排列组合常用方法

解排列组合问题的常用技巧

解答排列组合问题，首先必须认真审题，明确问题是属于排列问题还是组合问题，或者属于排列与组合的混合问题，其次要抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析解答。同时还要注意讲究一些策略和方法技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解。结合我们几年的教学下面介绍几种常用的技巧。

一、合理分类与准确分步法

解含有约束条件的排列组合问题，应按元素性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，作到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。

【例1】五个人从左到右排成一排，其中甲不在中间，乙不在末尾，不同的排法有 （ ）

A ．96种

B ．120种

C ．78种

D ．72种

分析：由题意可先安排甲，并按其分类讨论：①若甲在末尾，剩下四人可自由排，有4

4

A 种排法；②若甲在第一，二，四位置上，则有1

31

33

3A A A 种排法。由分类计数原理，不同排法

共有781

3133344=+A A A A 种，答案：C

二、正难反易转化法

对于一些生疏问题或直接求解较为复杂或较为困难问题，从正面入手情况较多，不易解决，这时可从反面入手，将其转化为一个简单问题来处理。

【例2】马路上有10只路灯，为节约用电又不影响正常的照明，可把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉两端的灯，那么满足条件的关灯方法共有多少种？

分析： 关掉第1只灯的方法有8种，关第二只，第三只时需分类讨论，十分复杂。若从反面入手考虑，每一种关灯的方法对应着一种满足题设条件的亮灯与关灯的排列，于是问题转化为“在7只亮灯的8个空中插入3只暗灯，但还要满足不插在两端”的问题。故关灯

方法种数为3

6C 。

三、混合问题“先选后排”

对于排列组合混合问题，可先选出元素，再排列。 【例3】4个不同小球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，恰有一空盒的方法有多少种？ 分析： 因有一空盒，故必有一盒子放两球。①选：从四个球中选2个有2

4C 种，从4个盒中选3个盒有3

4C 种；②排：把选出的2个球看作一个元素与其余2球共3个元素，对

选出的3盒作全排列有33A 种，故所求放法有1443

33424=A C C 种。

四、特殊元素“优先安排法”

对于带有特殊元素的排列组合问题，一般应先考虑特殊元素，再考虑其它元素。

【例4】用0，1，2，3，4，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）。 A ． 24个 B ．30个 C ．40个 D ．60个

分析：由于该三位数为偶数，故末尾数字必为偶数，又因为0不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，应优先安排，按0排在末尾和0不排在末尾分为两类：① 0排末尾时，

有2

4A 个1。②0不排在末尾时，则有131312A A A 个，由分数计数原理，共有偶数1

3131224A A A A +=30

个，答案：B

练习1、从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，

若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（ ）

（A ） 280种 （B ）240种 （C ）180种 （D ）96种

练习2、由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这

两个位置先排末位共有_1

3C __

然后排首位共有_1

4

C __

最后排其它位置共有___ 由分步计数原理得2883

41413

=A C C 五、局部问题“整体优先法”

对于局部排列问题，可先将局部看作一个元与其余元素一同排列，然后在进行局部排列。 【例5】7人站成一排照相，要求甲乙两人之间恰好隔三人的站法有多少种？

分析： 甲、乙及间隔的3人组成一个“小整体”，这3人可从其余5人中选，有2

5C 种；这个“小整体”与其余2人共3个元素全排列有3

3A 种方法，它的内部甲、乙两人有2

2A 种站

法，中间选的3人也有33A 种排法，故符合要求的站法共有7203

3223325=A A A C 种。

六、总体淘汰法

对于含有否定字眼的问题，还可以从总体中把不符合要求的除去，此时应注意既不能多减也不能少减。

例如在例4中，也可用此法解答：五个数字组成三为数的全排列有3

5A 个，排好后发现

0不能排首位，而且数字1，3也不能排末位，这两种排法要除去，故有30

1

313222435=--A A A A A 个偶数

七、相邻问题用“捆绑法”法

对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”起来，看成一个“大”的元素与其它的元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。

【例6】7人站成一排照相，甲、乙、丙三人相邻，有多少种不同排法？

分析： 把甲、乙、丙三人看作一个“元”，与其余4人共5个元作全排列，有5

5A 种排

法，而甲乙、丙、之间又有33A 种排法，故共有55A 72003

3=A 种排法。

练习、计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈

列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有（ ） （A ）

5

5

44A A （B ）

5

5

4433A A A （C ）

5

5

4413A A A （D ）

5

5

4422A A A

34

A 13

C 4

34

A