沪科版九年级下册数学：切切线的定义及判定定理线的定义及判定定理
沪科版九年级数学下册切线的判定定理
1.下列说法正确的是( B )
A.与圆有公共点的直线是圆的切线 B.到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线 C.垂直于圆的半径的直线是圆的切线 D.过圆的半径的外端的直线是圆的切线
2.如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为31°， 过C点的切线CP与AB的延长线交于点P，则∠P等 于( C ) A.24° B.25° C.28° D.30°
第2课时 切线的判定定理
沪科版 九年级下册
回顾直线与圆相切：
判断直线和圆相切 有哪两种办法？
切线
. .O
切点
直线与圆 相切
1. 定义法： 和圆有且只有一个公共 点的直线是圆的切线.
2. 数量法（d=r ）： 圆心到直线的距离等于 半径的直线是圆的切线.
切线具有什么性质？
1.切线和圆只有一个 公共点.
3.如图，AB与⊙O切于点C，OA=OB，若⊙O的半 径为8cm，AB=10cm，则OA的长为 89 cm.
4.如图，AB是⊙O的直径，∠B=∠CAD. 求证：AC是⊙O的切线. 证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠BDA=90°. ∴∠B+∠BAD=90°. 又∵∠B=∠CAD. ∴∠CAD+∠BAD=∠BAC=90°. ∵AC过点A，∴AC是⊙O的切线.
判断:
1. 过半径的外端点的直线是圆的切线（ × ） 2. 与半径垂直的直线是圆的切线（ × ） 3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ × ）
O
l
r
O r
l
O l
r
A
A
A
利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件，缺一不
可: (1)直线经过半径的外端点；(2)直线与这条半径垂直.
例3 已知：如图，∠ABC=45°，AB是⊙O的直径， AB=AC.求证：AC是⊙O的切线.
沪科版数学九年级下册《切切线的定义及判定定理线的定义及判定定理》教学设计3
沪科版数学九年级下册《切切线的定义及判定定理线的定义及判定定理》教学设计3一. 教材分析沪科版数学九年级下册《切线的定义及判定定理》是本学期的重要内容，主要让学生了解和掌握切线的定义、性质和判定定理。
本节课的教学内容为切线的判定定理，通过判定定理的学习，使学生能更好地理解和运用切线的相关知识。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识基础，对直线、射线、线段等概念有一定的了解。
但学生在学习过程中，可能对切线的判定定理理解不够深入，容易与其它几何知识混淆。
因此，在教学过程中，要注重引导学生正确把握切线的性质，区分其它相关几何知识。
三. 教学目标1.让学生了解切线的定义，掌握切线的性质和判定定理。
2.培养学生运用切线知识解决实际问题的能力。
3.提高学生对几何知识的学习兴趣，培养学生的空间想象能力。
四. 教学重难点1.切线的定义及判定定理。
2.运用切线知识解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究切线的定义和判定定理。
2.运用多媒体辅助教学，展示切线的形成过程，增强学生的直观感受。
3.采用合作学习法，让学生在讨论中巩固所学知识，提高解题能力。
4.注重练习巩固，及时反馈，提高学生的应用能力。
六. 教学准备1.准备多媒体课件，展示切线的形成过程和判定定理。
2.准备相关练习题，巩固所学知识。
3.准备黑板、粉笔，用于板书。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一个物体在平面直线上运动的过程，引导学生观察和思考：在物体运动过程中，什么时候会出现切线？引导学生回顾切线的定义。
2.呈现（10分钟）呈现切线的判定定理，引导学生观察和分析判定定理的图形，解释判定定理的含义。
同时，对比其他几何知识，帮助学生正确把握切线的性质。
3.操练（15分钟）让学生分组讨论，运用判定定理判断给定的图形是否为切线。
每组选出一个代表进行解答，其他组进行评价和补充。
切线的定义和判定定理
切线的定义和判定定理切线的定义和判定定理是数学中关于圆的切线的重要知识点。
以下是关于这个主题的详细解释。
一、切线的定义切线与圆的定义是几何学中的基本概念，对于每一个圆来说，其切线是指与圆只有一个公共点的直线。
这个公共点被称为切点，切线与圆的切点是唯一的。
在二维平面上，如果一条直线与圆有且仅有一个交点，则这条直线被称为圆的切线。
切线的性质：切线与圆只有一个交点，即切点。
切线与经过切点的半径垂直。
切线的斜率等于经过切点的半径的斜率。
二、切线的判定定理判定定理一：定义判定法，如果直线上的每一个点都位于圆外，则直线为切线。
这是最直接的判定方法，也是最常用的。
判定定理二：半径垂直法，如果直线经过半径的外端并且垂直于该半径，则直线为切线。
这个判定方法通常用于证明过程中，尤其是在解题时，可以根据已知条件证明某直线满足这个判定定理。
判定定理三：角平分线法，如果直线平分圆的任意一条弦（非直径），并且垂直于该弦，则直线为切线。
这个判定方法在一些特殊情况下非常有用，可以通过证明某直线满足这个判定定理来证明某直线为切线。
在具体的应用中，可以根据题目的条件和要求选择合适的判定方法来确定切线的位置和性质。
同时，也要注意切线与半径、弦之间的关系，以及切线与其他几何元素之间的联系，以便更好地理解和掌握切线的性质和判定定理。
在实际应用中，了解和掌握切线的性质和判定定理是非常重要的。
在解析几何、平面几何、圆和圆锥曲线等学科中，都需要用到这些知识点来解决相关问题。
通过深入理解切线的定义和判定定理，我们可以更好地理解和应用几何学的其他概念和定理，从而更好地解决各种数学问题。
此外，切线的性质和判定定理也在其他领域有着广泛的应用。
例如，在物理学中，切线性质可以用于研究物体运动轨迹的变化；在工程学中，判定定理可以用于确定机械零件的尺寸和位置；在经济学中，可以用于研究供需关系和市场均衡等等。
因此，深入理解切线的定义和判定定理不仅可以提高数学素养，也可以为其他学科的学习和研究提供有益的帮助。
沪科版数学九年级下册 切线的性质和判定
C
例4 已知：直线 AB 经过☉O 上的点 C，并且 OA = OB，
CA = CB. 求证：直线 AB 是☉O 的切线.
提示：由于 AB 过☉O 上的点 C，所以连接 OC，只要 证明 OC⊥AB 即可.
证明：连接 OC，如图.
∵ OA＝OB，CA＝CB，
O
∴ 在等腰△OAB 中，OC⊥AB.
∵ OC 是⊙O 的半径，
数量关系法
d = r，则相切
判定定理
经过半径外端点并 且垂直于这条半径 的直线是圆的切线
证切线时常用辅 助线添加方法： ①有公共点，连 圆心，证垂直； ②无公共点，作 垂直，证半径
O
AN
B M
典例精析 例1 如图，点 O 是∠BAC 的边 AC 上的一点，⊙O 与边
AB 相切于点 D，与线段 AO 相交于点 E，若点 P 是⊙O
上一点，且∠EPD＝35°，则∠BAC 的度数为 ( A ) A．20° B．35° C．55° D．70°
解析：连接 OD，如图. ∵⊙O 与边 AB 相切于点 D， ∴ OD⊥AD. ∴∠ADO＝90°. ∵∠EPD＝35°，∴∠EOD＝2∠EPD＝70°. ∴∠BAC＝90°－∠EOD＝20°.
F
又∵ ∠CAE =∠B， ∴ ∠D = ∠CAE.
A
OD
∴ ∠CAE + ∠DAC = 90°，即 AD⊥EF.
B
∴ EF 是 ☉O 的切线.
E
C 图2
切线的 性质
切线的 判定
性质定理
圆的切线垂 直于经过切
有 1 个公共点 点的半径
d=r
有切线时常用辅助 线添加方法： 见切线，连切点， 得垂直
定义法 1 个公共点，则相切
九年级数学下册《切切线的定义及判定定理线的定义及判定定理》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解切线的定义，掌握切线与圆相切的唯一性和切点的性质；
2.学会运用判定定理判断直线是否为圆的切线，包括：圆心到直线的距离等于半径、过圆上一点的直线垂直于半径等；
3.能够运用切线性质解决实际问题，如求切线长度、切线与圆相交弦长等；
（1）研究圆的切线与半径的关系，总结出切线长度的计算公式；
（2）探讨弦切角与圆心角的关系，并尝试证明。
4.小组作业：
（1）分组讨论，共同解决以下问题：已知圆的方程和一点，求过该点的切线方程；
（2）每组将讨论成果整理成书面报告，并在课堂上展示。
作业要求：
1.独立完成作业，认真思考，规范书写，确保作业质量；
（3）注重培养学生的空间想象力和抽象思维能力，提高学生的数学素养；
（4）结合生活实际，创设有趣、富有挑战性的教学情境，激发学生的学习兴趣和探究欲望。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动：教师展示自行车轮胎与地面接触点的图片，引导学生观察并思考：为什么轮胎与地面接触的点只有一个？这个点有什么特殊性质？
（1）求给定圆的切线方程；
（2）已知切线方程，求圆的方程；
（3）判断给定直线是否为圆的切线，若是，求切点坐标。
2.请同学们思考以下问题，并在课堂上进行分享：
（1）如何利用切线性质解决实际问题？
（2）在解决切线问题时，判定定理有哪些应用场景？
（3）结合生活实际，举例说明切线在现实中的胎与地面相切的点，相切的意思是两者在此处紧密接触，没有缝隙。
3.教师引导：很好，今天我们就来学习与这个相切点有关的知识——切线。首先，请同学们回忆一下我们已经学过的圆的性质和方程。
沪科版九年级下册数学第24章 圆 切线长定理(1)
知1－讲
理知PA＝PB，DC＝DA，EC＝EB，因而△PDE的周
长可转化为PA＋PB，即2PA.又由切线长定理易得
1∠(∠DAOOCC＝＋1∠2∠ABOOCC，)＝∠∠E1AOOCB＝.由∠12∠BOACP，B＝∴6∠0°D得OE＝
2
2
∠APO＝30°，又∵AO＝，3 由切线的性质得
∠PAO＝90°，∠PBO＝90°，∴PO＝2，3∠AOB
即AB+CD=DA+BC.
（来自教材）
知1－讲
例2如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C 是上AB一点，过点C作⊙O的切线分别交PA，PB于 点D，E.已知∠APB＝60°，⊙O的半径为，则3 △PDE的周长为____6，∠DOE的度数为____6．0°
导引：如图，连接PO，CO，AO，BO，由切线长定
知1－讲
切线长定理：过圆外一点作圆的两条切线，两条切线 长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角． 要点精析： (1)由切线长定理既可以得到线段相等，又可以得到角 相等，运用时要根据题意选用． (2)图是切线长定理的一个基本图形，可以直接得到很 多结论． 如：①PO⊥AB；②AO⊥AP， BO⊥BP；③AP＝BP； ④∠1＝∠2＝∠3＝∠4；⑤AD＝BD；⑥等.AC BC
＝180°－∠APB＝120°.∴PA＝＝P3，O2 AO2 ∠DOE＝∠1 AOB＝60°.
2
总结
知1－讲
利用切线长定理进行几何计算时，要注意构造切线 长定理的基本图形，作过切点的半径、连接圆外一 点与圆心是常用的作辅助线的方法．由于切线长定 理涉及的线段、角较多，因此熟记基本图形的相关 结论是解题的关键，而三角形的有关性质在解决有 关切线问题时，O的两条切线PA，PB，切
沪科版数学九年级下册 切线长定理
求证：AB + CD = AD + BC.
D
证明：∵ AB、BC、CD、DA 与 ⊙O 分
别相切于点 E、F、G、H， ∴ AE = AH，BE = BF，CG = CF，DG
H
= DH.
∴ AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH，
即 AB + CD = AD + BC.
A
G C
O·
F
EB
例2 如图，PA、PB 分别与 ⊙O 相切于点 A、B，⊙O 的
O
∵ OA = OB，OP = OP，
P
∴ Rt△OAP≌Rt△OBP.
∴ PA = PB，∠APO =∠BPO.
B
知识要点
A
切线长定理：
过圆外一点作圆的两
O
条切线，两条切线长相等，
P
圆心与这一点的连线平分
两条切线的夹角.
B
几何语言：
切线长定理为证明
∵ PA、PB 分别切☉O 于 A、B， 线段相等、角相等
DA
P
C
O
E B
例4 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下
办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为 30° 的
三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，
进而可求得铁环的半径.若三角板与圆相切且测得 PA =
5 cm，求铁环的半径．
B
解：设铁环的圆心为 O，连接 OP、
OA，过 O 作 OQ⊥AB 于 Q. ∵ AP、AQ 为 ⊙O 的切线，
∴ PA = PB，∠OPA =∠OPB.
提供了新的方法.
想一想：
沪科版九年级下册数学：切线长定理
A
O
C
P
B
中考 链接
A
OE
P
1．如图，PA、PB 切⊙O于A、B，PO 交AB 于
E，下列等式
B
①AE=BE；②AO 2=OE·OP；③∠OAB =∠APE
；④PA=PB 中，
成立的有（ ） A.1个 B.2个
C.3个
D.4个
中考 链接
2、如图，过⊙O外一点作⊙O的切线PA、PB，A、B为切点，C为弧AB 上 一点，设∠APB= ，求证：∠ACB= 90 1
1、切线长定理的内容是什么？ 2、通过本节课的学习，你学到了哪些学习方法和学习技巧？
1、已知：⊙O的半径是30cm，点P与圆心的距离是 60cm，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，求 ∠APB的大小与PA的长。
2、如图，PA、PB是⊙O的两条切线，点A、B是 切点，直线OP交⊙O于Q、D两点，交AB于点C。 （1）写出图中所有的垂直关系； （2）写出图中所有的全等三角形。
例题： 已知：AB、BC、CD、DA分别是⊙Ｏ的四条切线，切点为E、F、G、H。 求证： AB+CD＝BC+DA
例题变式：如图，⊙O与△ABC 三边分别相切于点 D，E，F，且 AB=9cm,BC=14cm,CA=13cm,求AF,BD,CE的长.
变式：已知：如图，PA、PB是⊙O的切线，且PA=9cm，C为劣弧AB上 一点，过C点的 直线与⊙O 相切，交PA、PB 于点D、E，求△PDE的周长。Βιβλιοθήκη 沪科版数学九年级下册切线长定理
切线长定义：从圆外一点可以作圆的两条切线，这一点和 切点之间线段的长度叫做这点到圆的切线长。
例： PA、PB是⊙O的切线，点Ａ、Ｂ为切点， 线段PA、PB是点P到⊙O的切线长。
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4、切线长：从圆外一点做圆的切线，这 点和_切__点__之间的线段的长。 5、切线长定理：从圆外一点引圆的两条 切线，它们的切线长_相__等___,并且这点和 圆心的连线_平__分___两条切线的夹角。
【预习自测】 1、如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延 长线上，DC切⊙O于C,若∠A=25°则∠D等
于（ A ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
2、如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B， 点E是⊙O上一点，且∠E=60度，
则∠APO=__3_0__度．
3、已知如图，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F
分别是切点.，AB＝5，BC＝4，AC＝3 。
(1)⊙O的半径rห้องสมุดไป่ตู้ 1 。
(2)若MN也与⊙O相切，
角平分线交BC于点O，以点O为圆心OC为半径作
圆.求证：AB为⊙O的切线；
A
CO
B
3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为 直径作⊙O交AB于点D， DE与⊙O相切于D,DE交 AC的延长线于点F． （1）求证：ED=EC； （2）若CF＝2，DF＝4，求⊙O的半径．
4、如图，已知直线P交⊙O于A、B两点，AE是⊙O 的直径,点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C 作 CD PA ，垂足为D. (1) 求证：CD为⊙O的切线； (2) 若DC=4，⊙O的直径为10，
复习课：圆的切线
古龙一中 黎海飞
1.熟悉圆的切线的定义，能应用切线 的判定定理和性质、切线长定理解决实 际问题。
2.在解决实际问题的过程中，进一 步体会数学的解题规律。
3.重点: 应用切线的判定定理和性 质、切线长定理解决实际问题
知识梳理
1、圆的切线定义：如果直线和圆只有 _1__个公共点，那么这条直线是圆的切线。 2、切线的性质：圆的切线垂直于经过切 点的 _半__径_ 。 3、切线的判定定理：经过_半__径__的外端 并且_垂__直__于这条半径的直线是圆的切线。
求AB的长度.
小结：
数量上怎么说明直线与圆相切？
5、如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O分 别交CA、CB于点E、F，点G是AD的中点.求证：GE是⊙O的切线.
则△. BMN的周长为 6 。
4、如图，在RtΔCDP中，∠DCP=90° PD切⊙O于A，
0P＝5，PA＝4，则DC＝___6___.
合作探究
1、如图，已知AB是⊙O的直径，BP是⊙O的弦， 弦CD⊥AB于点F，交BP于点G，E在CD的延长线 上，EP=EG， 求证：直线EP为⊙O的切线；
2、如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°，∠BAC的