九年级数学切线的判定
九年级数学圆的切线
求证:直线AB是⊙O的切线 B
问：直线AB与圆有没有明确的公共点
C
O
A
辅助线：连接OB
只需再证：AB ⊥ OB
例2.如图A是⊙O外的一点,AO的延长线交
⊙O于C直线AB经过⊙O上一点B,且AB=BC,∠C=30°,
求证:直线AB是⊙O的切线 B
根据作图直线l是切线满足两个条件 1.经过半径的外端
O
D
l
几何语言
OD是⊙O的半径
OD⊥l于D
2.与半径垂直
切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直 线是圆的切线
l是⊙O的切线
例1、已知⊙O圆心O到直线l的距离d等于⊙O的半径r
求证：直线l是⊙O的切线
问：圆与直线l有没有明确共同点
O.
辅助线： OA ⊥l
只需证OA是⊙O的半径
A
l
例1、已知⊙O圆心O到直线l的距离d等于⊙O的半径r 求证：直线l是⊙O的切线
证明：过点O作OA ⊥l，A为垂足。
O.
OA=d=r
点A在⊙O上
A
l
OA是⊙O的半径 l是⊙O的切线
定理：当圆心到直线的距离等于圆的半径时，该直 线是这个圆的切线。
一 判断题
于C直线AB经过⊙O上一点B,且AB=BC,∠C=30°, 求证:直线AB是⊙O的切线
B
证明：连接OBCO NhomakorabeaA
∠C=30° ° AB=BC
∠BOA=60 ∠A= ∠C=30 °
∠OBA=90 ° OB是半径
直线AB是⊙O的切线
练习二
1如图，AB是⊙O的直径，AT=AB，∠ABT=45º。
24.2.3+切线的判定和性质课件+2023-—2024学年人教版数学九年级上册
1.[2023眉山中考]如图，AB切⊙ O于点B，连接OA
交⊙ O于点C，BD//OA交⊙ O于点D，连接CD，
若∠OCD = 25∘ ，则∠A的度数为(
A.25∘
B.35∘
C.40∘
C )
D.45∘
第1题图
【解析】 如图，连接OB. ∵ AB切⊙ O于点B，
∴ OB ⊥ AB，∴ ∠ABO = 90∘ . ∵ BD//OA，
AE的长为(
B )
A.1
B. 2
C.2
D.2
2
第2题图
【解析】 ∵ OA是⊙ O的半径，AE是⊙ O的切线，
∴ ∠A = 90∘ . ∵ ∠AOC = 45∘ ，OA ⊥ BC，∴△ CDO和△ EAO都是等腰直角
三角形，∴ OD = CD，OA = AE. ∵ OA ⊥ BC，∴ CD =
1
BC
线，∴ ∠OPB = 90∘ . ∵ ∠ABC = 90∘ ，∴ OP//BC，
∴ ∠CBD = ∠POB = 40∘ ．
8.如图，已知AB为⊙ O的直径，C为⊙ O上一点，
点D为BA的延长线上一点，连接CD.若DC与⊙ O
相切，点E为OA上一点，且∠ACD = ∠ACE.求
证：CE ⊥ AB.
证明：∵ 与⊙ 相切，
AC是⊙ O的切线，A为切点，BC经过圆心.若
∠B = 21∘ ，则∠C的度数是(
A.21∘
B.42∘
C )
C.48∘
D.69∘
第6题图
【解析】 如图，连接OA. ∵ AC是⊙ O的切线，A
为切点，∴ AC ⊥ OA，
∴ ∠OAC = 90∘ . ∵ ∠B = 21∘ ，
∴ ∠AOC = 2∠B = 2 × 21∘ = 42∘ ，
切 线+++第1课时 圆的切线的判定与性质++课件++2024—2025学年华东师大版数学九年级下册
证明：连接DE，过点D作DF⊥OB于点F. ∵OA切⊙D于点E，∴DE⊥OA. 又∵DF⊥OB，D是∠AOB平分线上一点， ∴DE＝DF，∴OB与⊙D相切．
知识点2：切线的性质
3．(长春中考)如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，若∠BAC＝35
°，则∠ACB的度数为
（C ）
A．35°
B．45°
(2)解：在Rt△EOF中，设半径为r，即OE＝OB＝r，则OF＝r＋1， 4 OE r
∵sin∠AFE＝5＝OF＝r＋1， ∴r＝4，∴AB＝2r＝8， 在Rt△ABC中， sin∠ABC＝AACB＝sin∠AFE＝45，AB＝8， ∴AC＝45×8＝352，∴BC＝ AB2－AC2＝254.
的延长线于点 D.若⊙O 的半径为 1，则 BD 的长为
（D ）
A．1
B．2
C. 2
D. 3
8．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过点 C 的切线互相垂 直，垂足为 D. (1)求证：AC 平分∠DAB；
3 (2)若 AD＝8，tan∠CAB＝4，求边 AC 及 AB 的长．
如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，与BC交于点D，过D作 AC的垂线，垂足为点E. (1)求证：点D是BC的中点； (2)求证：DE是⊙O切线． 【思路分析】(1)根据“三线合一”证明； (2∵AB是直径，∴AD⊥BC， 又∵AB＝AC，∴BD＝CD, ∴点D是BC的中点． (2)连接OD，∵AO＝BO, BD＝CD， ∴OD∥AC，又∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线． 【名师支招】切线的判定方法2，3的选择标准是看直线与圆的公共点是 否已知，若已知公共点，则连圆心与公共点，证垂直；若公共点未知， 则过圆心作垂线，证d＝r.
九年级数学圆的切线的知识点
九年级数学圆的切线的知识点数学中的圆是一个常见的几何图形，它有许多有趣的性质，其中之一就是切线。
切线是一个与圆相切于一点且与圆没有其它的交点的直线。
在这篇文章中，我们将探讨九年级数学课程中关于圆的切线的知识点。
1. 切线定义及性质切线是一个特殊的直线，它与圆只有一个交点，且与圆在该点的切线相切。
切线的性质有以下几点：(1) 切线与半径垂直：切线与从切点到圆心的半径垂直相交。
(2) 弦切角相等：切线和过切点的弦所夹的角相等。
(3) 切线长度相等：从圆外的任意一点引切线，得到的切线长度都相等。
2. 切线的判定方法在几何中，判断一条直线是否为圆的切线，有以下两种判定方法：(1) 切线判定法一：若直线与圆只有一个交点，并且该交点到圆心的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线。
(2) 切线判定法二：若直线与圆相交，且与圆的切点处平分被切角，那么该直线也是圆的切线。
3. 切线的性质在解题中的应用切线的性质经常在解题过程中被使用，下面介绍几个常见的应用情况：(1) 切线的长度：我们可以利用切线的性质来求解切线的长度。
根据切线与半径垂直的性质，我们可以使用勾股定理或者勾股定理的变形来求解切线的长度。
(2) 弦的长度：通过切线和弦的切角相等的性质，我们可以利用已知的切线长度和弦的长度来计算未知的切线或者弦的长度。
(3) 切线的方程：切线与圆的关系可以通过方程来表示。
我们可以利用切线判定法一中的条件，得到切线方程的一般形式。
4. 实际生活中的切线应用切线在实际生活中有许多应用，下面介绍几个例子：(1) 轮胎的设计：车辆的轮胎通常是圆形的，轮胎的切线对于保证行驶的稳定性非常重要。
(2) 光学反射：光线在两种介质之间传播时，若入射角等于反射角，则光线与界面的交点所在的直线即为切线。
(3) 经济决策：在经济学中，曲线图表上的切线可以表示某一点的边际效应，帮助决策者做出合理的判断。
总结起来，九年级数学课程中关于圆的切线的知识点包括切线的定义及性质，切线的判定方法，切线性质的应用，以及实际生活中的切线应用。
人教版数学九年级上册判定圆切线的二、五法则
人教版数学九年级上册判定圆切线的二、五法则判定圆的切线是初中数学的一个重要内容。
同学们在学习时一定要扎实掌握切线的判定。
下面就和同学们谈谈判定圆切线的二、五法则，请同学们学习时加以借鉴。
一方法篇判定切线的两种方法1、定义法：过圆心作直线的垂线，设圆的半径为r，垂线段的长为d，当d=r时，直线就是圆的切线。
特点：垂足需要说明是在已知的圆上的，方法是证明垂线段等于已知的一条半径。
2、判定定理法：经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线。
特点：半径与直线都有了，关键是证明它们的位置关系是垂直。
二、步骤篇在具体判定切线时，同学们要注意如下五条基本原则：1、关注一个等腰三角形---------两腰是半径的等腰三角形。
这个三角形在圆中是经常出现的，一定要引起同学们的高度关注，它主要是提供等角。
2、构造一个圆周角-----遇直径，构造直径上的圆周角，它主要是提供一个直角。
3、连接一条半径-----直线经过的圆上点与圆心的连线。
它主要是提供要垂直的半径。
4、作出一条垂线段------过圆心向所要证是切线的直线作垂线。
它主要是提供一条“准半径”。
5、活用一条原理-------等量代换。
只要同学们能熟记上面的二法五步的基本要求，判定切线就会顺利闯关的。
三应用篇1、等腰三角形+半径，利用三角形的全等证直角判定切线例1如图1，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B,OC∥AD,求证：CD为⊙O的切线。
分析：点D已经是圆上的点，所以只需连接OD，设法证明DO⊥CD即可。
证明：连接OD，因为OC∥AD,所以∠DAO=∠COB,∠ODA=∠COD.因为OA=OD，所以∠DAO=∠ODA，所以∠COB=∠COD.在三角形COD和三角形COB中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CO CO COB COD OB OD ，所以△COD ≌△COB ，∠CBO=∠CDO.因为BC ⊥AB 于点B,所以∠CBO=90°，所以∠CDO=90°，所以DO ⊥CD ，所以CD 是为⊙O 的切线。
人教版九年级初中数学上册第二十四章圆切线的性质定理
判定定理的表述
圆切线的判定定理：过圆外一点有且只有一条直线与圆切于一点。
证明方法：利用反证法，假设过圆外一点有两条直线与圆切于一点，则这两条直线重合，这 与已知条件矛盾，因此假设不成立，故原命题成立。
应用：在解题过程中，可以利用圆切线的判定定理来判断某一直线是否为圆的切线。
注意事项：在应用圆切线的判定定理时，需要注意前提条件是“过圆外一点”，否则结论可 能不成立。
性质定理的证明
定义：圆切线的定义是过半径的外端且垂直于这条半径的直线 性质定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等 证明方法：利用相似三角形的性质进行证明 定理的应用：在解题中，可以利用这个定理来证明一些与圆有关的题目
求解与圆切线相关的问题
圆切线的定义和性质 圆切线的判定方法 圆切线的应用举例 圆切线与其他几何图形的联系
判定定理的应用
判定圆内接四边形的对角是否互补 判定一个四边形是否为圆外切四边形 判定一个四边形是否为圆内接四边形 判定一个四边形是否为圆外切四边形
性质定理的表述
圆切线的定义：过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 性质定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。 性质定理的证明：利用勾股定理和切线的定义进行证明。 性质定理的应用：在解题中利用此定理进行证明和计算。
注意事项：注意题 目中的隐含条件， 避免出现错误
拓展：通过练习和 巩固，提高解题能 力和思维水平
与圆切线相关的其他知识点
圆切线的定义和性质
圆切线的判定定理
圆切线的应用
圆切线与其他几何图形的联系
拓展知识的应用领域
几何学：圆切线在几 何学中有着广泛的应 用，如圆内接四边形、 圆与圆的位置关系等
物理学：圆切线在 物理学中也有着重 要的应用，如圆周 运动、弹性力学等
24.2.2.2 切线的判定课件人教版数学九年级上册
(2) 无交点，作垂直，证半径.
例2
例3
课堂小结
这节课，你学到了什么？
切线的判定(1)
切线的判定(2)
经 过 半 径 的 ________
外端 并 且
等于
文字 若圆心到直 线的距离 (d)________半
垂直
________这条半径的直线是圆
描述 径(r)，则这条直线是圆的切线．
CB．求证：直线AB是⊙O的切线．
证明：如图，连接OC．
∵OA＝OB，CA＝CB，
∴OC⊥AB．
又∵OC是⊙O的半径，
∴直线AB是⊙O的切线．
3．如图，点D是∠AOB的平分线OC上任意
一点，过点D作DE⊥OB于点E，以DE为半径作
⊙D．求证：OA是⊙D的切线．
证明：如图，过点D作DF⊥OA于点F．
过点O作OD⊥AB于点D，以点O为圆心，OD的长为半径作⊙O.求证：
AC是⊙O的切线．
证明：如图，连接OA，
作OF⊥AC于点F.
∵△ABC为等腰三角形，
点O是底边BC的中点，
∴AO⊥BC，
AO平分∠BAC.
∵OD⊥AB，OF⊥AC，
∴OF＝OD.
∴OF为⊙O的半径．
∴AC是⊙O的切线．
要点归纳
证切线时辅助线的添加方法
∴OE⊥AB.
∵AB∥CD，
∴CD⊥OE.
∵OE是⊙O的半径，
∴直线CD是⊙O的切线．
5．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，CD平
分∠ACB交AB于点D，以点D为圆心，BD长为半径作
⊙D交AB于点E．
(1)求证：⊙D与AC相切；
解：(1)证明：如图，过点D作DF⊥AC于点F．
人教版九年级数学上册2切线长定理
证明：由切线长定理得
D
∴AL=AP，LB=MB,NC=MC，
O
DN=DP
P
∴AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP
AL
即 AB+CD=AD+BC
补充：圆的外切四边形的两组对边的和相等．
C M B
练一练
1．如图，AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点，若∠A=70°，则 ∠BOC的度数为（ ） A．130° B．120° C．110° D．100°
【答案】C 【详解】 解：∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B， ⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在弧AB上， ∴AE＝CE，FB＝CF，PA＝PB＝4， ∴△PEF的周长＝PE+EF+PF＝PA+PB＝20． 故选：C．
课后回顾
课后回顾
01
02
03
【答案】C 【详解】 ∵AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点， ∴∠B=∠C=90°，∠BOC=180°-∠A=110°． 故选C．
练一练
2．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A、B两点．直线EF切⊙O于C点， 分别交PA、PB于E、F，且PA＝10．则△PEF的周长为（ ） A．10 B．15 C．20 D．25
知识回顾
圆的切线的判定定理和性质定理各是什么？
判定定理： 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
性质定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径。
问题1：如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线？
连接OP，以OP为直径作圆，与⊙O 交于A、B两点。 连接PA、PB， 则PA、PB即为⊙O切线。
A
O
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例1、已知：直线AB经过⊙O上的 点C，并且OA=OB,CA=CB. 求证：直线AB是⊙O的切线。
分析： 欲证AB是⊙O
O
的切线，由于AB过圆
上点C，若连结OC,则 A C B
AB过半径OC的外端，
只需证明OC⊥AB .
去年，杰克?凯鲁亚克的《在路上》被改编成同名电影。影片讲述的是几个迷茫又无所适从的年轻人上路去寻找着“一些什么”，说不清道不明。这没有目的的一路充斥着嗑药、乱性、音乐、书籍和 切你能联想的青春。上个世纪50年代，美国出现了一群被称为“垮掉的一代”的青年。这些人热衷于爵士乐，认为战后的社会已经疲惫不堪，主张人们应该在毒品、酒精、性上寻求更多的新鲜体验， 德相背离。《在路上》讲述的就是这么一个背景下的迷惘青年“寻找着什么”的故事。相较于《在路上》的原著，影片看起来很无力，像是“无因的反叛”。莫名，他们茫然上路然后纵欲，用最原始的 着内心的迷惘躁动。人物的塑造也不够浪荡不羁，整个影片下来，只有泄欲，没有痛彻心扉的无谓。年轻人的迷茫其实是个伪命题，还没来得及探索和体验，却急着怀疑人生。接着怀疑变成了一 并不急着追寻答案，行尸走肉般麻醉重复便好。象征着“与青春有关的一切”的Dean(GarrettHedlund饰)，自私怯懦，在两个女人间跑来跑去，置朋友的安慰不顾，但他并没有因为随心所欲的生活方 什么，反而最后众人的离弃让他落魄不堪。反观Sal(SamRiley饰)，经历了在墨西哥的危险时刻背弃的绝望，已经默默在自救中强大。天助自救者。“你们的快感只是一时的幻觉，你们一路飞到西海 一天，会突然从高空坠落，摔在地上。” 科学实验室加盟
⑵、垂直于半径的直线是圆的切线。 （×）
⑶、过直径的外端并且垂直于这条直径的
直线是圆的切线。
（√）
⑷、和圆只有一个公共点的直线是圆的切
线。
（√）
⑸、以等腰三角形的顶点为圆心，底边上
的高为半径的圆与底边相切。 （√）
O rd
l 特征一：直线l经过半径OA A
的外端点A 特征二：直线l垂直于半径OA
切线的判定定理：经过半径外端 并且垂直于这条半径的直线是圆 的切线。 判断下图直线l是否是⊙O的切线？ 并说明为什么。
一 的般切情线况，下它，过要半证径O明外O 一端条是直 已lll 线知为给圆出 时，只需证明直A 线AA垂直于半径。
例1、已知：直线AB经过⊙O上的 点C，并且OA=OB,CA=CB. 求证：直线AB是⊙O的切线。
证明：如图，连结OC. ∵ OA=OB,CA=CB
O
∴ OC是等腰△Oቤተ መጻሕፍቲ ባይዱB
底边BC上的中线
AC B
∴ OC⊥AB
又AB过半径OC的外端
∴ AB是⊙O的切线
练习3：判断下列命题是否正确。
⑴、经过半径外端的直线是圆的切线。（×）
问题1：下图中的直线l和⊙O是什么 关系？
相交
相切
相离
问题2：如图，OC是∠AOB平分线，P
是OC上一点，且PD⊥OA, OA是⊙O的
切线，问OB与⊙O是什么关系？为什
么？
D
A
O
C P
B
问题3:如图，已知OA是⊙O的半径， 过A作OA的垂线l，这样的直线有几 条？ 直线l与⊙O的位置关系怎样？ 为什么？