北师大版高中数学必修4§1.7.3正切函数的诱导公式导学案
高中数学 7.3 正切函数的诱导公式多媒体教学优质课件 北师大版必修4
0～2π的 角的三角 函数 (sānjiǎh ánshù)
π±α
锐角 (ruìj iǎo) 的三 角函 数
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由此可知，我们可以利用(lìyòng)诱导公式，将任意 角的三角函数问题转化为锐角的三角函数问题.
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例 1．若 tanα＝ 2 ，借助三角函数定义求角α的正弦函数值和余弦函数值. 3
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重要的不是(bù shi)知识的数量，而是知识的
质量，有些人知道很多很多，但却不知道最有
用的东西。
——列夫•托尔斯泰
第十四页，共14页。
7.3 正切函数的诱导(yòudǎo)公 式
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1.会推导正切函数的诱导公式. 熟练掌握正切函数的诱导公式，并能根据公式解决(jiějué)化简、
求值等问题.
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同学们已经知道，在正、余弦函数中，我们(wǒ men)是先学 诱导公式，再学图像与性质的. 在学正切函数时，我们(wǒ men) 为什么要先学图像与性质，再学诱导公式呢？
为_____5___3_____.
2. 已知 tanx>0,则 x 的取值范围为__(_k___,_k______2__)_.
2
3. 已知 tanx=1,则 sinx 的值为______2__________.
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4. 求值： 1 tan( 37 ) 2 tan( 43 ) .
6
6
解：∵tanα＝ 2 ＞0，∴α是第一象限或第三象限的角 3
（1）如果α是第一象限的角，则由 tanα＝ 2 可知，角α终边上必有一点 P（3，2）. 3
所以 x＝3，y＝2. ∵r＝|OP|＝ 13 ∴sinα＝ y ＝ 2 13 ， cosα＝ x ＝ 3 13 .
高中数学北师大版必修4学案：1.7 正切函数 Word版含解析
§7 正切函数 7．1 正切函数的定义 7．2 正切函数的图像与性质 7．3 正切函数的诱导公式1．理解任意角的正切函数的定义．2．能画出y ＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈R ，x ≠π2＋k π，k ∈Z 的图像．(重点)3．理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性，及其在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性．(重点)4.正切函数诱导公式的推导及应用．(难点)[基础·初探]教材整理1 正切函数的定义、图像及性质阅读教材P 36～P 38“动手实践”以上部分，完成下列问题． 1．正切函数的定义在直角坐标系中，如果角α满足：α∈R ，α≠π2＋k π(k ∈Z )，且角α的终边与单位圆交于点P (a ，b )，那么比值ba 叫作角α的正切函数，记作y ＝tan α，其中α∈R ，α≠π2＋k π(k ∈Z )．2．正切线如图1－7－1所示，线段AT 为角α的正切线．图1－7－13．正切函数的图像与性质判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正切函数y ＝tan x 的定义域为R .( ) (2)正切函数y ＝tan x 的最小正周期为π.( ) (3)正切函数y ＝tan x 是奇函数．( )(4)正切函数y ＝tan x 的图像关于x 轴对称．( ) 【解析】 (1)y ＝tan x的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z. (2)y ＝tan x 的周期为k π(k ∈Z )，最小正周期为π. (3)因为y ＝tan x的定义域⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z关于原点对称，且tan(－x )＝－tan x ，故为奇函数．(4)由图知，正切函数图像既不关于x 轴对称，也不关于y 轴对称．【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)× 教材整理2 正切函数的诱导公式阅读教材P 38～P 39例1以上部分，完成下列问题． 正切函数的诱导公式判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝cot α.( )(2)正切函数的诱导公式中的角为任意角．( ) (3)tan(k π－α)＝－tan α.( )【解析】 (1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π2－α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cot α，所以(1)正确． (2)无论角α是哪个象限的角，诱导公式都适合，故(2)正确． (3)tan(k π－α)＝－tan α，故(3)正确． 【答案】 (1)√ (2)√ (3)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________解惑：___________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________[小组合作型]如图P ，Q是单位圆上的两点，O 是坐标原点，∠AOP ＝π6，∠AOQ ＝α，α∈[0，π)．图1－7－2(1)若已知角θ的终边与OP 所在的射线关于x 轴对称，求tan θ； (2)若已知Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，试求tan α.【精彩点拨】求出角的终边与单位圆的交点后，利用正切函数的定义求解． 【自主解答】 (1)∵角θ的终边与OP 所在的射线关于x 轴对称，且P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12， 故θ的终边与单位圆交于P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，则tan θ＝－1232＝－33. (2)∵∠AOQ ＝α且Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，∴tan α＝4535＝43.1．解决本题的关键是熟记正切函数的定义，即tan α＝ba .2．已知角终边上的一点M (a ，b )(a ≠0)，求该角的正切函数值，或者已知角α的正切值，求角α终边上一点的坐标，都应紧扣正切函数的定义求解，在解题过程中，应注意分子、分母的位置．3．tan α＝sin αcos α知其中两个，可求另一个．[再练一题]1．角α的终边经过点P (－b,4)且cos α＝－35，求tan α的值.【导学号：66470022】【解】 由题意知cos α＝－b b 2＋42＝－35，∴b ＝±3.又cos α＝－35<0，∴P 在第二象限，∴b ＝3. ∴tan α＝－43.(1)化简：sin (π＋α)·cos (π－α)·tan ⎝ ⎭⎪－2－αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α；(2)求值：tan 3π4－tan 2π31＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4.【精彩点拨】 解答本题可依据先用周期性或关于－α的诱导公式，把角绝对值“化小”，再利用恰当的公式化简．【自主解答】 (1)原式＝ (－sin α)·(－cos α)·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α(－cot α)·sin α＝sin αcos α·cot α(－cot α)·sin α＝－cos α.(2)原式＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π4－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π31＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3tan π4＝－tan π4＋tan π31＋tan π3＝3－13＋1＝2－ 3.在使用诱导公式化简时，一定要记准诱导公式中名称变还是不变以及准确判断角所在象限．一般地，我们将α看作锐角(实质上是任意角)，那么π－α，π＋α，2π－α，π2＋α，π2－α分别是第二、三、四、二、一象限的角．[再练一题]2．(1)化简：tan (540°－α)tan (α－270°)tan (α＋180°)tan (α－180°)tan (810°＋α)tan (－α－360°)；(2)若a ＝cos (α＋π)sin 2(3π＋α)tan (4π＋α)tan (π＋α)cos 3(－α－π)，求a 2＋a ＋1的值． 【解】 (1)tan (540°－α)tan (α－270°)tan (α＋180°)tan (α－180°)tan (810°＋α)tan (－α－360°)＝tan (－α)tan (α－90°)tan αtan αtan (90°＋α)tan (－α)＝(－tan α)(－cot α)tan αtan α(－cot α)(－tan α) ＝tan α·cot α·tan αtan α·cot α·tan α＝1.(2)a ＝cos (α＋π)sin 2(3π＋α)tan (4π＋α)tan (π＋α)cos 3(－α－π)＝(－cos α)sin 2αtan α·tan α(－cos 3α)＝－cos α·sin 2αsin αcos α·sin αcos α·(－cos 3α)＝－cos 3αsin 2αsin 2α(－cos 3α)＝1， ∴a 2＋a ＋1＝1＋1＋1＝3.利用正切函数的图像作出y ＝|tan x |的图像，并写出使y ＝3的x 的集合．【精彩点拨】 先化成分段函数，再借助正切函数的图像作图． 【自主解答】 ∵当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤k π－π2，k π时，y ＝tan x ≤0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π2时，y ＝tan x >0， ∴y ＝|tan x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－tan x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤k π－π2，k πk ∈Z ，tan x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π2，k ∈Z .如图所示．使y ＝3的x的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π±π3，k ∈Z.1．三点两线画图法“三点”是指⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，－1，(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1；“两线”是指x ＝－π2和x ＝π2.在三点、两线确定的情况下，类似于五点法作图，可大致画出正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的简图，然后向右、向左扩展即可得到正切曲线．2．如果由y ＝f (x )的图像得到y ＝f (|x |)及y ＝|f (x )|的图像，可利用图像中的对称变换法完成；即只需作出y ＝f (x )(x ≥0)的图像，令其关于y 轴对称便可以得到y ＝f (|x |)(x ≤0)的图像；同理只要作出y ＝f (x )的图像，令图像“上不动下翻上”便可得到y ＝|f (x )|的图像．3．利用函数的图像可直观地研究函数的性质，如判断奇偶性、周期性、解三角不等式等．[再练一题]3．求下列函数的定义域． (1)y ＝11＋tan x；(2)y ＝tan x ＋lg(1－tan x )． 【解】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧1＋tan x ≠0，x ≠k π＋π2(k ∈Z )，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠k π－π4(k ∈Z )，x ≠k π＋π2(k ∈Z )，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2且x ≠k π－π4，k ∈Z . (2)要使函数y ＝tan x ＋lg(1－tan x )有意义．则⎩⎨⎧tan x ≥0，1－tan x >0⇒0≤tan x <1.由正切函数的图像可得k π≤x <k π＋π4，k ∈Z .∴原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |k π≤x <k π＋π4，k ∈Z .[探究共研型]探究1 【提示】 不是，正切函数的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π＋π2，k ∈Z.正切曲线在每一个开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上是增加的，但在整个定义域上不是增加的．探究2 函数y ＝tan x 的周期是多少？y ＝|tan x |的周期呢？ 【提示】 y ＝tan x 的周期是π，y ＝|tan x |的周期也是π.探究3 函数y ＝tan x 的图像有什么特征？【提示】 正切曲线是被互相平行的直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )所隔开的无穷支曲线组成的，是间断的，无对称轴，只有对称中心．已知f (x )＝－a tan x (a ≠0)． (1)判断f (x )在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3上的奇偶性；(2)求f (x )的最小正周期； (3)求f (x )的单调区间；(4)若a >0，求f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2上的值域．【精彩点拨】 通过f (－x )与f (x )的关系判断奇偶性，求单调区间时注意a 的符号．【自主解答】 (1)∵f (x )＝－a tan x (a ≠0)，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3，∴f (－x )＝－a tan(－x )＝a tan x ＝－f (x )． 又定义域⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3关于原点对称，∴f (x )为奇函数． (2)f (x )的最小正周期为π.(3)∵y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上单调递增， ∴当a >0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2上单调递减，当a <0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2上单调递增．(4)当a >0时，f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2上单调递减，故x ＝π4时，f (x )max ＝－a ，无最小值． ∴f (x )的值域为(－∞，－a ]．1．由函数的性质(如周期性、有界性、对称性)可指导我们画出函数的图像． 2．由函数的图像又可以直观地总结函数的性质．函数的主要性质包括定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性．[再练一题]4．画出函数y ＝tan |x |的图像，并根据图像判断其单调区间、奇偶性． 【解】 由y ＝tan |x |得，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ，x ≥0且x ≠π2＋k π(k ∈Z )，－tan x ，x <0且x ≠π2＋k π(k ∈Z ).根据y ＝tan x 的图像，作出y ＝tan |x |的图像如图所示：由图像可知，函数y ＝tan |x |是偶函数．单调增区间为：⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋k π，3π2＋k π(k ＝0,1,2,3，…)； 单调减区间为：⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2＋k π，－π2＋k π(k ＝0，－1，－2，－3，…)．[构建·体系]1．tan 5π6的值为( )A ．3B ．－ 3 C.33 D ．－33【解析】 tan 5π6＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＝－tan π6＝－33. 【答案】 D2．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的定义域是( ) A ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠－π4 B ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠π4 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π－π4，k ∈Z D ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π＋π4，k ∈Z 【解析】 由题意得x ＋π4≠k π＋π2，k ∈Z ，所以x ≠k π＋π4，k ∈Z .【答案】 D3．已知角α的终边上一点P (－2,1)，则tan α＝________.【解析】 由正切函数的定义知tan α＝1－2＝－12. 【答案】 －124．函数y ＝tan x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4的值域是________.【导学号：66470023】【解析】 函数y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增加的，所以y max ＝tan π4＝1，y min ＝tan 0＝0.【答案】 [0,1]5．求以下各式的值．(1)7cos 270°＋3sin 270°＋tan 765°；(2)tan 225°＋tan 750°tan (－30°)－tan (－45°). 【解】 (1)原式＝7cos(180°＋90°)＋3sin(180°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)＝－7cos 90°－3sin 90°＋tan 45°＝0－3×1＋1＝－2.(2)原式＝tan (180°＋45°)＋tan (2×360°＋30°)－tan 30°＋tan 45° ＝tan 45°＋tan 30°tan 45°－tan 30°＝1＋331－33＝2＋ 3.我还有这些不足：(1)______________________________________________________________(2)______________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)______________________________________________________________(2)______________________________________________________________。
高中数学 第一章 三角函数 1.7.3 正切函数的诱导公式练习 北师大版必修4
7.3 正切函数的诱导公式3.已知tan(π+α)+=2,则tan(π-α)=()A.2B.-2C.1D.-1解析:由已知可得tan α+=2,解得tan α=1.于是tan(π-α)=-tan α=-1.答案:D4.已知a=tan 1,b=tan 2,c=tan 3,则a,b,c的大小关系是()A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>b>a解析:b=tan 2=tan(2-π),c=tan 3=tan(3-π),又-<2-π<3-π<1<,且y=tan x在上是增加的,则有tan(2-π)<tan(3-π)<tan 1,即b<c<a.答案:B5.给出下列各函数值,其中符号为负的是()A.sin(-1 000°)B.cos(-2 200°)C.tan(-10)D.解析:sin(-1 000°)=sin(-3×360°+80°)=sin 80°>0;cos(-2 200°)=cos 2 200°=cos(6×360°+40°)=cos 40°>0;tan(-10)=-tan 10<0;sin>0,cos π=-1<0,tan=tan<0,故>0.答案:C6.tan=.解析:tan=-tan=-tan=-tan=tan.答案:7.已知tan(π-x)=,则tan(x-3π)=.解析:由tan(π-x)=知,tan x=-,故tan(x-3π)=-tan(3π-x)=tan x=-.答案:-84+log9=.解析:∵sin=sin=sin,tan=-tan=tan,∴log4+log9=log4+log9=lo=-=-.答案:-9.求下列各式的值:(1)cos+tan;(2)sin 810°+tan 765°+tan 1 125°+cos 360°.解:(1)cos+tan=cos+tan=cos+tan+1=.(2)原式=sin(2×360°+90°)+tan(2×360°+45°)+tan(3×360°+45°)+cos(0°+360°)=sin 90°+tan 45°+tan 45°+cos 0°=4.10.设tan=a,求的值.解:∵tan=tan=tan=a,∴原式==.11:当k=2或3时,.证明:当k=2时,左边==右边.当k=3时,左边==右边.故当k=2或3时,原等式成立.。
2020-2021学年北师大版数学必修4课件：1.7.3 正切函数的诱导公式
(2)正切函数的诱导公式中的角为任意角.
(3)tan(kπ-α)=-tan α.
()
()
2.tan 5 的值为
6
()
A. 3
B.- 3
C. 3
3
【解析】选D.tan
5 6
=tan
( )=-tan
6
6
D.- 3
3
=- 3 .
3
3.(教材二次开发:例题改编)已知角α终边上有一点P(5n,4n)(n≠0),则
6
6
A.- 3
B.0
C. 2 3
3
3
D.- 2 3
3
2.若f(x)=tan x,则f(600°)的值为 ( )
A. 3
B. 3
C. 3
D. 3
3
3
3.求以下各式的值:(1)7cos 270°+3sin 270°+tan 765°.
(2) tan 225 tan 750 .
tan(30) tan(45)
2
2.已知函数f(x)=sin x ,g(x)=tan(π-x),则 ( )
2
A.f(x)与g(x)都是奇函数
B.f(x)与g(x)都是偶函数
C.f(x)是奇函数,g(x)是偶函数
D.f(x)是偶函数,g(x)是奇函数
3.(教材二次开发:例题改编)已知P(2,-3)是α终边上一点,则tan(2π+α)等
5
5
+tan 2
5
-
tan 2 -tan =0.
5
5
答案:0
5.已知角α的终边经过点P(4,-3).
(1)求sin α,cos α,tan α的值.
北师大版高中数学必修4教案备课正切函数的诱导公式
7.3 正切函数的诱导公式学 习 目 标核 心 素 养1.借助单位圆中的三角函数线推导出正切函数的诱导公式⎝ ⎛⎭⎪⎫π2±α，π±α.2.掌握正切函数的诱导公式．1.通过推导诱导公式⎝ ⎛⎭⎪⎫π2±α，π±α，培养逻辑推理素养．2.通过运用正切函数的诱导公式解决问题，提升数学运算素养．正切函数的诱导公式角x 函数y ＝tan x记忆口诀k π＋α(k ∈Z )tan α 函数名不变，符号看象限－α －tan α π－α －tan α π＋α tan α π2＋α －cot α函数名改变，符号看象限π2－αcot α思考：前面我们学习过π±α，－α，π2±α，2π±α等的正弦、余弦的诱导公式，并总结出“奇变偶不变，符号看象限”的记忆口诀．对正切函数能适用吗？[提示] 因为tan α＝sin αcos α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠k π＋π2，所以口诀对正切函数依然适用．1．公式tan (π－α)＝－tan α成立的条件是( ) A ．α为锐角B ．α为不等于π2的任意角C ．α为任意角D ．α≠k π＋π2(k ∈Z )D [由正切函数的定义可知α≠k π＋π2(k ∈Z ).] 2．下列诱导公式中错误的是( ) A ．tan (π－α)＝－tan α B ．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝sin αC ．sin (π＋α)＝－sin αD ．cos (π－α)＝－cos α [答案] B3．tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α等于( )A ．－cot αB ．cot αC ．tan αD ．－tan α[答案] A4．tan 5π6的值为( ) A ． 3 B ．－ 3 C ．33D ．－33 D [tan 5π6＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＝－tan π6＝－33.]三角函数间关系的应用【例1】 已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (3，y )，且tan α＝－43.(1)求sin α＋cos α的值；(2)求sin （π－α）＋2cos （π＋α）sin⎝⎛⎭⎪⎫3π2－α－cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋α的值．[解](1)因为tan α＝y3＝－43，所以y＝－4，则r＝5.∴sin α＝－45，cos α＝35，则sin α＋cos α＝－15.(2)原式＝sin α－2cos α－cos α－sin α＝tan α－2－1－tan α＝－43－2－1＋43＝－10313＝－10.三角函数之间关系的应用利用三个三角函数之间的关系：tan α＝sin αcos α进行弦切互化；正用可以做到切化弦，逆用可以做到弦化切．1．已知α为第二象限角，且tan α－1tan α＝154，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin （π＋α）sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－α－sin （π－α）的值．[解]由tan α－1tan α＝154，得4tan2α－15tanα－4＝0，得tan α＝－14或tan α＝4.又α为第二象限的角，所以tan α＝－14.故sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin （π＋α）sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－α－sin （π－α）＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α＝35.利用诱导公式求值【例2】 求下列各式的值： (1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－26π3；(2)tan 10°＋tan 170°＋sin 1 866°－sin (－606°). [思路探究] 利用诱导公式化为锐角三角函数，再求值． [解] (1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－26π3＝－tan 26π3＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋2π3＝－tan 2π3＝tan π3＝ 3.(2)原式＝tan 10°＋tan (180°－10°)＋sin 1 866°－sin (－606°)＝tan 10°－tan 10°＋sin (5×360°＋66°)－sin [(－2)×360°＋114°]＝sin 66°－sin 66°＝0.利用诱导公式求值一般为：把负角三角函数化为正角三角函数，再化为0～2π间的三角函数，最后转化为锐角三角函数求值．2．求下列三角函数的值： (1)tan 150°；(2)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－19π6.[解](1)tan 150°＝tan ()180°－30°＝－tan 30°＝－33.(2)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－19π6＝－tan 19π6＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋π6＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π6＝－tan π6＝－33.利用诱导公式化简与证明[探究问题]1．与正切函数有关的式子求值时应注意什么问题？[提示]求含有正切函数关系式的某个函数的定义域时，要注意正切函数值存在的条件．求值域时，不要忽视这个函数的定义域．2．利用正切函数的诱导公式解决给角求值的解题流程是怎样的？[提示]【例3】(1)化简：sin （π＋α）·cos （π－α）·tan ⎝⎛⎭⎪⎫－3π2－αtan ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α·cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋α；(2)求值：tan7π4－tan2π31＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫－4π3·tan ⎝⎛⎭⎪⎫－π4.[思路探究]解答本题可依据先用周期性或关于－α的诱导公式，把角绝对值“化小”，再利用恰当的公式化简．[解](1)原式＝（－sin α）·（－cos α）·tan⎝⎛⎭⎪⎫π2－α（－cot α）·sin α＝sin αcos α·cot α（－cot α）·sin α＝－cos α.(2)原式＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2π－π4－tan ⎝⎛⎭⎪⎫π－π31＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π3tanπ4＝－tanπ4＋tanπ31＋tanπ3＝3－13＋1＝2－ 3.1．将例3(1)变为“已知tan (3π－α)＝15，求sin （π＋α）·tan （π－α）·tan ⎝⎛⎭⎪⎫－32π－αtan ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α·cos ⎝⎛⎭⎪⎫32π＋α的值”．[解]因为tan (3π－α)＝tan (－α)＝－tan α＝15，所以tan α＝－15.原式＝－sin α（－tan α）·sin ⎝⎛⎭⎪⎫－32π－αcos ⎝⎛⎭⎪⎫－32π－αsin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α·sin α＝－sin α·（－tan α）⎝⎛⎭⎪⎫－－cos αsin αcos α－sin α·sin α＝－tan α＝15.2．将例3(2)变为“若a＝cos （α＋π）sin2（3π＋α）tan（4π＋α）tan （π＋α）cos3（－α－π）”，试求a2＋a＋1的值．[解]a＝cos（α＋π）sin2（3π＋α）tan（4π＋α）tan （π＋α）cos3（－α－π）＝（－cosα）sin2αtanα·tan α（－cos3α）＝－cosα·sin2αsin αcos α·sin αcos α·（－cos3α）＝－cos3αsin2αsin2α（－cos3α）＝1，∴a2＋a＋1＝1＋1＋1＝3.1．三角函数式化简的常用方法(1)依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数．(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数．2．三角恒等式的证明策略：在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则．定义法，化弦法，拆项折角法，公式变形法．1．正切函数的诱导公式在记忆时可简单记为“奇变偶不变，符号看象限”，即k ·π2±α中，如果k 为奇数，则正切变余切，至于符号取决于角k ·π2±α所在的象限．2．在对三角式进行化简、求值、证明中，要遵循诱导公式先行的原则． 特别提醒：应用正切函数的诱导公式时，必须等式两边都有意义．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝cot α.( ) (2)对任意α∈R ，都有tan (－α)＝－tan α. ( ) (3)tan (k π－α)＝－tan α.( )[答案] (1)√ (2)× (3)√ 2．tan 300°＋sin 450°的值为( ) A ．1＋3 B ．1－ 3 C ．－1－ 3 D ．－1＋3 B [tan 300°＋sin 450°＝tan (360°－60°)＋sin (360°＋90°) ＝－tan 60°＋sin 90°＝1－ 3.] 3．若cot α＝m ，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝( )A ．mB ．－mC ．1mD ．－1mA [tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cot α＝m .]4．已知角α的终边经过点P (4，－3). (1)求sin α，cos α，tan α的值； (2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin （π＋α）·tan （π－α）cos （α＋π）的值．[解] (1)因为r ＝42＋（－3）2＝5，所以sin α＝y r ＝－35，cos α＝x r ＝45，tan α＝y x ＝－34.(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin （π＋α）·tan （π－α）cos （α＋π）＝cos α－sin α·－tan α－cos α ＝－tan αsin α＝－－34－35＝－54.。
高中数学北师大版必修四教学案第一章 §7 第2课时 正切函数的诱导公式 Word版含答案
第课时正切函数的诱导公式[核心必知]诱导公式＋α()(π)；α＝－()(α)α－；＝－π(α())；－α＝－π()()α＝α；－＋π()(α＝；)α()＝*－；α*()α＝．[问题思考]．以上公式中的角α是任意角吗？提示：是任意角，但α必须使公式两边的函数值有意义．即公式 ()～()中α≠＋π，∈；()，()中α≠π，∈.．以上公式符合正、余弦函数诱导公式的规律“奇变偶不变，符号看象限”吗？提示：符合．讲一讲．求下列各式的值()；()°＋°（－°）－（－°）).[尝试解答] () ＝－＝－＝－＝－＝－＝－.()原式＝°＋°)＝°＋°,－°＋°)＝＝＋.利用正切函数的诱导公式解决给角求值的解题流程如下：α),\(（－α）＝－α))练一练．计算：°.解：原式＝－ (°＋°)＝－(π＋) °＝°＝×＝.讲一讲．化简＋.[尝试解答] 原式＝＋αα,（－α）)＝α）α)－ααα)＝－＝.利用诱导公式对三角函数关系式进行化简时要熟练诱导公式，化简的结果要力求简单，分母中一般不含三角函数，能求值的要求值．练一练. 化简：.解：原式＝αα（°＋α）（－α）)＝.讲一讲。
高中数学第一章三角函数1.7.3正切函数的诱导公式课件2北师大版必修4
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(3)应用三角函数关系(guān xì)的策略:“1”的代换,可以将“1”看作
“sin2α+cos2α”整体代入;弦切互化,正用tanα= 可以做到切 sin 化弦,逆用可以做到弦化切,其中切化弦是最常用的求值、化简c的os变换
方法.
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【补偿(bǔcháng)训练】已知tanθ=2,则
5 (3)因为(yīn wèi)cos(-120°)=cos 120°=-cos 60°=- , 所以f(α)=-cosα= . 1
2
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【方法(fāngfǎ)技巧】 1.三角函数式化简的常用方法(fāngfǎ) (1)依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的 三角函数. (2)切化弦:一般需将表达式中的切函数转化为弦函数.
第十一页，共37页。பைடு நூலகம்
【解析(jiě xī)】1.原式= 2.原式=sin 120°cos(360°-30°)-sin(720°-30°)cos(-720° +60°)+tan(720°-45°)+
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【方法技巧】 1.用正切函数诱导公式解题(jiě tí)的一般步骤 与正弦、余弦函数的最小正周期为2π不同,正切函数的最小正周期为π,因此 其解题(jiě tí)的一般步骤为:
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(5)tan(π+α)= _____ta_n;α
(6)tan( +α)= _______-c;otα (7)tan( -α)= ______. cotα
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【即时小测】
1.思考下列问题
(1)诱导公式中的角α是锐角吗?
高中数学第一章三角函数1.7正切函数知识导航学案北师大版必修4
§7 正切函数知识梳理1.任意角的正切函数 （1）定义如图1-6-1所示，单位圆与角α的终边交于P 点.设P （a ，b ）,则ab是角α的函数，称为正切函数，记为ab=tan α(α∈R ).通常用x,y 表示自变量和因变量，将正切函数表示为y=tanx. （2）正切线如图1-6-1所示，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，过点A 作x 轴的垂线AT ，交角α的终边或反向延长线于T ，则有向线段AT 叫做角α的正切线.当角α的终边在y 轴上时，角α的正切线不存在.图1-6-1（3）正切线所表示的正切值可如下确定：正切线的方向表示正切值的符号，同y 轴一致，向上为正，向下为负；正切线的长度是正切值的绝对值.（4）任意角的正切函数定义的推广图1-6-2如图1-6-2所示，设P(x,y)是α的终边上任意一点,则tan α=xy . 对于每一个确定的α，都分别有唯一确定的正切值与之对应，所以这个对应法则都是以角α为自变量的函数，叫做正切函数.正切函数值与点P 在角α终边上的位置无关，只依赖于角α的大小.2.任意角的正切值的符号（1）用图形表示：正切函数值在各象限的符号如图1-6-3所示.图1-6-33.正切函数的图像和性质(1)图像：如图1-6-4所示.图1-6-4知识导学1.复习初中学过的锐角的正切函数，本节是锐角正切函数的补充和延伸.2.任意角的正切值的符号记忆口诀：“一三正，二四负”.其含义是终边在第一、三象限的任意角正切值为正.3.三角函数值在各象限的符号的记忆方法：三角函数值在各象限的符号可用以下口诀记忆：“一全正，二正弦，三两切，四余弦”.其含义是在第一象限各三角函数值全为正，在第二象限只有正弦值为正，在第三象限只有正、余切值为正，在第四象限只有余弦值为正(这里说的三角函数值不指正割和余割函数）.。
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*******“双主”高效课堂数学导学案
2015---2016学年度第二学期 姓名： 组名： 使用时间2016年 月 日
年 级 科 目 课 题 主 备 人 备 课 方 式 课 时 负责人（签字） 审核领导（签字） 序
号
SX11
高 一 数学 §1.7.3正切函数的诱导公式 1
学习目标：
1、知识与技能
（1）通过观察正切函数的图象，掌握数行结合思想；
（2）结合正切函数图象分析得到正切函数的诱导公式；
（3）通过数行结合，类比推理等思想，培养学生分析问题、解决问题的能力.
2、过程与方法
通过运用正、余弦的概念作比较，得出正切函数的概念，也可以仿照正、余弦公式推出正切函
数的诱导公式；通过单位圆用的正切线画出正切函数的图像，并从图像总结正切函数的性质.
3、情感态度与价值观
使学生对正切函数的概念有一定的体会，会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，激发
学生学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养
学生自信心；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神.
学习重点：正切函数的概念、诱导公式、图像与性质.
学习难点：熟练运用诱导公式和性质分析问题、解决问题.
基础达标：
1、 画出正切曲线图像：
2、总结正切函数的性质：
定义域：
值 域：
周期性：
奇偶性：
单调性：
对称性：
3、化简下列各式（诱导公式）：
)tan(k )tan( )2tan(
)tan(
)2tan( )23tan(
)23tan( )2tan(
合作交流：
1、若43tan，借助三角函数的定义，求sin，cos．
2、 确定下列式子的符号：
（1）sin273tan125 （2）1tan （3）tan108cos305
3、化简下列各式：
（1）)675tan()60tan(210tan315tan （2）psin+q2cos+k2tan
（3）mtan+n2cos-psin-q23cos-r2sin
思考探究：
1、对于诱导公式的推导，利用了什么方法？请举例推导其中一个．
2、利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤是什么？
达标检测：
1、tan 225°等于（ ）
A．3 B．33 C．1 D．－1
2、若tan 126°＝m，则cot 36°等于（ ）
A．m B．－m C．±m D不能确定
3、10tan()3＝
4、已知31)sin(，0<<3，
求：)23sin()25tan(
5、化简：
学习小结：
学后反思：