高三数学一轮复习——抛物线

高三数学一轮复习——抛物线

知识梳理

1.抛物线的定义

(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点

F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.

(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).

2.抛物线的标准方程与几何性质

图形

标准

方程

y2＝2px

(p>0)

y2＝－2px

(p>0)

x2＝2py

(p>0)

x2＝－2py

(p>0)

p的几何意义：焦点F到准线l的距离

性

质

顶点O(0，0)

对称轴y＝0 x＝0

焦点F

⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

p

2，0F⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

－

p

2，0F⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

0，

p

2F⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

0，－

p

2离心率e＝1

准线方程x＝－

p

2x＝

p

2y＝－

p

2y＝

p

2范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向向右向左向上向下

[微点提醒]

1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦.

2.抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

p

2，0的距离|PF|＝x0＋

p

2，也称为抛物线的焦半径.

基础自测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( )

(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭

⎪⎫

a 4，0，准线方程是x ＝－a 4.( )

(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( )

(4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( )

解析 (1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F 与定直线l 垂直的一条直线，而非抛物线.

(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)可化为x 2＝1

a y ，是焦点在y 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛

⎭

⎪⎫0，14a ，准线方程是y ＝－14a .

(3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√

2.(选修2－1P72A1改编)顶点在原点，且过点P (－2，3)的抛物线的标准方程是________________.

解析 设抛物线的标准方程是y 2＝kx 或x 2＝my ，代入点P (－2，3)，解得k ＝－9

2，m ＝43，所以y 2＝－92x 或x 2＝43y . 答案 y 2＝－92x 或x 2＝4

3y

3. (选修2－1P67A3改编)抛物线y 2＝8x 上到其焦点F 距离为5的点的个数为________.

解析 设P (x 1，y 1)，则|PF |＝x 1＋2＝5，得x 1＝3，y 1＝±2 6.故满足条件的点的个数为2. 答案 2

4.(2019·黄冈联考)已知方程y2＝4x表示抛物线，且该抛物线的焦点到直线x＝m 的距离为4，则m的值为()

A.5

B.－3或5

C.－2或6

D.6

解析抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，它与直线x＝m的距离为d＝|m－1|＝4，∴m＝－3或5.

答案 B

5.(2019·北京海淀区检测)设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是()

A.4

B.6

C.8

D.12

解析如图所示，抛物线的准线l的方程为x＝－2，F是抛物线的焦点，过点P 作P A⊥y轴，垂足是A，延长P A交直线l于点B，则|AB|＝2.由于点P到y轴的距离为4，则点P到准线l的距离|PB|＝4＋2＝6，所以点P到焦点的距离|PF|＝|PB|＝6.故选B.

答案 B

6.(2019·宁波调研)已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q(－2，0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________.

解析设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，当k＝0时，显然满足题意；当k≠0时，Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k＜0或0＜k≤1，因此k的取值范围是[－1，1].

答案[－1，1]

考点一抛物线的定义及应用