1 高数 课后答案

Y上的恒等映射, 即对于每一个x∈X, 有IX x=x; 对于每一个y∈Y, 有IY y=y. 证明: f是双射, 且g 证明 因为对于任意的y∈Y, 有x=g(y)∈X, 且f(x)=f[g(y)]=I y y=y, 即Y中任意元素都是X中某
又因为对于任意的x1≠x2, 必有f(x1)≠f(x2), 否则若f(x1)=f(x2) ⇒g[ f(x1)]=g[f(x2)] ⇒ x1=x2. 对于映射g: Y→X, 因为对每个y∈Y, 有g(y)=x∈X, 且满足f(x)=f[g(y)]=I y y=y, 按逆映射的
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⎧|sin x | | x |< π ⎪ 3 , 求 ϕ (π ) , ϕ (π ) , ϕ (− π ) , ϕ(−2), 并作出函数 y=ϕ(x)的图形. 8. 设 ϕ ( x) = ⎨ π 4 6 4 | x |≥ ⎪0 ⎩ 3
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(1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数; (2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是 奇函数. 证明 (1)设 F(x)=f(x)+g(x). 如果 f(x)和 g(x)都是偶函数, 则 F(−x)=f(−x)+g(−x)=f(x)+g(x)=F(x), 如果 f(x)和 g(x)都是奇函数, 则 F(−x)=f(−x)+g(−x)=−f(x)−g(x)=−F(x), 所以 F(x)为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数. F(−x)=f(−x)⋅g(−x)=f(x)⋅g(x)=F(x), 所以 F(x)为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数. 如果 f(x)和 g(x)都是奇函数, 则 所以 F(x)为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数.
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10. 设 f(x)为定义在(−l, l)内的奇函数, 若 f(x)在(0, l)内单调增加, 证明 f(x)在(−l, 0)内也单 证明 对于∀x1, x2∈(−l, 0)且x1<x2, 有−x1, −x2∈(0, l)且−x1>−x2. 因为 f(x)在(0, l)内单调增加且为奇函数, 所以 f(−x2)<f(−x1), − f(x2)<−f(x1), f(x2)>f(x1),
(2)对于任意的x1, x2∈(0, +∞), 当x1<x2时, 有
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9. 试证下列函数在指定区间内的单调性: x , (−∞, 1); (1) y = 1− x
y1 − y 2 = ( x1 + ln x1 ) − ( x 2 + ln x 2 ) = ( x1 − x 2 ) + ln
所以函数 y=x+ln x 在区间(0, +∞)内是单调增加的.
w. kh d
(2)y=x+ln x, (0, +∞). 所以函数 y =
x 在区间(−∞, 1)内是单调增加的. 1− x
证明 (1)对于任意的x1, x2∈(−∞, 1), 有 1−x 1>0, 1−x 2>0. 因为当x1<x2时, x x x1 − x 2 y1 − y 2 = 1 − 2 = <0 , 1− x1 1− x 2 (1− x1 )(1− x 2 )
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后
⇔(因为 x∈A 或 x∈B) y∈f(A)或 y∈f(B)
aw
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证明 (1)因为x∈A ⇒ f(x)=y∈f(A) ⇒ f −1(y)=x∈f −1(f(A)), 所以 f −1(f(A))⊃A. (2)由(1)知f −1(f(A))⊃A. 另一方面, 对于任意的x∈f −1(f(A))⇒存在y∈f(A), 使f −1(y)=x⇒f(x)=y . 因为y∈f(A)且f是单 射, 所以x∈A. 这就证明了f −1(f(A))⊂A. 因此f −1(f(A))=A . 6. 求下列函数的自然定义域: (1) y = 3x + 2 ; 解 由 3x+2≥0 得 x > − 2 . 函数的定义域为 [− 2 , + ∞) . 3 3 (2) y = 1 2 ; 1− x (3) y = 1 − 1− x2 ; x 1 ; 4 − x2
解 由 1−x2≠0 得x≠±1. 函数的定义域为(−∞, −1)∪(−1, 1)∪(1, +∞).
解 由x≠0 且 1−x2≥0 得函数的定义域D=[−1, 0)∪(0, 1].
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(5) y = sin x ; 解 由 x≥0 得函数的定义 D=[0, +∞). (7) y=arcsin(x−3); 解 由|x−3|≤1 得函数的定义域 D=[2, 4]. 1 (8) y = 3 − x + arctan ; x (9) y=ln(x+1); 解 由 x+1>0 得函数的定义域 D=(−1, +∞). (10) y = e x .
调增加.
这就证明了对于∀x1, x2∈(−l, 0), 有f(x1)< f(x2), 所以f(x)在(−l, 0)内也单调增加. 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(−l, l)上的, 证明:
aw
x1 <0 , x2
后
答
解 ϕ (π ) =|sin π |= 1 , ϕ (π ) =|sin π |= 2 , ϕ (− π ) =|sin(− π ) |= 2 , ϕ (−2) = 0 . 6 6 2 4 4 2 4 4 2
(− x) + a −(− x) −x x = a + a = f (x) , 所以 f(x)是偶函数. 2
(5)由 f(−x)=sin(−x)−cos(−x)+1=−sin x−cos x+1 可见 f(x)既非奇函数又非偶函数. (6)因为 f (−x) = a
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F(−x)=f(−x)⋅g(−x)=f(x)[−g(x)]=−f(x)⋅g(x)=−F(x),
(2)设 F(x)=f(x)⋅g(x). 如果 f(x)和 g(x)都是偶函数, 则
所以 F(x)为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数.
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(1)y=x2(1−x2); (2)y=3x2−x3;
2
所以 F(x)为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数. 12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？
1
解 由 4−x2>0 得 |x|<2. 函数的定义域为(−2, 2).
(6) y=tan(x+1); π π 解 由 x +1≠ (k=0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)得函数的定义域为 x ≠ kπ + −1 (k=0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅). 2 2
解 由 3−x≥0 且 x≠0 得函数的定义域 D=(−∞, 0)∪(0, 3).
(5)由y=1+ln(x+2)得x=e y−1−2, 所以y=1+ln(x+2)的反函数为y=e x−1−2. x x y 得 x = log2 , 所以 y = 2 的反函数为 y = log2 x . (6)由 y = 2 x x 2 +1 2 +1 1− y 1− x
15. 设函数 f(x)在数集 X 上有定义, 试证: 函数 f(x)在 X 上有界的充分必要条件是它在 X
y∈f(A∪B)⇔∃x∈A∪B, 使 f(x)=y ⇔ y∈ f(A)∪f(B),
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w. kh d
所以 (2)因为 所以 f(A∩B)⊂f(A)∩f(B). 是f的逆映射: g=f −1. 元素的像, 所以f为X到Y的满射. 因此 f 既是单射, 又是满射, 即 f 是双射. 定义, g是f的逆映射. 5. 设映射 f : X→Y, A⊂X . 证明: (1)f −1(f(A))⊃A; (2)当f是单射时, 有f −1(f(A))=A .
f(A∪B)=f(A)∪f(B).
y∈f(A∩B)⇒ ∃x∈A∩B, 使 f(x)=y⇔(因为 x∈A 且 x∈B) y∈f(A)且 y∈f(B)⇒ y∈ f(A)∩f(B),
4. 设映射f : X→Y, 若存在一个映射g: Y→X, 使 g D f = I X , f D g = I Y , 其中IX、IY分别是X、
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(4) y=2sin3x; (5) y=1+ln(x+2); 2x . (6) y = x 2 +1 上既有上界又有下界.
解 (1)由 y = 3 x +1 得x=y3−1, 所以 y = 3 x +1 的反函数为y=x3−1.
1− y , 所以 y = 1− x 的反函数为 y = 1− x . (2)由 y = 1− x 得 x = 1+ x 1+ x 1+ x 1+ y
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(3) y = ax + b (ad−bc≠0); cx + d
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后
答
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(2) y=sin u, u=2x, x1 = π , x2 = π ; 8, 4
后
如果 f(x)是偶函数, 而 g(x)是奇函数, 则
2
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F(−x)=f(−x)⋅g(−x)=[−f(x)][−g(x)]=f(x)⋅g(x)=F(x),
答
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13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期: (1)y=cos(x−2); (2)y=cos 4x; (3)y=1+sin πx; (4)y=x cos x; 解 (1)是周期函数, 周期为 l=2π. (2)是周期函数, 周期为 l = π . 2 (3)是周期函数, 周期为 l=2. (4)不是周期函数. 14. 求下列函数的反函数: (1) y = 3 x +1 ; (2) y = 1− x ; 1+ x (5)是周期函数, 周期为 l=π. (5)y=sin2 x.
−dy + b (3)由 y = ax + b 得 x = , 所以 y = ax + b 的反函数为 y = −dx + b . cy − a cx + d cx + d cx − a
y (4)由 y=2sin 3x 得 x = 1 arcsin , 所以 y=2sin 3x 的反函数为 y = 1 arcsin x . 3 2 3 2
解 由 x≠0 得函数的定义域 D=(−∞, 0)∪(0, +∞). 7. 下列各题中, 函数 f(x)和 g(x)是否相同？为什么？
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后
(4) y =
aw
答
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(1)f(x)=lg x2, g(x)=2lg x; (2) f(x)=x, g(x)= x 2 ; (3) f ( x) = 3 x 4 − x3 , g ( x) = x3 x −1 . (4)f(x)=1, g(x)=sec2x−tan2x . 解 (1)不同. 因为定义域不同. (2)不同. 因为对应法则不同, x<0 时, g(x)=−x. (3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同. (4)不同. 因为定义域不同.
(3) y = 1− x2 ; 1+ x
(4)y=x(x−1)(x+1);
x −x (6) y = a + a . 2
(5)y=sin x−cos x+1;
解 (1)因为f(−x)=(−x)2[1−(−x)2]=x2(1−x2)=f(x), 所以f(x)是偶函数.
(2)由f(−x)=3(−x)2−(−x)3=3x2+x3可见f(x)既非奇函数又非偶函数. 1− (− x) 2 1− x 2 (3)因为 f (− x) = = = f ( x) , 所以 f(x)是偶函数. 2 1+ (− x) 1+ x 2 (4)因为 f(−x)=(−x)(−x−1)(−x+1)=−x(x+1)(x−1)=−f(x), 所以 f(x)是奇函数.
习题 1−1 1. 设 A=(−∞, −5)∪(5, +∞), B=[−10, 3), 写出 A∪B, A∩B, A\B 及 A\(A\B)的表达式. 解 A∪B=(−∞, 3)∪(5, +∞), A∩B=[−10, −5), A\B=(−∞, −10)∪(5, +∞), 2. 设A、B是任意两个集合, 证明对偶律: (A∩B)C=AC ∪B C . 证明 因为 所以 (A∩B)C=AC ∪B C . (1)f(A∪B)=f(A)∪f(B); (2)f(A∩B)⊂f(A)∩f(B). 证明 因为 x∈(A∩B)C⇔x∉A∩B⇔ x∉A或x∉B⇔ x∈AC或x∈B C ⇔ x∈AC ∪B C, 3. 设映射 f : X →Y, A⊂X, B⊂X . 证明 A\(A\B)=[−10, −5).