排 列 组 合 公 式 及 排 列 组 合 算 法

迷人的算法-排列组合需求最近工作中碰到一个需求：我们的数据表有多个维度，任意多个维度组合后进行?group?by?可能会产生一些”奇妙”的反应，由于不确定怎么组合，就需要将所有的组合都列出来进行尝试。

抽象一下就是从一个集合中取出任意元素，形成唯一的组合。

如?[a,b,c]?可组合为?[a]、[b]、[c]、[ab]、[bc]、[ac]、[abc]。

要求如下：组合内的元素数大于?0?小于等于?数组大小；组合内不能有重复元素，如?[aab]?是不符合要求的组合；组合内元素的位置随意，即?[ab]?和?[ba]?视为同一种组合；?看到这里，就应该想到高中所学习的排列组合了，同样是从集合中取出元素形成一个另一个集合，如果集合内元素位置随意，就是组合，从?b?个元素中取?a?个元素的组合有?种。

而如果要求元素顺序不同也视为不同集合的话，就是排列，从?m?个元素取?n?个元素的排列有?种。

我遇到的这个需求就是典型的组合，用公式来表示就是从元素个数为?n?的集合中列出?种组合。

文中算法用Java实现。

从排列到组合-穷举对于这种需求，首先想到的当然是穷举。

由于排列的要求较少，实现更简单一些，如果我先找出所有排列，再剔除由于位置不同而重复的元素，即可实现需求。

假设需要从?[A?B?C?D?E]?五个元素中取出所有组合，那么我们先找出所有元素的全排列，然后再将类似?[A?B]?和?[B?A]?两种集合去重即可。

我们又知道?，那么我们先考虑一种情况?，假设是?，从?5?个元素中选出三个进行全排列。

被选取的三个元素，每一个都可以是?ABCDE?之一，然后再排除掉形成的集合中有重复元素的，就是?5?选?3?的全排列了。

代码是这样：private static SetSetString exhaustion() {ListString m = Arrays.asList("a", "b", "c", "d", "e");SetSetString result = new HashSet();int count = 3;for (int a = 1; a m.size(); a++) {for (int b = 0; b m.size(); b++) {for (int c = 0; c m.size(); c++) {SetString tempCollection = new HashSet();tempCollection.add(m.get(a));tempCollection.add(m.get(b));tempCollection.add(m.get(c));if (tempCollection.size() == count) {result.add(tempCollection);return result;对于结果组合的排重，我借用了?Java?中?HashSet?的两个特性：元素唯一性，选取三个元素放到?Set?内，重复的会被过滤掉，那么就可以通过集合的大小来判断是否有重复元素了，元素无序性，Set[A?B]?和?Set[B?A]?都会被表示成?Set[A?B]。

另外又由于元素唯一性，被同时表示为?Set[A?B]?的多个集合只会保留一个，这样就可以帮助将全排列转为组合。

可以注意得到，上面程序中?count?参数是写死的，如果需要取出?4?个元素的话就需要四层循环嵌套了，如果取的元素个取是可变的话，普通的编码方式就不适合了。

注:?可变层数的循环可以用?递归?来实现。

从排列到组合-分治穷举毕竟太过暴力，我们来通过分治思想来重新考虑一下这个问题：分治思想分治的思想总的来说就是”大事化小，小事化了”，它将复杂的问题往简单划分，直到划分为可直接解决的问题，再从这个直接可以解决的问题向上聚合，最后解决问题。

从 M 个元素中取出 N 个元素整个问题很复杂，用分治思想就可以理解为：首先，如果我们已经从?M?中元素取出了一个元素，那么集合中还剩下?M-1?个，需要取的元素就剩下?N-1?个。

还不好解决的话，我们假设又从?M-1?中取出了一个元素，集合中还剩下?M-2?个，需要取的元素只剩下?N-2?个。

直到我们可能取了有?M-N+1?次，需要取的元素只剩下一个了，再从剩余集合中取，就是一个简单问题了，很简单，取法有?M-N+1?种。

如果我们解决了这个问题，已经取完最后一次了产生了?M-N+1?种临时集合，再考虑从?M-N+2?个元素中取一个元素呢，又有?M-N+2?种可能。

将这些可能聚合到一块，直到取到了?N?个元素，这个问题也就解决了。

还是从 5 个元素中取 3 个元素的示例：从?5?个元素中取?3?个元素是一个复杂问题，为了简化它，我们认为已经取出了一个元素，还要再从剩余的?4?个元素中取出?2?个，求解公式为：。

从?4?个元素中取出?2?个依旧不易解决，那我们再假设又取出了一个元素，接下来的问题是如何从?3?个元素中取一个，公式为?。

从?3?个元素中取?1?个已经是个简单问题了，有三种可能，再向上追溯，与四取一、五取一的可能性做乘，从而解决这个问题。

代码实现用代码实现如下：public class Combination {public static void main(String[] args) {ListString m = Arrays.asList("a", "b", "c", "d", "e");SetSetString combinationAll = new HashSet();for (int c = 1; c = n; c++) {combinationAll.addAll(combination(m, new ArrayList(), c));System.out.println(combinationAll);private static SetSetString combination(ListString remainEle, ListString tempCollection, int fetchCount) {if (fetchCount == 1) {SetSetString eligibleCollections = new HashSet();for (String ele : remainEle) {SetString collection = new HashSet(tempCollection);collection.add(ele);eligibleCollections.add(collection);return eligibleCollections;fetchCount--;SetSetString result = new HashSet();for (int i = 0; i remainEle.size(); i++) {ListString collection = new ArrayList(tempCollection);ListString tempRemain = new ArrayList(remainEle);collection.add(tempRemain.remove(i));result.addAll(combination(tempRemain, collection, fetchCount));return result;其实就是递归。

直击本质-位运算从元素的全排列找全组合，比穷举略好，但还不是最好的方法，毕竟它”绕了一次道”。

很多算法都能通过位运算巧秒地解决，其优势主要有两点：一者位运算在计算机中执行效率超高，再者由于位运算语义简单，算法大多直指本质。

组合算法也能通过位运算实现。

思想再次考虑全组合的需求，从?M?个元素中取任意个元素形成组合，组合内元素不能重复、元素位置无关。

之前的方法都是从结果组合是否满足要求来考虑问题，考虑组合是否有重复元素、是否已有同样的组合等条件。

如果换种思路，从待选元素上来考虑呢？对于每个元素来说，它的状态就简单得多了，要么被放进组合，要么不放进组合。

每个元素都有这么两种状态。

如果从?5?个元素中任意取?N?个元素形成组合的话，用二进制位来表示每个元素是否被放到组合里，就是：0 0 0 0 1 [E] = 10 0 0 1 0 [D] = 20 0 0 1 1 [DE] = 3看到这里，应该就非常清楚了吧，每种组合都可以拆解为?N?个二进制位的表达形式，而每个二进制组合同时代表着一个十进制数字，所以每个十进制数字都就能代表着一种组合。

十进制数字的数目我们很简单就能算出来，从00000.?到?11111.?一共有?种，排除掉全都不被放进组合这种可能，结果有种。

代码实现下面是?Java?代码的实现：public class Combination {public static void main(String[] args) {String[] m = {"A", "B", "C", "D", "E"};SetSetString combinationAll = combination(m);System.out.println(combinationAll);private static SetSetString combination(String[] m) {SetSetString result = new HashSet();for (int i = 1; i Math.pow(2, m.length) - 1; i++) {SetString eligibleCollections = new HashSet();for (int j = 0; j m.length; j++) {if ((i (int) Math.pow(2, j)) == Math.pow(2, j)) {eligibleCollections.add(m[j]);result.add(eligibleCollections);return result;▼往期精彩回顾▼微服务为什么一定要用docker一个程序媛的奇葩经历和吐槽如何彻底理解volatile关键字？为什么阿里巴巴禁止在 foreach 循环里进行元素的 remove-add 操作SpringBoot 定时任务踩坑记录使用docker部署spring cloud项目详细步骤几道和「堆栈、队列」有关的面试算法题在Spring Boot中格式化JSON日期使用windows版Docker并在IntelliJ IDEA使用Docker运行Spring Cloud项目Springboot项目的接口防刷实体与模型之间的映射,就用MapstructJava高级开发必会的50个性能优化的细节（珍藏版）记下来，spring?装配bean的三种方式！厉害！这届码农追星玩出了新花样Java生成二维码与 30 家公司过招，得到了这章面试心法一道让你拍案叫绝的算法题了解一下Spring中用了哪些设计模式？这样回答面试官才稳dubbo 面试18问拜托！面试请不要再问我Spring?Cloud底层原理稳了！Java并发编程71道面试题及答案【附答案】Java面试2019常考题目汇总（一）这10道springboot常见面试题你需要了解下JVM面试题巧用这19条MySQL优化，效率至少提高3倍int resultLen = resultList.length;20 fmt.Println("start combine")public static void combinationSelect(String[] dataList, int n) {这段代码是从STL Permutation上考下来的，要注意的是第10行，首先对数组进行了排序。