排列组合(20份)

排列组合与概率总结复习
两个基本原理：
1.加法原理（分类计数原理）:做一件事,完成它有n 类办法,在第一类办法中有1m 种不同的方法, 在第二类办法中有2m 种不同的方法, ……,在第n 类办法中有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有：n m m m m N +⋅⋅⋅+++=321种不同的方法.
2.乘法原理（分步计数原理）: 做一件事,完成它有n 个步骤,做第一步有1m 种不同的方法, 做第二步有有2m 种不同的方法, ……, 做第n 步有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有： n m m m m N ⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯=321种不同的方法.
特别注意：分类是独立的、一次性的；分步是连续的、多次的。

三组基本概念：
1．排列
1）排列：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。

2）排列数：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n 个不同元素
中取出m 个元素的排列数。

通常用m n A 表示。

特别地，当n m =时，称为全排列，当n m 时，称为选排列。

2． 组合
1）组合：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。

2）组合数：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n 个不同元
素中取出m 个元素的组合数,记作m n C 。

3． 事件与概率
1）事件的分类：（1）必然事件：在一定的条件下必然要发生的事件；（2）不可能事件：在一定的条件下不可能发生的事件；（3）随机事件：在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件。

2）一些特殊事件：
（1）等可能事件：对于每次随机试验来说，只可能出现有限个不同的试验结果；另外，所有不同的试验结果，它们出现的可能性是相等的。

（2）互斥事件：不可能同时发生的两个事件，我们把它称为互斥事件。

如果事件A 1，A 2，…，A n 中的任何两个都是互斥事件，那么就说事件A 1，A 2，…，A n 彼此互斥。

（3）对立事件：必有一个发生的两个互斥事件叫做对立事件。

事件A 的对立事件通常记作
A 。

特别地，有
B A +、B A ⋅的对立事件分别是B A ⋅、B A +，即B A B A ⋅=+、B A B A +=⋅。

（4）相互独立事件：一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响的两个事件叫做相互独立事件。

3）事件的概率：在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率
n
m 总是接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作P (A )。

一些重要公式：
1．排列数公式 ：
)!
(!)1()2)(1(m n n m n n n n A m n -=+-⋅⋅⋅--= 这里*,N m n ∈,且n m ≤。

2．组合数公式: !)!(!!)1()2)(1(m m n n m m n n n n A A C m m m n m n
-=+---== ，这里*,N m n ∈,且n m ≤。

注意：第一、二个公式分别多用于计算、证明。

3．等可能事件的概率公式：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是
n
1。

如果事件A 包含的结果有m 个，则事件A 的概率为n m A P =)(。

4．互斥事件有一个发生的概率公式：如果事件A 1，A 2，…,A n 彼此互斥，那么事件A 1+A 2+…+A n 发生（即A 1，A 2，…，A n 中有一个发生）的概率，等于这n 个事件分别发生的概率的和，即：P （A 1+A 2+…+A n ）=P （A 1）+P （A 2）+…+P （A n ）。

特别地，1）有对立事件的概率的和等于1 即：P (A )+P （A ）= 1。

2）对于事件A 与B 及它们的和事件与及事件有下面的关系：
)()()()(B A P B P A P B A P ⋅-+=+
5．相互独立事件同时发生的概率公式：如果事件A 1，A 2，…,A n 相互独立，那么这几个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即
P （A 1·A 2·…·A n ）=P （A 1）·P （A 2）·…·P （A n ）。

6．n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率公式：如果在1次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是
P n （k ）=C k n P k （1－P ）n －k （其中k =0,1,2,……,n ） 基本思想和二十一个方法：
解决排列组合综合性问题的一般过程如下:
1.认真审题弄清要做什么事
2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,
确定分多少步及多少类。

3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.
4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略
一.特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.
二.相邻元素捆绑策略
例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.
三.不相邻问题插空策略
例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？
四.定序问题倍缩空位插入策略
例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法
五.重排问题求幂策略
例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法
六.环排问题线排策略
例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法?
七.多排问题直排策略
例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法
八.排列组合混合问题先选后排策略
例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.
九.小集团问题先整体后局部策略
例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹在1,５两个奇数之间,这样的五位数有多少个？
十.元素相同问题隔板策略
例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？
十一.正难则反总体淘汰策略
例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？
十二.平均分组问题除法策略
例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？
十三. 合理分类与分步策略
例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法
十四.构造模型策略
例14. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？
十五.实际操作穷举策略
例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法
十六. 分解与合成策略
例16. 30030能被多少个不同的偶数整除
十七.化归策略
例17. 25人排成5×5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？
十八.数字排序问题查字典策略
例18．由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？
十九.树图策略
例19．3人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过5次传求后,球仍回到甲的手中,则不同的传球方式有______ 10
N
二十.复杂分类问题表格策略
例20．有红、黄、兰色的球各5只,分别标有A、B、C、D、E五个字母,现从中取5只,要求各字母均有且三色齐备,则共有多少种不同的取法
二十一：住店法策略
例21.七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有 .。