人教B版(文科数学) 圆的方程名师精编单元测试

2019届人教B 版（文科数学） 圆的方程 单元测试1．若方程22448430x y x y +-+-=表示圆，则其圆心为 A ．11,2⎛⎫--⎪⎝⎭B ．11,2⎛⎫⎪⎝⎭ C ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,2⎛⎫-⎪⎝⎭2．若直线0x y a ++=是圆2220x y x +-=的一条对称轴，则a 的值为 A ．1 B ．1- C ．2D ．2-3．对于a ∈R ，直线()1210a x y a -++-=恒过定点P ，则以P 为圆心，2为半径的圆的方程是 A ．224210x y x y +-++= B ．224230x y x y +-++= C ．224210x y x y ++-+=D ．224230x y x y ++-+=4．若过点()2,0有两条直线与圆222210x y x y m +-+++=相切，则实数m 的取值范围是 A ．(),1-∞- B ．()1,-+∞ C ．()1,0-D ．()1,1-5．已知A （－4，－5）、B （6，－1），则以线段AB 为直径的圆的方程 A ．（x ＋1）2＋（y －3）2＝29 B ．（x －1）2＋（y ＋3）2＝29 C ．（x ＋1）2＋（y －3）2＝116D ．（x －1）2＋（y ＋3）2＝116 6．圆上的点到直线的距离最大值是 A ．B ．C ．D ．7．圆C 的圆心在y 轴正半轴上，且与x 轴相切，被双曲线2213y x -=，则圆C 的方程为A ．()2211x y +-=B ．(223x y +=C ．221x y ⎛+= ⎝D ．()2224x y +-=8．若直线10l ax by ++=：经过圆M ：224210x y x y ++++=的圆心，则()222(2)a b -+-的最小值为A B ．5C ．D ．109．已知圆C ：()()22341x y -+-=与圆M 关于x 轴对称，Q 为圆M 上的动点，当Q 到直线2y x =+的距离最小时，Q 点的横坐标为A ．2-B ．2±C ．3-D ．3±10．过点()1,1P 的直线将圆形区域22{()4|,}x y x y +≤分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为 A ．20x y +-= B ．10y -= C ．0x y -=D ．340x y +-=11．已知点()1,,Q m -，P 是圆C ：()()22244x a y a -+-+=上任意一点，若线段PQ 的中点M 的轨迹方程为()2211x y +-=，则m 的值为A ．1B ．2C ．3D ．412．已知圆22:230C x y x +--+=，点()0,(0)A m m >，A B 、两点关于x 轴对称．若圆C 上存在点M ，使得0AM BM ⋅=，则当m 取得最大值时，点M 的坐标是A ．32⎛⎝B ．32⎫⎪⎪⎭C ．32⎛ ⎝D ．32⎫⎪⎪⎭13．在平面直角坐标系中，三点()0,0O ,()2,4A ，()6,2B ，则三角形OAB 的外接圆方程是 ． 14．设点M （x 0,1），若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是 ． 15．已知x ,y 满足2x －4x －4＋2y ＝0, 则22x y +的最大值为 ． 16．已知圆C 的圆心坐标为()00,C x x ，且过定点()6,4P ．（1）写出圆C 的方程；（2）当0x 为何值时，圆C 的面积最小，并求出此时圆C 的标准方程．17．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,2A ，()0,0O .（1）在x 轴的正半轴上求一点M ，使得以OM 为直径的圆过A 点，并求该圆的方程; （2）在（1）的条件下，点P 在线段OM 内，且AP 平分OAM ∠，试求P 点的坐标.18．已知圆过点()1,2A -，()1,4B -．求：（1）周长最小的圆的方程；（2）圆心在直线240x y --=上的圆的方程．19．已知圆()22:25C x y ++=，直线:120l mx y m -++=，m ∈R ．（1）求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同的交点,A B ； （2）求弦AB 的中点M 的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线.1．（2018天津文）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为 ．1．【答案】C【解析】由题意可知，()()0,0,6,8O C -，则圆心坐标为()3,4-10=，据此可得圆的方程为()()22210342x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，即()()223425x y -+-=. 本题选择C 选项. 2．【答案】D【名师点睛】本题主要考查两圆关于直线对称的性质，解答本题的关键是利用了两圆关于某直线对称时，两圆圆心的连线和对称轴垂直，斜率之积等于1-，属于基础题． 3．【答案】（1）()()22132x y -+-=；（2）165. 【解析】（1）圆C 的方程可化为()22416x y +-=， 所以圆心为()0,4C ，半径为4，设(),M x y ，则()(),4,2,2CM x y MP x y =-=--，由题意知0CM MP ⋅=，故()()()2420x x y y -+--=，即()()22132x y -+-=， 由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是()()22132x y -+-=.【思路点拨】（1）由圆C 的方程求出圆心坐标和半径，设出M 坐标，由CM 与MP 数量积等于0列式得M 的轨迹方程；（2）设M 的轨迹的圆心为N ，由OP OM =得到ON PM ⊥．求出ON 所在直线的斜率，由直线方程的点斜式得到PM 所在直线方程，由点到直线的距离公式求出O 到l 的距离，再由弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出PM 的长度，代入三角形面积公式得答案． 【名师点睛】求轨迹方程的常用方法：（1）直接法：直接利用条件建立x ，y 之间的关系(),0F x y =； （2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程；（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程； （4）代入(相关点)法：动点(),P x y 依赖于另一动点()00,Q x y 的变化而运动，常利用代入法求动点(),P x y 的轨迹方程．4．【答案】B【解析】由224240x y x y ++--=，得圆的标准方程为()()22219x y ++-=，表示以()2,1B -为圆心，3为半径的圆，如图所示，连接OB ，并延长交圆于点A ，此时22x y +取得最大值，又33OA OB r =+=+=,所以(22314OA ==+，即22xy +的最大值为14+，故选B.【名师点睛】本题主要考查了圆的标准方程，以及两点间的距离公式的应用，其中解答中利用数形结合思想，借助圆的特征，找出适当的点A ，把22x y +的最大值转化为原点与A 的距离的平方是解答的关键，着重考查了数形结合思想和推理、计算能力.1．【答案】D【解析】圆的一般方程为：223204x y x y +-+-=，据此可得，其圆心坐标为：21,22-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，即11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.本题选择D 选项. 2．【答案】B【名师点睛】本题主要考查圆的一般方程化为标准方程，以及由标准方程求圆心坐标，意在考查学生对圆的基本性质的掌握情况，属于简单题.由题意可知直线通过圆的圆心，求出圆心坐标代入直线方程，即可得到a 的值. 3．【答案】A【解析】由条件知()1210a x y a -++-=，可以整理为()120,x y x a +-+-=故直线()1210a x y a -++-=过定点P ()2,1-，所求圆的方程为()()22214x y -++=，化为一般方程为224210x y x y +-++=．故选A ．4．【答案】D【解析】圆的方程化为标准式为()()22111x y m -++=-，因为过点()2,0有两条直线与圆()()22111x y m -++=-相切，所以点()2,0在圆外.所以()()221021011m m->⎧⎪⎨-++>-⎪⎩，解不等式组得11m -<<，故选D.【名师点睛】本题考查了点与圆的位置关系及其简单应用，属于基础题.由于有两条直线与圆相切，所以可知点在圆外；由点与圆的位置关系及圆的判断条件，可得m 的取值范围. 5．【答案】B6．【答案】D【解析】因为圆心(1,1)C 到直线的距离是，又圆222210x y x y +--+=的半径，所以圆上的点到直线的距离最大值是，故选D ．7．【答案】A【解析】设圆C 的方程为()222()0x y a aa +-=>，圆心坐标为()0,a ，∵双曲线2213y x -=的渐近线方程为y =，∴2222a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴a =1，∴圆C 的方程为x 2+（y −1）2=1．故选A ． 【名师点睛】求圆的方程，主要有两种方法：（1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．（2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式． 8．【答案】B【解析】由圆的方程知圆心为()2,1--，所以21a b +=，()222(2)a b -+-的几何意义为直线21a b +=上的动点(),a b 与定点()2,2的距离的平方，故过点()2,2向直线21a b +=作垂线段，其长的平方最小，最小值为25d =，故选B.9．【答案】C【解析】圆M 的方程为：()()22341x y -++=，过M （3，−4）且与直线2y x =+垂直的直线方程为1y x =--,代入()()22341x y -++=，得3x =±，故当Q 到直线2y x =+的距离最小时，Q 的坐标为3x = 10．【答案】A【解析】两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．因为过点()1,1P 的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为1-，即方程为20x y +-=. 11．【答案】D12．【答案】C【解析】由题得圆的方程为()(2211,x y -+=()0,,B m -设(),,M x y 由于0AM BM ⋅=，所以()()222222,,0,0,,x y m x y m x y m m x y -⋅+=∴+-=∴=+由于22x y +表示圆C 上的点到原点距离的平方，所以连接OC ，并延长和圆C 相交，交点即为M ，此时2m 最大，m 也最大.故选C.13．【答案】22620x y x y +--=【名师点睛】本题主要考查圆的方程和性质，属于中档题.求圆的方程常见思路与方法有: ①直接设出动点坐标(),x y ，根据题意列出关于,x y 的方程即可； ②根据几何意义直接找到圆心坐标和半径，写出方程；③待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般式方程，再根据所给条件求出参数即可. 14．【答案】 [－1,1]【解析】由已知圆心（0,0），半径r ＝1，M 位于直线y ＝1上，过M 作圆的切线，切点为C ，D （如图）．则∠OMN ≤12∠CMD ，∴∠CMD ≥90°．当∠CMD ＝90°时，则OCM △为等腰直角三角形，故OC ＝CM ＝1． ∴所求x 0的取值范围是－1≤x 0≤1．15．【答案】12+【解析】由题意，曲线22440x x y --+=，即为()2228x y -+=， 所以曲线表示一个圆心在()2,0，半径为的圆，又由22x y +表示圆上的点到原点之间距离的平方，且原点到圆心的距离为2，所以原点到圆上的点的最大距离为2+，所以22x y +的最大值为(2210+=+．【名师点睛】本题主要考查了圆的标准方程及其特征的应用，其中把22x y +转化为原点到圆上的点之间的距离是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．16．【答案】（1） ()()2220000=22052x x y x x x -+--+；（2）05x =，()()22552x y -+-=.【解析】（1） ()()()()2222200000064=22052x x y x x x x x -+-=-+--+；（2）()()()22222000006422052252r x x x x x =-+-=-+=-+，所以05x =时，r，所以min 2,S =π此时圆的标准方程为()()22552x y -+-=. 17．【答案】（1）M ()5,0，2250x y x +-=；（2）5,03⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）设P 的坐标为(),0a ，依题可得，直线OA 的方程为：20x y -=， 直线AM 的方程为：250x y +-=. 因为AP 平分OAM ∠，所以P 点到直线OA 和AM 的距离相等.，得25a a =-，解得5a =-或53a =. 05a <<，53a ∴=，P ∴的坐标为5,03⎛⎫⎪⎝⎭.【名师点睛】该题考查的是有关解析几何初步的知识，涉及的知识点有：在圆中，直径所对的圆周角为直角；向量垂直，数量积等于零；以某条线段为直径的圆的方程；角平分线的性质.根据题的条件，得到相应的等量关系式，求得结果.18．【答案】（1）x 2＋（y －1）2＝10；（2）（x －3）2＋（y －2）2＝20．（2） 解法1：直线AB 的斜率为k ＝－3，则线段AB 的垂直平分线的方程是y －1＝13x ．即x －3y ＋3＝0．由圆心在直线240x y --=上得两直线交点为圆心即圆心坐标是C （3,2）．r ＝|AC |=．∴所求圆的方程为（x －3）2＋（y －2）2＝20． 解法2：待定系数法设圆的方程为：（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2．则.∴所求圆的方程为：（x －3）2＋（y －2）2＝20．19．【答案】（1）见解析；（2）M 的轨迹方程是()2211224x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，它是一个以12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭为圆心，12为半径的圆．【解析】（1）圆()22:25C x y ++=的圆心为()2,0C -，半径为，所以圆心C 到直线:120l mx y m -++=所以直线l 与圆C 相交，即直线l 与圆C 总有两个不同的交点；或：直线:120l mx y m -++=的方程可化为()()210m x y ++-=，无论m 怎么变化，直线l 过定点()2,1-.由于()2222115-++=<，所以点()2,1-是圆C 内一点，故直线l 与圆C 总有两个不同的交点．（2）设中点为(),M x y ，因为直线:120l mx y m -++=恒过定点()2,1-， 当直线l 的斜率存在时， 12AB y k x -=+，又2MC yk x =+， 1AB MC k k ⋅=-， 所以1122y y x x -⋅=-++，化简得()()22112224x y x ⎛⎫++-=≠- ⎪⎝⎭．当直线l 的斜率不存在时，中点()2,0M -也满足上述方程．所以M 的轨迹方程是()2211224x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，它是一个以12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭为圆心，12为半径的圆．1．【答案】2220x y x +-=【名师点睛】求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．。