线代自测题
线代期末试题及答案解析
线代期末试题及答案解析一、选择题1. 下列哪个矩阵是零阵？A. $\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}$B. $\begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}$C. $\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$D. $\begin{bmatrix}2 & -2 \\ -3 & 3\end{bmatrix}$答案：B解析：零阵是所有元素都为0的方阵，选项B满足此条件。
2. 若矩阵$A$、$B$满足$AB=I$，其中$I$为单位矩阵，则矩阵$B$是矩阵$A$的：A. 逆矩阵B. 转置矩阵C. 相反矩阵D. 对角矩阵答案：A解析：若矩阵$A$的逆矩阵存在，则$A$的逆矩阵为$B$。
3. 下列哪个矩阵是对称矩阵？A. $\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}$B. $\begin{bmatrix}-1 & 2 \\ 2 & -1\end{bmatrix}$C. $\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$D. $\begin{bmatrix}1 & -1 \\ -1 & 1\end{bmatrix}$答案：D解析：对称矩阵是指矩阵的转置等于自身的矩阵，选项D满足此条件。
4. 若矩阵$A$、$B$满足$AB=BA$，则矩阵$A$和$B$是：A. 可逆矩阵B. 特征矩阵C. 对角矩阵D. 可交换矩阵答案：D解析：可交换矩阵是指满足$AB=BA$的矩阵，选项D满足此条件。
5. 若行矩阵$\mathbf{u}$、$\mathbf{v}$满足$\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\mathbf{0}$，其中$\mathbf{0}$为零向量，则下列哪个说法是正确的？A. $\mathbf{u}$和$\mathbf{v}$一定不相等B. $\mathbf{u}$和$\mathbf{v}$一定相等C. $\mathbf{u}$和$\mathbf{v}$可能相等也可能不相等D. 不能确定$\mathbf{u}$和$\mathbf{v}$是否相等答案：C解析：行向量的内积为零意味着两个向量正交，不一定相等，所以选项C是正确的。
线代题型练习14：《行列式》常见题型练习题及参考解答
线代题型练习14：《行列式》常见题型练习题及参考解答练习题【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！练习1 ：设为阶方阵，且的行列式，是的伴随矩阵，计算.练习2 ：设为阶非零方阵，是的伴随矩阵，是的转置矩阵. 当时，证明：.练习3 ：设是阶矩阵，满足 (是阶单位矩阵，是的转置矩阵），，求.练习4：计算行列式练习5 ：设为三阶方阵，，计算练习6 ：设为三阶方阵，, ，计算练习7 ：设为三阶正交矩阵，，是三阶方阵，，计算.练习8 ：设为三阶方阵，, ，求.练习9 ：设均为四阶方阵，且有均为四维向量，计算.练习10 ：设均为四维向量，且计算.先自己思考，动手尝试探索一下解题思路与解题过程，写写解题步骤，然后再对照下面的答案！【注1】每日一题参考解答思路一般不仅仅是为了解题，而重在分享、拓展思路，更多重在基本知识点的理解、掌握与应用！参考解答一般仅提供一种思路上的参考，过程不一定是最简单的，或者最好的，并且有时候可能还有些许小错误！希望在对照完以后，不管是题目有问题，还是参考解答过程有问题，希望学友们能不吝指出！如果有更好的解题思路与过程，也欢迎通过公众号会话框或邮件以图片、或Word文档形式发送给管理员，管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享，谢谢！【注2】每日一题题目并非咱号完全原创，一般来自各类参考书或网络资源，由学友改编、整理并由咱号免费推送分享。
感谢学友的热心整理分享，欢迎更多学友投稿分享好的学习资源、学习经验和大学学习、生活经历、经验，分享热线：微信、QQ、邮箱都为QQ号码：492411912.练习参考解答【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！练习1 ：设为阶方阵，且的行列式，是的伴随矩阵，计算.【参考解答】：由计算公式直接得练习2 ：设为阶非零方阵，是的伴随矩阵，是的转置矩阵. 当时，证明：.【参考解答】：设，其中为的行向量，所以有由公式，根据已知，有.考虑反证法：如果，则有这与为阶非零方阵矛盾，所以.练习3 ：设是阶矩阵，满足 (是阶单位矩阵，是的转置矩阵），，求.【参考解答】：因为由于，所以，所以.练习4：计算行列式【参考解答】：【思路一】记行列式为，则按第一行展开【思路二】依据行列式的拉普拉斯展开法则，将行列式按第2，3行展开，于是有练习5 ：设为三阶方阵，，计算【参考解答】：由于所以得练习6 ：设为三阶方阵，, ，计算【参考解答】：由行列式的计算性质，得练习7 ：设为三阶正交矩阵，，是三阶方阵，，计算.【参考解答】：由题设，可得所以练习8 ：设为三阶方阵，, ，求.【参考解答】：因为所以从而有练习9 ：设均为四阶方阵，且有均为四维向量，计算.【参考解答】：由于所以有练习10 ：设均为四维向量，且计算.【参考解答】：直接由行列式的计算性质，得相关推荐● 高等数学、线性代数课程完整推送内容参见公众号底部菜单高数线代下的高等数学、线性代数内容导航选项！课件PDF文档或其他电子文档资源、问题交流讨论请到添加配套QQ群！● 每日一题总列表点击菜单项高数线代下的“ 高数数分每日一题 ”或直接回复“每日一题”浏览！● 历届考研真题及详细参考解答浏览考研帮助菜单中考研指南真题练习选项● 全国、省、市、校竞赛真题、模拟试卷请参见公众号底部竞赛实验下竞赛试题与通知选项。
线性代数模拟题1含答案
（A）若 m n ，则 Ax b 有无穷多解；
（B）若 m n ，则 Ax 0 有非零解，且基础解系含有 n m 个线性无关解；
（C）若 A 有 n 阶子式不为零，则 Ax b 有唯一解；
模一第 1 页 共 2 页
（D）若 A 有 n 阶子式不为零，则 Ax 0 仅有零解.
5．若 n 阶矩阵 A，B 有共同的特征值，且各有 n 个线性无关的特征向量，则（ ）.
.
二、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）
1．下列矩阵中，（
）不是初等矩阵.
0 0 1
1 0 0
1 0 0
1 0 0
（A） 0 1 0 （B） 0 1 2 （C） 0 2 0 （D） 0 0 0
1 0 0
0 0 1
0 0 1
0 1 0
2．设向量组1,2 ,3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ ）.
5.(11 分) 设二次型 f (x1, x2 , x3 ) 5x12 5x22 3x32 2x1x2 6x1x3 6x2 x3 ，
（1）写出 f 对应的对称矩阵 A ；（2）求一个正交变换，化二次型为标准型.
四、证明题(13 分)
1.(6 分)向量组 A :1＝(0,1,1)T, 2＝(1,1, 0)T; 向量组 B : 1＝(1, 0,1)T ,
（2） A E 1 5 3 4 5 3 3 3 5 0 3 3
= (-4)(-9) ….. ……. ….. ……. ……. ……. ….. ……. ……. ……...(3 分)
3. n 元齐次线性方程组 Ax 0 有非零解的充要条件是______ .
4.设 B 可逆，矩阵 C 的秩 R C 3 , A BC ，则矩阵 A 的秩 R A
线代近年考试题及答案doc
山东建筑大学《线性代数》近年试题及参考答案（内部资料）2008年1月06-07-1《线性代数》试题A一、选择题（每小题4分，共20分）1．设四阶矩阵()234,,,A αγγγ=，()234,,,B βγγγ=，其中234,,,,αβγγγ均为4维列向量，且已知行列式4=A ，1=B ，则行列式=+B A （ ）（A ） 5； （B ） 4； （C ） 50； （D ） 40。
2．设A 为3×3矩阵，B 为4×4矩阵，且1=A ，2-=B ，则=A B （ ）。
（A ） 2-； （B ） 4-； （C ） 8-； （D ） 1。
3．设A 是n 阶方阵，且n r R <=)(A ，则在A 的n 个行向量中（ ）.（A ）必有r 个行向量线性无关 （B ）任意r 个行向量线性无关（C ）任意r 个行向量都构成极大线性无关组（D ）任意一个行向量都可以由其余1-r 个行向量线性表示4． 若齐次方程组0=AX 有无穷多解，则非齐次方程组B AX = ( )()A 必有无穷多解； ()B 可能有唯一解()C 必无解； ()D 有解时必有无穷多组解.5．设三阶方阵A 的三个特征值为λ10=, λ23=, λ36=-，对应于1λ的特征向量为 ()Tx 1011-=,,，对应2λ的特征向量为()Tx 1122,,=，记向量213x x x +=，则( ).()A 3x 是对应于特征值λ10=的特征向量. ()B 3x 是对应于特征值λ23= 的特征向量. ()C 3x 是对应于特征值λ36=-的特征向量. ()D 3x 不是A 的特征向量.二、填空题（每小题4分，共20分）1．设n 维向量组)(,,,,n s s s <+121αααα 线性无关， 则向量组s ααα,,, 21 的秩为 .2． 已知矩阵A 与2035B ⎛⎫=⎪-⎝⎭相似，则矩阵A 的特征值为 。
3．行列式dc b a D 000321200503== . 4．设()T9753,,,=α，()T0251,,,-=β，向量γ满足βγα523=-，则=γ .5．设A 为n 阶方阵，且2=A ，则=*AA . 三、(8分) 计算1+n 阶行列式xxx x x a a a a D n n0000002101--=+四、(8分) 求解下面矩阵方程中的矩阵X⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X 五、（8分）设向量组321ααα,,线性相关，向量组432ααα,,线性无关，证明(1) 1α能由32αα,线性表示；(2)4α不能由321ααα,,线性表示.六、（10分）设⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-=++223321321321x x x x x x x x x λλλλ，问λ取何值时，此方程组有惟一解，无解或无穷多解？并且有无穷多解时，求通解。
南京大学线性代数试题1
线代试题1、______________,,4321=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X X A AX A2、_______________________1,001013002501000=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-A A3、___________________1,001520310=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-A A4、设,,0||,03I AA A A I T=<=+ 其中 I 为单位矩阵，求 A 的伴随矩阵 A* 的一个特征值。
5、设 A ，B 为同阶可逆方阵，证明**)*(A B AB =; 若A*=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1001,B*=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0110则 ______________________)*(=AB6、若A 是正定矩阵，求证 A* 也是正定矩阵.7、,43242111⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=x A ,00020002⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=y B 设A 相似于 B ， 1）求常数 y x ,； 2）求可逆矩阵P ，使得B AP P =-1. 8、已知 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=122212221A ， ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=k B 00050001， 且A 与 B 相似，则.______=k 9、设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=10001000021001x A 有特征值 ,3=λ 求实数x 的值，并求可逆矩阵P 和对角矩阵 B 使得B AP P T =.10、向量组 )1,0,2,1(1-=α，)0,3,1,2(2=α，)1,,0,3(3λα=线性无关，则常数λ应满足条件____________.11、若向量321,,ααα线性无关， 求证 2132αα+，324αα+，135αα+ 也线性无关.12、方程组的 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=-+0005443321x x x x x x x 的一个基础解系为________________________.13、线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+414343232121a x x a x x a x x a x x 有解的充要条件是________________.14、设方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++4234321321321x bx x x bx x x x ax 问b a ,为何值时，方程组无解，有唯一解，有无穷多解？在有无穷多解时，求出全部解.15、设实对称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=211121112A ， 求一正交矩阵 P ，使得AP P AP P T =-1为对角矩阵.16、（特征值与实对称矩阵）设m n A ⨯为实矩阵，求证 TAA n A r ⇔=)(为正定矩阵.17、证明：1、相似矩阵有相同的特征根； 2、若实对称矩阵A 和B 相似，则存在正交矩阵P ，使得B AP P =-1.六、设 E E A A E A =++-)2)((2, E 为单位矩阵，求证 E A + 可逆. 七、（10分） 设 n ααα,,,21 是线性相关的n 维列向量组，),,,,(21n A ααα =A是 A 的伴随矩阵，*A 的 (1,1) 元 011≠A ，求线性齐次方程组 0*=X A 的通解.八、（18分） 设 321,,ααα 是线性无关的3维列向量组，A 为3阶矩阵，32112αααα-+=A ，3222ααα+=A ，32332ααα+=A ，1） 若 B A ),,(),,(321321αααααα=，求矩阵 B ； 2） 求 B 的特征值与特征向量； 3）求 A 的特征值； 4）求可逆矩阵 P 和对角阵 D ，使得 D AP P =-1.2010年上半年期末试题： 一、填空题：（1）若12 z 1 0y 13 x =1，则 11 1 7 1 101-z 1-y 1-x = ．（2）设三阶行列式A =) , ,( γβα=3，（其中γβα , ,为三维列向量）． 则 B =) , ,( αγγββα+++= ．（3）设三阶方阵A 的逆矩阵为 1A -=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ 2 0 0 2- 2 0 2 0 1 ，则 (A *)1－= ．（4）设n 阶方阵A 的各行元素之和为0，且A 的秩为 n -1，则线性方程组Ax=0的通解为．（5）已知三阶矩阵A 的特征值1λ=0，2λ=1，3λ=-1，对应的特征向量分别为321 , ,ξξξ，设矩阵P=（123,,ξξξ）， 则P 1-AP= ．（6）设A=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛- 1 1 3 2 x 2 0 0 2与B=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2 0 0 0 2 0 0 0 1相似 ． 则x= ．(7) 已知三阶矩阵A 有三个特征值1λ=-2，2λ=1，3λ=2， 又B=3A -32A ．则B 的所有特征值为．（8）设二次型 f(321,,x x x ) =()2332211x a x a x a ++，则此二次型的矩阵是 ．（9）二次型 f(21,x x )=222121cx x bx ax ++ 正定的充要条件是 ．（10）在线性空间 P 2[x] 中，求从基底 1, x -2, (x -2)2 到基底 1, x , x 2 的过渡矩阵．二．(10分)求向量组 1α=(1, 2, -1, -2)T , 2α=(2, 5, -6, -5)T , 3α=(3, 1, 1, 1)T ,4α=(-1, 2, -7, -3)T 的一个极大无关组, 并将其余向量表示成它们的线性组合．三．(10分) 设三阶实对称矩阵A 的秩为2，1λ=2λ=6是A 的二重特征值，若1α=( 1, 1, 0)T , 2α=(2, 1, 1)T , 3α=(-1, 2, -3)T 都是A 的属于特征值6的特征向量．求A 的另一个特征值和对应的特征向量．四. (10分)(1)求一个正交变换，将二次型 f(321,,x x x ) =2(313221x x x x x x ++) 化为标准型． (2)设A 为n 阶实对称矩阵，试证明：存在N>0，对任意 c> N ，A + cE 为正定矩阵五．(10分)设两个线性方程组分别为：(I) ⎩⎨⎧=+-=++0 02431321x x x x x x ； (II) ⎩⎨⎧=-+=-++-0 0623214321x x x x x x x ．（1）分别求这两个线性方程组（I ）和（II ）的解空间S 1, S 2的基和维数；（2）求这两个解空间的交S 1∩S 2与 和S 1+S 2的基与维数．六．(10分) 设数域K=R ，线性变换T 在在基 321,,εεε下的矩阵是A= ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛122212221 ，求T 的特征值和特征向量.七．(10分) 设欧氏空间 P 2[x] 中的内积定义为 (f,g)=⎰-11)()(dx x g x f ,（1）求基 1, x , x 2的度量矩阵A ；（2）利用矩阵A 计算 f(x)=1- x + x 2 与 g(x)= 1-4 x -5x 2的内积．。
线代期末复习线性代数试卷附讲解
线性代数试卷一、 （12分）单项选择题1. 如果n 阶矩阵A 满足条件,ij ij A a = 其中ij A 是元素ij a 的代数余子式，n j i ,,2,1, =,那么矩阵A 的•A 伴随矩阵等于 C()A A . ()AB -. ()T AC . ()T AD -.注：TTnn n n n n T nn n n n n A a a a a a a a a a A A A A A A A A A A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 212222111211212222111211*本题所用的知识点：1) 矩阵的转置。
P43定义5。
2) 矩阵的伴随。
P48定义3。
2. 设A 是m ⨯n 矩阵,0Ax =是非齐次线性方程组b Ax =对应的齐次方程 组，那么下列叙述正确的是 D （A ） 如果0Ax =只有零解，那么b Ax =有唯一解. （B ） 如果0Ax =有非零解，那么b Ax =有无穷多个解. （C ） 如果b Ax =有无穷多个解, 那么0Ax =只有零解. （D ） 如果b Ax =有无穷多个解, 那么0Ax =有非零解. 注： 令()b A A =~。
(A)错，当)~()(A r A r ≠时，b Ax =可能无解。
(B)错，当)~()(A r A r ≠时，b Ax =可能无解。
(C)错，b Ax =有无穷多个解nA r A r <=)~()(0=有非零解 本题所用的知识点：P80定理2及其注释。
3．，＝，秩且，阶方阵为设3)(4)(4,B r A r B A =B A 和的伴随矩阵为**B A 和，)(**B A r 则是 A (A) 1； (B) 2； (C) 3； (D) 4注：由于4)(=A r ，因而0≠A 。
由伴随矩阵的基本性质可知： 0**≠===nA E A AA A A因而0*≠A , 于是A *可逆。
进而r(A *B *)=r(B *)。
线代试题——精选推荐
线代试题郑州航空⼯业管理学院2006—2007学年第⼀学期课程考试试卷（A ）卷。
⼀、填空题（本题总计20分，每⼩题2分） 1. 排列7623451的逆序数是_______。
2. 若122211211=a a a a ，则=160030322211211a a a a 3. 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满⾜E ABC =，其中E 为n 阶单位矩阵，则__________1=-B 。
4. 若A 为n m ?矩阵，则齐次线性⽅程组AX b =有唯⼀解的充分要条件是______________。
5. 设A 为86?的矩阵，已知它的秩为4，则以A 为系数矩阵的齐次线性⽅程组的解空间维数为_____________。
6. 设A 为三阶可逆阵，=-1230120011A ，则=*A 7.若A 为n m ?矩阵，则齐次线性⽅程组0Ax =有⾮零解的充分必要条件是8.已知五阶⾏列式1234532*********140354321=D ，则=++++4544434241A A A A A9. 向量α=(2,1,0,2)T-的模（范数）为______________。
10.若()Tk 11=α与()T121-=β正交，则=k⼆、选择题（本题总计10分，每⼩题2分） 1. 向量组r ααα,,,21Λ线性相关且秩为s ，则( )Ａ．s r = Ｂ．s r ≤Ｃ．r s ≤ Ｄ．r s <2. 若A 为三阶⽅阵，且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A ( )Ａ．8 Ｂ．8-Ｃ．34 Ｄ．34-3．设向量组A 能由向量组B 线性表⽰，则( )Ａ．)()(A R B R ≤ Ｂ．)()(A R B R <Ｃ．)()(A R B R = Ｄ．)()(A R B R ≥ 4. 设n 阶矩阵A 的⾏列式等于D ，则()*kA 等于_____。
)(A *kA )(B *A k n )(C *-A k n 1 )(D *A 5. 设n 阶矩阵A ，B 和C ，则下列说法正确的是_____。
线代试题及答案解析
线代试题及答案解析1. 题目：设矩阵A为3x3矩阵，其行列式为2，求矩阵A的逆矩阵的行列式。
答案：矩阵A的逆矩阵的行列式为1/2。
解析：根据行列式的性质，一个矩阵的逆矩阵的行列式等于原矩阵行列式的倒数，即det(A^(-1)) = 1/det(A)。
已知det(A) = 2，所以det(A^(-1)) = 1/2。
2. 题目：若向量a和向量b线性无关，求证向量a+b与向量a-b也线性无关。
答案：向量a+b与向量a-b线性无关。
解析：假设向量a+b与向量a-b线性相关，则存在不全为零的实数λ和μ，使得λ(a+b) + μ(a-b) = 0。
化简得(λ+μ)a + (λ-μ)b = 0。
由于向量a和向量b线性无关，所以λ+μ = 0且λ-μ = 0。
解得λ = μ = 0，与假设矛盾，故向量a+b与向量a-b线性无关。
3. 题目：已知矩阵A的特征值为λ1=2和λ2=3，求矩阵A+I的特征值。
答案：矩阵A+I的特征值为λ1+1=3和λ2+1=4。
解析：根据特征值的性质，若λ是矩阵A的特征值，则λ+1是矩阵A+I的特征值。
已知矩阵A的特征值为λ1=2和λ2=3，所以矩阵A+I 的特征值为λ1+1=3和λ2+1=4。
4. 题目：设矩阵A为n阶方阵，且A^2=0，证明矩阵A不可逆。
答案：矩阵A不可逆。
解析：若矩阵A可逆，则存在矩阵A^(-1)，使得AA^(-1)=I。
由题设A^2=0，可得AA=0。
若矩阵A可逆，则AA^(-1)A=0A^(-1)=0，即I=0，矛盾。
因此，矩阵A不可逆。
5. 题目：已知向量组α1, α2, …, αm线性无关，且向量β可由向量组α1, α2, …, αm线性表示，证明向量组α1, α2, …, αm, β线性无关。
答案：向量组α1, α2, …, αm, β线性无关。
解析：假设向量组α1, α2, …, αm, β线性相关，则存在不全为零的实数k1, k2, …, km, k，使得k1α1 + k2α2 + … + kmαm +kβ = 0。
线代期末考试题库及答案
线代期末考试题库及答案 一、选择题 1. 向量组α1，α2，α3线性无关的充分必要条件是（ ）。 A. 齐次方程组只有零解 B. 齐次方程组有非零解 C. 齐次方程组只有零解或有非零解 D. 齐次方程组有无穷多解 答案：A
2. 矩阵A可逆的充分必要条件是（ ）。 A. |A|=0 B. |A|≠0 C. A的秩等于A的阶数 D. A的秩小于A的阶数 答案：B
3. 矩阵A和B等价的充分必要条件是（ ）。 A. |A|=|B| B. A和B的秩相等 C. A和B的行最简形相同 D. A和B的列最简形相同 答案：C
4. 向量组α1，α2，α3线性相关的充分必要条件是（ ）。 A. 齐次方程组只有零解 B. 齐次方程组有非零解 C. 齐次方程组只有零解或有非零解 D. 齐次方程组有无穷多解 答案：B
5. 矩阵A和B相似的充分必要条件是（ ）。 A. A和B的秩相等 B. A和B的特征值相同 C. A和B的行列式相同 D. A和B的迹相同 答案：B
二、填空题 1. 若矩阵A的行列式为0，则矩阵A______可逆。 答案：不
2. 若向量组α1，α2，α3线性无关，则由它们构成的矩阵的行列式______为0。
答案：不
3. 若矩阵A和B等价，则它们具有相同的______。 答案：秩
4. 若矩阵A和B相似，则它们具有相同的______。 答案：特征值 5. 若向量组α1，α2，α3线性相关，则由它们构成的矩阵的行列式______为0。
答案：必
三、解答题 1. 证明：若矩阵A和B可逆，则它们的乘积AB也可逆，并求出(AB)^{-1}。
证明：设矩阵A和B可逆，则存在矩阵A^{-1}和B^{-1}，使得AA^{-1}=A^{-1}A=I，BB^{-1}=B^{-1}B=I。
考虑乘积AB，我们有： (AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = AIA^{-1} = AA^{-1} = I
线代题
一、 选择题 （每小题2分，共10分）1、2、3、4、5、二、填空题（每小题3分，共15分）2、 3、设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ001001A ，则)(=k A4、 111111111)()()()()()()()(,,,,---------+++++++B A D B B A A C BA B B A A B A n B A B A B A 等于则阶可逆矩阵为设A A A D A A A C A A A B A A A A A A n A n n n n n 2**2**1**1**)()()()()()()()()(,*)2(+-+-====≥则的伴随矩阵是矩阵非奇异阶矩阵设.)(;,)(;)(;)().()()(,0,,n D n n C n B A B R A R AB n B A 都等于另一个等于一个小于都小于必有一个等于零的下列结论正确的是和则且阶非零矩阵都是设=.0,0)(.0,0)(.,)0()(.,)0()().(,===≠-=≠==≠=B A D B A C a B a a A B a B a a A A B A n 时当时当时当时当则必有等价与阶矩阵设)(,0,,113342211==⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=t AB B t A 则且为三阶非零矩阵、设.)(.)(.)(.)().(,,,,,,A D A C E B E A C B CA A C AB E B n E n C B A ---+=+=为则若阶单位矩阵为阶矩阵均为设.)()(,202040202,2,3,,1=-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=-E A B B A AB E B A 则已知阶单位矩阵为均为三阶矩阵设).(,,,,4321414343232121应满足条件则常数有解若齐次线性方程组a a a a a x x a x x a x x a x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+=+-=+5、设03213213211111333222=x x x ，则）(=x 三、计算题（1-7小题各5分，8-10小题各10分，共65分） 1、设ij M D ,3204010314324321=是D 中的ij a 的余子式，.432244342414M M M M +++ 2、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=145243121A ，用初等变换法求.1-A3、设A 为3阶方阵，*A 为其伴随矩阵，21=A 求.5)2(*1A A -- 4、设()()().,1,1,1,,1,1,1,321T T T a a a -=-==ααα问（1）、当a 为何值时，321,,ααα为线性相关？5、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知321,,ηηη是它的三个解向 量，且T )5,4,3,2(1=η，T )4,3,2,1(32=+ηη，求该方程组的通解.6、设三阶矩阵A 的两个特征值为3,1，且6=A ，求E A A -+22的值.7、设3阶矩阵A 的特征值为1,2,2321=-==λλλ，对应的特征向量依次为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1101p ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011,11132p p ，求A .8、对于方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++.)1(,3)1(,0)1(321321321λλλλx x x x x x x x x 问λ取何值时，方程组无解，有唯一解，有 无穷多解？当有无穷多解时求其通解.9、求向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=8921,1201,1412,3511,321254321ααααα的秩和一个极大无关组，并将其余向量表示为该极大无关组的线性组合.10、设已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111α是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2135212b aA 的一个特征向量. (1)确定参数b a ,及特征向量α对应的特征值λ；(2)问A 能否相似于对角矩阵？并说明理由.四、证明题（每小题5分共10分）1、2、设*η是非齐次线性方程组b Ax =的一个解，r n -ξξξ,,,21 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系。