九年级数学上册专题训练切线性质的运用4

切线性质的运用► 类型之一 求线段的长1．[2017·日照] 如图3－ZT －1，AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于点A ，连接PO 并延长交⊙O 于点C ，连接AC ，AB ＝10，∠P ＝30°，则AC 的长度是( )A ．5 3B ．5 2C ．5D .52图3－ZT －1图3－ZT －22．如图3－ZT －2，直线AB 与半径为2的⊙O 相切于点C ，D 是⊙O 上一点，且∠EDC＝30°，弦EF ∥AB ，则EF 的长为( )A ．2B ．2 3C . 3D ．2 23．当宽为3 cm 的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图3－ZT －3所示(单位： cm )，求该圆的半径．图3－ZT －3►类型之二求角度图3－ZT－44．如图3－ZT－4，已知直线CD与⊙O相切于点C，AB为直径．若∠BCD＝40°，则∠ABC 的度数为________．5．如图3－ZT－5，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝50°，以直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，连接BD.过点D作ED与⊙O相切．求∠DEC的度数．图3－ZT－56．[2017·天津] 已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT＝50°，BT交⊙O于点C，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D.(Ⅰ)如图3－ZT－6①，求∠T和∠CDB的大小；(Ⅱ)如图3－ZT－6②，当BE＝BC时，求∠CDO的大小．图3－ZT－6►类型之三求面积图3－ZT －77．如图3－ZT －7，两个半圆中，长为6的弦CD 与大半圆的直径AB 平行且与小半圆相切，则图中阴影部分的面积为________．8．[2017·泰州] 如图3－ZT －8，⊙O 的直径AB ＝12 cm ，C 为AB 延长线上一点，CP 与⊙O 相切于点P ，过点B 作弦BD∥CP，连接PD.(1)求证：P 为BD ︵的中点；(2)若∠C＝∠D，求四边形BCPD 的面积．图3－ZT －8► 类型之四 求坐标9．如图3－ZT －9，在平面直角坐标系中，⊙P 与x 轴相切，与y 轴相交于点A (0，2)，B (0，8)，则圆心P 的坐标是( )A ．(5，3)B ．(5，4)C ．(3，5)D ．(4，5)图3－ZT －9图3－ZT －1010．我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”，如图3－ZT －10，直线l ：y ＝kx ＋4 3与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，∠OAB ＝30°，点P 在x 轴上，⊙P 与l 相切，当点P 在线段OA 上运动时，使得⊙P 成为“整圆”的点P 的个数是( )A ．6B ．8C ．10D ．1211．如图3－ZT －11，在平面直角坐标系中，⊙P 与x 轴相切于原点O ，平行于y 轴的直线交⊙P于M，N两点．若点M的坐标是(2，－1)，则点N的坐标是________．图3－ZT－11图3－ZT－1212．如图3－ZT－12，在平面直角坐标系中，⊙P与y轴相切于点C，与x轴相交于A，B 两点．若点P的坐标为(5，3)，M是⊙P上的一动点，则△ABM的面积最大时，点M的坐标为________．►类型之五说理13．如图3－ZT－13，已知AB为⊙O的直径，DC切⊙O于点C，过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F.求证：△DFC是等腰三角形．图3－ZT－1314．已知：如图3－ZT－14，P是⊙O外一点，过点P作⊙O的切线PC(C为切点)，PD交⊙O于点A，B，连接AC，BC.求证：∠PCA＝∠PBC.图3－ZT－14详解详析1．A2．B [解析] 如图，连接OE ，OC ，设OC 与EF 的交点为M .∵∠EDC ＝30°， ∴∠COE ＝60°. ∵AB 与⊙O 相切， ∴OC ⊥AB . 又∵EF ∥AB ，∴OC ⊥EF ，即△EOM 为直角三角形， ∴∠OEM ＝90°－60°＝30°. 在Rt △EOM 中，OM ＝12OE ＝1，由勾股定理，得EM ＝OE 2－OM 2＝ 3. ∵EF ＝2EM ，∴EF ＝2 3.3．如图，设⊙O 与直尺的切点为C ，连接OA ，OB ，OC ，设OC 与AB 的交点为D ，⊙O 的半径为R cm ，则OC ⊥AB 于点D .在Rt △OAD 中，AD ＝4，OD ＝R －3，OA ＝R ，由勾股定理，得R 2＝(R －3)2＋42，解得R ＝256.即圆的半径为256cm.4．50° [解析] 连接OC ，则OC ⊥CD ，而∠BCD ＝40°，∴∠BCO ＝50°. 在△OCB 中，∵OC ＝OB ，∴∠OCB ＝∠OBC ＝50°，即∠ABC ＝50°. 5．解：∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°. 又∵∠ABC ＝90°，∴∠A ＋∠ABD ＝90°，∠DBE ＋∠ABD ＝90°， ∴∠DBE ＝∠A ＝50°.∵ED 与⊙O 相切，连接OD ， ∴∠ODE ＝90°. ∵OD ＝OB ，∴∠OBD ＝∠ODB ，∴∠EDB ＝∠DBE ＝50°，∴∠DEC ＝2∠EDB ＝100°.6．解：(Ⅰ)如图①，连接AC .∵AB 是⊙O 的直径，AT 是⊙O 的切线， ∴AT ⊥AB ， 即∠TAB ＝90°. ∵∠ABT ＝50°，∴∠T ＝90°－∠ABT ＝40°. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°，∴∠CAB ＝90°－∠ABC ＝40°， ∴∠CDB ＝∠CAB ＝40°. (Ⅱ)如图②，连接AD .在△BCE 中，∵BE ＝BC ，∠EBC ＝50°， ∴∠BCE ＝∠BEC ＝65°， ∴∠BAD ＝∠BCD ＝65°. ∵OA ＝OD ，∴∠ODA ＝∠OAD ＝65°. ∵∠ADC ＝∠ABC ＝50°，∴∠CDO ＝∠ODA －∠ADC ＝15°.7.92π [解析] 设大半圆圆心为F ，过点F 作FE ⊥CD ，垂足为E .连接FC ，则FC 是大半圆的半径，EF 的长等于小半圆的半径．由垂径定理知，E 是CD 的中点，由勾股定理知，FC 2－EF 2＝CE 2＝9，阴影部分的面积等于大半圆的面积减去小半圆的面积，∴阴影部分的面积＝12(FA 2－EF 2)π＝12(FC 2－EF 2)π＝92π.8．解：(1)证明：如图，连接OP .∵CP 与⊙O 相切于点P ，∴OP ⊥CP .∵BD ∥CP ，∴OP ⊥BD ， ∴BP ︵＝DP ︵，即P 为BD ︵的中点．(2)连接AD .∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°＝∠OPC . ∵BD ∥CP ，∴∠C ＝∠DBA . ∵∠C ＝∠D ，∴∠DBA ＝∠D ，∴DP ∥BC ，∴四边形BCPD 是平行四边形， ∴DB ＝PC ，∴△COP ≌△BAD (ASA)， ∴OC ＝AB ＝12 cm ， ∴BC ＝OA ＝OB ＝6 cm.在Rt △OCP 中，∵OP ＝6 cm ，∴CP ＝OC 2－OP 2＝6 3 cm ，∠C ＝30°， ∴∠DBA ＝30°，∴OE ＝12OB ＝3 cm ，∴PE ＝OP －OE ＝3 cm ，∴四边形BCPD 的面积是CP ·PE ＝18 3 cm 2. 9．D10． A [解析] ∵△OAB 是内角为30°，60°，90°的特殊三角形，∴当OB ＝4 3时，AB ＝8 3，OA ＝12.又∵满足条件的点P 的坐标为整数，半径为整数，即点P 到AB 的距离为整数， 即12AP 为整数，满足上述条件的点有(0，0)，(2，0)，(4，0)，(6，0)，(8，0)，(10，0)，共6个．故选A.11．(2，－4) [解析] 如图，过点P 作PA ⊥MN 于点A ，则AM ＝12MN .∵在平面直角坐标系中，⊙P 与x 轴相切于原点O ，平行于y 轴的直线交⊙P 于M ，N 两点，∴∠POB ＝∠PAB ＝∠ABO ＝90°， ∴四边形ABOP 是矩形， ∴AB ＝OP ，PA ＝OB ＝2.设OP＝a，则PM＝OP＝a.∵点M的坐标是(2，－1)，∴BM＝1，∴AM＝a－1.在Rt△PAM中，PM2＝AM2＋PA2，即a2＝(a－1)2＋4，解得a＝2.5，∴AM＝1.5，∴MN＝3，∴BN＝1＋3＝4，∴点N的坐标为(2，－4)．12．(5，8) [解析] 如图，过点P作PD⊥x轴于点D，DP的延长线交⊙P于点M，连接PC，PA.∵点P的坐标为(5，3)，⊙P与y轴相切于点C，∴PC＝5，PD＝3，∴PC＝PM＝5，∴MD＝PD＋PM＝8.∵四边形OCPD为矩形，∴OD＝PC＝5，∴当点M的坐标为(5，8)时，△ABM的面积最大．13．证明：如图，连接OC.∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.∵DC是⊙O的切线，∴∠OCD＝90°，∴∠DCF＝90°－∠OCA.∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°，∴∠DFC＝∠AFE＝90°－∠OAC.又∵∠OAC＝∠OCA，∴∠DFC＝∠DCF，∴DF＝DC，∴△DFC是等腰三角形．14．证明：如图，连接OC，OA.∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠CAO.∵PC是⊙O的切线，C为切点，∴PC⊥OC，∴∠PCO＝90°，∴∠PCA＋∠ACO＝90°.在△AOC中，∠ACO＋∠CAO＋∠AOC＝180°，又∵∠AOC＝2∠PBC，∴2∠ACO＋2∠PBC＝180°，∴∠ACO＋∠PBC＝90°，∴∠PCA＝∠PBC.。