九年级数学切线的概念判定性质
九年级数学切线长定理
例2 已知：如图, △ABC的内切圆⊙O与 BC 、CA、 AB 分别相交于点D 、 E 、 F ，且AB＝9厘米，BC ＝14厘米,CA ＝ 13厘米,求AF、BD、CE的长。
A E F B D O C
小结：
（1）切线长定理。 （2）连接圆心和切点是我 们解决切线长定理相关问题 时常用的辅助线。
切线长定理的拓展
A
D
O
H
C
P
B
（1）写出图中所有的垂直关系 （2）图中有哪些线段相等(除半径 外)、弧相等？
o．
．
o．
三角形外接圆
C
三角形内切圆
C
． o
A B B
． o
A
外切圆圆心：三角形三边 垂直平分线的交点。
外切圆的半径：交点到三 角形任意一个定点的距离。
内切圆圆心：三角形三个 内角平分线的交点。 内切圆的半径：交点到三 角形任意一边的垂直距离。
白荌苒居然急了起来“好思思，你快帮帮我吧，我可不想在大学的时候让他被别人抢了先去！ ”
钟思敛起了佯装的正经冲她笑了笑“知道了、知道了，我能拿你这小女子有什么办法呢！ ”
再回头想想，上学的时候也不是没有人跟她示好过，但都是被她一本正经的以学业为重的理由给婉拒了。
她难免会跟白荌苒诉苦“你说说、我老爹跟老娘都是怎么想的，真是想一出来一出，上学的时候总是期盼着我年年拿第一，要考一流的大学、 要做上乘的工作，这些我都做到了以后又开始给我出新的难题，简直都不让人消停了。”
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钟思当时不免笑着揶揄她“小白白，没想到你居然也会有发奋图强的这一天啊，居然还是为了一个男生！ ”
白荌苒赶紧捂紧她的嘴急的直瞪她“你小点声，被你爸妈听到我就完了！ ”
人教版九年级数学上册 24.2.2 圆的切线的性质及判定综合运用培优 (无答案)
A Ol圆的切线的性质及判定综合运用知识点：切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的 ． 几何符号语言表达：∵ l 是⊙O 的 ，OA 是 ， ∴ l ⊥OA切线的判定：经过半径的 并且 的直线是圆的切线。
几何符号语言表达： ∵ OA 是 ，OA ⊥l 于A ， ∴ l 是⊙O 的 。
归纳：证明切线添加辅助线的方法：1）直线与圆的公共点已知时，连半径，证 （应用判定方法3）2）直线与圆公共点不确定时，过圆心作直线的垂线段，再证明 （方法2）一、典型例题例1．如图，AB 是⊙O 的直径，ED 切⊙O 于点C ，AD 交⊙O 于点F ，∠AC 平分∠BAD ，连接BF ． （1）求证：AD ⊥ED ；（2）若CD=4，AF=2，求⊙O 的半径．利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件,缺一不可:(1)直线经过半径的 ;(2)直线与这半径 。
▲判断一条直线是圆的切线的方法：1.利用切线的定义:与圆有 公共点的直线是圆的切线。
2.利用d 与r 的关系作判断:圆心到直线的距离等于 (即d r)的直线是圆的切线。
3.利用切线的判定定理:经过半径的 并且 这条半径的直线是圆的切线。
例2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，分别与AC、BC交于点M、N．（1）过点N作⊙O的切线NE与AB相交于点E，求证：NE⊥AB；（2）连接MD，求证：MD=NB．例3．如图,在△ABC中,AB=AC=10,BC=12,试求△ABC的内切圆的半径.例4．如图，已知抛物线y=mx2+2mx+c（m≠0），与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A（﹣4，0）和点B．（1）求该抛物线的解析式；（2）若P是线段OC上的动点，过点P作PE∥OA，交AC于点E，连接AP，当△AEP的面积最大时，求此时点P的坐标；（3）点D为该抛物线的顶点，⊙Q为△ABD的外接圆，求证⊙Q与直线y=2相切．二、综合训练1．如图，⊙O 的直径CD 垂直弦AB 于点E ，且CE=2，DE=8，则AB 的长为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．82．已知⊙O 的直径CD=10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，且AB=8cm ，则AC 的长为（ ）A ．25cmB ．45cmC ．25cm 或45cm D. 23cm 或43cm3．已知⊙O 的面积为2π，则其内接正三角形的面积为（ ）A ．33B ．36C ．323D ．6234．如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1，则直线2-=x y 与⊙O 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上三种情况都有可能5．若⊙O 的半径等于5cm ，P 是直线l 上的一点，OP=5cm ，则直线l 与圆的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．相切或相交6．已知⊙O 的面积为9πcm 2，若点O 到直线l 的距离为πcm ，则直线l 与⊙O 的位置关系是（ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．无法确定7．如图，A 、B 、C 、D 四个点均在⊙O 上，∠AOD=70°，AO ∥DC ，则∠B 的度数为（ ）A ．40°B ．45°C ．50°D ．55°8．如图所示，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，C是上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA，PB于D，E．若△PDE的周长为12，则PA的长为（）A．12 B．6 C．8 D．49．⊙O的半径为2，弦BC=2，点A是⊙O上一点，且AB=AC，直线AO与BC交于点D，则AD的长为．，10．如下左图，AB是⊙O的直径，OA=1，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，若BD=21则∠ACD= °．11．如上右图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D是AB的中点，以CD为直径作⊙O，⊙O分别与AC，BC交于点E，F，过点F作⊙O的切线FG，交AB于点G，则FG的长为．12．如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED=∠C．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）求证：ED平分∠BEP；13．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）求证：△PCF是等腰三角形；14. 如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径,点C为⊙O上一点，且AC平分∠P AE，过，垂足为D.C作CD PA（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度．三、课外作业： 1.如图，BD 为圆O 的直径，直线ED 为圆O 的切线，A 、C 两点在圆上，AC 平分∠BAD 且交BD 于F 点．若∠ADE=190，则∠AFB 的度数为（ ）A.97°B.104°C.116°D.142°第1题图 第2题图2.如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD 的顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴上,以AB 为弦的⊙M 与x 轴相切.若点A 的坐标为(0,8),则圆心M 的坐标为( )A.(-4,5)B.(-5,4)C.(5,-4)D.(4,-5)3.如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（ ）A.2B.3C.3D.32第3题图4.如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，连接BC.若∠A=400,则∠C= ．5.如图,∠ABC=900,O 为射线BC 上一点,以点O 为圆心,OB 21长为半径作⊙O ，当射线BA 绕点B 按顺时针方向旋转 时与⊙O 相切.第4题图 第5题图6.已知AB 是⊙O 的直径,AP 是⊙O 的切线,A 是切点,BP 与⊙O 交于点C.（1）如图①，若2AB =，30P ∠=︒，求AP 的长（结果保留根号）；（2）如图②，若D 为AP 的中点，求证直线CD 是⊙O 的切线.7.如图,已知直线ABC 与⊙O 相交于B,C 两点,E 是的中点,D 是⊙O 上一点,若∠EDA=∠AMD ． 求证:AD 是⊙O 的切线．。
切线的定义和判定定理
切线的定义和判定定理切线的定义和判定定理是数学中关于圆的切线的重要知识点。
以下是关于这个主题的详细解释。
一、切线的定义切线与圆的定义是几何学中的基本概念，对于每一个圆来说，其切线是指与圆只有一个公共点的直线。
这个公共点被称为切点，切线与圆的切点是唯一的。
在二维平面上，如果一条直线与圆有且仅有一个交点，则这条直线被称为圆的切线。
切线的性质：切线与圆只有一个交点，即切点。
切线与经过切点的半径垂直。
切线的斜率等于经过切点的半径的斜率。
二、切线的判定定理判定定理一：定义判定法，如果直线上的每一个点都位于圆外，则直线为切线。
这是最直接的判定方法，也是最常用的。
判定定理二：半径垂直法，如果直线经过半径的外端并且垂直于该半径，则直线为切线。
这个判定方法通常用于证明过程中，尤其是在解题时，可以根据已知条件证明某直线满足这个判定定理。
判定定理三：角平分线法，如果直线平分圆的任意一条弦（非直径），并且垂直于该弦，则直线为切线。
这个判定方法在一些特殊情况下非常有用，可以通过证明某直线满足这个判定定理来证明某直线为切线。
在具体的应用中，可以根据题目的条件和要求选择合适的判定方法来确定切线的位置和性质。
同时，也要注意切线与半径、弦之间的关系，以及切线与其他几何元素之间的联系，以便更好地理解和掌握切线的性质和判定定理。
在实际应用中，了解和掌握切线的性质和判定定理是非常重要的。
在解析几何、平面几何、圆和圆锥曲线等学科中，都需要用到这些知识点来解决相关问题。
通过深入理解切线的定义和判定定理，我们可以更好地理解和应用几何学的其他概念和定理，从而更好地解决各种数学问题。
此外，切线的性质和判定定理也在其他领域有着广泛的应用。
例如，在物理学中，切线性质可以用于研究物体运动轨迹的变化；在工程学中，判定定理可以用于确定机械零件的尺寸和位置；在经济学中，可以用于研究供需关系和市场均衡等等。
因此，深入理解切线的定义和判定定理不仅可以提高数学素养，也可以为其他学科的学习和研究提供有益的帮助。
《切线的判定与性质》PPT课件 人教版九年级数学
已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点画出 圆的切线？
.O . Al
第一步：连接OA； 第二步：过A点作OA的垂线l.
归纳：判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，
切线的性质定理：
圆的切线垂直于过切点的半径.
.O
几何符号表达：∵直线l切⊙O于点A， A
l
∴OA⊥l
反证法证明切线的性质
如图，直线CD与⊙O相切，求证：⊙O的半径OA
与直线CD垂直.
证明：（1）假设AB与CD不垂直，过
B
点O作一条直线垂直于CD，垂足为M；
（2）则OM＜OA，即圆心到直线CD的
O
距离小于⊙O的半径，因此，CD与⊙O
有公共点，连半径，证垂直； 无公共点，作垂直，证半径.
经过半径的外端并 判定定理 →且垂直于这条半径
的直线是圆的切线
切线的性 质定理
→
圆的切线垂直于 经过切点的半径
→
有切线常作辅助线： 见切线，连切点，得垂直.
∴△OBD≌△OCE(AAS),
∴OD=OE . ∴AC与⊙O相切.
方法二：
证明：连接OA,OD,作OE⊥AC 于E . ∵ ⊙O与AB相切于E, ∴OD⊥AB.
又∵△ABC为等腰三角形，
O是底边BC的中点，
B
A D
1
O
E C
∴AO平分∠BAC,
∴OD=OE ，即OE是⊙O半径.
∴AC是⊙O的切线. 方法总结：无交点，作垂1 ， ∴ AB⊥l2，
∴ l1∥l2.
l2
初中数学 什么是圆的切线
初中数学什么是圆的切线
圆的切线是指与圆的边界相切且只有一个交点的直线。
下面我将详细介绍圆的切线的概念和性质：
1. 圆的切线定义：
圆的切线是指与圆的边界相切且只有一个交点的直线。
这个切点是圆上的点，切线与圆的边界只有这一个交点。
2. 圆的切线的性质：
-圆的切线与半径垂直，即切线与半径的夹角为90°。
-从圆的外部引一条直线与圆相交，如果直线与圆的边界相切，那么这条直线就是圆的切线。
-圆的切线长度等于从切点到圆心的半径长度。
-圆的切线与切点到圆心的连线共线。
-圆的切线是与圆心连线的直线中最短的一条。
3. 圆的切线的应用：
圆的切线在几何学和物理学中有广泛的应用。
例如，在光学中，圆的切线可以用于描述光线与曲面的相交关系；在工程学中，圆的切线可以用于定位和布局。
另外，圆的切线的性质也可以用于解决一些几何问题，如构造、证明等。
需要注意的是，圆的切线是一条直线，它与圆的边界相切且只有一个交点。
以上是关于圆的切线的概念和性质的介绍。
希望以上内容能够满足你对圆的切线的了解。
切 线+++第1课时 圆的切线的判定与性质++课件++2024—2025学年华东师大版数学九年级下册
证明：连接DE，过点D作DF⊥OB于点F. ∵OA切⊙D于点E，∴DE⊥OA. 又∵DF⊥OB，D是∠AOB平分线上一点， ∴DE＝DF，∴OB与⊙D相切．
知识点2：切线的性质
3．(长春中考)如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，若∠BAC＝35
°，则∠ACB的度数为
（C ）
A．35°
B．45°
(2)解：在Rt△EOF中，设半径为r，即OE＝OB＝r，则OF＝r＋1， 4 OE r
∵sin∠AFE＝5＝OF＝r＋1， ∴r＝4，∴AB＝2r＝8， 在Rt△ABC中， sin∠ABC＝AACB＝sin∠AFE＝45，AB＝8， ∴AC＝45×8＝352，∴BC＝ AB2－AC2＝254.
的延长线于点 D.若⊙O 的半径为 1，则 BD 的长为
（D ）
A．1
B．2
C. 2
D. 3
8．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过点 C 的切线互相垂 直，垂足为 D. (1)求证：AC 平分∠DAB；
3 (2)若 AD＝8，tan∠CAB＝4，求边 AC 及 AB 的长．
如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，与BC交于点D，过D作 AC的垂线，垂足为点E. (1)求证：点D是BC的中点； (2)求证：DE是⊙O切线． 【思路分析】(1)根据“三线合一”证明； (2∵AB是直径，∴AD⊥BC， 又∵AB＝AC，∴BD＝CD, ∴点D是BC的中点． (2)连接OD，∵AO＝BO, BD＝CD， ∴OD∥AC，又∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线． 【名师支招】切线的判定方法2，3的选择标准是看直线与圆的公共点是 否已知，若已知公共点，则连圆心与公共点，证垂直；若公共点未知， 则过圆心作垂线，证d＝r.
九年级数学圆的切线的知识点
九年级数学圆的切线的知识点数学中的圆是一个常见的几何图形，它有许多有趣的性质，其中之一就是切线。
切线是一个与圆相切于一点且与圆没有其它的交点的直线。
在这篇文章中，我们将探讨九年级数学课程中关于圆的切线的知识点。
1. 切线定义及性质切线是一个特殊的直线，它与圆只有一个交点，且与圆在该点的切线相切。
切线的性质有以下几点：(1) 切线与半径垂直：切线与从切点到圆心的半径垂直相交。
(2) 弦切角相等：切线和过切点的弦所夹的角相等。
(3) 切线长度相等：从圆外的任意一点引切线，得到的切线长度都相等。
2. 切线的判定方法在几何中，判断一条直线是否为圆的切线，有以下两种判定方法：(1) 切线判定法一：若直线与圆只有一个交点，并且该交点到圆心的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线。
(2) 切线判定法二：若直线与圆相交，且与圆的切点处平分被切角，那么该直线也是圆的切线。
3. 切线的性质在解题中的应用切线的性质经常在解题过程中被使用，下面介绍几个常见的应用情况：(1) 切线的长度：我们可以利用切线的性质来求解切线的长度。
根据切线与半径垂直的性质，我们可以使用勾股定理或者勾股定理的变形来求解切线的长度。
(2) 弦的长度：通过切线和弦的切角相等的性质，我们可以利用已知的切线长度和弦的长度来计算未知的切线或者弦的长度。
(3) 切线的方程：切线与圆的关系可以通过方程来表示。
我们可以利用切线判定法一中的条件，得到切线方程的一般形式。
4. 实际生活中的切线应用切线在实际生活中有许多应用，下面介绍几个例子：(1) 轮胎的设计：车辆的轮胎通常是圆形的，轮胎的切线对于保证行驶的稳定性非常重要。
(2) 光学反射：光线在两种介质之间传播时，若入射角等于反射角，则光线与界面的交点所在的直线即为切线。
(3) 经济决策：在经济学中，曲线图表上的切线可以表示某一点的边际效应，帮助决策者做出合理的判断。
总结起来，九年级数学课程中关于圆的切线的知识点包括切线的定义及性质，切线的判定方法，切线性质的应用，以及实际生活中的切线应用。
初中九年级上册数学课件 圆 切线的性质
（2）求证：四边形OBEC是菱形．
D
C
E
l
A
O
B
6、如图，⊙O的弦AD∥BC,过点D的切线交BC 的延长线于点E，AC∥DE交BD于点H，DO 及延长线分别交AC、BC于点 G、F.
(1) 求证：DF垂直平分AC； （2）求证：FC＝CE； （3）若弦AD＝5㎝，AC＝8㎝，求⊙O的半径.
OM﹤OA，这说明圆心O到直线 a的距离小于半径OA，于是直
a
线a就要与圆相交，而这与直线
O
a是圆O的切线相矛盾。
因此，OA与直线a垂直。
MA
a
性质3：圆的切线垂直于过切点的半径。
符号语言 ∵ 直线a是圆O的切线,切点为A
∴ OA ⊥ a
练习1
AC是直径，AB和CD
是切线，判断AB和CD
的位置关系
3、AB是⊙O的直径,AE平分∠BAC交⊙O于点E, 过点E作⊙O的切线交AC于点D,试判断△AED的 形状,并说明理由.
4、已知的半径为R，AB是⊙O的直径，D是 AB延长线上一点，DC是⊙O的切线，C是切 点，连结AC，若∠CAB=30o, 求BD的长.
A
O
B D
C
5、如图，⊙O的直径AB ＝4，C为圆周上一点， AC ＝2，过点C作⊙O的切线 l，过点B作l的 垂线BD，垂足为D，BD与⊙O 交于点E．
圆的切线的性质
知识回顾 证明一条直线是圆的切线有哪些方法?
1、直线与圆交点的个数：只有一个交点。 2、圆心到直线的距离与半径的大小关系，即d=r。 3、经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
解题方法：有交点，连半径，证垂直。
无交点，作垂直，证半径。
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2.切线的判定和性质
3.已知⊙O的半径r=7cm,直线a//b, 且a与⊙O相切,圆心O到b的距离为 9cm,则a与b的距离为 . 4.如图,直角梯形ABCD 中,AD//BC ∠A=900,以 A D CD为直径的圆切AB于E. E O 已知AD=3,BC=4,则⊙O B C 的直径为 .
5.如图,D是△ABC的AC边上一点, 0, A 且AD:DC=2:1.已知∠C=45 D 0.求AB是 ∠ADB=60 C B △BCD的外接圆的切线. O 6.如图,在△ABC B 0,⊙O切 中,∠C=90 AB于D,切BC于E, D E O 切AC于F,求∠EDF A C F 的度数.
7.如图,AB是⊙O的直径,BC切⊙O 于B,⊙O的弦AD//OC.
⑴求证:DC是⊙O的切线;
⑵如果设⊙O的半径 为r.①求AD· OC的值; ②若有AD+OC=9r/2, 求CD的长.
D A O
C
B
课堂作业:
1.⊙O的圆心O到直线L的距离为d,⊙O 的半径为R.若d,R是方程x2-8x+15=0的 两个根时,则直线L与圆的位置关系 是 ;当d,R是方程x2-2x+m=0的两根, 若直线L与圆相切时,m= .
2.如图,OA,OB是⊙O的半 径,OA⊥OB.延长OB到C, 使BC=OB,CD切⊙O于D, 则∠OAD= 度.
O
B C
A D
3.正△ABC的边长为a,以A为圆心画半 径为r的圆,要使这个圆与三角形的三边 都有公共点,则r的取值范围是 . 4.如图,AB是⊙O的直径,BC切⊙O于 B,OC交⊙O于D,连AD并延长交BC于E. ⑴若BC=√3,CD=1,求⊙O的半径; A ⑵若取BE的中点F,连DF. O D 求证:DF是⊙O的切线. M ⑶过点D作DG⊥BC于 EGF B G,OE与DG交于M,试 C 判断DM与GM是否相等,并说明理由.
复习(一)
切线的概 念· 判定· 性质
复习目标:
1.了解切线的概念,直线和圆的位置关系; 2.掌握切线的判定定理和性质定理; 3.会用切线的判定,性质进行证明或计算.
复习指导:
回忆下列知识点,会的直接写,不会的可 翻书查找,边填边记,5分钟后,比谁能正 确填写,并能运用它们解题.
知识要点: 1.直线和圆的位置关系:
⑴判定定理:经ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ半径的 是圆的切线. 的直线
⑵性质定理:
①经过圆心垂直于切线的直线必经过 ②圆的切线垂直于 的半径;
;
③经过切点垂直于切线的直线必经过
.
检测练习:
1.设⊙O的半径为R,圆心到直线L的 距离为d,已知R=2,d=3,则直线与圆的 位置关系是 ; 若R=√5,则当 时, 直线与圆相交. 2.如图,以O为圆心,OA为 半径的⊙O交OB于C.若 O C OA=3,AB=4,BC=2,则AB A B 与⊙O的位置关系是 .