≤5,当y=-x 2+z 12过原点时,直线z 1=x+2y 在y 轴上的截距最小,即x+2y ≥0,故A,B 错误;设z 2=y+2x -1,则z 2的几何意义为点(x ,y )与点(1,-2)连线的斜率,由图可得z 2最大可到无穷大,最小可到无穷小,故C 错误,D 正确.故选D.12.C 作出可行域如图,设z=x 2+y 2+2y=x 2+(y+1)2-1,由图可知,点A 到(0,-1)最远,则Am+21-m ,3m1-m为最优解,即(m+21-m )2+(3m 1-m )2+2·3m1-m =40,且0<m<1,解得m=12或2(舍去).故选C.13.D 作出变量x ,y 满足约束条件{2x -y -3≥0,x -2y -4≤0,y ≥1表示的可行域如图所示,当直线z=ax+by (a>0,b>0)过直线y=1和2x-y-3=0的交点(2,1)时,有最小值为1. 所以2a+b=1.因为a>0,b>0,所以1a +1b =(2a+b )1a +1b=3+2a b +b a ≥3+2√2a b ·ba =3+2√2,当且仅当2ab =ba 时取等号.所以1a +1b 的最小值为3+2√2.故选D .14.2 800元 设每天生产甲种产品x 桶,乙种产品y 桶,则根据题意得x ,y 的约束条件为{x ≥0,x ∈N ,y ≥0,y ∈N ,x +2y ≤12,2x +y ≤12.设获利z 元,则z=300x+400y.画出可行域如图所示.画直线l :300x+400y=0,即3x+4y=0.平移直线l ,从图中可知,当直线过点M 时,目标函数取得最大值.由{x +2y =12,2x +y =12,解得{x =4,y =4,即M 的坐标为(4,4),所以z max =300×4+400×4=2 800(元).15.B 画出可行域如图所示,由a ⊥b 得2x+m-y=0,∴当直线经过点C 时,m 有最小值,由{2x +y =4,x =2y ,得{x =85,y =45,∴C 85,45,∴m=y-2x=45−165=-125,故选B.16.A {x -y ≥0,x +y ≥0,2x -y ≥2表示的平面区域如图阴影部分,设{x =m +n ,y =m -n ,即(x ,y )在{x -y ≥0,x +y ≥0,2x -y ≥2表示的平面区域内,且m=x+y 2,n=x -y2,所以m 2+n2=(x+y 2)2+(x -y 2)2=12(x 2+y 2),则m 2+n 2的最小值为可行域内的点与原点距离的平方的一半,即原点到直线2x-y-2=0的距离,所以距离的最小值为√5,所以m 2+n2的最小值为12×(√5)2=25,故选A.内容仅供参考后记亲爱的朋友，你好！非常荣幸和你相遇，很乐意为您服务。
2022高考数学文人教A版一轮复习学案：7.1-二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题-【含解析】
第七章不等式、推理与证明7.1二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题必备知识预案自诊知识梳理1.二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地,二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的.我们把直线画成虚线以表示区域边界直线.当我们在平面直角坐标系中画不等式Ax+By+C≥0所表示的平面区域时,此区域应边界直线,则把边界直线画成.(2)因为把直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)代入Ax+By+C,所得的符号都,所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0,y0)作为测试点,由Ax0+By0+C的即可判断Ax+By+C>0表示的是直线Ax+By+C=0哪一侧的平面区域.(3)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.2.线性规划的相关概念1.二元一次不等式表示的平面区域二元Ax+By+C ≥0(A>0,B>0)Ax+By+C≤0(A>0,B>0)Ax+By+C ≥0(A>0,B<0)Ax+By+C≤0(A>0,B<0)平面 区域考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)不等式x-y-1>0表示的平面区域在直线x-y-1=0的上方. ( ) (2)两点(x 1,y 1),(x 2,y 2)在直线Ax+By+C=0异侧的充要条件是(Ax 1+By 1+C )(Ax 2+By 2+C )<0.( )(3)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域. ( ) (4)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上. ( ) (5)在目标函数z=ax+by (b ≠0)中,z 的几何意义是直线ax+by-z=0在y 轴上的截距. ( ) 2.不等式组{x -3y +6<0,x -y +2≥0表示的平面区域是( )3.(2020湖南长沙一中第三次调研)在平面直角坐标系xOy 中,M 为不等式组{2x +3y -6≤0,x +y -2≥0,y ≥0所表示的区域上一动点,则|OM|的最小值是( ) A.1B.√2C.2D.2√24.(2020福建漳州二模,文14)若实数x ,y 满足{x +y ≥2,x +3y -3≤0,y ≥0,则yx 的最大值是 .5.(2020全国2,文15)若x ,y 满足约束条件{x +y ≥-1,x -y ≥-1,2x -y ≤1,则z=x+2y 的最大值是 .关键能力学案突破考点二元一次不等式(组)表示的平面【例1】(1)(2020河南天一大联考)不等式组{x -2≤0,x -2y +4≥0,-x -y +2≤0表示的平面区域的面积为 .(2)已知实数x ,y 满足{x ≥1,x -2y +1≤0,x +y ≤m ,若此不等式组所表示的平面区域形状为三角形,则m的取值范围为 .(组)表示的平面区域的方法是什么?求平面区域的面积的技巧是什么?解题心得1.确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法:(1)“直线定界,特殊点定域”,即先作直线,再取特殊点并代入不等式(组).若满足不等式(组),则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域;否则就表示直线与特殊点异侧的那部分区域.当不等式中带等号时,边界画为实线,不带等号时,边界应画为虚线,特殊点常取原点.(2)也常利用“同号上,异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域:对于Ax+By+C>0或Ax+By+C<0,则①当B (Ax+By+C )>0时,区域为直线Ax+By+C=0的上方;②当B (Ax+By+C )<0时,区域为直线Ax+By+C=0的下方.2.求平面区域的面积的方法:(1)首先画出不等式组表示的平面区域,若不能直接画出,应利用题目的已知条件转化为不等式组问题,从而再作出平面区域;(2)对平面区域进行分析,若为三角形应确定底与高;若为规则的四边形(如平行四边形或梯形),可利用面积公式直接求解;若为不规则四边形,则可分割成几个三角形分别求解再求和.(3)利用几何意义求解的平面区域问题,也应作出平面图形,利用数形结合的方法去求解.对点训练1(1)已知不等式组{x ≥0,x -√3y ≤0,x +√3y -2√3≤0,表示的可行域为D ,则可行域D 的面积为( )A.2√3B.2C.√3D.√32(2)设命题p :实数x ,y 满足{x -y ≤0,x +2y ≤2,x ≥-2,命题q :实数x ,y 满足(x+1)2+y 2≤m ,若p 是q 的必要不充分条件,则正实数m 的取值范围是 .考点求目标函数的最值问题 (多考向探究)考向1 求线性目标函数的最值【例2】(1)(2020全国1,文13)若x ,y 满足约束条件{2x +y -2≤0,x -y -1≥0,y +1≥0,则z=x+7y 的最大值为 .(2)(2020福建福州模拟,理13)设x ,y 满足约束条件{2x +y -2≥0,x -2y +4≥0,x ≤2,则z=x-3y 的最小值?求非线性目标函数的最值【例3】(1)(2020河南郑州质检)已知变量x ,y 满足{x -2y +4≤0,x ≥2,x +y -6≥0,则k=y+1x -3的取值范围是( )A.(-∞,-5]∪12,+∞B.-5,12C.(-∞,-5)∪12,+∞D.-5,12(2)(2020安徽马鞍山模拟)已知实数x ,y 满足{x ≤1,y ≤x +1,y ≥1-x ,则x 2+y 2的最大值与最小值之和?求参数值或取值范围【例4】(1)设x ,y 满足不等式组{x +y -6≤0,2x -y -1≤0,3x -y -2≥0,若z=ax+y 的最大值为2a+4,最小值为a+1,则实数a 的取值范围为( )A .[-1,2]B .[-2,1]C .[-3,-2]D .[-3,1](2)(2020江西南昌十中月考)若实数x ,y 满足不等式组{x +y -1≥0,x -y +1≥0,x ≤a ,若目标函数z=ax-2y的最大值为13,则实数a 的值是( )B.4C.5D.6?4 最优解不唯一的条件下求参数的值【例5】已知x ,y 满足约束条件{x +y -2≤0,x -2y -2≤0,2x -y +2≥0.若z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一,则实数a 的值为 .,目标函数有什么特点?解题心得1.利用可行域求线性目标函数最值的方法:利用约束条件作出可行域,根据目标函数找到最优解时的点,解得点的坐标代入求解即可.2.利用可行域及最优解求参数及其范围的方法:(1)若限制条件中含参数,依据参数的不同范围将各种情况下的可行域画出来,寻求最优解,确定参数的值;(2)若线性目标函数中含有参数,可对线性目标函数的斜率分类讨论,以此来确定线性目标函数经过哪个顶点取得最值,从而求出参数的值;也可以直接求出线性目标函数经过各顶点时对应的参数的值,然后进行检验,找出符合题意的参数值.3.利用可行域求非线性目标函数最值的方法:画出可行域,分析目标函数的几何意义是斜率问题还是距离问题,依据几何意义可求得最值.对点训练2(1)(2020山西太原五中二模,理5)若x ,y 满足约束条件{x -2y -2≤0,x -y +1≥0,y ≤0,则z=3x+2y的最大值为( )A.4B.5C.6D.7(2)(2020浙江衢州二中检测)若实数x,y满足约束条件{x-y+1≥0,2x+3y≤6,y+1≥0,则z=2|x|-y的最小值是()A.-25B.5C.-1D.-2(3)(2020江西高三月考,文7)已知{x-y+1≥0,7x-y-7≤0,x≥0,y≥0表示的平面区域为D,若“∃(x,y),2x+y>a”为假命题,则实数a的取值范围是()A.[5,+∞)B.[2,+∞)C.[1,+∞)D.[0,+∞)(4)(2020重庆一中模拟,文15)已知实数x,y满足{x-y-2≤0,x+2y-5≥0,y-2≤0,则函数z=4x·(18)y的最小值为.考点线性规划的实际应用【例6】某家具厂有方木料90 m3,五合板600 m2,准备加工成书桌和书橱出售,已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3,五合板2 m2,生产每个书橱需要方木料0.2 m3,五合板1 m2,出售一张书桌可获利润80元,出售一个书橱可获利润120元.(1)如果只安排生产书桌,可获利润多少???其注意事项是什么?解题心得利用线性规划求解实际问题的一般步骤(1)认真分析并掌握实际问题的背景,收集有关数据;(2)将影响该问题的各项主要因素作为决策量,设未知量;(3)根据问题的特点,写出约束条件;(4)根据问题的特点,写出目标函数,并求出最优解或其他要求的解.对点训练3(2020河北张家口二模,理9)某市政府投入资金帮扶某农户种植蔬菜大棚脱贫致富,若该农户计划种植冬瓜和茄子,总面积不超过15亩,帮扶资金不超过4万元,冬瓜每亩产量10 000斤,成本2 000元,每斤售价0.5元,茄子每亩产量5 000斤,成本3 000元,每斤售价1.4元,则该农户种植冬瓜和茄子利润的最大值为()A.4万元B.5.5万元C.6.5万元D.10万元1.非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成.2.线性目标函数最值问题的常见类型及解题策略:(1)求线性目标函数的最值.线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得,因此对于一般的线性规划问题,我们可以直接解出可行域的顶点,然后将坐标代入目标函数求出相应的数值,从而确定目标函数的最值.(2)由目标函数的最值求参数.求解线性规划中含参问题的基本方法有两种:一是把参数当成常数用,根据线性规划问题的求解方法求出最优解,代入目标函数确定最值,通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围;二是先分离含有参数的式子,通过观察的方法确定含参数的式子所满足的条件,确定最优解的位置,从而求出参数的值.第七章不等式、推理与证明7.1二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题必备知识·预案自诊知识梳理1.(1)平面区域不包括包括实线(2)相同符号2.线性约束条件 可行解 最大值 最小值 最大值 最小值考点自诊1.(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)×2.C3.B 作出不等式组表示的可行域,如图中阴影部分所示,因此|OM|的最小值为点O 到直线x+y-2=0的距离,所以|OM|min =√2=√2.4.13 作出不等式组表示的可行域,如图阴影部分,设y x =k OP ,P 为可行域上一点,其中O (0,0),P (x ,y ),由{x +y =2,x +3y -3=0,得A32,12,所以由图可知,当P 位于A 时,(y x )max =k OA =13.5.8 作出可行域如图所示(阴影部分).因为z=x+2y ,所以y=-12x+z2.作出直线y=-12x ,平移直线可知,当直线过点A 时,z2最大,即z 最大. 由{2x -y =1,x -y =-1,解得{x =2,y =3,故A (2,3).所以z max =2+2×3=8.关键能力·学案突破例1(1)3 (2)(2,+∞) (1)作出不等式组表示的可行域,如图阴影部分所示,平面区域为△ABC 及其内部,其中A (2,0),B (0,2),C (2,3), 所以所求面积为12×2×|AC|=3.(2)如图所示,{x ≥1,x -2y +1≤0所表示的平面区域为图中的阴影部分,易知直线x=1与x-2y+1=0的交点坐标为A (1,1),不等式组所表示的平面区域形状为三角形,则点A 位于直线x+y=m 下方,据此有1+1<m ,即m 的取值范围为(2,+∞).对点训练1(1)C (2)0,12 (1)作出不等式组{x ≥0,x -√3y ≤0,x +√3y -2√3≤0对应的可行域如图,由{x =0,x -√3y =0,得A (0,0),由{x -√3y =0,x +√3y -2√3=0,得C (√3,1),由{x =0,x +√3y -2√3=0,得B (0,2),则区域D 的面积S=12×2×√3=√3.故选C. (2)根据题意,m 为正实数,所以满足q 的点(x ,y )在以(-1,0)为圆心,以√m 为半径的圆周及其内部,记作Q ,满足条件p 的点构成的集合记作P ,因为p 是q 的必要不充分条件,所以Q ⫋P.如图,设直线x=-2和直线x+2y=2的交点为A ,直线x-y=0和直线x+2y=2的交点为B ,直线x=-2和直线y-x=0的交点为C , 则点(-1,0)到直线AC 的距离d 1=1, 点(-1,0)到直线BC 的距离d 2=√1+1=√22,点(-1,0)到直线AB 的距离d 3=√12+22=3√55, 所以点(-1,0)到三角形ABC 边界的最小距离为√22.所以√m ≤√22,即m ∈0,12.例2(1)1 (2)-7 (1)画出不等式组表示的平面区域,如图(阴影部分)所示,将目标函数z=x+7y 变形可得y=-17x+17z ,平移直线y=-17x.由图可得z 在点A 处取得最大值. 由{x -y -1=0,2x +y -2=0,得{x =1,y =0,所以A (1,0),所以z max =1+7×0=1.(2)在坐标系中画出x ,y 满足约束条件{2x +y -2≥0,x -2y +4≥0,x ≤2的可行域,如图所示,由z=x-3y 可得y=13x-13z ,则-13z 表示直线z=x-3y 在y 轴上的截距,截距越大,z 越小,平移直线x-3y=0,经过点A 时,z 最小,由{x =2,x -2y +4=0,可得A (2,3),此时z min =2-3×3=-7.例3(1)A (2)112 (1)作不等式组表示的可行域,如图所示.由于k=y+1x -3表示动点M (x ,y )与定点P (3,-1)连线的斜率.又k PA =4-(-1)2-3=-5,且直线x-2y+4=0的斜率为12.所以k 的取值范围为(-∞,-5]∪12,+∞.(2)作出不等式组{x ≤1,y ≤x +1,y ≥1-x 表示的可行域,如图阴影部分所示,x 2+y 2的几何意义是原点O 到可行域内点的距离的平方,由图可知,点O 到直线x+y-1=0的距离最小,为√22.可行域内的点B 与坐标原点的距离最大,为√22+12=√5. 所以x 2+y 2的最大值与最小值之和为5+12=112.例4(1)B (2)A (1)由z=ax+y 得y=-ax+z ,如图,作出不等式组对应的可行域(阴影部分),则A (1,1),B (2,4).由题意和图可知,直线z=ax+y 过点B 时,取得最大值为2a+4,过点A 时,取得最小值为a+1,若a=0,则y=z ,此时满足条件,若a>0,k=-a<0,则目标函数的斜率满足-a ≥k BC =-1,即0<a ≤1,若a<0,k=-a>0,则目标函数的斜率满足-a ≤k AC =2,即-2≤a<0.综上,a 的取值范围是[-2,].(2)画出满足条件{x +y -1≥0,x -y +1≥0,x ≤a 的可行域,如下图所示,根据图象可得a>0,目标函数化为y=a2x-z2,当目标函数过A (a ,-a+1)时取得最大值,所以a 2+2a-2=13,a 2+2a-15=0,解得a=3,或a=-5(舍去).故选A.例5-1或2 作出不等式组表示的可行域,如图.目标函数z=y-ax 可化为y=ax+z ,令l 0:y=ax ,平移l 0,则当l 0∥AB 或l 0∥AC 时符合题意,故a=-1或a=2.对点训练2(1)C (2)C (3)A (4)116 (1)作出不等式组表示的可行域,如图所示,由z=3x+2y ,得y=-32x+z 2,根据图象可知,当过M 点时,z 取最大值, 联立{x -2y -2=0,y =0,解得x=2,y=0,所以M (2,0),则z 的最大值为6.故选C.(2)作不等式组表示的可行域如图,由z=2|x|-y 可得y=2|x|-z ,作y=2|x|图象,由图象可知,当向上平移y=2|x|过点A 时,-z 最大,即z 最小,令x=0,由y=x+1可得A (0,1),所以z min =2×0-1=-1,故选C.(3)作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示,令Z=2x+y ,得y=-2x+Z ,结合目标函数的几何意义可得目标函数在点A 处取得最大值,联立直线方程{x -y +1=0,7x -y -7=0,得点A 43,73,所以Z=2x+y 的最大值为5,因为“∃(x ,y )∈R ,2x+y>a ”为假命题,所以“∀(x ,y ),2x+y ≤a ”为真命题,所以实数a 的取值范围是[5,+∞),故选A.(4)作出不等式组所表示的可行域如下,因为z=4x ·(18)y=22x-3y ,令t=2x-3y ,则y=23x-t3,当直线y=23x-t 3过点M 时,在y 轴截距最大,此时t 取最小值,则z=2t 最小. 由{y =2,x +2y -5=0,得M (1,2),所以t min =2-3×2=-4,则z min =116. 例6解由题意可画表格如下(1)设只生产书桌x 个,可获得利润z 元, 则{0.1x ≤90,2x ≤600,解得{x ≤900,x ≤300,则x ≤300. 因为z=80x ,所以当x=300时,z max =80×300=24000(元),即如果只安排生产书桌,最多可生产300张书桌,获得利润24000元. (2)设生产书桌x 张,书橱y 个,利润总额为z 元. 由题可得{x +2y ≤900,2x +y ≤600,x ≥0,y ≥0,z=80x+120y.在直角坐标平面内作出不等式组所表示的可行域,如图.作直线l :80x+120y=0,即直线l :2x+3y=0.把直线l 向右上方平移至l 1的位置时,直线经过可行域上的点M (100,400), 此时z=80x+120y 取得最大值. 所以当x=100,y=400时,z max =80×100+120×400=56000(元), 即生产书桌100张、书橱400个,可使所得利润最大.对点训练3B 设冬瓜和茄子的种植面积分别为x ,y 亩,总利润z 万元,则目标函数z=(0.5x ×10000-2000x )+(1.4y ×5000-3000y ) =3000x+4000y=1000(3x+4y ),由题可得{x +y ≤15,2000x +3000y ≤40000,x ≥0,y ≥0,即{x +y ≤15,2x +3y ≤40,x ≥0,y ≥0,作出可行域如图,由{x +y =15,2x +3y =40,可得{x =5,y =10,即A (5,10),平移直线l :3x+4y=0,可知直线l 经过点A (5,10)时,即x=5,y=10时,z 取得最大值5.5万元,即该农户种植冬瓜和茄子利润的最大值为5.5万元.。
2024年高考总复习优化设计一轮用书数学配人教A版(适用于新教材)课时规范练31
课时规范练31《素养分级练》P314基础巩固组1.(2022全国乙,文3)已知向量a =(2,1),b =(-2,4),则|a-b |=( ) A.2 B.3 C.4 D.5答案:D解析:由题设得a-b =(4,-3),则|a-b |=√42+(-3)2=5.故选D . 2.若a =(2,1),b =(-1,1),(2a +b )∥(a +m b ),则m 的值为( ) A.12B.2C.-2D.-12答案:A解析:由已知得2a +b =(3,3),a +m b =(2-m ,1+m ),由(2a +b )∥(a +m b ),可得3×(1+m )=3×(2-m ),解得m=12.故选A .3.(2022·陕西西安三模)已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,-4),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,m ),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,m ),若A ,C ,D 三点共线,则m=( ) A.2 B.23 C.-2-√6 D.-2+√6答案:A解析:因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,-4),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,m ),所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,m-4).又A ,C ,D 三点共线,所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则{1=-λ,m -4=λm ,解得{λ=-1,m =2.故选A . 4.(2023·北京朝阳高三期中)已知向量a ,b ,c 在正方形网格中的位置如图所示,用基底{a ,b }表示c ,则( )A.c =2a -3bB.c =-2a -3bC.c =-3a +2bD.c =3a -2b答案:D解析:建立如图所示的平面直角坐标系,设正方形网格的边长为1,则A (1,0),B (2,1),C (0,4),D (7,1),所以a =(1,1),b =(-2,3),c =(7,-3).设向量c =m a +n b ,m ,n ∈R ,则c =m a +n b =(m-2n ,m+3n )=(7,-3),所以{m -2n =7,m +3n =-3,解得{m =3,n =-2,故c =3a -2b .故选D .5.(2023·福建宁德高三月考)集合M={λ|λ=(1,2)+m (2,3),m ∈R },N={μ|μ=n (2,3)+(-1,-1),n ∈R },则M ∩N 等于( ) A.{(1,2)} B.{(3,5)} C.{(-1,2)} D.{(3,-5)}答案:B解析:由题意,M={λ|λ=(1+2m ,2+3m ),m ∈R},N={μ|μ=(2n -1,3n -1),n ∈R},因为元素是向量,要使向量相等,只有横坐标和纵坐标分别相等,所以{1+2m =2n -1,2+3m =3n -1,解得{m =1,n =2,此时λ=μ=(3,5).故选B .6.(多选)(2023·福建福州高三月考)已知向量a =(1,-2),若存在实数λ,μ,使得a =λe 1+μe 2,则e 1,e 2可以是( )A.e 1=(1,1),e 2=(2,2)B.e 1=(0,0),e 2=(-2,4)C.e 1=(1,1),e 2=(1,2)D.e 1=(-1,2),e 2=(2,-4) 答案:BCD解析:对于A,由a =λe 1+μe 2得(1,-2)=λ(1,1)+μ(2,2),所以{1=λ+2μ,-2=λ+2μ,无解,所以不存在实数λ,μ,使得a =λe 1+μe 2,故A 错误;对于B,由a =λe 1+μe 2得(1,-2)=λ(0,0)+μ(-2,4),所以{1=-2μ,-2=4μ,解得μ=-12,λ∈R ,存在实数λ,μ,使得a =λe 1+μe 2,故B 正确;对于C,由a =λe 1+μe 2得(1,-2)=λ(1,1)+μ(1,2),所以{1=λ+μ,-2=λ+2μ,解得{λ=4,μ=-3,所以存在实数λ,μ,使得a =λe 1+μe 2,故C 正确;对于D,由a =λe 1+μe 2得(1,-2)=λ(-1,2)+μ(2,-4),所以{1=-λ+2μ,-2=2λ-4μ,所以存在实数λ,μ,使得a =λe 1+μe 2,故D 正确.故选BCD .7.已知点A (1,0),B (2,2),向量BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-1),则向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ = . 答案:(3,1)解析:由已知得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2),所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)+(2,-1)=(3,1). 8.与向量a =(-1,2)同向的单位向量b = . 答案:-√55,2√55解析:设b =(x ,y ),∵b 与a 同向, ∴b =λa (λ>0),即x=-λ,y=2λ.又b 为单位向量,模为1,∴(-λ)2+(2λ)2=1,λ>0,解得λ=√55,故b =-√55,2√55.9.(2023·广东惠州高三月考)已知向量a =(-1,2),b =(1,2 022),向量m =a +2b ,n =2a -k b ,若m ∥n ,则实数k= . 答案:-4解析:由m ∥n ,知∃λ∈R ,使得m =λn ,即a +2b =λ(2a -k b )=2λa -k λb ,则可得{1=2λ,2=-kλ,解得{λ=12,k =-4.综合提升组10.(2023·辽宁沈阳高三月考)如图,在△ABC 中,点D ,E 分别在边AB ,BC 上,且均为靠近B 的四等分点,CD 与AE 交于点F ,若BF⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则3x+y=( )A.-1B.-34C.-12D.-14答案:A解析:连接DE ,由题意可知,BDBA=BE BC=14,所以DE ∥AC ,则DE AC=BD BA=14,所以DF FC=DE AC=14,所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =15DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =15AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −320AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =-14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +15AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −320AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-25AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +15AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .又BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以x=-25,y=15,则3x+y=-1.故选A .11.(多选)已知向量m =(cos α,sin α),n =(cos β,sin β)(α,β∈[0,2π),α>β),且m +n =(0,1),则下列说法正确的是( ) A.m 2+n 2=1 B.cos(α-β)=-12 C.|m -n |的值为2 D.sin(α+β)=0答案:BD解析:由已知得{cosα+cosβ=0,sinα+sinβ=1,又α∈[0,2π),β∈[0,2π),α>β,得{α=5π6,β=π6.m 2=1,n 2=1,则有m 2+n 2=2,故A 错误;cos(α-β)=cos 2π3=-12,故B 正确;m =-√32,12,n =√32,12,则有m -n =(-√3,0),故有|m -n |=√3≠2,故C 错误;sin(α+β)=sin π=0,故D 正确.故选BD .12.(2023·安徽阜阳高三期中)在△ABC 中,M 为BC 边上任意一点,N 为线段AM 上任意一点,若AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R ),则λ+μ的取值范围是 . 答案:[0,1]解析:由题意,设AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤t ≤1),当t=0时,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以λ=μ=0,从而有λ+μ=0;当0<t ≤1时,因为AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R ),所以t AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λt AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μt AC⃗⃗⃗⃗⃗ ,因为M ,B ,C 三点共线,所以λt +μt =1,即λ+μ=t ∈(0,1].综上,λ+μ的取值范围是[0,1].创新应用组13.(2023·安徽合肥高三期末)已知O 是△ABC 所在平面内的一点,内角A ,B ,C 所对的边分别为a=3,b=2,c=4,若a OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +b OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +c OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,过点O 作直线l 分别交AB ,AC (不与端点重合)于点P ,Q ,若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =μAC⃗⃗⃗⃗⃗ ,λ,μ∈R ,△PAO 与△QAO 的面积之比为32,则λμ=( ) A.56 B.13C.43D.34答案:D解析: 由△PAO 与△QAO 的面积之比为32,易得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =-32OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .故2(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+3(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC⃗⃗⃗⃗⃗ )=0,即2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2λ(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3μ(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0,整理得(5-2λ-3μ)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3μOC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.因为3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +4OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 均不共线,故2λ3μ=24,解得λμ=34.故选D .。
2021年高考数学一轮复习 36二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题限时检测 新人教A版
2021年高考数学一轮复习 36二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题限时检测新人教A版考查知识点及角度题号及难度基础中档稍难二元一次不等式组表示的平面区域1,2目标函数的最值34,11简单的线性规划问题10 5综合应用76,8,129易知直线z＝2x－3y过点C时，z取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x＝3，x－y＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x＝3，y＝4，∴z min＝2×3－3×4＝－6，故选B.【答案】 B5．(xx·湖北高考)某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为( ) A．31 200元B．36 000元C．36 800元D．38 400元【解析】设租用A型车x辆，B型车y辆，目标函数为z＝1 600x＋2 400y，则约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧36x＋60y≥900，x＋y≤21，y－x≤7，x，y∈N，作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点(5,12)时，有最小值z min ＝36 800(元)．【答案】 C6．(xx·三明模拟)已知O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是( ) A ．[－1,0] B ．[0,1] C ．[0,2]D ．[－1,2]【解析】 作出可行域，如图所示，OA →·OM →＝－x ＋y .设z ＝－x ＋y ，作l 0：x －y ＝0，易知，过点(1,1)时，z 有最小值，z min ＝－1＋1＝0；过点(0,2)时，z 有最大值，z max ＝0＋2＝2，∴OA →·OM →的取值范围是[0,2]． 【答案】 C二、填空题(每小题5分，共15分)7．(xx·日照市第一中学月考)已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y }⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥12x －y ≤1，集合B ＝{(x ，y )|2x ＋3y －m ＝0}，若A ∩B ≠∅，则实数m 的最小值等于________．【解析】 A ∩B ≠∅说明直线与平面区域有公共点，作出图形可知，问题转化为：求当x ，y 满足约束条件x ≥1,2x －y ≤1时，目标函数m ＝3x ＋2y 的最小值，在平面直角坐标系中画出不等式组表示的可行域．可以求得在点(1,1)处，目标函数m ＝3x ＋2y 取得最小值5.【答案】 58．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a ＞0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围为________．【解析】 由约束条件表示的可行域如图所示，作直线l ：ax ＋y ＝0，过(3,0)点作l 的平行线l ′，则直线l ′介于直线x ＋2y －3＝0与过(3,0)点与x 轴垂直的直线之间，因此，－a ＜－12，即a ＞12.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞9．(x x·北京高考)已知点A (1，－1)，B (3,0)，C (2,1)．若平面区域D 由所有满足AP →＝λAB →＋μAC →(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P 组成，则D 的面积为________．【解析】 设P (x ，y )，则AP →＝(x －1，y ＋1)．由题意知AB →＝(2,1)，AC →＝(1,2)．由AP→＝λAB →＋μAC →知(x －1，y ＋1)＝λ(2,1)＋μ(1,2)，即⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋μ＝x －1，λ＋2μ＝y ＋1.∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2x －y －33，μ＝2y －x ＋33，∵1≤λ≤2,0≤μ≤1，∴⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x －y －3≤6，0≤2y －x ＋3≤3.作出不等式组表示的平面区域(如图阴影部分)，由图可知平面区域D 为平行四边形，可求出M (4,2)，N (6,3)，故|MN |＝ 5.又x －2y ＝0与x －2y －3＝0之间的距离为d ＝35，故平面区域D 的面积为S ＝5×35＝3.【答案】 3三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表：ab (万吨)c (百万元)A 50% 1 3 B70%0.5622(万吨)，求购买铁矿石的最少费用为多少百万元？【解】 设购买铁矿石A 为 x 万吨，购买铁矿石B 为y 万吨，总费用为z 百万元．根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ＋0.7y ≥1.9，x ＋0.5y ≤2，x ≥0，y ≥0.整理为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ≥19，2x ＋y ≤4，x ≥0，y ≥0.线性目标函数为z ＝3x ＋6y画可行域如图所示：当x ＝1，y ＝2时，z 取得最小值， ∴z min ＝3×1＋6×2＝15(百万元)． 故购买铁矿石的最少费用为15百万元．11．(12分)(xx·浙江高考改编)设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0.若z 的最大值为12，求实数k 的值．【解】 作出可行域如图中阴影所示，由图可知，当0≤－k <12时，直线y ＝－kx ＋z经过点M (4,4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k ＝2(舍去)；当－k ≥12时，直线y ＝－kx＋z 经过点N (2,3)时z 最大，所以2k ＋3＝12，解得k ＝92(舍去)；当－k <0时，直线y ＝－kx ＋z 经过点M (4,4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k ＝2，符合．综上可知，k ＝2.12．(13分)(xx·江苏高考改编)已知正数a 、b 、c 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ≤4c ，3a ＋b ≥5c ，b ≥c ·e ac.其中c 为参数，求ba的取值范围．【解】 作不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ≤4c ，3a ＋b ≥5c ，b ≥c ·e a c.表示的平面区域如图所示．又k ＝ba表示平面区域内的动点P (a ，b )与原点O (0,0)连线的斜率．由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝4c ，3a ＋b ＝5c ，得a ＝c 2且b ＝72c ，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，72c ，∴OA 的斜率最大，即⎝ ⎛⎭⎪⎫b a max ＝7，设点B ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，c ·e x 0c 是函数b ＝c ·e a c图象上任意一点． 则曲线b ＝c ·e a c的切线OB 的斜率最小．又b ′＝c ·e a c ·1c＝e ac，∴k OB ＝b ′|a ＝x 0＝e x 0c，又k OB ＝c ·ex 0cx 0.∴c ·ex 0c x 0＝e x 0c，从而x 0＝c ，则点B (c ，ce )．经检验知，点B (c ，c e)在可行域， 此时，k OB ＝e x 0c ＝e c c＝e. 因此⎝ ⎛⎭⎪⎫b amin ＝k OB ＝e. 所以b a的取值范围为[e,7]．32985 80D9 胙22885 5965 奥22438 57A6 垦39321 9999 香w Gl•33601 8341 荁e29136 71D0 燐21545 5429 吩li。
2021人教A版高考数学总复习《二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题》
规律方法 求目标函数z＝ax＋by的最大值或最小值，先准确作出可行域，令目 标函数z＝0，将直线ax＋by＝0平行移动，借助目标函数的几何意义求目标函数 的最值.
角度2 求非线性目标函数的最值
【例
2ห้องสมุดไป่ตู้2】
(2020·衡水中学六调)设
x，y
x－y＋6≥0，
满足约束条件x≤3，
则
x＋y－3≥0，
x－1≤0，
1 A.2
1 B.4
C.－12
D.－34
3x－5y＋6≥0， (3)(角度 3)若 x，y 满足条件2x＋3y－15≤0，当且仅当 x＝y＝3 时，z＝ax＋y 取最
y≥0，
大值，则实数 a 的取值范围是( )
A.－23，35
B.－∞，－35∪23，＋∞
C.－35，23
D.－∞，－23∪35，＋∞
x－y＋5≥0， 6.已知 x，y 满足x＋y≥0， 若使得 z＝ax＋y 取最大值的点(x，y)有无数个，则 a 的
x≤3， 值为________.
解析 先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分(含边 界)所示，当直线z＝ax＋y和直线AB重合时，z取得最大值 的点(x，y)有无数个，∴－a＝kAB＝1，∴a＝－1. 答案 －1
考点二 求目标函数的最值
多维探究
角度1 求线性目标函数的最值 x－3y＋4≥0，
【例 2－1】 (2019·浙江卷)若实数 x，y 满足约束条件3x－y－4≤0，则 z＝3x＋2y x＋y≥0，
的最大值是( )
A.－1
B.1
C.10
D.12
解析 如图，不等式组表示的平面区域是以 A(－1，1)，B(1，－1)，C(2，2)为顶点 的△ABC 区域(包含边界).作出直线 y＝－32x 并平移，知当直线 y＝－32x＋2z经过 C(2， 2)时，z 取得最大值，且 zmax＝3×2＋2×2＝10.
2019高三数学人教A版 文一轮课时分层训练32 二元一次
课时分层训练(三十二)二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(对应学生用书第273页)A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( )A ．(－24,7)B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)B [根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )<0， 即(a ＋7)(a －24)<0，解得－7<a <24.]2．不等式组⎩⎨⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A ．32B ．23C ．43D ．34C [平面区域如图中阴影部分所示．解⎩⎨⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4得A (1,1)， 易得B (0,4)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43，|BC |＝4－43＝83，∴S △ABC ＝12×83×1＝43.]3．(2016·北京高考)若x ，y 满足⎩⎨⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( )A ．0B ．3C ．4D ．5C [根据题意作出可行域如图阴影部分所示，平移直线y ＝－2x ，当直线平移到虚线处时，目标函数取得最大值，由⎩⎨⎧2x －y ＝0，x ＋y ＝3，可得A (1,2)，此时2x＋y 取最大值为2×1＋2＝4.]4．(2018·郑州模拟)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧3x －y ＋3≥0，3x ＋y －3≤0，y ≥0，则当y ＋1x ＋3取最大值时，x ＋y 的值为( ) 【导学号：79170194】 A ．－1 B ．1 C ．－ 3D ． 3D [作出可行域如图中阴影部分所示，y ＋1x ＋3的几何意义是过定点M (－3，－1)与可行域内的点(x ，y )的直线的斜率，由图可知，当直线过点A (0，3)时，斜率取得最大值，此时x ，y 的值分别为0，3，所以x ＋y ＝ 3.故选D ．]5．(2017·贵阳适应性考试(二))若函数y ＝kx 的图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥1，则实数k 的最大值为( )A ．1B ．2C ．32D ．12B [约束条件对应的平面区域是以点(1,2)，(1，－1)和(3,0)为顶点的三角形，当直线y ＝kx 经过点(1,2)时，k 取得最大值2，故选B ．] 二、填空题6．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为__________．4 [根据约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示，∵z ＝3x －y ，∴y ＝3x －z ，当该直线经过点A (2,2)时，z 取得最大值，即z max ＝3×2－2＝4.]7．(2016·江苏高考)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________. 【导学号：79170195】⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13 [根据已知的不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，则(x ，y )为阴影区域内的动点．d ＝x 2＋y 2可以看做坐标原点O 与可行域内的点(x ，y )之间的距离．数形结合，知d 的最大值是OA 的长，d 的最小值是点O 到直线2x ＋y －2＝0的距离．由⎩⎨⎧x －2y ＋4＝0，3x －y －3＝0可得A (2,3)，所以d max ＝22＋32＝13，d min ＝|－2|22＋12＝25，所以d 2的最小值为45，最大值为13，所以x 2＋y 2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13.]8．(2016·郑州第二次质量预测)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧2x ＋y ≥0，x －y ≥0，0≤x ≤a ，设b ＝x －2y ，若b 的最小值为－2，则b 的最大值为__________．10[画出可行域，如图阴影部分所示．由b ＝x －2y ，得y ＝12x －b2.易知在点(a ，a )处b 取最小值，故a －2a ＝－2，可得a ＝2.在点(2，－4)处b 取最大值，于是b 的最大值为2＋8＝10.]三、解答题9．若直线x ＋my ＋m ＝0与以P (－1，－1)，Q (2,3)为端点的线段不相交，求m 的取值范围．[解] 直线x ＋my ＋m ＝0将坐标平面划分成两块区域，线段PQ 与直线x ＋my ＋m ＝0不相交，5分则点P ，Q 在同一区域内，于是⎩⎨⎧－1－m ＋m >0，2＋3m ＋m >0，或⎩⎨⎧－1－m ＋m <0，2＋3m ＋m <0， 所以m 的取值范围是m <－12.12分10．若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围.【导学号：79170196】[解] (1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0).2分平移初始直线12x －y ＋12＝0， 过A (3,4)取最小值－2， 过C (1,0)取最大值1， 所以z 的最大值为1， 最小值为－2.6分(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.10分故所求a 的取值范围为(－4,2).12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2015·重庆高考)若不等式组⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( ) A ．－3 B ．1 C ．43D ．3B [作出可行域，如图中阴影部分所示，易求A ，B ，C ，D 的坐标分别为A (2,0)，B (1－m,1＋m )，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4m 3，2＋2m 3，D (－2m,0)．S △ABC ＝S △ADB －S △ADC ＝12|AD |·|y B －y C |＝12(2＋2m )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m －2＋2m 3＝(1＋m )⎝⎛⎭⎪⎫1＋m －23＝43，解得m ＝1或m ＝－3(舍去)．] 2．(2018·安阳模拟)已知z ＝2x ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥a ，且z 的最大值是最小值的4倍，则a 的值是( ) 【导学号：79170197】A ．211B ．14C ．4D ．112B [作出不等式组对应的平面区域如图：由z ＝2x ＋y 得y ＝－2x ＋z ， 平移直线y ＝－2x ，由图可知当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，直线的纵截距最大， 此时z 最大，由⎩⎨⎧ x ＋y ＝2，y ＝x 解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1， 即A (1,1)，z max ＝2×1＋1＝3，当直线y ＝－2x ＋z 经过点B 时，直线的纵截距最小， 此时z 最小，由⎩⎨⎧ x ＝a ，y ＝x 解得⎩⎨⎧x ＝a ，y ＝a ， 即B (a ，a )，z min ＝2×a ＋a ＝3a ， ∵z 的最大值是最小值的4倍， ∴3＝4×3a ，即a ＝14，故选B ．]3．(2017·天津高考)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数． (1)用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式， 并画出相应的平面区域； (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？ [解] (1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧ 70x ＋60y ≤600，5x ＋5y ≥30，x ≤2y ，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ≤60，x ＋y ≥6，x －2y ≤0，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分中的整数点．(2)设总收视人次为z 万，则目标函数为z ＝60x ＋25y .考虑z ＝60x ＋25y ，将它变形为y ＝－125x ＋z 25，这是斜率为－125，随z 变化的一族平行直线.z 25为直线在y 轴上的截距，当z25取得最大值时，z 的值就最大． 又因为x ，y 满足约束条件，所以由图②可知，当直线z ＝60x ＋25y 经过可行域上的点M 时，截距z25最大，即z 最大．解方程组⎩⎨⎧ 7x ＋6y ＝60，x －2y ＝0，得⎩⎨⎧x ＝6，y ＝3，则点M 的坐标为(6,3)．所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时，才能使总收视人次最多．。
【优化方案】高考数学总复习 第6章第3课时二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件 文 新人教A
x≥0，y≥0，
12x＋8y≥64， 6x＋6y≥42， 6x＋10y≥54，
x≥0，y≥0，
3x＋2y≥16，
即
x＋y≥7， 3x＋5y≥27.
作出可行域如图，则 z 在可行域的四个顶点 A(9,0)，B(4,3)，C(2,5)，D(0,8)处的值分别是
zA＝2.5×9＋4×0＝22.5， zB＝2.5×4＋4×3＝22， zC＝2.5×2＋4×5＝25， zD＝2.5×0＋4×8＝32. 比较之，zB最小，因此，应当为该儿童预订4个 单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求． 法二：设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别 为x个单位和y个单位，所花的费用为z元，则依 题意，得z＝2.5x＋4y，且x，y满足
综上可得：不等式组表示的平面区域如图所示： (2)由两点式得直线 AB、BC、CA 的方程并化简为： 直线 AB：x＋2y－2＝0， 直线 BC：x－y＋4＝0， 直线 CA：5x－2y＋2＝0. ∴原点(0,0)不在各直线上，将原点坐标代入到各直线 方程左端，结合式子的符号可得不等式组为
x＋2y－2≥0， x－y＋4≥0， 5x－2y＋2≤0.
【解】
x－ y≥0 由x＋ y≤1
x＋ 2y≥1
作出可 行域如图阴影部分所示：
(1)由 z＝5x＋y 知，当 y＝－5x 向上平移且过点(1,0)时取得最 大值，即 zmax＝5×1＋0＝5.
新课标2020年高考数学第六章6_2二元一次不等式组与简单的线性规划问题课时规范练文新人教A版2
6-2 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题课时规范练 A 组 基础对点练1．(2016·高考北京卷)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( C )A ．0 B.3 C ．4D.52．(2018·武汉调研)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3，x ≥1，x －2y －3≤0，则z ＝3x ＋2y 的最小值为( C ) A ．9 B.7 C ．1D.－3解析：法一 画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图知，当直线z ＝3x ＋2y 经过点A (1，－1)时，z 取得最小值，即z min ＝3×1＋2×(－1)＝1，故选C.法二 易知目标函数z ＝3x ＋2y 的最小值在可行域的顶点处取得．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －2y －3＝0，得交点坐标为(1，－1)，z ＝3×1＋2×(－1)＝1；由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －2y －3＝0，得交点坐标为(3,0)，z ＝3×3＋2×0＝9；由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y ＝3，得交点坐标为(1,2)，z ＝3×1＋2×2＝7.综上所述，z＝3x ＋2y 的最小值为1，故选C.3．(2018·贵阳适应性考试)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ＋1≥0，x －3≤0，则z ＝2x －y 的最大值为( C ) A ．3B.6C ．10 D.12解析：法一 约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，画出直线l 0：2x －y ＝0，将直线l 0平移到直线l 的位置时，目标函数z ＝2x －y 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，x ＋y ＋1＝0，得B (3，－4)，此时z max ＝2x －y ＝2×3－(－4)＝10.故选C.法二 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，x －y ＝0，得A (3,3)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，x ＋y ＋1＝0，得B (3，－4)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y ＋1＝0，得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，分别代入目标函数，可得z ＝3或z ＝10或z ＝－12，所以最大值为10.故选C.4．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －y －1≤0，x －3y ＋3≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为( B )A ．8 B.7 C ．2D.15．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则z ＝2x ＋y 的最大值为( A )A ．3 B.－3 C ．1D.326．(2016·高考天津卷)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0，则目标函数z ＝2x＋5y 的最小值为( B ) A ．－4 B.6 C ．10D.177．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ＋2，x ＋y －2≥0，x ≤2.则z ＝x －y 的最大值是( A )A ．2 B.4 C ．6D.88．某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( D )A.12万元 C ．17万元D.18万元9．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，y ≤1，x >－1，则(x －2)2＋y 2的最小值为( D )A.322B. 5C.92D.510．(2016·高考全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为 32.11．(2016·高考全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ≤1，则z ＝2x ＋3y －5的最小值为__－10__.12．已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x －2y ＋3≥0，x ≥0，则z ＝(2)2x ＋y的最大值为__4__.B 组 能力提升练1．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( B )A ．－5 B.3 C ．－5或3D.5或－3解析：联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝a ，x －y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －12，y ＝a ＋12，代入x ＋ay ＝7中，解得a ＝3或－5.当a ＝－5时，z ＝x ＋ay 的最大值是7；当a ＝3时，z ＝x ＋ay 的最小值是7，故选B.2．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( D ) A.12或－1 B.2或12C ．2或1D.2或－1解析：如图，由y ＝ax ＋z ，知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2；当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1.故选D.3．(2018·南昌模拟)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －y ＋1≥0，3x －y －5≤0表示的平面区域为M ，若直线y ＝kx经过区域M 内的点，则实数k 的取值范围为( C )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，43C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，2 解析：作出可行域如图中阴影部分所示，易知3条直线的交点分别为A (2，1)，B (3,4)，C (1,2)．由图可知k OA ＝1－02－0＝12，k OC ＝2－01－0＝2.根据直线斜率变化规律，知k OA ≤k ≤k OC ，即12≤k ≤2，故选C.4．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤0，x －2y －1≥0，x －4y －3≤0，则z ＝3x ＋5y 的取值范围是( D )A ．[3，＋∞) B.[－8,3] C ．(－∞，9]D.[－8,9]解析：作出可行域，如图所示的阴影部分，由z ＝3x ＋5y ，得y ＝－35x ＋15z ，15z 表示直线y＝－35x ＋15z 在y 轴上的截距，截距越大，z 越大．由图可知，当z ＝3x ＋5y 经过点A 时z 最小；当z ＝3x ＋5y 经过点B 时z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＝3，y ＝0，得B (3,0)，此时z max ＝9；由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＝3，x －2y ＝1，得A (－1，－1)，此时z min ＝－8，所以z ＝3x ＋5y 的取值范围是[－8,9]．故选D.5．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，y ≥x ，x ＋y ≤2(a <1)，且z ＝2x ＋y 的最大值是最小值的4倍，则a 的值是( B ) A.211 B.14 C.12D.112解析：画出不等式组表示的可行域的大致图形如图中阴影部分所示，平移直线2x ＋y ＝0，可知在点A (a ，a )处z 取最小值，即z min ＝3a ；在点B (1,1)处z 取最大值，即z max ＝3，所以12a ＝3，解得a ＝14.故选B.6．已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则 a 2＋b 2的最大值为 ( C ) A ．5 B.29 C ．37D.49解析：平面区域Ω为如图所示的阴影部分，因为圆心C (a ，b )∈Ω，且圆C 与x 轴相切，所以点C 在如图所示的线段MN 上，线段MN 的方程为y ＝1(－2≤x ≤6)．由图可得，当点C 在点N (6,1)处时，a 2＋b 2取得最大值62＋12＝37，故选C.7．(2018·枣庄模拟)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x >0，4x ＋3y ≤4，y ≥0，则ω＝y ＋1x的最小值是( D ) A ．－2 B.2 C ．－1D.1解析：作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示，ω＝y ＋1x的几何意义是区域内的点P (x ，y )与定点A (0，－1)所在直线的斜率，由图象可知当P 位于点D (1，0)时，直线AP 的斜率最小，此时ω＝y ＋1x 的最小值为－1－00－1＝1.故选D.8．已知O 是坐标原点，点A (－1,2)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是( D ) A ．[－1,0] B.[0,1] C ．[1,3]D.[1,4]解析：作出点M (x ，y )满足的平面区域，如图中阴影部分所示，易知当点M 为点C (0,2)时，OA →·OM →取得最大值，即为(－1)×0＋2×2＝4；当点M 为点B (1,1)时，OA →·OM →取得最小值，即为(－1)×1＋2×1＝1，所以OA →·OM →的取值范围为[1,4]，故选D.9．已知点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，过点P 的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值是( B )A ．2 6 B.4 C. 6D.2解析：根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，设点P 到圆心的距离为d ，则求最短弦长，等价于求到圆心距离d 最大的点，即为图中的点F ，其坐标为(1,3)，则d ＝1＋32＝10，此时|AB |min ＝214－10＝4，故选B.10．若关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋y ≥0，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是等腰直角三角形，则其表示的区域面积为( D ) A ．1或14B.12或18 C ．1或12D.12或14解析：可行域由三条直线x ＝0，x ＋y ＝0，kx －y ＋1＝0所围成，因为x ＝0与x ＋y ＝0的夹角为π4，所以x ＝0与kx －y ＋1＝0的夹角为π4或x ＋y ＝0与kx －y ＋1＝0的夹角为π4.当x＝0与kx －y ＋1＝0的夹角为π4时，可知k ＝1，此时等腰三角形的直角边长为22，面积为14；当x ＋y ＝0与kx －y ＋1＝0的夹角为π4时，可知k ＝0，此时等腰三角形的直角边长为1，面积为12，故选D.11．(2018·吉林质检)设P 是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ，y ≥0，x －y ≥－1，x ＋y ≤3表示的平面区域内的任意一点，向量m ＝(1,1)，n ＝(2,1)，若OP →＝λm ＋μn ，则2λ＋μ的最大值为__5__. 解析：根据已知约束条件画出其所在的平面区域，如图阴影部分所示．设点P (x ，y )，然后由m ＝(1,1)，n ＝(2,1)，且OP →＝λm ＋μn ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λ＋2μ，y ＝λ＋μ，所以⎩⎪⎨⎪⎧μ＝x －y ，λ＝－x ＋2y .令z ＝2λ＋μ＝(－x ＋2y )×2＋(x －y )＝－x ＋3y ，根据图形可得在点B 处取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝－1，得B (1,2)，即z max ＝(2λ＋μ)max ＝－1＋3×2＝5.12．若不等式x 2＋y 2≤2所表示的平面区域为M ，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≥0，y ≥2x －6表示的平面区域为N ，现随机向区域N 内抛一粒豆子，则豆子落在区域M 内的概率为π24. 解析：作出不等式组与不等式表示的可行域如图所示，平面区域N 的面积为12×3×(6＋2)＝12，区域M 在区域N 内的面积为14π(2)2＝π2，故所求概率P ＝π212＝π24.13．动点P (a ，b )在区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －y ≥0，y ≥0内运动，则ω＝a ＋b －3a －1的取值范围是__(－∞，－1]∪[3，＋∞)__． 解析：画出可行域如图，ω＝a ＋b －3a －1＝1＋b －2a －1， 设k ＝b －2a －1，则k ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，所以ω＝a ＋b －3a －1的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．。
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课时规范练31 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
基础巩固组
1.(2017河北武邑中学一模,文3)设实数x,y满足不等式组若z=x+2y,则z的最大值为
( )
A.-1 B.4 C. D.
2.(2017全国Ⅲ,文5)设x,y满足约束条件则z=x-y的取值范围是( )
A.[-3,0] B.[-3,2]
C.[0,2] D.[0,3]
3.(2017山东,文3)已知x,y满足约束条件则z=x+2y的最大值是( )
A.-3 B.-1 C.1 D.3
4.给出平面区域如图所示,其中A(5,3),B(1,1),C(1,5),若使目标函数z=ax+y(a>0)取得最大值的
最优解有无穷多个,则a的值是( )
A.
B.
C.2
D. 〚导学号24190756〛
2
5.(2017福建泉州一模,文5)已知实数x,y满足则z=ax+y(a>0)的最小值为( )
A.0 B.a C.2a+1 D.-1
6.已知正三角形ABC的顶点A(1,1),B(1,3),顶点C在第一象限,若点(x,y)在△ABC内部,则
z=-x+y
的取值范围是( )
A.(1-,2) B.(0,2)
C.(-1,2) D.(0,1+)
7.(2017河南新乡二模,文4)已知实数x,y满足的最大值为( )
A.3 B.
C.2 D.
8.若x,y满足约束条件则z=3x-4y的最小值为 .
9已知实数x,y满足条件若目标函数z=3x+y的最小值为5,则其最大值
为 .
10.在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组所表示的平面区域上一动点,则|OM|的
最小值是 .
11.(2017山东潍坊二模,文9改编)某化肥厂用三种原料生产甲乙两种肥料,生产1吨甲种肥料和生
产1吨乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示:已知生产1吨甲种肥料产生的利润2万元,生产1
吨乙种肥料产生的利润为3万元,现有A种原料20吨,B种原料36吨,C种原料32吨,在此基础上
安排生产,则生产甲乙两种肥料的利润之和的最大值为 万元.
原料
A B C
3
肥料
甲 2 4 2
乙 4 4 8
综合提升组
12.设变量x,y满足约束条件若目标函数z=a|x|+2y的最小值为-6,则实数a等于
( )
A.2 B.1 C.-2 D.-1
13.已知x,y满足约束条件若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为
( )
A.或-1 B.2或
C.2或1 D.2或-1
14.(2017福建龙岩一模,文9)设不等式组表示的平面区域为M,若直线y=kx-2上存在
M
内的点,则实数k的取值范围是( )
A.[1,3] B.(-∞,1]∪[3,+∞)
C.[2,5] D.(-∞,2]∪[5,+∞)
15.设x,y满足约束条件若z=的最小值为,则a的值为 . 〚
导学号24190757〛
创新应用组
16.(2017山西晋中一模,文10)若x,y满足约束条件则z=的最小值为( )
4
A.-2 B.- C.- D.
17.某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要A,B,C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车
皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示:
原料 肥料 A B C
甲 4 8 3
乙 5 5
1
0
现有A种原料200吨,B种原料360吨,C种原料300吨,在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产
1车皮甲种肥料,产生的利润为2万元;生产1车皮乙种肥料,产生的利润为3万元.分别用x,y表示
计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.
(1)用x,y列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;
(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?并求出此最大利润.
答案：
1.C 如图,作出不等式对应的平面区域,由z=x+2y,得y=-x+z平移直线y=-x+,由图象可知当直
线经过点A时,直线的截距最大,此时z最大.
由
即A,此时z的最大值为z=+2×.
2.B 画出不等式组表示的可行域,如图.结合目标函数的几何意义可得目标函数在点A(0,3)处取得
最小值z=0-3=-3,在点B(2,0)处取得最大值z=2-0=2.故选B.
5
3.D 可行域为如图所示阴影部分(包括边界).
把z=x+2y变形为y=-x+z,作直线l0:y=-x并向上平移,当直线过点A时,z取最
大值,易求点A的坐标为(-1,2),
所以zmax=-1+2×2=3.
4.B 直线y=-ax+z(a>0)的斜率为-a<0,当直线y=-ax平移到直线AC位置时取得最大值的最优解有
无穷多个.
∵kAC=-
,
∴-a=-,即a=.
5.D 由约束条件作出可行域如图.
化目标函数z=ax+y(a>0)为y=-ax+z,
由图可知,当直线y=-ax+z过点A(0,-1)时,直线在y轴上的截距最小,z有最小值为-1.
6
6.A 由顶点C在第一象限,且与点A,B构成正三角形可求得点C的坐标为(1+,2).将目标函数化
为斜截式为y=x+z,结合图形可知当y=x+z过点C时z取到最小值,此时zmin=1-,当y=x+z过点
B
时z取到最大值,此时zmax=2,综合可知z的取值范围为(1-,2).
7.D 作出不等式组对应的平面区域如图,的几何意义是区域内的点到定点D(-1,-2)的斜率,由
图象知BD的斜率最大,由即B(1,3),此时BD的斜率k=,故选D.
8.-1 画出不等式组表示的可行域,如图,结合目标函数的几何意义,得目标函数在点A(1,1)处取得
最小值z=3×1-4×1=-1.
9.10 画出x,y满足的可行域如下图,可得直线x=2与直线-2x+y+c=0的交点A使目标函数z=3
x+y
取得最小值5,故由解得
7
代入3x+y=5得6+4-c=5,即c=5.
由得B(3,1).
当过点B(3,1)时,目标函数z=3x+y取得最大值,最大值为10.
10. 由约束条件可画出可行域如图阴影部分所示.
由图可知|OM|的最小值即为点O到直线x+y-2=0的距离,即dmin=.
11.19 设生产甲种肥料和生产乙种肥料分别为x,y吨,
则x,y满足的条件关系式为
再设生产甲乙两种肥料的利润之和为z,则z=2x+3y.由约束条件作出可行域如图:
联立解得A(8,1),
作出直线2x+3y=0,平移至点A时,目标函数z=2x+3y有最大值为19.
∴当生产甲种肥料8吨,乙种肥料1吨时,利润最大,最大利润为19万元.
8
12.D 变量x,y满足约束条件的可行域如图.
由目标函数z=a|x|+2y的最小值为-6,可知目标函数过点B,
由解得B(-6,0),-6=a|-6|,解得a=-1,故选D.
13.D (方法一)由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示,
可知A(0,2),B(2,0),C(-2,-2),
则zA=2,zB=-2a,zC=2a-2,
要使目标函数取得最大值的最优解不唯一,只要zA=zB>zC或zA=zC>zB或zB=zC>zA,
解得a=-1或a=2.
(方法二)目标函数z=y-ax可化为y=ax+z,令l0:y=ax,平移l0,则当l0∥AB或l0∥AC时符合题
意,故a=-1或a=2.
14.C 作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.
由于y=kx-2为过点A(0,-2),且斜率为k的直线l,
由图知,当直线l过点B(1,3)时,k取最大值=5,
当直线l过点C(2,2)时,k取最小值=2,故实数k的取值范围是[2,5].
9
15.1 ∵=1+,而表示过点(x,y)与点(-1,-1)的直线的斜率,易知a>0,故作出可行域如
图阴影部分,
由题意知的最小值是,即⇒a=1.
16.C 由约束条件作出可行域如图,
z=的几何意义为可行域内的一个动点与定点P(-3,2)连线的斜率.
设过点P的圆的切线的斜率为k,则切线方程为y-2=k(x+3),即kx-y+3k+2=0.
由=2,解得k=0或k=-,
∴z=的最小值为-.故选C.
10
17.解 (1)由已知,x,y满足的数学关系式为
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分:
图1
图2
(2)设利润为z万元,则目标函数为z=2x+3y.
考虑z=2x+3y,将它变形为y=-x+,这是斜率为-,随z变化的一族平行直
线,为直线在y轴上的截距,当取最大值时,z的值最大.又因为x,y满足约束条件,所以
由图2可知,当直线z=2x+3y经过可行域上的点M时,截距最大,即z最大.
解方程组得点M的坐标为(20,24).
所以zmax=2×20+3×24=112.
即生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大,且最大利润为112万元.