排列组合之排列与组合
例
• 100件产品中有3件是次品，其余都是正品。 现在从中取出5件产品，其中含有次品，有 多少种取法？
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• 解法1——分类，加法原理：
1 4 C * C • 含有1件次品： 3 97 2 3 C * C • 含有2件次品： 3 97 3 2 C * C • 含有3件次品： 3 97
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例
• n个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可 能的结果？ • 解法1：用分类记数的原理。（加法原理）
0 没有人通过，有 C n 种结果； 1 种结果； 1个人通过，有 Cn ……； n 种结果。 n个人通过，有 Cn
0 1 n Cn Cn 2 n 种可能的结果。 所以一共有 Cn
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例
• 8个人站成一排，其中A与B、A与C都不能 站在一起，一共有多少种排法？ • 解： • 无限制条件有 P88 种排法。 2 7 P • A与B或A与C在一起各有 2 P7 种排法， 2 6 • A、B、C三人站在一起且A在中间有 P2 P6 种 排法， 8 2 7 2 6 • 所以一共有 P8 2 P2 P7 P2 P6 21600 种 排法。
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• 解： • （1）按密码位数,从左到右依次设置第一位、 第二位、第三位，需分为三步完成： 第一步，m1 = 10； 第二步，m2 = 10； 第三步，m3 = 10。 根据乘法原理, 共可以设置 N=10×10×10=1000 种密码。
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六、机会均等法
• 例：10个人排成一队，其中甲一定要在乙 的左边，丙一定要在乙的右边，不一定相 邻，一共有多少种排法？ • 解： • 甲、乙、丙三人排列一共有 6 种排法， • 在这6种排法中各种排列顺序在10个人的所 有排列中出现的机会是均等的，而6种排列 中满足条件的只有1种， 1 10 • 因此符合题设条件的排法种数为 P10 604800
• 1．乘法原理 • 2．合理分步的要求 任何一步的一种方法都不能完成此任务， 必须且只须连续完成这n步才能完成此任务； 各步计数相互独立；只要有一步中所采取 的方法不同，则对应的完成此事的方法也 不同。
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例
• 用1,2,3,4,5,6这六个数字能组成多少个每一位数 字都不同的六位数？
组合数性质
• 性质1： C C • 性质2： C C • 证明：
m n m n nm n m n 1
(C 1)
m 1 n 1
0 n
C
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排列与组合
• 排列与元素的顺序有关，组合与顺序无关。 如2，3，1与2，1，3是两个排列，而2，3， 1与2，1，3是一个组合。 • 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素， “按照一定的顺序排成一列”与“不管怎 样的顺序并成一组”这是有本质区别的。
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七、转化法
• 例：从1、2、3、……、20这二十个数中任取三 个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列 有________个。 • 分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景 转化为一个明确的排列组合问题。 • 设a,b,c成等差，∴ 2b=a+c, 可知b由a,c决定； • 又∵ 2b是偶数，∴ a,c同奇或同偶，即：从1，3， 5，……，19或2，4，6，8，……，20这十个数 中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列， 因而本题答案为 2 2P 10 180 • 注意：本题是排列问题不是组合问题。
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四、插入法
• 例：排一张有8个节目的演出表，其中有3个小品。 小品节目不能排在第一个，也不能有两个小品排 在一起。有几种排法？ • 解： 5 • 先排5个不是小品的节目，有 P5 种排法； • 它们之间以及最后一个节目之后一共有5个空隙， 3 将3个小品插入进去，有 P5 种排法， • 所以一共有 P55 P53 7200 种排法。 • 注：捆绑法与插入法一般适用于有如上述限制条 件的排列问题。
• 所以符合题意的取法种数为：
1 4 3 3 2 C3 * C97 C32 * C97 C3 * C97
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• 解法2——排除法： 5 C • 从100件产品中取5件产品，有 100 种取法， 5 C • 从不含次品的97件中取出5件产品有 97 种 取法， 5 5 C C • 所以符合题意的取法有 100 97 种。
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• 解法2：用分步记数的原理。（乘法原理） 第一个人有 通过与不通过两 种可能， 第二个人也是这样 ， ……， 第n个人也是这样， 所以一共有 2*2*…*2=2n 种可能的结果。
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例
• 一个三位密码锁，每位上的数字都从 0,1,2,……,9 十个数字中选择。 • （1）若各位上的数字允许重复，则可以设 置多少种密码？ • （2）首位数字不为0呢？ • （3）首位数字为0呢？ • （1’）若各位上的数字不允许重复呢？
• • • • • •
解：从左到右每一位填一个数字，可分6步完成： 第1步：填左边第一位，有6种填法； 第2步：填左边第一位，有5种填法； …… 第6步：填最右边一位，有1种填法。 所以，根据乘法原理，共有 6*5*4*3*2*1=720 个。
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• 解法2：此题即求1，2，3，4，5，6的全排列数， 所以N= P66 6! 720
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• (2)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n) 个元素的所有排列的个数，记作 P m 。 n • 排列数公式： m Pn =n(n-1)(n-2)…(n-m+1) = n!
(n-m)!
• 当m=n时，称为全排列。全排列数公式为： n =n(n-1)(n-2)…3·2·1＝n！ P
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3 P 10 10 * 9 * 8 720
二、特殊元素（位置）优先
• 例：从0，1，……，9这10个数字中选取5个不同 数字组成5位的偶数，共有多少个？
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• 解：可分为两类： 4 • 第一类：个位填0，有 P9 个； • 第二类：个位不填0且万位不能填0， 分三步： 1 第一步：填个位 C4 1 第二步：填万位 C8 3 第三步：填其他位 P8 1 1 3 所以第二类共有 C4 C8 P8 个； 1 1 3 • 所以一共可以得到 P94 C 4 C8 P8 13776 个偶数。 • 注：0，2，4，6，8是特殊元素，元素0更为特殊， 首位与末位是特殊的位置。
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加法原理和分类计数法
• 1．加法原理 • 2．分类的要求 每一类中的每一种方法都可以独立地完成 此任务；两类不同办法中的具体方法，互 不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一 种方法，都属于某一类(即分类不漏)。
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乘法原理和分步计数法
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• (2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个 m 元素的所有组合的个数，记作 C。 n • 组合数公式： m Pn n(n-1)(n-2)...(n-m+1) m Cn m =
Pm
m!
故 C
m n
n! m!(n-m)!
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n
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组合和组合数
• (1)组合：从n个不同元素中，任取m(m≤n) 个元素并成一组，叫做从 n个不同元素中取 出m个元素的一个组合。 • 从组合的定义知，如果两个组合中的元素 完全相同，不管元素的顺序如何，都是相 同的组合；只有当两个组合中的元素不完 全相同时，才是不同的组合。
排列组合
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引例
• （1）从1、2、3这3个数中任取2个数的排 列有哪些？ • （2）从1、2、3这3个数中任取2个数的组 合有哪些？
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解答
• • • • • • • • • • （1）从1、2、3这3个数中任取2个数的排列有哪些？ 共6种排列： 1 2，2 1 1 3，3 1 2 3，3 2 2 3 排列数记作： （2）从1、2、3这3个数中任取2个数的组合有哪些？ 共3种组合： 1 2，1 3，2 3 2 组合数记作： 3
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五、排除法
• 例：求以一个长方体的顶点为顶点的四面 体的个数。 • 解： 4 • 从8个点中取4个点，共有 C8 种， • 其中取出的4个点共面的有 6 6 12 种， 4 • 所以符合条件的四面体的个数为 C8 12 58
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例
• 8人站成两排，每排4人，甲在前排，乙不 在后排的边上，一共有多少种排法？ • 解：分三步： 1 • 第一步：先排甲，有 P4 种排法。 1 • 第二步：再排乙，有 P5 种排法， • 第三步：再排其余的人，又有 P66 种排法， 1 1 6 • 所以一共有 P4 P5 P6 14400 种排法。
6
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例
• 用1，4，5，x 四个数字组成四位数，所有 这些四位数中的数字的总和为288，求x。 • 解： 4 • 若x不为0，一共可以得到 P4 24 个四位数。 因为 1，4，5，x 出现的机会是均等的， 即在每一个四位数里都出现一次，所以有： 24 (1 4 5 x) 288 解得x=2。 • 若x为0，一共可以得到 18 个四位数。 而此时18*(1+4+5) ≠ 288 所以x不可能为 0。
高中数学选修2-3-排列与组合
排列与组合知识集结知识元排列与排列数公式知识讲解1．排列及排列数公式【考点归纳】1．定义（1）排列：一般地，从n个不同的元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）（2）排列数：从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示．2．相关定义：（1）全排列：一般地，n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列．（2）n的阶乘：正整数由1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示．（规定0!＝1）3．排列数公式（1）排列计算公式：＝．m，n∈N+，且m≤n．（2）全排列公式：＝n•（n﹣1）•（n﹣2）•…•3•2•1＝n!．例题精讲排列与排列数公式例1.（x-2）（x-3）（x-4）…（x-15）（x∈N+，x>15）可表示为（）A．A B．A C．A D．A例2.若=12，则n=（）A．8B．7C．6D．4例3.已知=15，那么=（）A．20B．30C．42D．72组合与组合数公式知识讲解1．组合及组合数公式【考点归纳】1．定义（1）组合：一般地，从n个不同元素中，任意取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个元素中任取m个元素的一个组合．（2）组合数：从n个不同元素中，任意取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m个元素的组合数，用符号表示．2．组合数公式：＝．m，n∈N+，且m≤n．3．组合数的性质：性质1性质2．例题精讲组合与组合数公式例1.'排球单循环赛南方球队比北方球队多9支南方球队总得分是北方球队的9倍求证冠军是一支南方球队（胜得1分败得0分）．'例2.'一个袋子里装有大小相同且标有数字1～5的若干个小球，其中标有数字1的小球有1个，标有数字2的小球有2个，…，标有数字5的小球有5个．（Ⅰ）从中任意取出1个小球，求取出的小球标有数字3的概率；（Ⅱ）从中任意取出3个小球，求其中至少有1个小球标有奇数数字的概率；（Ⅲ）从中任意取出2个小球，求小球上所标数字之和为6的概率．'例3.'求C3n38-n+C21+n3n的值．'排列组合的简单计数问题知识讲解1．排列、组合及简单计数问题【知识点的知识】1、排列组合问题的一些解题技巧：①特殊元素优先安排；②合理分类与准确分步；③排列、组合混合问题先选后排；④相邻问题捆绑处理；⑤不相邻问题插空处理；⑥定序问题除法处理；⑦分排问题直排处理；⑧“小集团”排列问题先整体后局部；⑨构造模型；⑩正难则反、等价转化．对于无限制条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类，二是按时间发生的过程进行分步．对于有限制条件的排列组合问题，通常从以下三个途径考虑：①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；③先不考虑限制条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．2、排列、组合问题几大解题方法：（1）直接法；（2）排除法；（3）捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列．它主要用于解决“元素相邻问题”；（4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”；（5）占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置．即采用“先特殊后一般”的解题原则；（6）调序法：当某些元素次序一定时，可用此法；（7）平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有；（8）隔板法：常用于解正整数解组数的问题；（9）定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置则有；（10）指定元素排列组合问题：①从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内．先C后A策略，排列；组合；②从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内．先C后A策略，排列；组合；③从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个元素中的s个元素．先C后A策略，排列；组合．例题精讲排列组合的简单计数问题例1.的展开式中，x的系数为___（用数字作答）例2.在的展开式中，x4的系数是____．例3.若，则n的展开式中，含x2项的系数为_______．当堂练习单选题练习1.计算2+3的值是（）A．72B．102C．5070D．5100练习2.=（）A．30B．24C．20D．15练习3.6本不同的书在书桌上摆成一排，要求甲，乙两本书必须放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（）种。
高中数学排列与组合知识点
高中数学排列与组合知识点排列组合是高中数学教学内容的一个重要组成部分,但由于排列组合极具抽象性,使之成为高中数学课本中教与学的难点.加之高中学生的认知水平和思维能力在一定程度上受到限制,所以在解题中经常出现错误.以下本人搜集整合了高中数学排列与组合相关知识点，希望可以帮助大家更好的学习这些知识。
高中数学排列与组合知识点汇编如下：一、排列1 定义(1)从n个不同元素中取出m个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一排列。
(2)从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记为 Amn.2 排列数的公式与性质(1)排列数的公式： Amn=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)特例：当m=n时， Amn=n!=n(n-1)(n-2)…×3×2×1规定：0!=1二、组合1 定义(1)从n个不同元素中取出 m个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(2)从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cmn表示。
2 比较与鉴别由排列与组合的定义知，获得一个排列需要“取出元素”和“对取出元素按一定顺序排成一列”两个过程，而获得一个组合只需要“取出元素”，不管怎样的顺序并成一组这一个步骤。
排列与组合的区别在于组合仅与选取的元素有关，而排列不仅与选取的元素有关，而且还与取出元素的顺序有关。
因此，所给问题是否与取出元素的顺序有关，是判断这一问题是排列问题还是组合问题的理论依据。
三、排列组合与二项式定理知识点1.计数原理知识点①乘法原理：N=n1·n2·n3·…nM (分步) ②加法原理：N=n1+n2+n3+…+nM (分类)2. 排列(有序)与组合(无序)Anm=n(n-1)(n-2)(n-3)…(n-m+1)=n!/(n-m)! Ann=n!Cnm = n!/(n-m)!m!Cnm= Cnn-m Cnm+Cnm+1= Cn+1m+1 k•k!=(k+1)!-k!3.排列组合混合题的解题原则：先选后排，先分再排排列组合题的主要解题方法：优先法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素. 以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.捆绑法(集团元素法，把某些必须在一起的元素视为一个整体考虑)插空法(解决相间问题) 间接法和去杂法等等在求解排列与组合应用问题时，应注意：(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题;(2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理;(3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏;(4)列出式子计算和作答.经常运用的数学思想是：①分类讨论思想;②转化思想;③对称思想.4.二项式定理知识点：①(a+b)n=Cn0ax+Cn1an-1b1+ Cn2an-2b2+ Cn3an-3b3+…+ Cnran-rbr+…+ Cn n-1abn-1+ Cnnbn特别地：(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+Cnnxn②主要性质和主要结论：对称性Cnm=Cnn-m最大二项式系数在中间。
排列与组合
第 十二 章
3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生 甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法 的种数是( A．360 C．216 ) B．288 D．96
第 十二 章 【思路导引】 用排除法求解：先排女生，再从中排除
甲站两端的情况；也可直接求解． 【解析】 法一(排除法)：先不考虑甲的情况，3位女生
第 十二 章
有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求 不同的排列方法总数． (1)选其中5人排成一排； (2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
第 十二 章
(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾； (4)全体排成一排，女生必须站在一起； (5)全体排成一排，男生互不相邻； (6)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人．
第 十二 章
(2010·全国Ⅰ)某校开设A类选修课3门，B类选 修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少 选一门，则不同的选法共有( A．30种 C．42种 【思路导引】 法． ) B．35种 D．48种 审清题意，寻找限制条件，选择解题方
第 十二 章
【解析】
分两类：①选A类选修课2门，B类选修课1门，
第 十二 章
第二节 排列与组合(理)
第 十二 章
点击考纲 1.理决简单的实际问题.
第 十二 章 关注热点 1.以实际问题为背景考查排列、组合，同时考查分类讨论 的思想及解决问题的能力． 2.以选择题、填空题的形式考查，或在解答题中和概率相 结合进行考查.
第 十二 章
1．(1)从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四 个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城 市，且这6个人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方 案共有( ) B．240种 D．96种
排列与组合的计算方法公式
排列与组合的计算方法公式“哎呀，这排列组合可真是个让人头疼的问题啊！”排列组合是数学中的一个重要概念，它们有着特定的计算方法和公式。
排列是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。
排列的计算公式为：A(n,m)=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)。
比如说，从 5 个不同的数字中选取 3 个进行排列，那么排列数就是A(5,3)=5×4×3=60。
比如在体育比赛中，前三名的颁奖顺序就是一种排列情况。
组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。
组合的计算公式为：C(n,m)=A(n,m)/m!。
例如，从 5 个不同的数字中选取 3 个组成一组，不考虑顺序，那么组合数就是C(5,3)=A(5,3)/3!=60/6=10。
就像从一堆水果中选取几个水果，不考虑选取的先后顺序，这就是组合。
再举个例子，假设有 5 个人，要选出 3 个人去参加一个活动。
那么用排列的方法计算，这 3 个人的顺序不同就算是不同的情况，比如 ABC 和 CBA 是不同的排列；而用组合的方法计算，只要是这 3 个人就可以，不考虑他们的顺序，ABC 和 CBA 就只算一种组合。
排列组合在生活中有很多实际的应用。
比如抽奖活动，从众多参与者中抽取几个获奖者，这就是组合问题；而如果还要考虑获奖者的先后顺序，比如一等奖、二等奖、三等奖的颁发顺序，那就是排列问题了。
在解决排列组合问题时，关键是要明确是排列还是组合，以及元素是否可以重复。
如果元素可以重复，那么计算方法又会有所不同。
总之，排列组合虽然有点复杂，但只要理解了基本概念和公式，通过多做一些实际的例子，就能很好地掌握和运用它们。
排列与组合的应用举例(常见排列组合问题的解题方法)
解析：（2）按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，
分别有个 ，
个，合并总计300个,
或
个。
5.不相邻问题插空法: 对于某两个元素或者几个元素要条件的元素按要求 插入排好元素的空档之中即可 .
解析：方法一（排除法）：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只 取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有
7.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法: “至少”“至多”问题用间接排除法或分类法：抽取两类混合
元素不能分步抽.
例7.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型 电视机各一台，则不同的取法共有 （ ）
解析：把4名学生分成3组有 种方法，再把三组学生分配到3所学校
有种,则不同的保送方案共有
种
解决排列组合问题的一般过程如下： 1、认真审题弄清要做什么事。 2、怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同 时进行，确定分多少步及多少类。 3、确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数 是多少及取出多少个元素。 4、解决排列组合综合性问题，往往分类与分步交叉，因此必须掌握一 些常用的解题方法，根据题目的条件，我们就可以选取不同的方法来解 决问题.对于一些比较复杂的问题，我们可以将几种策略结合起来应用 把复杂的问题简单化，举一反三，触类旁通。
人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的
选法共有
。
7.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法: “至少”“至多”问题用间接排除法或分类法：抽取两类混合
元素不能分步抽.
例7.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型 电视机各一台，则不同的取法共有 （ ）
排列与组合的区别技巧
排列与组合的区别技巧排列和组合是数学中常见的概念，用于计算一定范围内的排列或组合的个数。
尽管这两个概念听起来很相似，但实际上它们有着本质的区别。
在本文中，我们将探讨排列和组合的区别以及如何应用它们。
1. 排列和组合的定义排列是指从n个不同元素中取出m个元素进行排列，其排列数用P(n,m)表示，公式为：P(n,m) = n!/(n-m)!其中n!表示n的阶乘，即n × (n-1) × (n-2) × ... × 1。
P(5,3)就表示从5个元素中取3个元素的排列数，它的计算式为5!/(5-3)! = 5 × 4 × 3 = 60。
C(5,3)表示从5个元素中选出3个元素组成的集合数，它的计算式为5!/(3! × 2!) = 10。
AB AC BA BC CA CB这是因为“AB”和“BA”被视为两种不同的排列方式，因为它们的元素顺序不同。
排列相对于元素的顺序是敏感的。
应用排列与组合的场景非常广泛，例如在密码学、计算机科学、统计学、经济学等多个领域都有着重要的应用。
在密码学中，排列和组合被用于计算密码中可能的排列组合，以及在密码破解时破译密码。
在计算机科学中，排列和组合被用于计算算法的时间复杂度和空间复杂度，以及进行搜索和排序算法等操作。
在经济学中，排列和组合被用于计算市场需求和供应的排列组合，以及进行产业分析和商业决策等操作。
4. 总结与结论排列和组合是数学中常用的概念。
其最大的区别在于元素的顺序是否重要。
排列相对于元素的顺序是敏感的，而组合相对于元素的顺序是不敏感的。
我们可以应用排列和组合计算密码、算法复杂度、统计概率以及进行商业决策等多个领域。
在应用排列和组合时，我们需要根据不同情况选择适当的计算方式。
在实际应用中，我们需要了解排列和组合的特性，并选择适当的计算方式。
下面我们将深入探讨排列和组合的特性及其应用。
1. 排列的特性（1）重复元素：在排列的情况中，如果有重复的元素，其排列数可以用重复因子的方法进行计算。
10.2排列组合
,其分子的组成与
排列数A������ ������ 相同,分母是 m 个元素的全排列数.当 m,n 较小时,可利用该公式计
������ 数;组合数公式还可以表示成C������ =
������! ������!(������-������)!
,它有两个作用:一是当 m,n 较
大时,可利用计算器计算阶乘数,二是对含字母的组合数式子进行变形和论 证.
第十章
10.2
排列与组合
3 【解】( 1) 第一步: 选 3 名男运动员, 有C6 种选法.
2 第二步: 选 2名女运动员, 有C4 种选法.
3 2 共有C6 ·C4 =120 种选法.
第十章
10.2
排列与组合
(2)方法一: 至少 1 名女运动员包括以下几种情况: 1女 4男 , 2女 3 男 , 3 女 2男 , 4女 1男 . 由分类加法计数原理可得总选法数为
第十章
10.2
排列与组合
(3 ) 方法一: 可分类求解:
4 4 “ 只有男队长” 的选法数为C8 ; “ 只有女队长” 的选法数为C8 ; “ 男、 女队长 3 4 3 都入选” 的选法数为C8 , 所以共有 2C8 + C8 =196 种选法.
方法二: 间接法 :
5 5 从 10 人中任选 5 人有C10 种选法, 其中不选队长的方法有C8 种, 所以“ 至
【例 1】 甲、乙、丙、丁四名同学排成一排,分别计算满足下列条件的排 法种数:
解 :(1) ①直接排,要分甲排在排尾和甲既不排在排头也不排在排尾两种情 (1) 甲不在排头、乙不在排尾 ; 况. (2)甲不在第一位、乙不在第二位、丙不在第三位、丁不在第四位; 3 若甲排在排尾共有A1 1 A3 =6 种排法. (3)甲一定在乙的右端(可以不相邻)1 . 2 若甲既不在排头也不在排尾共有A1 A 2 2 A2 =8 种排法,由分类计数原理知满 3 1 1 2 足条件的排法共有A1 1 A3 + A2 A2 A2 =14(种). 3 2 ②也可间接计算:A4 4 -2A3 + A2 =14(种). (2)可考虑直接排法:甲有 3 种排法;若甲排在第二位,则乙有 3 种排法;甲、 乙排好后,丙、丁只有一种排法,由分步计数原理知满足条件的所有排法共有 3×3×1=9(种). (3)可先排丙、丁有A2 4 种排法,则甲、乙只有一种排法,由分步计数原理满足
排列组合之七大解题技巧
例：从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有( )
(A) 280种 (B)240种 (C)180种 (D)96种
正确答案：【B】
解析：由于甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，所以翻译工作就是"特殊"位置，因此翻译工作从剩下的四名志愿者中任选一人有C(4,1)=4种不同的选法，再从其余的5人中任选3人从事导游、导购、保洁三项不同的工作有A(5,3)=10种不同的选法，所以不同的选派方案共有C(4,1)×A(5,3)=240种，所以选B。
一、排列和组合的概念
排列：从n个不同元素中，任取m个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
组合：从n个不同元素种取出m个元素拼成一组，称为从n个不同元素取出m个元素的一个组合。
二、七大解题技巧
1.特殊优先法
特殊元素，优先处理;特殊位置，优先考虑。对于有附加条件的排列组合问题，一般采用：先考虑满足特殊的元素和位置，再考虑其它元素和位置。
例：5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法?
A.240 B.320 C.450 D.480
正确答案【B】
解析：采用捆绑法，把3个女生视为一个元素，与5个男生进行排列，共有 A(6，6)=6x5x4x3x2种，然后3个女生内部再进行排列，有A(3，3)=6种，两次是分步完成的，应采用乘法，所以排法共有：A(6，6) ×A(3，3) =320(种)。
排列组合问题是历年江苏公务员考试行测的必考题型，并且随着近年江苏公务员考试越来越热门，考试中这部分题型的难度也在逐渐的加大，解题方法也趋于多样化。解答排列组合问题，必须认真审题，明确是属于排列问题还是组合问题，或者属于排列与组合的混合问题;同时要抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析，还要注意讲究一些策略和方法技巧。
排列组合和排列组合计算公式
排列组合公式/排列组合计算公式排列 P------和顺序有关组合 C -------不牵涉到顺序的问题排列分顺序,组合不分例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列"把5本书分给3个人,有几种分法"组合" 1．排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2．组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);3．其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).排列（Pnm(n为下标，m为上标)）Pnm=n×（n-1）....（n-m+1）；Pnm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Pnn（两个n分别为上标和下标） =n！；0！=1；Pn1（n为下标1为上标）=n组合（Cnm(n为下标，m为上标)）Cnm=Pnm/Pmm ；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个n分别为上标和下标） =1 ；Cn1（n为下标1为上标）=n；Cnm=Cnn-m2008-07-08 13:30公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。
高中数学排列组合与组合
高中数学排列组合与组合排列组合和组合是高中数学中重要的概念和方法。
在解决实际问题时，排列组合和组合可以帮助我们进行正确的计数和计算。
本文将详细介绍高中数学中的排列组合和组合，包括相关定义、基本原理、计算方法以及实际应用。
一、排列组合的定义和基本原理排列指的是从n个元素中按照一定顺序选取r个元素的方式，可以记作P(n,r)。
排列的基本原理是乘法原理，即每个元素在选择过程中只能使用一次，因此排列的总数为n乘以n-1乘以n-2...直到乘以n-r+1，即n的阶乘除以(n-r)的阶乘。
组合指的是从n个元素中无序选择r个元素的方式，可以记作C(n,r)或者nCr。
组合的基本原理是除法原理，即在计算过程中忽略元素的顺序，因此组合的总数为排列的总数除以r的阶乘。
二、排列组合的计算方法1. 排列的计算方法：(1) 从n个元素中选取r个元素，且每个元素只能使用一次，计算排列数的公式为P(n,r)=n!/(n-r)!2. 组合的计算方法：(1) 从n个元素中选取r个元素，且忽略元素的顺序，计算组合数的公式为C(n,r)=P(n,r)/r!三、排列组合的实际应用排列组合和组合在实际问题中有广泛的应用，特别是在概率论、组合数学、统计学等领域。
1. 概率计算：(1) 在抽奖、赌博、随机事件中，排列组合可以帮助我们计算不同情况出现的概率，从而更好地进行决策。
2. 空间排列：(1) 在桌面布局、家居摆放等情况下，排列组合可以帮助我们计算不同物体摆放的方式和数量，从而使空间更加美观和合理。
3. 信息编码：(1) 在计算机科学、通信工程等领域，排列组合可以帮助我们计算不同编码形式的总数，从而提高信息传输的效率和安全性。
4. 运输和配送：(1) 在物流、配送等领域，排列组合可以帮助我们计算不同运输方式和路径的总数，从而优化运输方案和节约成本。
四、排列组合的实例分析为了更好地理解排列组合和组合的应用，下面以实际问题为例进行分析：问题：某个班级有10个学生，其中3个学生将参加篮球比赛，请问从这10个学生中选择3个学生参赛的方式有多少种？解答：根据组合的计算方法，C(10,3) = 10!/(3!(10-3)!) = 10!/(3!7!) = 120 种。