运筹学第五版习题答案

运筹学习题答案

第一章（39页）

1.1用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题是具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。

（1）m ax z =论x2

5x1+10x2<50

x1+x2 _ 1

x2 _4

为，X2 _0

（2）m in z=x1+1.5x2

x-i +3X2 _3

x-i + x2丄2

x-i，x2亠0

（3）m ax z=2x1+2 x2

x-1 -x2_-1

-0.5x-i + x2-2

x-i，x2 -0

（4）m ax z=x j + x2

x-i -x2 -0

3X r_X2__3

x1，x2 -0

解：

（1）（图略）有唯一可行解，max z=14

（2）（图略）有唯一可行解，min z=9/4

（3）（图略）无界解

（4）（图略）无可行解

1.2将下列线性规划问题变换成标准型，并列出初始单纯形表。

(1)min 2=-3捲+4乂2-2乂3+5乂 4

4 X i - X2 +2 X3 - X4 =-2

x-i + x2+3 x3- < 14 -2 x-i +3 x2- x3+2 x4亠2

x- , X2 , X3 _0, X4无约束

m

为-X k = -1( =1,…,n)

k 4

x ik丄0 (i=1 …n; k=1,…,m)

(1)解：设z=-z ,X4 = X5-X6, X5,X6 _0

标准型：

Max z =3 x1-4 x2+2 x3-5( x5- x6)+0 x7+0 x8-M x9-M x10 s. t .

-4 x1+ x2-2 x3+ x5- x6+ x10=2

x-i + x2+3 x3- x5+ x6+ x7=14

-2 x-i +3 x2- x3+2 x5-2 x6- x8+ x9=2

X ,X2, X3 , X5 , X6 , X7, X8 , X9 ,

X10

初始单纯形表

Cj T 3 -4

2

-5 5

0 0

-M -M e

C B X B b

X X2 X3 X5 X6 X7 X8 X9 X10

-M

X10 2

-4

1

-2

1

-1

0 0 0 1

2

0 X7 14

1 1

3

-1 1 1 0 0 0

14

n m

J 二、、'a ik x ik

i =1 k 4

-0

(2)X i X2 X3 X n

n m

Max s=(1/p k)二二ik x ik-M x1-M x2-…..-M x n i=1 7

s.t.

m

x + 迟X ik =1 (i=1,2,3…,n)

k=4

x k兰0, X j 20, (i=1,2,3…n; k=1,2….,m)

1.3在下面的线性规划问题中找出满足约束条件的所有基解。指出哪些是基可行解，并代入目标函数，确定最优解。

(1) max z=2x4+3x2+4x3+7x4

2x4+3x2-x3-4 x4=8

X1 -2 X2 +6x3-7 X4 =-3

(2) max z=5x1-2 x2+3 x3-6 x4

X1, X2 ,X3 , X4 -0

x1+2 x2+3 x3+4 X4 =7

2 x1+ x2+ x3+2 X4 =3

x1 x2 x3 x4 _0

(1)解：

系数矩阵A是：

2 3-1^

* _2 6 —7 一

令A=(R , P2,巳,P4)

P与卩2线形无关，以(R , P2)为基，捲,X2为基变量。

有 2 X! +3 x2=8+ x3+4 x4

x-i -2 x2=-3-6 x3+7 x4

令非基变量X3，X4 =0

解得：捲=1; x2=2

基解X(1)=( 1, 2, 0, 0)T为可行解

乙=8

同理，以(P，巳)为基，基解X⑵=(45/13, 0,-14/13, 0)T是非可行解；以(P , R )为基，基解

X(3)=(34/5, 0, 0, 7/5)T是可行解，Z3=117/5；以(F2,巳)为基，基解X⑷=(0, 45/16, 7/16, 0)T是可行解，Z4 =163/16；以(P2, P4)为基，基解X⑸=(0, 68/29, 0, -7/29)T是非可行解；

以(P4,巳)为基，基解X(6)=(0, 0, -68/31, -45/31 )T是非可行解；

最大值为Z3=117/5;最优解X⑶=(34/5, 0, 0, 7/5)T。

(2)解：

系数矩阵A是：

12 3 4

$112-

令A=（R , P2,巳,P4）

R , P2线性无关，以(P i , P2)为基，有: x-i +2X2=7-3 x3-4 x4

2 X1 + X2 =3- X

3 -2 X4

令X3 , X4 =0 得

X-I =-1/3, X2=11/3

基解X(1)= (-1/3,11/3, 0, 0)T为非可行解；

同理，以(P , P j)为基，基解X(2)= (2/5, 0, 11/5, 0)T是可行解Z2=43/5;

以(P , R )为基，基解X⑶=(-1/3, 0, 0, 11/6)T是非可行解；

以(P2, P j)为基，基解X⑷=(0, 2, 1, 0)T是可行解，Z4=-1；

以(P4, P j)为基，基解X(6)=(0, 0, 1, 1)T是Z6=-3；

最大值为Z2 =43/5;最优解为X⑵=(2/5, 0, 11/5, 0)T。

1.4分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划问题，并指出单纯形迭代每一步相当于图形的哪一点。

（1）max Z=2X1+X2

3X1+5X2乞15

6X1 +2x2虫24

X1 , X2 -0

（2）max Z=2X1+5X2

X<^4

2x2辽12

3 X1 +2 X^ 18

X-I , X2 -0