函数的单调性(定义法)
第三讲：函数的单调性
第三讲：函数单调性与应用一．知识点梳理 1. 函数单调性的定义(1) 一般地,对于给定区间上的函数f(x),如果对于属于这个区间的任意两个自变量x 1,x 2,当x 1<x 2时,都有f(x 1)<f(x 2)(或都有f(x 1)>f(x 2)),那么就说f(x)在这个区间上是单调增函数(或单调减函数).(2) 如果函数y=f(x)在某个区间上是单调增函数(或单调减函数),那么就说f(x)在这个区间上具有(严格的)单调性,这个区间叫作f(x)的单调区间.若函数是单调增函数,则称该区间为单调增区间;若函数为单调减函数,则称该区间为单调减区间. 2. 复合函数的单调性对于函数y=f(u)和u=g(x),如果当x ∈(a,b)时,u ∈(m,n),且u=g(x)在区间(a,b)上和y=f(u)在区间(m,n)上同时具有单调性,则复合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上具有单调性,并且具有这样的规律:同增异减（即内外函数的单调性相同则为增 ，内外函数的单调性相反则为减） 3.和函数的单调性 同增为增，同减为减，不同步不确定。
4. 积函数的单调性 （1） 同增同正，得增；（2） 同增同负，得减；（3） 同减同正，得减；（4） 同减同负，得增； （5） 一增一减，一正一负，单调性与原函数中函数值为负的函数相同； （6） 其余情况，可增可减，亦可为常数函数.5. 求函数单调区间或证明函数单调性的方法:(1) 函数单调性的定义法; (2) 函数的图象法; (3) 导函数法；（4）利用已知函数的单调性法 二．考点突破 1.函数单调性的判断例1：判断下列函数在区间(0,2)上的单调性:(1) y=-x+1; (2) y=; (3) y=x 2-2x+5; (4) y=2x .例2：设函数()f x =()f x 的单调性；例3：求下列函数的增单调区间（1）2()(3),(1))x f x x e x =-⋅∈-⋃+∞； （2）22()log (1)(2)f x x x x =+++变式：1. 函数f(x)=x 2-2x 的单调增区间为 . 2.给定下列函数:①y=12x ;②12log (1)y x =+;③y=-|x-1|;④y=2x+1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数是 .(填序号)3.求函数f(x)=ln(4+3x-x 2)的单调减区间是 .4.求函数2()23f x x x =-++的单调增区间5.若函数1,0()0,01,0x f x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，2()()g x x f x =⋅，求函数()g x 的单调减区间6.已知函数f(x)= 是(-∞,+∞)上的单调减函数,那么实数a 的取值范围是 。
3.3函数的单调性
函数的单调性函数的单调性： 一、定义：①()f x 在区间I 上是增函数（递增）：121212221112()(,,()())I D x x I x x x x f x f f x f x x <<⎧⎪⎨⎪⇒⎩>⊆∈⇒>、、任意或中文理解：函数值随着自变量的增大而增大（因变量大小与自变量大小一致）。
图像理解：从左到右，由下至上。
②()f x 在区间I 上是减函数（递减）：121121212212()(),,()()I D x x I x x f x x f x f x x f x ><<⎧⎪⎨⎪⇒⎩∈>⊆⇒任、、意或中文理解：函数值随着自变量的增大而减小（因变量大小与自变量大小相反）。
图像理解：从左到右，由上至下。
二、知识要点：1、单调区间I 与定义域D 的关系：I D ⊆练1：根据下列函数的图像，分别写出其定义域D 与单调区间增区间I ，单调减区间I 直线型 指、对数型：x y a =与log a y x =(0)y k x b k =+> (0)y k x b k =+< (0)y kx b k =+=二次曲线 幂函数：1:()0:1,0aa y xy x a Q a y x ==⎧=∈⎨==≠⎩2()(0)y a x b c a =-+> 2()(0)y a x b c a =-+< =2y x 3y x = 52y x =D D IIIID D IIIIy=x(1,0)a>1y=log a xy=a x oyx(0,1)0<a<1y=x(1,0)y=log a xy=a x(0,1)oyxboxy y xobb oxyx=boxy c cyx o x=b(0)y a x b c a =-+>(0)y a x b c a =-+<x=bx=bc oxyy xo c=12y x 25y x = 13y x =-=1y x 2y x -= 12y x -=三角函数反三角函数双曲线型函数 函数的对称变换 分段函数 小结：1、单调性是局部性质，是对D 内的某一个子集区间而言。
高中数学函数单调性的判断方法
高中数学函数单调性的判断方法单调性是函数的重要性质，它在数学中有许多应用，如我们常用求函数单调性的方法求函数的值域。
那么，有哪些求函数单调性的方法呢？ 方法一：定义法对于函数f(x)的定义域I 内某个区间A 上的任意两个值12,x x（1）当12x x <时，都有12()()f x f x <,则说f(x)在这个区间上是增函数；（2）若当12x x <时，都有12()()f x f x >,则说f(x) 在这个区间上是减函数。
例如：根据函数单调性的定义，证明：函数在 上是减函数。
要证明函数f （x ）在定义域内是减函数，设任意1212,x x R x x ∈<且，则33221221212121()()()()f x f x x x x x x x x x -=-=-++，12x x <因为 210x x ->所以，且在1x 与2x 中至少有一个不为0，不妨设20x ≠，那么222222121123()24x x x x x x x ++=++0>，12()()f x f x >所以，故 ()f x 在 (,)-∞+∞上为减函数。
方法二：性质法除了用基本初等函数的单调性之外，利用单调性的有关性质也能简化解题. 若函数f(x)、g(x)在区间B 上具有单调性，则在区间B 上有：1. f(x)与c•f(x)当c ＞0具有相同的单调性，当c ＜0具有相反的单调性；2.当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)都是增(减)函数；3.当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)•g(x)当两者都恒大于0时也是增(减)函数，当两者都恒小于0时也是减(增)函数；例如，已知f （x ）在R 上是减函数，那么-5f （x ）为____函数。
这道题很简单，我们根据单调性的性质，很容易就能判断它是增函数。
方法三：同增异减法（处理复合函数的单调性问题）对于复合函数y ＝f [g(x)]满足“同增异减”法(应注意内层函数的值域)， 可令 t ＝g(x)，则三个函数 y ＝f(t)、t ＝g(x)、y ＝f [g(x)]中， 若有两个函数单调性相同，则第三个函数为增函数；若有两个函数单调性相反，则第三个函数为减函数.注：（1）奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性；（2）互为反函数的两个函数有相同的单调性；（3）如果f(x)在区间D 上是增（减）函数，那么f(x)在D 的任一子区间上也是增（减）函数。
函数的单调性、奇偶性、周期性
函数的单调性、奇偶性、周期性一、函数的单调性 1．增函数定义设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I ⊆A ，如果对于区间I 内的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时， 都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在区间I 上是单调增函数．I 称为y=f(x)的单调增区间。
2、减函数定义：设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I ⊆A ，如果对于区间I 内的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时， 都有f(x 1) >f(x 2)，那么就说f(x)在区间I 上是单调减函数．I 称为y=f(x)的单调减区间。
注意：（1）函数的单调性是函数在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； （2）必须是对于区间I 内自变量x 的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时，总有f(x 1)<f(x 2)（或f(x 1) >f(x 2)），才能说函数y=f(x) 在区间I 上具有单调增减性。
（3）判断函数的单调性：一利用定义，二利用函数的图象，三是利用导数。
（4）利用函数的图象分别指出： 一次函数y=kx+b 、 反比例函数y= kx(k ≠0)、二次函数y=a x 2+bx+c 的单调区间(5) 定义的内涵与外延：内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况； 外延：①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减.②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数.(6)、利用定义证明函数f(x)在给定的区间I 上的单调性的一般步骤：① 任取x 1，x 2∈I ，且x 1<x 2； ② 作差f(x 1)－f(x 2)；③ 变形（通常是因式分解和配方）； ④ 定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）； ⑤ 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间I 上的单调性）． （7）函数单调性的判定：（1）图象法；（2）定义法 （3导数法） 二、复合函数))((x g f y =单调性的判断：对于函数)(u f y =和)(x g u =，如果)(x g u =在区间),(b a 上是具有单调性， 当),(b a x ∈ ，),(n m u ∈，且)(u f y =在区间),(n m 上也具有单调性， 则复合函数))((x g f y =在区间),(b a 具有单调性的规律见下表：以上规律还可总结为：“同得增，异得减”或“同增异减”.三、单调性的有关结论：1．若f(x), g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x) 函数； 2．若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为 ；3．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性。
《函数单调性的性质》课件
单调性在求解不等式问题中的应用
总结词
详细描述
实例
利用单调性求解不等式问题
通过分析函数的单调性，可以将不等 式问题转化为函数值的大小比较问题 ，从而简化求解过程。例如，对于形 如$f(x) > g(x)$的不等式，可以通过 分析$f(x)$和$g(x)$的单调性，找到 满足不等式的$x$的取值范围。
判定函数单调性的导数方法
01
02
03
导数大于零
若函数在某区间内的导数 大于零，则函数在此区间 内单调递增。
导数小于零
若函数在某区间内的导数 小于零，则函数在此区间 内单调递减。
ห้องสมุดไป่ตู้
导数等于零
若函数在某区间内的导数 等于零，则需要进一步分 析函数在该点的左右极限 来判断函数的单调性。
判定函数单调性的其他方法
控制工程系统的稳定性
在工程控制领域，单调性的分析可以帮助工程师了解系统的稳定性，从而更好地进行系 统设计和控制。
提高生产效率
在生产过程中，通过对生产数据的单调性进行分析，可以帮助企业优化生产流程，提高 生产效率。
THANKS
感谢观看
实例
对于函数$f(x) = x^2$，其在区间$[0, +infty)$上是单调递增的，因此在该区间内函数的最小值为0，最 大值为正无穷大。
04 函数单调性与函 数其他性质的关 系
单调性与函数奇偶性的关系
总结词
单调性与奇偶性相互影响，奇函数在区间内单调递增或递减，偶函数在区间内单调递减或递增。
详细描述
复合函数单调性判定
利用同增异减原则，即内外函数的单调性相同，则复合函 数单调递增；内外函数的单调性不同，则复合函数单调递 减。
函数的单调性定义
函数的单调性定义
单调性是数学分析中的一个重要概念，此概念一般表示一个实值
函数的单调性，是一个函数在两个点之间总是增加或总是减少的属性。
它是一种函数的性质，在函数的某个区间内，可以确定函数单调递增、单调递减或者局部单调，因此它可以提供一个有效的方法来分析函数
行为。
许多数学函数均是单调函数，例如函数f(x)=x^2和f(x)=x+2；函数f(x)=\cosx则不属于单调函数，因为其有增大和减小的部分。
单调函数有着一些独特的性质：一个单调函数在某一点，无论其
减小还是增大，只能分别在其有界和没有界点上变化；单调函数的图
象始终向一个方向去改变；单调函数的泰勒展开无法改变其方向。
单调性在很多领域都有广泛的应用，其中有两个典型的例子：
（1）在最优化问题中，我们假设某一函数是单调的，可以将该函
数改写为增函数或减函数，这样就可以使最优化问题切实可行。
（2）在函数分析中，比如在求非线性方程的根的问题中，可以采用Bisection（二分法）和secant（弦截法）等方法，这类方法往往要求所解决问题的函数为单调的函数。
因此，单调性的应用极其广泛，不仅在分析函数行为，改善优化方法以及求解非线性方程等数学分析问题中极为重要，而且还能在应用中博得成就。
函数单调性 图文
(1)函 数f ( x) 1 在 定 义 域 上 单 调 递 减(。× )
x
(2)函
数f
(
x)
x, x2
x0 1, x
在R上 0
单
调
递
增.(
√
)
四、探究 探 究2.试 探 究 函 数f ( x) x 1 在[1,)上 的
x 单 调 性,并 证 明 。
用定义法证明函数单调性时,四个步骤：
y
f (x) x
f (x) x2
•y
o
x
•
图1
y
o
x
图3
o
x
图2
观察图像，试说说 这些函数图像特征。
一、定义探究
y
上 升
O
y f(x)
f (x1) f(x2)
x1
x2 x
y
y f(x)
下 f(x1)
降
f (x 2 )
O
x1 x2
x
变化趋势
文字语言
符号语言
自左向右 看，上升
自左向右 看，下降
?
存在某两个自变量的 值x1、x2，当x1<x2时， f(x1)<f(x2)
随着x增大，
相应的f(x)也增大 ?
无穷多对自变量的值 x1、x2，当x1<x2时， f(x1)<f(x2)
随着x增大， 相应的f(x)也增大
对任意两个自变量的 值x1、x2，当x1<x2时， f(x1)<f(x2)
一、定义
则 函 数y f ( x)在 区 间( , )上 是 增 函 数.( × )
(2)函 数y f ( x)的 定 义 域 为[0, ),若 对 于 任 意 的x2 0, 都 有f ( x2 ) f (0),则 函 数y f ( x)在 区
函数的单调性与奇偶性
函数的单调性与奇偶性一、函数的单调性初中时我们学过，对于一次函数y＝x+1，y随着x的增大而增大，我们称之为增函数；y＝-x+l，y随着x的增大而减小，我们称之为减函数。
那么如何定义呢?用数学符号语言如何叙述呢?1．定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D：在定义域内的某个区间上任取x1，x2，且x1＜x2，若都有f(x1)＜f(x2)，则称f(x)是单调增函数；在定义域内的某个区间上任取x1，x2，且x1＜x2，若都有f(x1)＞f(x2)，则称f(x)是单调减函数；若函数y＝f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有单调性，这一区间叫做y＝f(x)的单调区间。
理解：初中的说法是描述性的语言，通俗易懂；而高中的定义体现了自变量的变化关系决定因变量的变化关系。
分为两个层次，一是在哪个范围上研究，二是符号语言是怎么样的。
今后学习奇偶性，周期性都是这样定义的。
注：(1)单调函数是对整个定义域而言的，单调性是一个局部概念，是针对定义域内某个区间而言的，通常谈到单调性都会注明单调区间。
(2)单调区间能写闭区间的最好写闭区间，若在区间的端点处没有定义，则写成开区间。
比如，反比例函数不是单调函数，但是它在(-∞,0)上是减函数，在(0，+∞)上也是减函数。
我们把(-∞，0)和(0，+∞)叫的单调减区间。
若表示为(-∞,0)∪(0,+∞)是不对的。
如右图所示的函数，单调区间是R，它是单调函数。
若去掉点(0，1)，则单调区间是(-∞，0)∪(0，+∞)。
例1．证明函数在[0，+∞）上是增函数。
分析：判断函数在某一区间上的单调性，从图象上观察是一种常用而又较为粗略的方法，严格证明，需要从单调函数的定义入手。
证明：设x1≥0，x2＞0，且x1＜x2，则，∵0≤x1<x2, ∴x1-x2<0,∴f(x1)-f(x2)<0 即f(x1)<f(x2)由定义知，在[0，+∞)上是增函数。
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函数的单调性
知识点：
1.函数单调性定义
(1).定义法,对任意的＞若＞则称在D 内是单增，若＜则称在D内是单减.
对定义在D上的函数,设, ,＜,则有：①＞是D上的单调递增函数；②＜是D上的单调递减函数.
注意：函数的单调性的局部性(注意：函数的单调性，从定义上来讲，是指函数在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的特征，在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调。
求单调区间时，必须先求出函数的定义域；单调区间只能用区间表示，若有多个单调区，应分别写),函数的单调性最值主要涉及初等函数、复合函数、抽象函数、分段函数等情况.
2.复合函数的单调性：
3.几种常见函数的单调性：);
例1.多种方法判断下列函数的单调性：
（0，+∞）; .;
，x∈（-1,1）（a≠0），
例2..已知（x≠a）,若a＞0且f（x）在（1.+∞）内单调递减，求a的取值范围. 若,与在区间，上都是减函数，求a的取值范围.已知函数f（x）= （a≠1）若f（x）在区间（0,1］上是减函数，则实数a的取值范围.已知函数f（x）= –ax（a＞0）①.证明当a≥1时，函数f（x）在区间[0，+∞）上为单调减函数.②.若函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求a的取值范围。