人教版高中数学必修三 第三章 概率 《几何概型》教案

《几何概型》教案
教材分析：几何概型是在古典概型基础上进一步的发展，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸.几何概型的基本特点是：在每次随机试验中，不同的试验结果有无限多个，即基本事件有无限个；在这个随机试验中，每个试验结果出现的可能性相等，即基本事件是等可能的.几何概型与古典概型的区别在于，几何概型是无限个等可能事件的情况，而古典概型中的等可能事件只有有限个.教材从两者的比较入手，通过分析简单的几何概型的例子入手引出几何概型的计算方法。

本节安排的例题和习题分别从一维的长度，二维的面积，三维的体积作为测度进行分析的.
教学目标：
知识与技能：1.学生初步掌握并运用几何概型解决有关概率问题；
2、能够正确区分几何概型与古典概型；
3、提高学生判断与选择几何概型的概率公式的能力；
过程与方法：通过实例把几何概型与古典概型进行比较分析发掘几何概型的特点以及几何概型的概率计算方法；
情感态度价值观：学生体会数学来源于实践，并且培养学生发现问题、分析问题进而解决问题的良好习惯.
教学重点与难点：
重点：几何概型的特点及其几何概型的概率公式的判断与选择；
难点：几何概型的概率公式的判断与选择.
教学方法：探究性学习，体现以“教师为主导，学生为主体”
教学过程:
一、知识回顾
1.古典概型的特点
2.概率公式：
二、探索研究
【对比研究】
(骰子游戏)：甲乙两人掷骰子，掷一次，规定谁掷出6点朝上则谁胜，请问甲、乙谁获胜的概率大？
学生分析：掷骰子的结果是有限个，且掷得每个结果都是等可能性的，符合古典概型的特点，因而可以利用古典概型计算；
学生求解：
1
;
6
p=
甲
1
6
p=
乙。

（转盘游戏）：图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少?
①②
师生共同分析：
1、指针指向的每个方向都是等可能性的，但指针所指的位置却是无限个的，因而不是古典概型；
2、利用B区域的所对弧长、所占的角度或所占的面积与整个圆的弧长、角度或面积成比例研究概率；
学生求解：
法一（利用B区域所占的弧长）：
1(1)();2B p B ==所在扇形区域的弧长整个圆的弧长3(2)().5B p B ==所在扇形区域的弧长整个圆的弧长
法二（利用B 区域所占的圆心角）：
1801(1)();3602B p B ︒
︒===所在圆心角的大小圆周角336035(2)();3605B p B ︒︒⨯===所在圆心角的大小圆周角 法三（利用B 区域所占的面积）：
1(1)();2B p B ==所在扇形的面积整个圆的面积3(2)().5B p B ==所在扇形的面积整个圆的面积
【提出问题】
⑴两个问题中，求概率的方法一样吗？若不一样,请问是什么原因？ ⑵你是如何解决这些问题的？
学生对比分析：
⑴ 骰子游戏中色子的六个面上的数字是有限个的，且每次投掷都是等可能性的，因而是古典概型；
转盘游戏中指针指向的每个方向都是等可能性的，但指针所指的方向却是无限个的，
因而不是古典概型.
⑵借助几何图形的长度、面积等计算概率；
【问题探究】分析下列三个问题的概率，从中你能得出哪些求概率的结论？
问题 1（绳子问题）：某人在家门前相距6米的两棵树间系一条绳子，并在绳子上挂一个衣架，求衣架钩与两树的距离都大于2米的概率.
学生分析：衣架钩与两树的距离都大于2米, 所以衣架钩应在图中B 、C 之间的任何一点都可以，结果有无数多种，而且等可能，所以不是古典概型；
学生求解:记“衣架钩与两树的距离都大于2米”为事件A ， 所以
30P()0.650A == 学生归纳：1、该概率的特点不符合古典概型，不能利用古典概型；
2、
A P()A =构成事件的区域长度
试验的全部结果构成的区域长度 问题2（撒豆子问题）：如图,假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆,计算它落到阴影部分的概率.
学生分析：豆子撒在图形的每个位置的机会是等可能的，但豆子的位置却是无限多个的，因而不能利用古典概型。

学生求解：记“落到阴影部分”为事件A ，在如图所示的阴影部分区域内事件A 发生，所以
（1）
44)2()2()(222ππ-=-==r r r A P 区域面积实验的全部结果构成的阴影部分的区域面积
学生归纳：1、该概率的特点不符合古典概型，不能利用古典概型；
2、
A P()A =构成事件的区域面积
试验的全部结果构成的区域面积 问题3（取水问题）：有一杯1升的水,其中含有1个细菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1升,求小杯水中含有这个细菌的概率.
学生分析：细菌在1升水的杯中任何位置是等可能的，且细菌所在的位置是无限多个的，因而不能利用古典概型；
学生求解：记“小杯水中含有这个细菌”为事件A ，事件A 发生的概率：
0.1P()0.1.1A ===取出水的体积杯中所有水的体积
学生归纳：1、该概率的特点不符合古典概型，不能利用古典概型；
2、
A P()A =构成事件的区域体积
试验的全部结果构成的区域体积 【学习新知】
1、 几何概型的定义：
事件A 理解为区域Ω的某一子区域A ，A 的概率只与子区域A 的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A 的位置和形状无关.满足以上条件的试验称为几何概型.
2、几何概型的特点:
(1)试验中所有可能出现的基本事件有无限多个.
(2)每个基本事件出现的可能性相等.
3、几何概型求事件A 的概率公式：
Ω=μμA
A P )(，其中Ωμ表示区域Ω的几何度量，A μ表示子区域A 的几何度量.
4.几何概型中，用一维的长度，二维的面积，三维的体积作为测度.
5、古典概型与几何概型的区别：
【当堂落实】
1．下列概率问题中哪些属于几何概型？
(1) 从一批产品中抽取30件进行检查,有5件次品，求正品的概率.
(2) 箭靶的直径为1m ，其中，靶心的直径只有12cm ，任意向靶射箭，射中靶心的概率为多少？
(3) 甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时才可离去，求两人能会面的概率.
【思维拓展】
某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟
的概率
.
学生分析: 收音机每小时报时一次，某人午觉醒来的时刻在两次整点报时之间都是等可能的，且醒来的时刻有无限多个的，因而适合几何概型.
设A={等待的时间不多于10分钟}.事件A 恰好是打开收音机的时刻位于[50,60]时间段内事件A 发生.
学生求解：
法一：（利用利用[50,60]时间段所占的弧长）：
1();6A p A ==所在扇形区域的弧长整个圆的弧长 法二：（利用[50,60]时间段所占的圆心角）：136016();3606A p A ︒︒⨯===所在圆心角的大小圆周角
法三：（利用[50,60]时间段所占的面积）：
101();606A p A ===所在扇形的面积整个圆的面积 法四：将时间转化成长60的线段，研究事件A 位于[50,60]之间的线段的概率:
6050403020100 ∴60501().6p A -==60
三、课堂小结
1、本节课的主要内容：几何概型的定义 、特点及其概率公式；
2、本节课的难点：几何概型的判断与选择；
四、课后巩固
1、教材P114习题3.3 A组1，2；
2、学习后记：小论文《举例说明古典概型、几何概型分析概率问题的异同》.
附：板书设计：。