大学数学(高数微积分)21Laplace变换课件(课堂讲义)
拉普拉斯变换及反变换.ppt
机械工程控制基础
一、拉普拉斯变换 1. 定义 Laplace 正变换 F (s)
拉普拉斯变换及反变换
1 j st F ( s ) e ds Laplace 反变换 f (t ) j 2j ( t 0)
0
0
— —
表示为：
f (t )e dt
st
F(s)=ℒ[f(t)] f(t)=ℒ -1[F(s)]
df ( t ) 则 ℒ[ ] sF ( s ) f (0 ) dt 2 d f (t ) 2 ] s F ( s ) sf ( 0 ) f ( 0 ) ℒ [ 2 dt
机械工程控制基础
•例3 某动态电路的输入—输出方程为
拉普拉斯变换及反变换
d2 d d r ( t ) a r ( t ) a r ( t ) b e (t ) b0 e (t ) 1 0 1 2 dt dt dt
0
1 sa
机械工程控制基础
3. f (t ) (t ) （单位脉冲函数）
0 (t 0) (t ) (t 0)
δ(t)
拉普拉斯变换及反变换
(t )dt 1
0
t
ℒ [ ( t )]
0
( t )e st dt 0 (t )dt
u(t) t
F(s)=
1 st 0 e dt e 0 s
st
0
1 s
机械工程控制基础
2. f (t ) eat u(t ) (指数函数)
0 （t 0） f (t ) t e （t 0）
Laplace讲解(全)
=1
它不是一个普通函数，是一个普通函数序列极限。 1 例： ,0 < t < ε δ ε (t ) = ε ε ε →0 0, others
lim δ (t ) = δ (t )
∞ t=0 lim δ ε (t ) = ε →0 0 t≠0
∞ lim ∫−∞ δ ε i →0
− st ∞ 0
= f (t )e
+
∞ 0
∞ s ∫0
f (t )e − st dt
= − f (0) + s
∫
f (t )e − st dt
= sF ( s ) − f (0)
推论：
L[ f (n) (t)] = S n F(s) − S n−1 f (0) − S n−2 f ' (0) − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − f (n−1) (0)
f (0) = −2 s 2 + 22
对上式两边取L变换： ( s ) − sF
2
1 −2 Q f (t ) = cot t , f (0) = 1. ∴ F ( s ) = [ + 1] s s 2 + 22
s2 + 2
=
s( s 2 + 2 2 )
常会用到下面性质
L−1 [ f ' ( s )] = −tf (t )
下面讨论控制理论中常见函数的Laplace变换 一．单位阶跃函数 u (t )
1, t > 0 u (t ) = 0, t < 0
L[u (t )] = ∫ u (t )e dt = e
∞ − st 0 − st ∞ 0
1 = s
（Re(s)>0）
Laplace变换
第四章Laplace变换•本章要点•Laplace变换的定义•Laplace变换的性质，收敛域•卷积定理(S域)•周期和抽样信号的Laplace变换•系统函数和单位冲激响应•Laplace变换与Fourier变换的关系14.1拉氏变换的定义定义的引出拉氏正变换的推导拉氏反变换的推导23时域分析：()()()()h t r t f t h t →=∗(零状态响应)频域分析：)()()()()()()()(ωωωωωH F R t r H t h F t f ⋅=↔⎭⎬⎫↔↔频谱的概念：)(),(1ωωF n F 谱系数，频谱密度一、定义的引出复频域分析：ω+σ=↔j s ),s (F )t (f Laplace 变换 付氏变换不存在的信号，拉氏变换可能存在； 用拉氏变换求反变换，运算简单。
采用Laplace 变换的好处4对一般信号)(t f ，乘以衰减因子teσ−，即te)t (f σ−⋅在σ的某范围内（ασ>）收敛。
依定义：令sj =ω+σ[][]dtee tf et f F tj ttωσσ−+∞∞−−−⋅=⋅∫)()(dtet f tj )()(ωσ+−+∞∞−⋅=∫)(ωσj F +=则()()dtet f s F ts −∞∞−∫=Laplace 正变换131.F(s)的ROC 在s 平面内由平行于j ω轴的带状区域组成2.对有理Laplace 变换，ROC 内不包括任何极点3.若f(t)是有限长且绝对可积信号，则ROC 是整个s 平面4.右边信号的ROC 在收敛轴右，σ> α5.左边信号的ROC 在收敛轴左，σ< β6.双边信号的ROC 为带状区域，α< σ< β7.若F(s)有理，则ROC 被极点所界定或延伸至无穷远，而且在ROC 内不包含F(s)的任何极点8.若F(s)有理，f(t)是右边信号，则ROC 在s 平面上位于最右边极点的右边；f(t)是左边信号，则ROC 在s 平面上位于最左边极点的左边；五、一般情况16五.单位冲激信号()[]()1=⋅δ=δ∫∞−dt et t L sts 域全平面收敛()[]()000st stedt et t t t L −∞−=⋅−δ=−δ∫常用函数的拉氏变换可查表4-1。
高等数学第二章课件-Laplace定理
§2.8 Laplace 定理一、k 级子式与余子式、代数余子式定义在一个 n 级行列式 D 中任意选定 k 行 k 列按照原来次序组成一个 k 级行列式 M ，称为行列( )，位于这些行和列的交叉点上的个元素k n ≤2k 式 D 的一个 k 级子式；的余子式；M ′次序组成的 级行列式 ，称为 k 级子式M n k −在 D 中划去这 k 行 k 列后余下的元素按照原来的若 k 级子式 M 在 D 中所在的行、列指标分别是，则在 M 的余子式 前1212,,,;,,,k k i i i j j j ⋯⋯M ′后称之为 M 的代1212(1)k ki i i j j j +++++++−⋯⋯加上符号数余子式，记为1212(1).k ki i i j j j A M +++++++′=−⋯⋯23 12注：① k 级子式不是唯一的.（任一 n 级行列式有个 k 级子式）． k k n nC C 时，D 本身为一个n 级子式．k n =② 时，D 中每个元素都是一个1级子式；1k =二、Laplace 定理由这 k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的设在行列式 D 中任意取 k ( ( ))行，11k n ≤≤−代数余子式的乘积和等于 D ．即若 D 中取定 k 行后，由这 k 行得到的 k 级子1122.t t D M A M A M A =+++⋯，它们对应的代数余子式12,,,t M M M ⋯式为定理 （Laplace 定理）则12,,,,t A A A ⋯分别为时，1122t t D M A M A M A =+++⋯1k =即为行列式 D 按某行展开. 注：它们的代数余子式为1k kka a =⋯⋯⋯⋯2⋯(a b ==−,1,2,,i j n=⋯1n11ij i j c a b a =+。
【实用】拉普拉斯变换PPT文档
学习目标 1.深入理解拉普拉斯变换的定义、应用范围、物理意义及收
敛。 2．掌握常用函数的拉氏变换。阶跃函数、指数函数、冲激
函数。 3.熟练掌握拉氏变换的性质。线性、原函数积分、原函数微
分、延时、S域频移、尺度变换、初值、终值定理、卷积。 4.掌握拉氏逆变换。 5.熟练掌握利用拉氏变换法分析电路、S域元件模型。 6.深入理解系统函数的定义及物理意义。 7.熟练掌握系统零极点分布与其时域特征的关系。
一、拉普拉斯的产生和发展
Laplace 2h(t)绝对可积，极限为0 Transform）。
线性、原函数积分、原函数微分、延时、S域频移、尺度变换、初值、终值定理、卷积。
拉本氏章变 重换点与在十傅于氏，九变以换拉的氏世关变系换纪；为工末具对系，统进英行复国频域分工析。程师亥维赛德(O.Heaviside,
虽然通过求极限的方法可以求得它们的傅里叶变换，但其变换式中常常含有冲激函数，使分析计算较为麻烦。
1850~1925)发明了算子法，很好地解决了电力 Laplace，1749~1825)在著作中对这种方法给予严密的数学定义。
线性、原函数积分、原函数微分、延时、S域频移、尺度变换、初值、终值定理、卷积。
H(s)极点都在s域左半平面
用
便
受到一
定
的
限制，
其
次
，求取
傅
里叶反变换 留数定理法（含留数和定理）
拉氏变换收敛域的定义
有
时
也是比
较
困
难的，
此
处
尤其
要
指
出的是傅里叶变换分析法只能确定零状态响应， 3.
线性、原函数积分、原函数微分、域的定义 3.
Laplace变换
f
(t)
1 t
L
1
s
1 1
s
1 1
1 (et et ) t
L [ekt ] 1 sk
(Re(s) k)
利用拉氏变换的某些性质和一些已知的拉 氏变换对，可求出某些像函数的拉氏逆变 换！！
5 像原函数的积分性质
一个函数积分后的拉氏变换等于这
个函数的拉氏变换除以因子s
2 像原函数的延迟(时移)性质
若 F(s) L [ f (t)] ,又当t 0时, f (t) 0, 则对任意实数 0
L [ f (t )] es F (s) L 1[es F ()] f (t ).
f (t)从t 0开始有非0值,而f (t )从t 开始有非0值,即延迟了一个时间
g(t) f (t) L [g(t)] L [ f (t)]
s L [g(t)] g(0) L [ f (t)]
L
[g(t)]
1 s
L
[
f
(t)]
像函数的积分性质
像函数积分等于它的像原函数除以一
个因子t的拉氏变换
若 L [ f (t)] F(s),则
L
自变量的函数在 (,0)内无定义,对这样的函数就不
能~~作~~F~o~u~r~i~e~r~变~~换~~. ~鉴~~~于~~上~~述~~及~~其其它更多的理由, Laplace变换应运而生.
下面我们通过三个数学过程来引入Laplace变换:
(1) 将全空间(,)上的问题转化成半空间(0,)上的问题.
f
(t ) t
F (s)ds
s
教学课件：第二章拉普拉斯变换及其应用
在信号处理中，拉普拉斯变换可以用于分析信号的频域特性，例如傅里 叶变换和Z变换等。
03
电路分析
在电路分析中，拉普拉斯变换可以用于分析线性时不变电路的响应，例
如求解一阶和二阶电路的零状态响应。
02 拉普拉斯变换的基本理论
拉普拉斯变换的公式和定理
拉普拉斯变换的定义
对于所有实数$s$，定义函数$f(t)$的拉普拉斯变换为$int_{0}^{infty}f(t)e^{-st}dt$。
拉普拉斯变换的线性性质
如果$f(t)$和$g(t)$的拉普拉斯变换存在，那么对于任意实数$a$和$b$，$(af(t)+bg(t))$的 拉普拉斯变换等于$aF(s)+bG(s)$，其中$F(s)$和$G(s)$分别是$f(t)$和$g(t)$的拉普拉斯变 换。
拉普拉斯变换的延迟性质
如果$f(t)$的拉普拉斯变换存在，那么$f(t-a)$的拉普拉斯变换等于$e^{-as}F(s)$，其中 $F(s)$是$f(t)$的拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换的公式为：F(s) = ∫f(t)e^(-st) dt (s为复数，t为 实数)。
拉普拉斯变换的性质
线性性质
如果c1和c2是常数，f1(t)和f2(t) 是任意函数，那么c1f1(t) + c2f2(t)的拉普拉斯变换等于 c1F1(s) + c2F2(s)。
时移性质
如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 那么f(at-b)的拉普拉斯变换为 a^(-b)F(s/a)。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
根轨迹的应用
03
根轨迹分析在控制系统分析和设计中具有重要应用，通过根轨
迹可以判断系统的稳定性、分析系统的性能指标等。
第二章拉普拉斯变换.ppt
K11 (s s1)r
(s
K12 s1)r1
...
K1r s s1
F2 (s)
(s s1)r F(s) K11 (s s1)K12 ... (s s1)i1K1i ...
(s s1)r1K1r (s s1)r F2(s)
K11
s2 2
cost 1 d sin t dt
线性、微分定理
Lcost
1
s
s2
2
s2
s
2
Example 3
sin t 1 d cost dt
线性、微分定理
?
Lsin t
1
s
s2
s
2
s2 / s2 2
cos
m
m1
s X c (s) an1s X c (s) a0 X c (s)
n
n1
用 s 替代微分，用1/s 替代积分
五、时域积分特性(定理)
f t Fs
n重f积t分dt n
s n
1
m1
F(s)
f
s nm1 (0 )
n (m)
1(t) F (s) 0 (t)e dt
st
s 1
2)e-at
eat F(s) 0eatestdt
sa 1
前一页 后一页
3)tn(n为整数)
tn F(s)
0t
nest dt
s
t n est
s
0
n
0t
n1est
拉普拉斯变换-精选.ppt
p1, p2, p3pn为不同的实数根
F(s) k1 k2 kn
sp1 sp2
spn
求k1出 ,k2,k3 kn,即 可 F s展 将开 为 部 分
2. 第二种情况：极点为共轭复数
3.第三种情况：有重根存在
第一种情况：单阶实数极点
第
9
页
2s23s3 F(s)s36s21s16
(1)找极点
Fs 2s23s3
此 s 时 1,右 令 k2 左 边 (ss224)s2
3
所以 k23
s1
逆变换
第
16
页
4 3 1 F(s)s2s1(s1)2
所 f ( t ) L 1 F ( s 以 ) 4 e 2 t 3 e t t e t t 0
五．F(s)两种特殊情况
第
17
页
1 非真分式—— 化为真分式＋多项式
第
10
页
对等式两边同 s1乘 ,且以令 s1
右边 (s1) sk 11sk 22sk 33 s 1k1
左边 (s1)F (s) s1
(s1) 2s23s3 (s1)(s2)(s3)
1 所以 k11
s1
同 :k 2 理 (s 2 )F (s)s 2 5 ,
k3(s3)F(s)s36
所F 以 (s)156 s1 s2 s3
第
15
对
原
式
两
边
乘(以 s
1)2
页
ss 22(s1)2sk 12k2(s1)k3
令 s 1 时 ,只能 k3 求 1 ,若 出 k2 求 ,两边再 右边 d d s (s1 )2sk 12(s1 )k2k3
2(s1)s( (s2 )k 2 1) 2k1(s1)2k20
Laplace变换
1 d2 1 d2 1 3 3 K13 [ F (s)(s 2) ] [ ] s 2 2! ds2 2! ds2 s(s 3) s 2 8
K 4 F ( s ) s s 0
1 ( s 2) 3 ( s 3)
s 0
1 24
K 5 F ( s)(s 3) s 3
K为待定系数， 1 d i 1 K 1i F ( s )(s p1 ) r (i 1)! dsi 1 K j F ( s )(s p j )
s p1
s p j
K K 12 r 2 F ( s ) 11 t r 1 t K 1r e p1t K r 1e pr 1t K r 2 e pr 2t K n e pnt (r 1)! (r 1)!
f (0 ) lim f (t ) lim sF ( s)
t 0 s
证明从略。
16
五、Laplace反变换的数学方法
1、查表法 2、有理函数法 3、部分分式法 这里只介绍部分分式法。 一般F(s)是复数s的有理代数式，可表示 为： B( s) b s b s b
1 s( s 2) 3
3
s 3
f (t )
1 3 1 1 (t t 2 )e 2t e 3t 4 2 3 24
22
该定理说明如果时域函数 f (t ) 平移， 则相当于复域中的像函数乘以 e s 。 5、复数域的位移性质 L[e at f (t )] F (s a) L[ f (t )] F (s) 若 ，则
14
6、终值定理 若函数 f (t ) 及其一阶导数都是可拉氏变 换的，则 f (t ) 的终值为 lim f (t ) lim sF (s)