高中数学必修五全套学案
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- - 总§1.1.1 正弦定理
学习目标
1. 掌握正弦定理的内容;
2. 掌握正弦定理的证明方法;
3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题. 学习过程
一、课前准备
CB 及∠B ,使边AC 绕着顶点C 转动.
思考:∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系?
显然,边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而 .能否用一个等式把这种关系精确地表示出来?
二、新课导学 ※ 学习探究
探究1:在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角与边的等式关系. 如图,在Rt ∆ABC 中,设BC =a ,AC =b ,AB =c ,
根据锐角三角函数中正弦函数的定义, 有sin a A c =,sin b B c =,又sin 1c
C c
==,
- - 总从而在直角三角形ABC 中,sin sin sin a b c
A B C
==
.
(
探究2:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立?
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况:
当∆ABC 是锐角三角形时,设边AB 上的高是CD ,根据任意角三角函数的定义,
有CD =sin sin a B b A =,则sin sin a b
A B
=
, 同理可得sin sin c b
C B
=
, 从而sin sin a b
A B =
sin c C
=.
类似可推出,当∆ABC 是钝角三角形时,以上关系式仍然成立.请你试试导.
新知:正弦定理
在一个三角形中,各边和它所对角的 的比相等,即
sin sin a b
A B =
sin c C =. 试试:
(1)在ABC ∆中,一定成立的等式是( ). A .sin sin a A b B = B .cos cos a A b B = C . sin sin a B b A = D .cos cos a B b A =
- - 总(2)已知△ABC 中,a =4,b =8,∠A =30°,则∠B 等于 .
[理解定理]
(1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即存在正数k 使sin a k A =, ,sin c k C =;
(2)sin sin a b A B =sin c C =等价于 ,sin sin c b
C B =
,sin a A =sin c C . (3)正弦定理的基本作用为:
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如sin sin b A
a B
=;b = .
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,
如sin sin a
A B b
=;sin C = .
(4)一般地,已知三角形的某些边和角,求其它的边和角的过程叫作解三角形.
※ 典型例题
例1. 在ABC ∆中,已知45A =,60B =,42a =cm ,解三角形.
变式:在ABC ∆中,已知45B =,60C =,12a =cm ,解三角形.
- - 总
例2.
在45,2,,ABC c A a b B C ∆===中,求和.
变式:在60,1,,ABC b B c a A C ∆==中,求和.
- - 总三、总结提升 ※ 学习小结
1. 正弦定理:
sin sin a b
A B =
sin c C
= 2. 正弦定理的证明方法:①三角函数的定义, 还有 ②等积法,③外接圆法,④向量法. 3.应用正弦定理解三角形: ①已知两角和一边;
②已知两边和其中一边的对角.
※ 知识拓展
a b =2c
R ==,其中2R 为外接圆直径. ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测(时量:5分钟 满分:10分)计分:
1. 在ABC ∆中,若cos cos A b
B a
=,则ABC ∆是( ).
A .等腰三角形
B .等腰三角形或直角三角形
C .直角三角形
D .等边三角形 2. 已知△ABC 中,A ∶B ∶C =1∶1∶4, 则a ∶b ∶c 等于( ).
A .1∶1∶
4 B .1∶1∶2
C .1∶1
D .2∶23. 在△ABC 中,若sin sin A B >,则A 与B 的大小关系为( ). A. A B > B. A B <
C. A ≥B
D. A 、B 的大小关系不能确定
- - 总4. 已知∆ABC 中,sin :sin :sin 1:2:3A B C =,则::a b c = . 5. 已知∆ABC 中,∠A 60=︒
,a =
sin sin sin a b c
A B C ++++= .
1. 已知△ABC 中,AB =6,∠A =30°,∠B =120︒,解此三角形.
2. 已知△ABC 中,sin A ∶sin B ∶sin C =k ∶(k +1)∶2k (k ≠0),求实数k 的取值范围为.
§1.1.2 余弦定理
1. 掌握余弦定理的两种表示形式;
2. 证明余弦定理的向量方法;
3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.
:在一个三角形中,各和它所对角的的相等,即= = .
复习2:在△ABC中,已知10
c=,A=45︒,C=30︒,解此三角形.
思考:已知两边及夹角,如何解此三角形呢?
- - 总