线代期末考试试卷(2009-2010)

0 1 0 是一个 14 阶方阵，求 N 4 的 Jordan 标准型 J ，并求可逆矩阵 P ，使得 2、设 N = ... ... 1 0
P −1 N 4 P = J .
2
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（1） ker d ( Α) = ker f ( Α) ∩ ker g ( Α) ； （2） ker m( Α) = ker f ( Α) + ker g ( Α).
2、 （本题 10 分）设 A = (aij ) 是 n 阶复矩阵， λ1 ,..., λn 是 A 的全部特征值.
证明： A 是正规矩阵当且仅当
f1 (α ) = f1 (α 2 ) ， f 2 (α ) = f 2 (α1 ) .
4、 分） Ω = {1, 2,..., n} .用 C 表示定义域为 Ω 的所有复值函数组成的集合， （15 设 它是复数域上的线性空间.
Ω
定义 f ( x), g ( x) =
def
∑ f ( j ) g ( j ), ∀f ( x), g ( x) ∈ C
⊥
.
1
得分
评阅人
二、判断题： （共 5 题， 每题 3 分， 共 15 分，对的请打 “ √ ” ，错的请打 ” × ”）
1、若 2n + 1 正交方阵 Q 的行列式为 1，则至少有两个属于特征根 1 的特征向量. 2、复向量空间完全由线性变换 A 的根向量生成当且仅当 A 的所有特征根均相等.
（ （
V2 = {α = (a1 , a2 , a3 , a4 ) a1 + a2 + a3 + a4 = 0} 是 R 4 的 两 个 子 空 间 ， 写 出 一 组 V1 ∩ V2 的 基
底 .
T T
年级：
2、设α = ( a1 ,..., an ) , β = (b1 ,..., bn ) 是两个非零的复向量，且 设 A = αβ T .则 A 的 Jordan 标准型为 .
华中师范大学 2009–2010 学年第一学期
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期末考试试卷（ 期末考试试卷（A 卷）
课程名称 高等代数与解析几何(三) 编号 83410005 任课教师 樊恽 题型 分值 得分 填空题 15 判断题 15 计算题 20 证明题 50 总分 100
学号：
学生姓名：
得分
评阅人
一、填空题： （共 5 题，每题 3 分，共 15 分）
1、设集合V1 = {α = (a1 , a2 , a3 , a4 ) a1 − a2 + a3 − a4 = 0} 和集合
） 量空间V 的线性变换，若有正整数 k ，使得 A = O, 则 A = O, （
4、设 A 为 n 阶实方阵且 A + E = O ，则 n 为奇数.
2
（
5、设 A 是 R 2 上的线性变换，在自然基下的方阵表示为 A =
1 −1 ，则 A 的不变子空间只能是 2 2
专业：
院（系） ：
Α(ε1 − 2ε 2 ) = 3ε1 + 2ε 2 .A 在基底 ε 1，ε 2 下的矩阵为 Α(3ε1 − ε 2 ) = −ε1 + ε 2
.
T
5、设V = M n (C ) （所有 n 阶复方阵构成的线性空间） ，定义内积 A, B = tr ( A B ) ，则对角方阵所成子空间W 的正交补子空间W 为
∑∑ a
i =1 j =1
n
n
2
ij
= ∑ λi .
2 i =1
n
3
3、 分）设V 是复数域 C 上的 n 维线性空间， f j : V → C ( j = 1, 2 ) 是非零的线性函数, 且线性无关. 证 （15 明: 任意的α ∈V 都可表为α = α1 + α 2 ,使得
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σ : CΩ → CΩ
f ( x) → f * ( x)
证明：σ 是 C 上的一个酉变换，并求σ 在 g1 ( x ), g 2 ( x ),..., g n ( x ) 下的矩阵.
Ω
4
（ ）
R 2 和 0. 得分 评阅人 三、计算题： （共 2 题，共 20 分）
1、设欧氏空间 V 的一组基 ei
{ } 的度量矩阵，即 A = (a )
3
ij 3×3
= ( ei , e j
)3×3 .
1 −1 2 A = −1 2 −1 . 2 −1 6
(1) 证明α1 = e1 + e2 是一个单位向量； (2) 若α1 与 β1 = e1 + e2 + ae3 正交，求 a 的值; (3) 把 β1 单位化.
j =1 Ω Ω
n
______
Ω
.
（1）证明上述二元函数是 C 上一个内积，从而 C 成为一个酉空间； （2）对于 k ∈ {1, 2,..., n} ，令 g k ( j ) =
2π i 1 kj ω , j ∈ Ω ，其中ω = e n . n Ω
证明： g1 ( x ), g 2 ( x ),..., g n ( x ) 构成酉空间 C 的一个标准正交基； （3） 对于 f ( x ) ∈ C Ω , 定义 Ω 上的一个函数 f * ( x ) ， 使得 f * ( k ) 等于 （2） 中的标准正交基下的坐标的第 k 个 分量（按（2）中对应的顺序） ，令：
得 分
评阅人
四、证明题： （共 4 题，共 50 分）
1、 （本题 10 分） 设 A 是域 F 上的线性空间V 的一个线性变换.设 f (λ ), g (λ ) ∈ F [ λ ] ，
gcd( f (λ ), g (λ )) = d (λ ) ，[ f (λ ), g (λ )] = m(λ ) .（[ , ]表示最小公倍式）证明：
∑a b = 0.
i =1 i i
n
1 0 0 −1 + 3i 3 、实数域上由矩阵 A = 0 ω 0 , ω = 的全体实系数多项式构成的线性空间中的维数 2 0 0 ω2
为 ,它的一组基为 . 4、设 ε 1，ε 2 是向量空间V 的一组基底， Α ∈ End (V ) 且 A 满足：