几个重要的等价无穷小公式

几个重要的等价无穷小公式

注：以下无穷小的等价性都是在 0x → 的极限过程中成立的。

sin x x

tan x x arcsin x x arctan x x

1x e x -

1ln x a x a -

ln(1) x x ±±

log (1)ln a x x a

+

3

sin 6x x x -

3

tan 3x x x -

3

arcsin 6x x x -

3

arctan 3x x x -

2

1cos 2

x x -

2

sec 12

x x -

3

tan sin 2

x x x -

2

ln(1)2

x x x ±-

(1)1k k

x x αα+- （0 k α>>0，）

特别地有：11k

n

k

x x n

+- （k >0）

更一般的有：(1())1()g x g x αα+- （其中0α>、()g x 为 0x → 时的无穷小）

几个重要结论：

△ Stolz 定理：若 lim n n x a →∞=，则 ① 12lim

n

n x x x a n

→∞++⋅⋅⋅+=； ② 12lim n n n x x x a →∞⋅⋅⋅=

注：Stolz 定理对于a =∞也是成立的。

△ 0a ∀> 有 lim 1n n a →∞

=；

k Z +∀∈ 有 lim 1n k n n →∞

=；

但是 lim !n n n →∞

=+∞

△当 x →∞（或+∞或-∞）时，()f x A →（正常极限），则函数 ()y f x = 的图像在相应方向上有水平渐近线 y A =（教材第31页）。

△ 当 0x x → 时，()f x →∞（或+∞、或-∞），则函数 ()y f x = 的图像在0x 处有铅直渐近线 0x x =（教材第36页）。 △ 当 x →∞（或+∞或-∞）时，有 ()

lim

(0 )f x k x

=≠、lim [()]f x kx b -=， 则函数 ()y f x = 的图像在相应方向上有斜渐近线 y kx b =+（教材第72页）。 初等函数的连续性：一切初等函数在其定义区间内都是连续的（教材第64页）。