二元最值问题的解法探究
二元函数极值
消b消c 结果不一致 何去何从——由09年全国I(理)22题浅探二元函数最值问题的解题策略
一
．
．
１ ＝一 ６ １ Ｘ 厂 ） 一 — （ １＝１ ６ １— ２ ０ （， ２ ３一） ．
２ １ 年第 ３ ００ 期
筒解 如下 ：‘ ． ・
．
． ．
福建 中学数 学 如上面全国卷 ２ 题第 （）问 ： ２ ２
４ ｌ
， ． ａ—ｂ＞ ０ ， ．
ａ２
由 于 ∈１２， ［ ］ 而由 （）知ｃ ， ， １ ０
反思 理论上讲 ，此题消 ｂ 和消Ｃ 应该能得到同 样 的结 果 ，而上 述方法 中在 消 Ｃ 时没 有注 意 ｂ的范围 的变化 ， 而扩大 了 Ｃ 范围 ， 使 求出 的值 域变大 ． 从 的 致 厂
福建中学数学
２ １ 年第 ３ ００ 期
消 消 Ｃ 结果不 一致
— —
何去何从
由 ０ 年 全 国 Ｉ （ ）２ 浅探 二元 函数最值 问题 的解题 策 略 ９ 理 ２题 李 志 刚
湖北省宜城市第一中学 （４ ４ ０ ４ １０ ）
、
题目 设函数Ｉｘ＝ ３ ＋ｃ有两个极值点 （１ Ｘ＋ ３ ｘ 且 ∈－，】 ∈１２。 ［１０， ［ ］ ，
但 是 ，为什 么不 消去 ｃ， 保 留 ｂ和 Ｘ 呢？ 笔者 而 ， 作 了如 下尝试 ：
感悟与归纳 （）消元是一种化多元为一元的常 １ 用 方法 ，在 消元 过 程 中保 持其 等 价性 是 至 关重要 的 环节 ，必 须让 被 消 去变 量 的取 值 范 围在 新 的代 数 式 中继续发挥其影响力，否则可能扩大范围． （）二元 （ ２ 多元 ）函数最值 是 高 中数 学 的常 见 问题 ，主 要有代 数 方法和 几何 方法 两种解 题策 略 ．
６ － ≤鱼 （ ｂ ｆ一 ａ ）， ＋
第5讲——二元函数最优化问题
第五讲 二元函数最优化问题§5.1 问题的引入一、 引例【引例】某厂生产两种型号的钢笔，甲种每支售价为10元，乙种每支售价为9元，而生产甲种笔x 支，乙种笔y 支的总费用为)33(01.032400),(22y xy x y x y x C +++++=元，问两种笔的产量各为多少时，企业利润最大？分析：此题讨论利润最大，属最优化问题，先建立函数关系——因变量为企业利润π由于C R -=π而成本为)33(01.03240022y xy x y x C +++++=——二元函数y x R 910+=——二元函数故C R -=π)]33(01.032400[91022y xy x y x y x +++++-+=40003.001.003.06822----+=y xy x y x ——二元函数故此问题为二元函数求最值问题二、 复习一元函数最值求法一元实际应用问题最值求法（步骤） 1、 建立函数关系式 2、 求最值(1) 求定义域 (2) 求一阶导 (3) 找所有可能极值点① 使一阶导＝0的点——驻点 ② 使一阶导不存在的点 实际问题通常可能极值点惟一 (4) 将惟一可能极值点转化为最值点因为实际问题存在最大（小）值 所以惟一可能极值点为最大（小）值点3、 答题显然，一元函数的最值与极值有关，若实际问题存在最值，则惟一可能极值点定是最值点，而可能极值点与一阶导有关二元函数与一元函数相类似，在二元函数中，若实际问题存在最值，则惟一可能极值点定是最值点，故二元实际问题应用，也将惟一可能极值点转化为最值点的一元函数可能极值点与一阶导有关，二元函数与一元函数相类似，只不过在一元函数中，为导数，而在二元函数中，不称为导数，而称为偏导数故二元函数极值的寻找也与一阶偏导数有关，判断仍与二阶偏导数有关故为了解最值，需先了解偏导数的概念及计算，以及如何根据偏导数寻找极值、判断极值§5.2 二元函数的偏导数一、二元函数一阶偏导数 (一) 复习一元函数一阶导数定义一元函数)(x f y =在点0x 处的导数定义为：xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆)()(lim lim )(00000其中：x ∆表示自变量x 在0x 处的改变量y ∆表示当自变量x 在0x 处有改变量x ∆时，函数相应改变量于是导数定义为：函数改变量比自变量改变量，当自变量改变量趋于0时的极限简称为：差商极限(二) 二元函数一阶偏导概念 1、二元函数改变量概念二元函数),(y x f z =在点),(00y x 处的改变量分为两类——全改变量、偏改变量x 和y 都发生改变——),(),(0000y x f y y x x f z -∆+∆+=∆x 改变量；②偏y 改变量①偏x 改变量——仅x 发生改变（y 不变）——),(),(0000y x f y x x f z x -∆+=∆ ②偏y 改变量——仅y 发生改变（x 不变）——),(),(0000y x f y y x f z y -∆+=∆ 二元函数的导数，用的是偏改变量，因而称为偏导数 2、二元函数在一点处的偏导数值定义函数),(y x f z =在点),(00y x 处对x 的偏导数表示为：),(00y x f x 或),(00y x x z∂∂，其定义如下：xy x f y x x f x z y x f x x x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆),(),(lim lim),(00000000函数),(y x f z =在点),(00y x 处对y 的偏导数表示为：),(00y x f y 或),(00y x yz∂∂，其定义如下：yy x f y y x f yz y x f y y y y ∆-∆+=∆∆=→∆→∆),(),(limlim),(0000000一点处的偏导数),(00y x f x 、),(00y x f y 结果为——数值3、二元函数一阶偏导函数概念函数),(y x f z =在区域D 内每点对x 的偏导数都存在，则称函数在区域D 内对x 可偏导，于是对于区域D 内每一个点),(y x ，都有惟一确定的对x 的偏导函数值相对应，于是在D 内定义了一个新函数，以),(y x 为自变量，而对x 的偏导数值为因变量，称为函数),(y x f z =在区域D 内的对x 的偏导函数，记作：),(y x f x 或xz∂∂，其结果仍为y x ,的二元函数． 同理有函数),(y x f z =在区域D 内的对x 的偏导函数，记作：),(y x f y 或yz∂∂，其结果仍为y x ,的二元函数．4、一点处偏导数与导函数间关系),(0000)),((),(y xx x y x f y x f =， ),(0000)),((),(y x y y y x f y x f =(三) 二元函数一阶偏导的求法 1、 思想——转化为一元函数求导 2、 具体操作方法按照偏导数定义xy x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆),(),(lim),(0000000——仅x 变，y 不变，故y 暂时看成常数，形成一元函数yy x f y y x f y x f y y ∆-∆+=→∆),(),(lim),(0000000——仅y 变，x 不变，故x 暂时看成常数，形成一元函数故二元函数求偏导的方法——转化为一元函数求导问题——对x 求偏导，将x 看成变量，y 暂时看成常数 ——对y 求偏导，将y 看成变量，y 暂时看成常数 ——对谁求偏导，将谁看成变量，另一变量暂时看成常数【例1】已知函数52332-+-+=y xy y x z ，求x z ∂∂和yz ∂∂． 解：y x y x xz3200302-=-+-+=∂∂【x 变量，y 常数】 2330233022+-=-+-+=∂∂x y x y yz【y 变量，x 常数】 【例2】已知厂商的生产函数为二元函数32316),(K L K L f y ==，其中L 表示劳动投入量，K 表示资本投入量，求L y ∂∂和Ky ∂∂． 解：3232323231322316)(6--=⋅='=∂∂L K L K L K L y L 【L 变量，K 常数】3131313132314326)(6--=⋅='=∂∂K L K L K L K y K 【K 变量，L 常数】 【例3】已知函数xye z =，求)2,1(xf 和)2,1(y f ． 解：xy xy x xy ye y e xy e xz=⋅='⋅=∂∂)(【x 变量，y 常数】 xy xy y xy xe x e xy e yz=⋅='⋅=∂∂)(【y 变量，x 常数】 )2,1(x f 2212e ye y x xy==== )2,1(y f 221e xe y x xy====二、二元函数的二阶偏导（数）二元函数的二阶偏导共有四个 1、符号及含义x x xxxx z x zx y x f z x z )()(),(22=∂∂∂∂===∂∂ 偏x 偏x ；先偏x 再偏x y x xy xy z x zy y x f z y x z )()(),(2=∂∂∂∂===∂∂∂ 偏x 偏y ；先偏x 后偏y x y yx yx z yzx y x f z x y z )()(),(2=∂∂∂∂===∂∂∂ 偏y 偏x ；先偏y 后偏x y y yy yy z y zy y x f z yz )()(),(22=∂∂∂∂===∂∂ 偏y 偏y ；先偏y 再偏y 其中y x z ∂∂∂2和xy z∂∂∂2称为二阶混合偏导2、求二阶偏导的方法(1) 先求一阶偏导；(2) 再对二阶偏导，即对一阶偏导结果再求一次偏导 【例4】已知函数52332-+-+=y xy y x z ，求各二阶偏导． 解：y x y x xz3200302-=-+-+=∂∂【x 变量，y 常数】2330233022+-=-+-+=∂∂x y x y yz【y 变量，x 常数】 2)32(22=-=∂∂x y x xz【x 变量，y 常数】 3)32(2-=-=∂∂∂y y x yx z【y 变量，x 常数】 3)233(22-=+-=∂∂∂x x y xy z【x 变量，y 常数】 y x y yz y 6)233(222=+-=∂∂【y 变量，x 常数】 此题中，两个混合偏导相等一般，只要两个混合偏导连续，则一定相等由于幂函数在定义域内一定连续，而幂函数的导数仍为幂函数，故幂函数的两个混合偏导一定相等故今后幂函数不需分别求两个混合偏导，只需求一个即可【例5】已知函数2234x y e z -=，求各二阶偏导．解：222222343422346)6()34(x yx yx x yx xe x e x y e z ----=-⋅=-⋅=【x 变量，y 常数】222222343422348)8()34(x yx yy x yy ye y e x y e z ---=⋅=-⋅=【y 变量，x 常数】x x yx yx x x yxx e x e x xe z ))(6()6()6(222222343434----+-=-= x x yx y x y xe e )34(662234342222-⋅--=--)6(6622223434x xe e x yx y---=--)16(623422-=-x e x y【x 变量，y 常数】y xe x y xe e x xe z x yy x yy x yy x yxy 86)34(6)(6)6(222222223422343434⋅-=--=-=-=----223448x yxye --=【y 变量，x 常数】)6(8)(8)8(222222343434x ye e y ye z x yx x yx x y yx -===---223448x y xye --=【x 变量，y 常数】y x yx yy x yx yy y x yyy x y ye e e y e y ye z )34(88)(8)8()8(2234343434342222222222-+=+==-----)81(88882343434222222y e y ye e x yx yx y+=+=---【y 变量，x 常数】§5.3 二元函数的极值一、 二元函数极值的概念设二元函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域内有定义，对于该邻域内任何异于),(00y x 的点),(y x (),(y x ),(00y x ≠)① 若恒有),(),(00y x f y x f >，则称),(00y x f 为函数),(y x f z =的极大值并称),(00y x 为函数),(y x f z =的极大值点② 若恒有),(),(00y x f y x f <，则称),(00y x f 为函数),(y x f z =的极小值并称),(00y x 为函数),(y x f z =的极小值点注意：二元函数极值仍为局部概念 二、 二元函数极值的求法 1、 二元函数的驻点使⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂00yz x z的点),(00y x 称为驻点2、 极值存在必要条件定理：若二元函数),(y x f z =在点),(00y x 处取得极值，则),(00y x 为驻点，或在点),(00y x 处偏导不存在【注意】与一元函数相同，二元函数的驻点只是可能的极值点，是否为真正极值点，必须根据极值存在充分条件做进一步判定3、 极值存在充分条件使用条件——),(00y x 为驻点 使用方法——根据AC B -2的符号其中：),(00y x f A xx =，),(00y x f B xy =，),(00y x f C yy = ➢ 若02>-AC B ，则),(00y x 不是极值点 ➢ 若02<-AC B ，则),(00y x 是极值点，且① 若0>A ，则),(00y x 是极小值点 ② 若0<A ，则),(00y x 是极大值点➢ 若02=-AC B ，则),(00y x 是否为极值点不定 4、 二元函数求极值的步骤(1) 求两个一阶偏导x z ∂∂和yz ∂∂ (2) 令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂00yz x z，得驻点),(00y x找使一阶偏导不存在点（一般无，∵若一阶偏导不存在，则二阶更不存在，无法用二阶判断了） (3) 求二阶偏导函数：),(y x f xx ，),(y x f xy ，),(y x f yy(4) 将驻点),(00y x 代入二阶偏导函数求值，得),(00y x f A xx =，),(00y x f B xy =，),(00y x f C yy =(5) 用充分条件(02>-AC B 还是0<)判断驻点是极小值点还是极大值点当有多个驻点时，重复(4)和(5) (6) 写出结论【例1】求函数124),(223+---=y xy x x y x f 的极值解：(1)y x x x z 2832--=∂∂，y x yz 22--=∂∂ (2) 令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂00yz xz，即⎩⎨⎧=--=--02202832y x y x x 得驻点)0,0(和)2,2(-无使一阶偏导不存在点(3) 86),(-=x y x f xx ，2),(-=y x f xy ，2),(-=y x f yy 在点)0,0(处：(4) 8)0,0(-==xx f A ，2)0,0(-==xy f B ，2)0,0(-==yy f C (5) ∵012)2()8()2(22<-=-⨯---=-AC B ，∴)0,0(为极值点又∵08<-=A ，∴)0,0(为极大值点，极大值为1)0,0(=f 在点)2,2(-处：(4) 4)2,2(=-=xx f A ，2)2,2(-=-=xy f B ，2)2,2(-=-=yy f C (5) ∵012)2(4)2(22>=-⨯--=-AC B ，∴)2,2(-不是极值点 (6) 函数有极大值1)0,0(=f ．【练习】求函数279),(33+-+=xy y x y x f 的极值．解：(1) y x y x f x 93),(2-=，x y y x f y 93),(2-=(2) 令⎩⎨⎧==0),(0),(y x f y x f y x ，即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-09309322x y y x ，得驻点)0,0(，)3,3(无使一阶偏导不存在点(3) x y x f xx 6),(=， 9),(-=y x f xy ， y y x f yy 6),(= 在点)0,0(处：(4) 0=A ，9-=B ，0=C(5) ∵0812>=-AC B ，∴)0,0(不是极值点 在点)3,3(处：(4) 18=A ，9-=B ，18=c(5) ∵02432<-=-AC B ，∴)3,3(是极值点又由于0>A ，∴)3,3()0,0(为极小值点 极小值为33(3,3)33933270f =+-⨯⨯+= (6) 函数有极小值0)3,3(=f ．§5.4 二元函数的最值及其应用一、二元函数最值概念若对于区域D 内的所有),(),(00y x y x ≠，都有),(),(00y x f y x f >，称),(00y x f 为二元函数),(y x f z =在区域D 内的最大值，),(00y x 称为最大值点若对于区域D 内的所有),(),(00y x y x ≠，都有),(),(00y x f y x f <，称),(00y x f 为二元函数),(y x f z =在区域D 内的最小值，),(00y x 称为最小值点最大值、最小值统称为极值，最大值点、最小值点统称为极值点二、实际问题求最值方法1、实际问题通常二元函数有惟一极值，则该惟一极值必为最值2、若实际问题存在最大（小）值，则惟一驻点定为最大（小）值点． 三、二元函数最值应用步骤 1、建立函数关系式 2、求极值(1) 求一阶偏导 (2) 找所有可能极值点① 找驻点② 使一阶偏导不存在的点 实际问题通常可能极值点惟一3、求最值因为实际问题存在最大（小）值 所以惟一可能极值点为最大（小）值点 4、答题四、经济学中二元函数最值应用举例【例1】某厂生产两种型号的钢笔，甲种每支售价为10元，乙种每支售价为9元，而生产甲种笔x 支，乙种笔y 支的总费用为)33(01.032400),(22y xy x y x y x C +++++=元，问两种笔的产量各为多少时，企业利润最大？解：1、建立函数关系——两种产品产量x 和y 为自变量，企业利润π为因变量收益函数为y x y x R 910),(+=总成本函数为)33(01.032400),(22y xy x y x y x C +++++= 利润函数),(),(),(y x C y x R y x -=π)]33(01.032400[91022y xy x y x y x +++++-+= 40003.001.003.06822----+=y xy x y x2、求极值 (1)y x x 01.006.08--=π，y x y 06.001.06--=π(2) 令⎩⎨⎧==00yx ππ，即⎩⎨⎧=--=--006.001.06001.006.08y x y x ，得惟一驻点)80,120(无使一阶偏导不存在点3、求最大值∵实际问题存在最大值∴惟一可能极值点)80,120(为最大值点4、答：甲种型号钢笔生产120支，乙种型号钢笔生产80支，可使企业利润最大．【例2】某商店销售A 、B 两种产品，A 产品的成本为2元／个，B 产品的成本是3元／个．A 产品的需求量为x ，价格为p ，B 产品的需求量为y ，价格为q ．两种产品的价格-需求方程分别为：q p x 254075+-=，q p y 302080-+=商店为得到最大利润，应如何对A 、B 两种产品定价？商店最大利润为多少？A 、B 两种产品的需求量各为多少？解：1、建立函数关系——两种产品价格p 和q 为自变量，企业利润π为因变量收益函数为qy px q p R +=),()302080()254075(q p q q p p -+++-= 总成本函数为y x q p C 32),(+=)302080(3)254075(2q p q p -+++-= 利润函数),(),(),(q p C q p R q p -=π)302080)(3()254075)(2(q p q q p p -+-++--=3903040451209522---++=q p pq q p2、求极值 (1)p q p 804595-+=π，q p q 6045120-+=π(2) 令⎪⎩⎪⎨⎧==00qp ππ，即⎩⎨⎧=-+=-+060451200804595q p p q ，得惟一驻点4=p ，5=q无使一阶偏导不存在点3、求最大值∵实际问题存在最大值∴惟一可能极值点4=p ，5=q 为最大值点此时A 产品需求量为：40=x ，B 种产品需求量为：10=y 商店最大利润为100)5,4(=π4、答：A 产品的销售价格为4元、B 产品销售价格为5元时，商店利润最大，最大利润为100元，此时A 产品需求量为40个，B 产品需求量为为10个．§5.5 二元函数条件极值 ——拉格朗日乘数法一、 问题的引入【引例】若某产品的产出函数为4.06.010),(y x y x N =，x 为人工数量，y 为资金数量．如果每个人工的费用30美元，每个单位资金的费用为60美元．如果总预算为300000美元，求：如何分配这个总预算，可以获得最大的生产率？该题目求函数4.06.010),(y x y x N =的最大值 已知变量x 和y 满足条件3000006030=+y x称问题为函数4.06.010),(y x y x N =在条件3000006030=+y x 下的极值——条件极值 二、 解决条件极值的方法——两种(1) 将条件代入函数，使函数减少一个变量，按极值方法计算 (2) 拉格朗日乘数法 三、 条件极值的拉格朗日乘数法以二元函数为例．求函数),(y x f z =在条件0),(=y x g 下的极值(1) 做拉格朗日函数),(),(),,(y x g y x f y x L λλ+=——三元函数(2) 求),,(λy x L 的驻点：即满足⎪⎩⎪⎨⎧===+==+=0),(),,(0),(),(),,(0),(),(),,(y x g y x L y x g y x f y x L y x g y x f y x L y y y x x x λλλλλλ的),(00y x(3) 由实际意义确定是极值【例1】若某产品的产出函数为4.06.010),(y xy x N =，x 为人工数量，y 为资金数量．如果每个人工的费用30美元，每个单位资金的费用为60美元．如果总预算为300000美元，求：如何分配这个总预算，可以获得最大的生产率？ 解：(1) 明确问题：极大值：4.06.010),(y xy x N =约束条件：03000006030),(=-+=y x y x g(2) 构造拉格朗日函数：)3000006030(10),(),(),,(4.06.0-++=+=y x y x y x g y x N y x L λλλ(3) 解一阶偏导数组成的方程组，求驻点⎪⎩⎪⎨⎧=-+==+==+=--03000006030060403066.06.04.04.0y x F y x F y x F y x λλλ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=--6.06.04.04.015151y x y x λλ ∴6.06.04.04.015151---=-y x y x 则：y x 3=6000=x ，2000=y(4) 因为6000=x ，2000=y 为惟一驻点，故6000=x ，2000=y 为最大值点(5) 最大产出为4.38658)2000,6000(=N 【例2】某消费者购买甲、乙两种商品的价格为2=x p 和5=y p ，消费者用40个单位的费用购买这两种商品，又知当购买量分别为x 和y 时，消费者的效用函数2131),(y x y x =μ，问消费者如何购买，可以得到最大效用？最大效用为多少？ 解：(1) 明确问题：极大值：2131),(y x y x =μ约束条件：04052),(=-+=y x y x g(2) 构造拉格朗日函数函数：)4052(),,(2131-++=y x y x x x L λλ(3) 解一阶偏导数组成的方程组，求驻点⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-+==+==+=--04052052102312131213221y x F y x F y x F Q Q λλλ⇒8=x ，524=y ，1201-=λ 因为实际问题存在最大值 所以惟一驻点8=x ，524=y 为最小值点 答：§5.6 最小二乘法Method of least squares一、问题的引入我们前面讨论了经济中常用函数，并且讨论了边际、弹性、最优化等问题．而这些问题讨论的前提是——已知一个函数关系式．如果没有这些关系，上述问题都将无法讨论．那么，这些函数关系是如何建立的呢？回归分析是经济分析中常用的一种方法，它是通过最小二乘法的原理将一组数据拟合为初等函数．引例：某种商品价格(x ：美元)与销售量(y ：件)间的数据如下表试确定销售量与价格间函数关系式．二、最小二乘法 (一) 画（散点）图(二) 根据散点图确定拟合图形形状（函数类型）——此题显然应拟合成直线可拟合为抛物线c bx ax y ++=2可拟合为指数函数bxae y =也可拟合为直线b ax y += 也可拟合为分段函数当不能确定拟合为何种类型函数更合适时，可拟合多个函数，然后比较哪个更好，更贴切 我们只将拟合为直线的方法，其他思想相同，请自学 拟合为直线（线性函数）的方法——线性回归(三) 拟合的最好标准为更能说明问题，采用下面图形1、图中各点依次称为),(11y x ，),(22y x ，……，),(n n y x2、设拟合的直线方程为b ax y +=，其中为待定系数要通过最小二乘法，找到最好的a 和b3、将1x 代入b ax y +=，得b ax y +=1，则),(),(111b ax x y x +=为拟合直线上的点实际点),(11y x 与拟合直线上的点),(11b ax x +间有一个误差——b ax y b ax y --=+-1111)(，该误差可能正，也可能负实际点),(22y x 与拟合直线上的点),(22b ax x +间有一个误差——b ax y b ax y --=+-2222)(，该误差可能正，也可能负……实际点),(n n y x 与拟合直线上的点),(b ax x n n +间有一个误差——b ax y b ax y n n n n --=+-)(，该误差可能正，也可能负每个实际点与拟合直线上的点都有误差，且误差有正有负 4、所谓最好，最贴切指——误差最小5、但不能将这些误差直接相加，因为其中必然有正有负——直接相加将相互抵消——平方之和6、所有点误差平方之和为∑=--=--++--+--ni i i n n b ax y b ax y b ax y b ax y 12222211)()()()( ——使其最小7、将∑=--ni i ib ax y12)(中的a 和b 看成变量——二元函数，问题转化为：——求a 和b 的值——使∑=--=ni i ib ax yb a F 12)(),(最小——二元函数求最小值问题8、a ni i i a ni i ia b ax y b ax yb a F ])[(])([),(1212∑∑==--=--=∑=-⋅--=ni i i i x b ax y 1)()(2∑=-⋅--=ni i i i x b ax y 1)()(2∑=+-=ni i i i i bx y x ax 12)(2][21112∑∑∑===+-=n i i n i i i n i ibx y x ax ][21112∑∑∑===+-=ni i n i i i n i ix b y x x ab ni i i b n i i i b b ax y b ax y b a F ])[(])([),(1212∑∑==--=--=∑=-⋅--=n i i i b ax y 1)1()(2∑=-⋅--=n i i i b ax y 1)1()(2∑=+-=ni i i b y ax 1)(2][2111∑∑∑===+-=n i n i i n i i b y ax ][211nb y x a ni i n i i +-=∑∑==令 ⎩⎨⎧==0),(0),(b a F b a F b a则：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-∑∑∑∑∑=====0][20][2111112nb y x a x b y x x a ni in i i ni i n i i i n i i即：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+∑∑∑∑∑=====n i i n i i n i i i n i i n i i y nb x a y x x b x a 1111129、实际操作时，通常画表列出求a 和b 所需的参数：∑=ni ix 1，∑=ni iy 1，∑=ni ii y x 1，∑=ni ix12三、 用最小二乘法线性回归的步骤【例1】已知某种商品价格(x ：美元)与需求量(y ：件)间的数据如下表(1) 利用最小二乘法确定价格-需求关系的线性方程．(2) 如果每件产品的成本为3美元，欲取得最大利润的价格应该是多少？ 【解】(1) ① 设拟合的价格-需求关系的线性方程b ax y +=② 画表③ 计算a 和b8.16255.12756.12255.585)(22112111-=-⨯⨯-⨯=-⋅-=∑∑∑∑∑=====ni i n i i ni in i i n i i i x x n y x y x n a 92.10525)8.16(6.1211=⨯--=-=∑∑==nx a yb ni ini i④ 所求价格-需求关系为：92.1068.1+-=x y (2) ① 建立利润随价格变化函数关系)(x πx x x x xy x R 92.1068.1)92.1068.1()(2+-=+-==76.3204.5)92.1068.1(33)(+-=+-==x x y x C)76.3204.5(92.1068.1)()()(2+--+-=-=x x x x C x R x π76.3296.1568.12++-=x x② 求极值96.1536.3)(+-='x x π令0)(='x π，得惟一驻点75.4=x 无使)(x π'不存在点 ③ 求最值∵实际问题存在最大值∴惟一可能极值点75.4=x 为最大值点 ④ 答：价格为4.75美元时，利润最大。
7.7二元函数的极值和最值
注： 可导函数的极值点 例如函数 z xy
在 (0,0) 处无极值．
类似于一元函数y x3 在 x 0处非极值．
驻点 (3)
问题：可导函数的驻点未必是极值点，那什
么样的点才是极值点呢？ 这是寻找极值点的 充分 条件
定理2（极值存在的充分条件） ABC法则
1. 条件极值与无条件极值 自变量除了受其定义域限制外还有别的条
件限制，这种情况下的极值称为条件极值. 相应地，前面讨论的极值称为无条件极值.
例7：某厂商生产同一产品同时在两个市场销售，售价分别
为p1, p2 , 销售量分别为q1, q2 ,需求函数分别为q1 24 0.2 p1, q2 10 0.05 p2 ,总成本函数C 35 40(q1 q2 ),问厂家如 何订价才能时利润最大？
解 : 利润L p1q1 p2q2 35 40(q1 q2 )
（1）都有 f ( x, y) f ( x0 , y0 )，则称函数 在( x0 , y0 )有极大值；
（2）都有 f ( x, y) f ( x0 , y0 )，则称函数 在( x0 , y0 )有极小值；
极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点.
例1 函数 z 3x2 4 y2
(2)当AC B2 0时,没有极值;
(3)当AC B2 0时,为可能极值 ,需另作讨论 . （证略）
求函数z f ( x, y)极值的一般步骤： 第一步 解方程组 f x ( x, y) 0, f y ( x, y) 0
求出实数解，得驻点.
第二步 求fxx ( x, y), fxy( x, y), fyy ( x, y).
max f ( x) f ( x3 ), min f ( x) f ( x2 ) a x1o x2 x3 b c x
Δ=B 2-AC=0时二元函数极值问题讨论
且有 一 阶和二 阶 连 续偏 导数 ， 点 （ ，ｏ 它 的 而 。 ｙ）是
驻点 ， 设
， 。 ，一 ￡ ｔｏ取 极 值当 ＜ （ ＋ 罢 在 ＝处 得 小 ；ｃ ｏ ） 时“） ／ 。ｔｏ Ｂ在 ＝处 得 ，￡ （ ＋，一 ｆ ０ 取 极 （ ＝ ｙ ）
大值 。 （ ） 果 ≠ Ｏ 则点 （ ， 。 是 （ Ｙ ２如 ， 。 Ｙ ） ， ）的极
时要在b一a运用将多元问题化为一元问题处理的0对二元函数的极值问题进行了初步探讨方法通过具体例子介绍了方法的运用给出了函数取得极值的必要条件
２１ ００年 １ 月 ０
廊坊师范学院学报 （ 自然科学版 ）
Ｊｕｎｌ ｆＬ ｎｆｎ ｅｃｅｓ ｏｅｅＮａ ｒａ Ｓｉ ｃ ｄ ｉ ） ｏｒａｏ ａｇａ ｇＴ ａｈｒ Ｃ Ｕ ｇ（ ｔ ｎｌ ｃ ｎｅＥ ｉｏ ｕ ｅ ｔｎ
（ ）的极值 点的 必要 条件 是 函数 （ ， ， ，， ）在点
（ ， 。 四个 三阶偏 导数都 为 ０ 。 Ｙ ）的 。 证 明 构造 一元 函数 （ ）＝ ， 。＋ ｔＹ ￡ （ ， 。＋ ｍ ） 则 声 ）： ，
）＝
Ｆｕ ｃ ｉ ｎ ｗｉｈ Ａ ＝ Ｂ 一 Ａ Ｃ ＝ ０ Ｇａ ｎｉ ｇ Ｅｘ ｒ ｍ ｅＶａｕ ｎ ｔｏ ｔ ｉ ｎ ｔｅ ｌ ｅ
Ｌ Ｕ Ｌ ａ －ｕ Ｉ ｉｎｆ
【 ｂｔ ｃ】 Ｉ ｉｐｐｒ ｈ ｕｈ ｒ ｉ ｕｓ ｈ ｕｓｏ ｂ ｕ ｅ ｔ ｍｅｖｌｅ ｆ ｕｌｔ ｎｔ ｎｗ ｔ Ａ ｓ ａｔ ｎｔ ｓ ａｅ，ｔｅａｔｏ ｓ ｓｅ ｔｅｑｅｔ ｎａｏｔ ｘｒ ａ ａｓｃｆ ｃｏ ｉ Ａ＝Ｂ 一Ａ ｒ ｈ ｄｃ ｓ ｉ ｅ ｕ ｏ ｄ ｉｉ ｕ ｉ ｈ Ｃ
［ 中图分类号 ］Ｏ ７ １４
二元函数的极值与最值
2．二元函数的极值与最值二元函数的极值与最值问题已成为近年考研的重点， 现对二元函数的极值与 最值的求法总结如下： 1．二元函数的无条件极值 (1) 二元函数的极值一定在 驻点 和不可导点 取得。
对于不可导点，难以判断 是否是极值点；对于驻点可用极值的充分条件判定。
(2)二元函数取得极值的 必要条件 ： 设 z f (x,y) 在点(x 0,y 0) 处可微分且在 点(x 0, y 0 )处有极值，则 f 'x (x 0,y 0) 0， f 'y (x 0, y 0) 0，即 (x 0,y 0) 是驻点。
(3) 二元函数取得极值的 充分条件 ：设 z f (x,y) 在(x 0,y 0) 的某个领域内有 连续上 二阶偏导数，且 f 'x (x 0,y 0) f 'y (x 0, y 0) 0 ，令 f'xx (x 0,y 0) A ， f'xy (x 0,y 0) B ， f 'yy (x 0,y 0) C ，则当B 2AC 0且 A<0 时， f ( x 0 , y 0 )为极大值； 当B 2 AC 0且 A>0， f ( x 0 , y 0 )为极小值； B 2 AC 0 时，(x 0, y 0) 不是极值点。
注意： 当 B 2－AC = 0时，函数 z = f (x, y)在点( x 0 , y 0 )可能有极值，也可能没有 极值，需另行讨论 例 1 求函数 z = x 3 + y 2－ 2xy 的极值． 【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点， 先求出一阶偏导， 再令其为零 确定极值点即可， 然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值， 【解】先求函数的一、二阶偏导数：并求出相应的极值 . 2z 2 z z 3x 2y ， 2y 2x ． 26x ,xy x2zxy2z2y 2再求函数的驻点．令 z= 0，x得方程组23x 2y 0, 2y 2x 0.22求得驻点(0，0)、( 2，2)．33利用定理 2 对驻点进行讨论：2．(1)对驻点(0, 0)，由于 A = 0, B =－2， C = 2，B 2－AC 0,故(0, 0)不是函数 z = f(x, y) 的极值点．(2)对驻点( 2，2)，由于 A =4, B =－2，C = 2,B 2－AC =－4 0, 且A 0,则 332 2 4 f ( 2，2) 4为函数的一个极小值．3 3 27例 2：( 2004数学一)设 z=z(x,y)是由 x 26xy 10 y 22yz z 218 0 确定的函 数，求 z z(x, y )的极值点和极值 .分析 】 本题把极值问题与隐函数求导方法相结合，计算量是比较大的。
二元函数求极值
§6.7二元函数的极值在管理科学、经济学、以及许多工程与科技问题中，常常需要研究函数的最大值与最小值问题，它们统称最值问题。
需要求最值的函数为目标函数，该函数的自变量为决策变量，相应的问题为优化问题。
教学目的与要求：1、理解二元函数极值的概念，2、弄清二元函数极值与最值相关的概念；3、正确判断所给点是否为驻点、极值点，4、会用充分条件判定二元函数的极值，教学重点：1、熟练掌握二元函数的极值与最值的求法.2、掌握二元函数取得极值的必要条件与充分性判别法，教学难点：求最值实际问题会建立模型。
教学方法：启发式讲授：问题（最值实际问题会建立模型）1、2010年我校“三宣传”工作，通过讲座和简章进行品牌宣传，我初步统计，收入R万元与投入讲座X万元和印刷简章Y万元之间有如下关系（经验公式）求：最优（最大利润）的宣传策划。
22=++--(,)1020.2530.37105Q x y xy x y x y问题（最值实际问题会建立模型）2、某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖x元，外地牌子的每瓶卖y元，则每天可卖出7054x y-+瓶本地牌子的果汁，+-瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可x y8067取得最大收益？(,)(1)7054)( 1.2)(8067)=--++-+-f x y x x y y x y教学过程：在实际问题中，往往会遇到二元函数的最大值，最小值问题，与一元函数相类似讨论二元函数的最大值，最小值与极大值，极小值的密切的关系，复习1、一元函数的极值：（1）求出函数()f x在区间（a，b）内的所有极值嫌疑点，则可以通过求导数'()f x =0 ，查找驻点和不可导点获得；（2）计算函数()y f x =在各个极值嫌疑点、不可导点和驻点以及区间端点a ,b 处的函数值；（3）.比较这些函数值的大小，其中最大者就是最大值，最小者就是最小值。
二元二次方程最值公式
二元二次方程最值公式二元二次方程啊，这可是数学里一个挺有意思的家伙！咱们先来看看啥是二元二次方程。
比如说$x^2 + y^2 + 2x - 3y + 5 = 0$，这就是一个二元二次方程。
对于二元二次方程的最值问题，咱们得先搞清楚它的一些特点和规律。
咱先来说说常见的求最值的方法。
有一种方法是通过配方，把方程变形，变成那种能明显看出最值的形式。
就拿方程$x^2 + 2x + y^2 - 4y + 5 = 0$来说，咱可以把它变成$(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 0$。
这样一来，就能知道当$x = -1$，$y = 2$的时候，方程的值最小，就是 0 啦。
还有一种方法是利用判别式。
比如说有个方程$y = x^2 + 2x + 3$，咱可以把它变形为关于$x$的一元二次方程$x^2 + 2x + 3 - y = 0$，然后用判别式$\Delta = 4 - 4(3 - y) \geq 0$，就能求出$y$的取值范围，从而知道最值。
我记得之前给学生讲这部分内容的时候，有个学生特别较真儿。
当时我在黑板上写了一道例题，让大家自己先琢磨琢磨。
结果这孩子一下子就站起来说：“老师，我觉得您这个方法不对！”我心里一咯噔，想着这是咋回事儿呢？然后他就开始讲自己的思路，虽然有点小偏差，但那种敢于质疑、积极思考的劲儿真让我高兴。
我耐心地给他解释清楚，最后他恍然大悟，那表情就像是解开了一个超级大谜团一样。
再来说说在实际应用中的情况。
比如说在几何问题里，求一个椭圆或者抛物线的最值，这时候二元二次方程的最值公式就能派上大用场啦。
还有在解决一些优化问题的时候，比如要在一定条件下，求出成本最低或者利润最大的方案，也经常会用到二元二次方程的最值。
总之啊，二元二次方程的最值公式虽然有点复杂，但只要咱们掌握了方法，多做几道题练练手，就一定能把它拿下！就像那个较真儿的学生，只要咱们不怕困难，敢于思考，就没有解决不了的数学问题！希望大家都能在数学的海洋里畅游，轻松搞定二元二次方程的最值！。
二元函数的极值
一、二元函数的极值 二、最值应用问题
第八章
机动
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一、 多元函数的极值
定义: 定义 若函数 的某邻域内有
则称函数在该点取得极大值(极小值). 极大值和极小值 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 例如 : 在点 (0,0) 有极小值; 在点 (0,0) 有极大值; 在点 (0,0) 无极值.
因此 为极小值.
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二、最值应用问题
依据 函数 f 在闭域上连续 函数 f 在闭域上可达到最值
驻点 最值可疑点 边界上的最值点
特别, 只有一个极值点P 时, 特别 当区域内部最值存在, 且只有一个 只有一个
f (P) 为极小(大) 值
f (P) 为最小(大)值
的极值.
B
C
f xx (x, y) = 6x + 6, f xy (x, y) = 0, f yy (x, y) = −6y + 6
A
在点(1,0) 处
AC −B2 =12×6 > 0, A > 0,
为极小值;
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在点(1,2) 处
AC −B2 =12×(−6) < 0,
解得:
3 由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有
α = = 60 , x = 8 (cm)
π
一个驻点, 故此点即为所求.
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内容小结
1. 函数的极值问题 第一步 利用必要条件在定义域内找驻点. 如对二元函数 z = f (x, y), 即解方程组
对一道二元函数最值问题求解的多视角探究
对一道二元函数最值问题求解的多视角探究
王东海
【期刊名称】《中学数学研究》
【年(卷),期】2024()3
【摘要】1 考题呈现(2023届高三武汉市重点高中4月联考第16题) 已知正实数x,y满足xy^(2)(x+y)=9,则2x+y的最小值为______.分析:本题是二元方程约束条件下的二元目标函数最值问题,试题简洁、优美,设有陷阱并有一定的难度,呈现出一定的综合性与选拔性,需要较高的逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养.可以通过均值不等式法,或消参减元法,也可采取数形结合的方法来处理.
【总页数】3页(P48-50)
【作者】王东海
【作者单位】安徽省合肥市肥东县城关中学
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.从一道模考题探究二元函数最值问题的多种解法
2.对一道二元分式函数最值问题的探究
3.证券公司营业部绩效考核问题研究
4.一道二元分式函数最值问题的再探究
5.一道二元函数最值问题的溯源与求解
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