微积分第八章多元函数微积分

1 第八章 多元函数微积分 我们知道，微积分中的许多概念都有很强的实际背景，它解决了很多初等数学无法解决的问题．但是，实际问题往往很复杂，反映到数学上就是一个变量依赖多个变量，这类问题用一元函数的微积分知识解决不了，因此，必须引进多元函数的概念．本章将介绍多元函数的微积分，它是一元函数微积分的推广和发展，从一元函数的情形推广到二元函数时会出现一些新的问题，而从二元函数推广到三元及三元以上的多元函数却没有本质的区别，完全可以类推．因此，本章主要讨论二元函数的情形．

第一节 多元函数的概念

一、 平面区域 为了介绍二元函数的概念，有必要介绍一些关于平面点集的知识，在一元函数微积分中，区间的概念是很重要的，大部分问题是在区间上讨论的，在平面上，与区间这一概念相对应的概念是平面区域． 1． 邻域 设P０(x0,y0)是xOy平面上的一定点，δ是某一正数，与点P０(x0,y0)的距离小于 δ的点P(x,y)的全体，称为点P０的δ邻域，记为U(Ｐ0,δ)，即

00(,)UPPPP,

亦即 22000(,)(,)()()UPxyxxyy． 在几何上就是以P0为中心，δ为半径的圆的内部(不含圆周)． 上述邻域0(,)UP去掉中心P0后，称为P0的去心邻域，记作o0(,)UP． o

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000(,)(,)0()()UPxyxxyy.

如果不需要强调邻域的半径δ，则用0()UP表示点P0的邻域，用U（P0）表示P0的去心邻域． 2． 区域 下面用邻域来描述平面上的点与点集之间的关系． 设E是xOy平面上的一个点集，P是xOy平面上的一点，则P与E的关系有以下三种情形： (1) 内点：如果存在P的某个邻域U（Ｐ)，使得U（Ｐ)E，则称点P是E的 内点． (2) 外点：如果存在P的某个邻域U（Ｐ)，使得U（Ｐ)∩E＝，则称P为E 的外点． (3)边界点：如果在点P的任何邻域内，既有属于E的点，也有不属于E的点，则称点 2

P为E的边界点．E的边界点的集合称为E的边界，记作E． 例如点集E1{(x,y)｜0＜x2y2＜1}:圆内部除圆心与圆周上各点之外的点都是E1的 内点，圆外部的点都是E1的外点，圆心及圆周上的点为E1的边界点．又如点集E1{(x,y)｜xy≥1}：直线上方的点都是E2的内点，直线下方的点都是E2的外点，直线上的点都是E2

的边界点(图81)．

图81 显然，点集E的内点一定属于E；点集E的外点一定不属于E；E的边界点可能属于E，也可能不属于E． 如果点集E的每一点都是E的内点，则称E为开集，如点集E1{(x,y)｜0＜x2y2＜1}是开集，而E2{(x,y)｜xy≥1}不是开集． 设E是开集，如果对于E中的任何两点，都可用完全含于E的折线连接起来，则称开集E是连通集，上面的点集E1和E2都是连通的，但点集E3{(x,y)｜xy＞0}却不是连通的(图82)．

图82 连通的开集称为开区域(开域)． 从几何上看，开区域是连成一片的且不包括边界的平面点集．如E1是开区域．开区域是数轴上的开区间这一概念在平面上的推广．

开区域E连同它的边界E构成的点集，称为闭区域(闭域)，记作E (即EEE)． 闭区域是数轴上的闭区间这一概念在平面上的推广．如E2及E4＝{(x,y)｜x2y2≤1}都是闭域，而E5＝{(x,y)｜1≤x2y2＜2}即非闭域，又非开域．闭域是连成一片的且包含边界的平面点集． 本书把开区域与闭区域统称为区域． 如果区域E可包含在以原点为中心的某个圆内，即存在正数R，使EU(0，R)，则称E为有界区域，否则，称E为无界区域．例如E1是有界区域，E2是无界区域． 3． 聚点 记E是平面上的一个点集，P是平面上的一个点．如果点P的任一邻域内总有无限多 3

个点属于点集E，则称P为E的聚点．显然，E的内点一定是E的聚点，此外，E的边界点也可能是E的聚点．例如，设 Ｅ6{(x,y)｜0＜x2y2≤1}，

那末点(0，0)既是Ｅ6的边界点又是Ｅ6的聚点，Ｅ6的这个聚点不属于Ｅ6，又例如，圆周x2y21上的每个点既是Ｅ6的边界点，也是Ｅ6的聚点，而这些聚点都属于Ｅ6．由此可见，点集E

的聚点可以属于E，也可以不属于E．再如点集E7＝｛(1,1),111111(,).(,),,(),2233nn｝，原点(0，0)是它的聚点，E7中的每一个点都不是聚点． 4． n维空间Rn 一般地，由n元有序实数组(x1,x2,…，xn)的全体组成的集合称为n维空间，记作Rn．即 Rn{(x1,x2,…，xn)｜xi∈R,i1,2,…，n}． n元有序数组(x1,x2,…，xn)称为n维空间中的一个点，数xi称为该点的第i个坐标． 类似地规定，n维空间中任意两点P(x1,x2,…，xn)与Q(y1,y2,…,yn)之间的距离为

2221122()()()nnPQyxyxyx

．

前面关于平面点集所陈述的一系列概念，可推广到n维空间中去，例如，P0∈Rn，δ是某一正数，则点P0的δ邻域为 Ｕ（Ｐ０，δ）＝｛｜Ｐ｜Ｐ０Ｐ｜＜δ，Ｐ∈Ｒn｝．

以邻域为基础，还可以定义n维空间中内点、边界点、区域等一系列概念，只是当n＞3时，这些概念不再有相应的几何意义了．

二、 多元函数的概念 1． n元函数的定义 定义1 设D是Rn中的一个非空点集，如果存在一个对应规则f,使得对于D中的每一个点P(x1,x2,…，xn)，都能由f惟一地确定一个实数y，则称f为定义在D上的n元函数，记为 yf (x1,x2,…，xn),(x1,x2,…，xn)∈D． 其中x1,x2,…，xn叫做自变量，y叫做因变量，点集D叫做函数的定义域，常记作D(f)． 取定(x1,x2,…，xn)∈D，对应的f(x1,x2,…，xn)叫做(x1,x2,…，xn)所对应的函数值．全体函数值的集合叫做函数f的值域，常记为f(D)［或R(f)］，即 f(D){y｜yf(x1,x2,…，xn),(x1,x2,…，xn)∈D(f)}． 当n1时，D为实数轴上的一个点集，可得一元函数的定义，即一元函数一般记作yf(x),x∈D,DR；当n2时，D为xOy平面上的一个点集，可得二元函数的定义，即二元函数一般记作zf(x,y)，(x,y)∈D,DR2，若记P(x,y)，则也记作zf(P)． 二元及二元以上的函数统称为多元函数．多元函数的概念与一元函数一样，包含对应规则和定义域这两个要素． 多元函数的定义域的求法，与一元函数类似．若函数的自变量具有某种实际意义，则根据它的实际意义来决定其取值范围，从而确定函数的定义域；对一般的用解析式表示的函数，使表达式有意义的自变量的取值范围，就是函数的定义域． 例1 在生产中，设产量Y与投入资金K和劳动力L之间的关系为 Ｙ＝ＡＫαＬβ（其中A，α，β是正的常数)．

这是以K，L为自变量的二元函数，在西方经济学中称为CobbDouglas生产函数．该函数的定义域为｛(K,L)｜Ｋ＞０，Ｌ＞0｝． 4

例2 求函数zln(yx)221xxy的定义域D，并画出D的图形． 解 要使函数的解析式有意义，必须满足

220,0,10,yxxxy





即D{(x,y)｜x≥0,x＜y,x2y2＜1},如图83阴影部分所示．

图83 图84 ２． 二元函数的几何表示 设函数zf(x,y)的定义域为平面区域D，对于D中的任意一点P(x,y)，对应一确定的函数值z(zf(x,y))．这样便得到一个三元有序数组(x,y,z)，相应地在空间可得到一点M(x,y,z)．当点P在D内变动时，相应的点M就在空间中变动，当点P取遍整个定义域D时，点M就在空间描绘出一张曲面S(图84)．其中 S＝｛（x,y,z)｜zf(x,y),(x,y)∈Ｄ｝． 而函数的定义域D就是曲面S在xOy面上的投影区域．

例如zaxbyc表示一张平面；z221xy表示球心在原点，半径为1的上半球面． 三元及三元以上的函数没有直观的几何意义．

习题81 １．求下列函数的定义域，并画出其示意图： (1)22221xyzab； (2)1ln()zxy； (3) zarcsinyx； (4)zxy－arccos（x２y２）． ２．设函数f(x,y)x32xy3y2，求

(1) f(2,3); (2) f 12,xy； (3)f(xy,xy).

３．设F(x,y)y＋f（x－１），若当y1时，F(x,1)x，求f(x)及F(x,y)的表达式． ４．指出下列集合A的内点、边界点和聚点： 5

(1) A＝｛(x,y)０≤x≤１，０≤y≤x｝；(2)Ａ＝｛（x,y）３x＋y＝１｝； (3)A＝｛（x,y）｜x２＋y２＞０｝； (4)A＝（０，２］．

第二节 二元函数的极限与连续性 一、 二元函数的极限 二元函数的极限概念是一元函数极限概念的推广．二元函数的极限可表述为 定义1 设二元函数zf(P)的定义域是某平面区域D，P０为D的一个聚点，当D中的点P以任何方式无限趋于Ｐ０时，函数值f(P)无限趋于某一常数A，则称A是函数f(P)当P趋于P０时的(二重)极限．记为

0lim()PPfPA或 f（Ｐ）→A（P→Ｐ０），

此时也称当Ｐ→Ｐ０时f(P)的极限存在， 否则称f(P)的极限不存在．若Ｐ０点的坐标为(x０，y０），Ｐ点的坐标为(x,y)，则上式又可写为

00

(,)limxxyyfxyA或 f(x,y)→A（x→x０，y→y０）．

类似于一元函数，f(P)无限趋于A可用︱f(P)－A︱＜ε来刻画，点PP(x,y)无限趋于P０＝Ｐ０（x０,y０）可用22000()()PPxxyy刻画，因此，二元函数的极限也可如下定义． 定义2 设二元函数z＝f（Ｐ）＝f（x,y）的定义域为D，P０（x０,y０）是D的一个聚点，A为常数．若对任给的正数ε，不论ε多小，总存在δ＞0，当P(x,y)∈D，且

22000()()PPxxyy

时，总有

()fPA，

则称A为zf(P)当Ｐ→Ｐ０时的(二重)极限． 注 ①定义中要求Ｐ０是定义域D的聚点，是为了保证在P０的任何邻域内都有D中的点． ②注意到平面上的点P趋近于Ｐ０的方式可以多种多样：P可以从四面八方趋于Ｐ０，也可以沿曲线或点列趋于Ｐ０．定义1指出：只有当P以任何方式趋近于Ｐ０，相应的f(P)都趋近于同一常数A时，才称A为f(P)当Ｐ→Ｐ０时的极限．如果P(x,y)以某些特殊方式(如沿某几条直线或几条曲线)趋于Ｐ０（x０,y０)时，即使函数值f(P)趋于同一常数A，我们也不能由此断定函数的极限存在．但是反过来，当P在D内沿不同的路径趋于Ｐ０时，f(P)趋于不同的值，则可以断定函数的极限不存在． ③二元函数极限有与一元函数极限相似的运算性质和法则，这里不再一一叙述．