2011线代期末复习
线性代数期末考试复习资料
基本概念下方是正文1. 余子式ij M 和代数余子式ij A ，(1)i j ij ij A M +=-，(1)i j ij ij M A +=-。
2. 对称矩阵：T A A =。
3. 伴随矩阵111*1n n nn A A A A A ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭，组成元素ij A ，书写格式：行元素的代数余子式写在列。
4. 逆矩阵AB BA E ==，称A 可逆。
若A 可逆，则11AA A A E --==.5. 分块对角阵12A O A O A ⎛⎫=⎪⎝⎭，12A A A =⋅，11112A O A O A ---⎛⎫= ⎪⎝⎭。
6. 初等行（列）变换：① 对换两行或两列；② 某行或某列乘以非零常数k ；③ 某行（列）的k 倍加到另一行（列）。
7. 等价矩阵：① 初等变换得来的矩阵；② 存在可逆矩阵,P Q ，使得PAQ B =。
8. 初等矩阵：初等变换经过一次初等变换得来的矩阵，① (,)E i j ；② (())E i k ；③(,())E j i k 。
9. 矩阵的秩：最高阶非零子式的阶数。
1()0,0k k r A k D D +=⇔∃≠∀=。
10. 线性表示：存在12,,,n k k k 使得1122n n k k k βααα=+++，等价于非齐次方程组Ax β=有解12,,,n k k k 。
11. 线性相关：存在不全为0的数12,,,n k k k ，使得11220n n k k k ααα+++=，等价于齐次方程组0Ax =有非零解。
12. 线性无关：11220n n k k k ααα+++=成立120n k k k ⇒====，等价于齐次方程组0Ax =仅有零解。
13. 极大无关组：12,,,n ααα中r 个向量12,,,r βββ满足：① 线性无关；②12,,,n ααα中任意向量可由其表示或12,,,n ααα中任意1r +个向量线性相关，则称12,,,rβββ为12,,,n ααα的极大无关组。
=线性代数期末复习总结.docx
第一章行列式一、行列式的性质性质1行列式与它的转置行列式相等，即|A | = |A T|.（行列互换，行列式不变）性质2互换行列式的两行（列），行列式变号.推论1如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数k,等于用数k 乘以此行列式.a ua i2a i3anai2^13ka na i2a i3a2Xa22a23 — ka 2xka’2 転23 = ka 2}a22 a23角1 a 32 «33a 3i角2 。
33脳31«33若行列式中有一行（列）为0,则行列式为0.行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零.坷 1坷］a n 纠341 a n 坷 3a21+b l a 22+b 2 如+4—a 21 a 22"23+ b l b 2 S。
31 “32 。
33。
31 “32 “33。
31 “32 “33 性质6把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列（行） 对应的元素上去，行列式不变.a\\a i2ai3au a n + ka !3 a i3 aCL CLa CL + kaaW21 u 22w23^21 "22 ' e"23 "23 “31 °32 "33°31 “32 + 氐 °33 。
33性质7 （Laplace 定理）行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余 子式乘积之和，BP ： | A| = a ix A i} + a i2A i2 + • • • + a in A in （1 = 1,2,• • •, n ）推论2性质4 。
21 ^22a31 “32ka [{ ka {2。
13。
23a 33 。
21 °3a n"12 "13 a22 ^23a 32= 40 = 0性质5行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零.二. 行列式的计算 1、字母型(用性质求值)2a I 】(1)、若三阶行列式£>= a tJ =3,则2°3i"1 “3—2d] -2^2—2a*(2)、若三阶行列式D = S b 2 g=-1,则 -2叽-2b 2 -2b.C] c 2 c 3-2C] -2C 2 -2C 32、四阶行列式计算降阶计算。
线性代数期末复习题
线性代数期末复习题《线性代数》综合复习题⼀、单项选择题：1、若三阶⾏列式D 的第三⾏的元素依次为1、2、3，它们的余⼦式分别为4、2、1，则D =（）(A)－3 (B) 3 (C) －11 (D) 112、设123,,ααα是三阶⽅阵A 的列向量组，且齐次线性⽅程组AX =O 仅有零解，则（）(A) 1α可由23,αα线性表⽰ (B) 2α可由13,αα线性表⽰ (C) 3α可由12,αα线性表⽰ (D) 以上说法都不对3、设A 为n(n ≥2)阶⽅阵，且A 的⾏列式|A |=a ≠0，A *为A 的伴随矩阵，则| 3A * | 等于（）(A) 3n a (B) 3a n -1(C) 3n a n -1 (D) 3a n4、设A =333231232221131211a a aa a a a a a , B =????? ??+++133311311232232122131112a a a a a a a a a a a a ,????? ??=1000010101P ,????=1010100012P ，则有（）(A) B AP P =12 (B) B AP P =21 (C) B A P P =21 (D) B A P P =12 5、设A 是正交矩阵，则下列结论错误．．的是（） (A) |A |2必为1 (B) |A |必为1 (C) A -1=A T (D) A 的⾏向量组是正交单位向量组 6、设A 是n 阶⽅阵，且O E A A =+-232，则（）(A) 1和2必是A 的特征值 (B) 若,2E A ≠则E A =(C) 若,E A ≠则E A 2= (D) 若1不是A 的特征值，则E A 2=7、设矩阵210120001A ??=，矩阵B 满⾜2ABA BA E **=+，其中E 为三阶单位矩阵，A *为A 的伴随矩阵，则B = （A ）13；（B ）19；（C ）14；（D ）13。
线性代数期末复习知识点资料整理总结
行列式1.行列式的性质性质1行列式与它的转置行列式相等TD D =.性质2互换行列式的两行（列），行列式变号.推论1如果行列式有两行（列）的对应元素完全相同，则此行列式的值为零.性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式.如111213111213212223212223313233313233a a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a =推论2如果行列式中有两行（列）元素成比例，则此行列式的值为零．性质4若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则这个行列式等于两个行列式之和.如111213111213111213212122222323212223212223313233313233313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''''''+++=+性质5把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变.如111213111213212223212223313233311132123313a a a a a a a a a a a a a a a a ka a ka a ka =+++例1已知，那么（）A.-24B.-12C.-6D.12答案B解析2.余子式与代数余子式在n 阶行列式中，把元素ij a 所在的第i 行和第j 列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素ij a 的余子式，记作ij M ，i jij ij A (1)M +=-叫做元素ij a 的代数余子式．3.行列式按行（列）展开法则定理1行列式的值等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即1122i i i i in in D a A a A a A =+++ 或 1122j j j j nj njD a A a A a A =+++ ()1,2,,;1,2i n j n ==定理2行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即12120,j j i i jn i n a A a A a A +++= 或,11220.j j j j nj nj a A a A a A i j +++=≠ ()1,2,,;1,2i n j n == 例.设3阶矩阵()ij A a =的行列式12A =,ij A 为ij a 的代数余子式.那么313132323333a A a A a A ++=___12____;213122322333a A a A a A ++=___0___.4.行列式的计算（1）二阶行列式1112112212212122a a a a a a a a =-（3）对角行列式1212n nλλλλλλ=，n(m 1)21212nn(1)λλλλλλ-=- （4）三角行列式1111121n 2122222n1122nnn1n2nnnna a a a a a a a a a a a a a a ==（5）消元法：利用行列式的性质，将行列式化成三角行列式，从而求出行列式的值.（6）降阶法：利用行列式的性质，化某行（列）(一般选择有0元素的行或列)只有一个非零元素，再按该行（列）展开，通过降低行列式的阶数求出行列式的值.（7）加边法：行列式每行（列）所有元素的和相等，将各行（列）元素加到第一列（行），再提出公因式，进而求出行列式的值.例：思路：将有0的第三行化为只有一个非0元素33=1，按该行展开,D=3333,不用忘记B 。
2011线性代数(答案)
线性代数复习参考2011A1、 设A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--111111111，B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--154211321，求3AB-2A 及A T B 。
解:111123111323111124211111105111110A B A B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-=----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭=≠ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T .B 中的1-1应该是-1吧 如果是1-1=0 则答案如下;1111231113231110242111111051111A B A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-=---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭1581111132231562111117201901111292⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=---=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭,111123158111024156111051190TA B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭2、设A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡3121，B=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2101，问： （1） AB=BA 吗？ （2）（A+B ）2=A 2+2AB+B 2吗？ （3）（A+B ）(A-B)=A 2-B 2吗？ (1)AB =BA 吗?解 AB ≠BA 因为⎪⎭⎫⎝⎛=6443AB , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8321BA , 所以AB ≠BA .(2)(A +B )2=A 2+2AB +B 2吗? 解 (A +B )2≠A 2+2AB +B 2. 因为⎪⎭⎫⎝⎛=+5222B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2914148,但 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++43011288611483222B AB A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=27151610,所以(A +B )2≠A 2+2AB +B 2. (3)(A +B )(A -B )=A 2-B 2吗? 解 (A +B )(A -B )≠A 2-B 2. 因为⎪⎭⎫⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A ,而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛=-718243011148322B A ,故(A +B )(A -B )≠A 2-B 2. 3、设A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡101x，求A 2，A 3，……，A k 。
华中科技大学2011-2012学年期末线性代数课程考试A卷
∗ 的特征值为 3
1
−1
1
−2
−2
取3 ，4 位自由变量得X = 3 [ ] + 4 [ ] + [ 1 ]
1
0
0
0
1
0
（3）当3×3 的特征值为 3 时，
∗ 的特征值为 2。
∴通解为X = 1 [1, −2,1,0] + 2 [1, −2,0,1] + [−1,1,0,0] ,
（3）方程组由无穷多解时，
∴ a = 1 且 b = −1
3
⋮ 0
⋮ 1]
⋮ 1
⋮ −1
华中科技大学 2011-2012 学年第二学期《线性代数》课程考试试卷 A 卷
此时{
1 + 2 + 3 + 4 = 0
= −1 + 3 + 4
⇒{ 1
2 + 23 + 24 = 1
2 = 1 − 23 − 24
1
[− − ] = [ 0 −1 −1] → [0
0 −1 −1
0
0 0
1 1]，
0 0
1
0
1
0 −
4
0
⋯
→ 0
⋯ −1
1
2
1
1
0
2
[
0
得3 = −1对应的线性无关的特征向量3 = [0,1, −1] 。因此可取
1 0
P = [1 , 2 , 3 ] = [0 1
0 1
0
1 ],则−1 =
（
）1.若 n 阶方阵 A 的行向量组与列向量组不等价，则|A|＝0。
1 0 1
2.设 A=[0 2 0]，对正整数n ≥ 2,则 − 2−1 =_______。
线性代数期末复习提纲
★ 线性代数基本内容、方法及要求第一部分 行列式【主要内容】1、行列式的定义、性质、展开定理、及其应用——克莱姆法则2、排列与逆序3、方阵的行列式4、几个重要公式：（1）TAA =； （2）AA11=-； （3）A kkA n=；（4）1*-=n AA ； （5）B A AB =； （6）B A BA BA ==**0；（7）⎩⎨⎧≠==∑=j i j i A A a ni ijij ，，01； （8）⎩⎨⎧≠==∑=j i j i A A a nj ij ij ，，01（其中B A ,为n 阶方阵，k 为常数）5、行列式的常见计算方法：（1）利用性质化行列式为上（下）三角形；（2）利用行列式的展开定理降阶； （3）根据行列式的特点借助特殊行列式的值【要求】1、了解行列式的定义，熟记几个特殊行列式的值。
2、掌握排列与逆序的定义，会求一个排列的逆序数。
3、能熟练应用行列式的性质、展开法则准确计算3-5阶行列式的值。
4、会计算简单的n阶行列式。
5、知道并会用克莱姆法则。
第二部分矩阵【主要内容】1、矩阵的概念、运算性质、特殊矩阵及其性质。
2、方阵的行列式3、可逆矩阵的定义、性质、求法（公式法、初等变换法、分块对角阵求逆）。
4、n阶矩阵A可逆⇔0A⇔A为非奇异(非退化)的矩阵。
≠⇔n)(⇔A为满秩矩阵。
R=A⇔0AX只有零解=⇔bAX=有唯一解⇔A的行（列）向量组线性无关⇔A的特征值全不为零。
⇔A可以经过初等变换化为单位矩阵。
⇔A可以表示成一系列初等矩阵的乘积。
5、矩阵的初等变换与初等矩阵的定义、性质及其二者之间的关系。
6、矩阵秩的概念及其求法（（1）定义法；（2）初等变换法）。
7、矩阵的分块，分块矩阵的运算：加法，数乘，乘法以及分块矩阵求逆。
【要求】1、 了解矩阵的定义，熟悉几类特殊矩阵（单位矩阵，对角矩阵，上、下三角形矩阵，对称矩阵，可逆矩阵，伴随矩阵，正交矩阵）的特殊性质。
2、熟悉矩阵的加法，数乘，乘法，转置等运算法则，会求方阵的行列式。
线性代数期末复习要点
注：一般而言， 1o ( AB)k Ak Bk ， 正确： ( AB)k (AB)(A B)( AB) ；
k个
2o ( A B)(A B) A2 B2， 正确： ( A B)(A B) A2 AB BA B2 ；
3o ( A B)2 A2 2AB B2 ， 正确： ( A B)2 A2 AB BA B2 。
A22
An
2
A2n
Ann
称为
A
的伴随矩阵。
2、n 阶方阵可逆的充要条件：
A
0
A 可逆，且 A1
1 A
A 。
3、逆矩阵的性质： 1o ( A1 )1 A ； 3o ( AT )1 ( A1 )T ；
4、伴随矩阵的性质：
2o ( AB)1 B1 A1 ；
4o
(kA)1
1 k
A1
（k
1、 Ax 0的基础解系：解向量组的一个极大无关组。
2、 Ax 0解的定理：只有当 R( A) r n 时，才存在基础解 系，且 n r 个线性无关的解向量组成的向量组 v1、v2、、vnr 是 Ax 0的基础解系，其线性组合
v c1v1 c2v2 cnrvnr 是 Ax 0的全部解。 3、基础解系的求法：
组有且仅有唯一解，且
xj
Dj D
（ j 1,2,, n ）
注：齐次线性方程组有非零解 D 0。 （逆否命题：齐次线性方程组仅有零解 D 0。）
第二章 矩阵
一、矩阵的定义：矩形数表。
二、矩阵的运算
1、矩阵的加法、减法：只有同型矩阵才可以进行加减运算。
2、数与矩阵的乘法：数与矩阵的乘法是数与矩阵每一个元 素相乘；而数与行列式的乘积是数与行列式中某一行（列） 的每一个元素相乘。
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即: 实对称阵必可对角化！
实对称阵A与 diag(1, 2, , n ) 既相似又合同！
用正交变换化实二次型为标准形
定理: 对任实二次型f(X),都存在正交变换X=CY, 使
f(X) X T AX X = CY 1 y12 2 y22 n yn2
其中 1 ，2 ，…，n是A 的特征值.
线性代数单元检测题三
xn1 yn1
A
xn yn
(2)验证1
4 1
，2
11 是A的两个线性无关
的特征向量，并求出相应的特征值。
1
（3）当
x1 y1
2 1 2
时，求
xn1 yn1
9 2
A
10
5
1 10
3 5
解：（2）由
A1 A2
121，2，可求得1
1，2
1 2
（3）
xn1 yn1
）
1 2 n a11 a22 ann
12 n A .
特征向量的性质：
1 若1,...r是A 的对应于的特征向量则 k11 ..... krr ( 0)也是A对应于的特征向量。
2 矩阵 A 不同特征值对应的特征向量线性无关 . 3 实对称矩阵 A 不同特征值对应的特征向量相互正交。
证明：“ ”若A满秩，令B=A-1，
此时AB+BTA=2I 是正定矩阵
" " 若AB BT A正定，则x 0 xT ( AB BT A)x xT ABx xT BT Ax
( Ax)T Bx (Bx)T Ax 0, 即 (Bx)T Ax 0,
x 0,Ax 0, 即AX 0只有零解
0 2 4
0 3 1
设A，B为满足AB=O的任意两个非零矩阵， 则必有（ A）。
(A) A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关； (B) A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关； (C) A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关； (D) A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关；
空间解析几何：
1、向量的加、减、数乘、内积、外积、混合积。
2、平面及直线的方程及位置关系。 3、三类二次曲面的标准方程及图形, 柱面方程与
旋转面方程及图形.
实对称矩阵的相似对角化 .
定理:对任一实对称矩阵 A , 都存在正交矩阵C ,使
1
CT
AC
C 1 AC
2
n
其中 , 1, 2 , , n 是矩阵 A的特征值 .
的圆心和半径。
x 2 y 2z 19 0
解：x2 y2 z2 10 y表示以A(0, 5, 0)为球心，5为半径的球面。
过A点做一条直线和x 2 y 2z 19 0所表平面垂直，
此直线方程为：x 1
y5 2
z 2
联立此直线方程和平面方程可求得交点即为待求之圆心：
x 2 y 2z 19 0
A
xn yn
An
x1 y1
1 10
8
（3
1 2
）n
2
3( 1 )n 2
4、求平面与直线的方程及位置关系。
5、用正交变换化实二次型为标准形。 或化二次方程为标准方程 或(用正交矩阵将实对称)矩阵对角化(方阵的k次幂）。 或已知实对称阵A的特征值、特征向量，求A。 或判定实二次型的正定性。
证明题：
1、向量组的线性相关性. 2、矩阵的可逆性. 3、矩阵的特征值与特征向量. 4、其它。
5、维数小于个数的向量组必线性相关。
1, 2, …, n线性无关
若x11+ x22+ …+ xmm =0，则
有 x1= x2= …= xm=0
R(1, 2, …, n)=n;
R（A） n , A=(1, 2, …, n)
AX = 0 只有零解.
线性方程组解的存在性：
设A =(1, 2, …, n), 1、AX = 0 有非零解 A的列向量组 1, 2, …, n线性相关
）；
（2）kA的特征值为（
k
）；
（ 3）Ak的特征值为（
k
）；
特
征 向 量 为
（ 4）A可逆时，A-1的特征值为（
（5）A可逆时，A*的特征值为（
（6）设 f ( A) a0I a1 A
ak
1
Ak
A
）； ）；
则f(A)的特征值为（ f ( ) ）
例如：I 3A 2A1的特征值（
1 3 2
解之，得： x 1, y 7, z 2
圆心到球面球心距离为：12＋7－52 ＋22＝3
于是圆半径为 52－32＝4
19、已知二次曲面方程 x2 ay2 z2 2bxy 2xz 2 yz 4
x
可以经过正交变换
y
C
化为椭圆柱面方程
2＋4
2
4,
z
解：
xn1
xn
1 6
xn
2 5
(
yn
1 6
xn
)
9 10
xn
2 5
yn
yn1
3 5
(
yn
1 6
xn
)
1 10
xn
3 5
yn
xn1
9 10
xn
2 5
yn
yn1
1 10
xn
3 5
yn
9 2
9 2
xn1 yn1
10 1 10
5 3 5
xn yn
令A
10
1 10
5
3 5
线性代数期末复习
题型分析： 填空题、选择题 基本计算题
证明题
15-30% 75-50% 10-20%
务必掌握的计算：
1、三、四阶行列式、 n 阶行列式、 箭形行列式、 范德蒙行列式的计算。
2、解非齐次线性方程组（含参数）。 或向量组的线性表出问题。
3、求矩阵的秩（向量组的秩与最大无关组） 、 求矩阵的逆（如 解矩阵方程）。
设A，B为n阶实对称矩阵，则 A与B合同
的充要条件为（ D）。
(A) A与B有相同的特征值； (B) A与B有相同的秩； (C) A与B有相同的行列式； (D) A与B有相同的正,负惯性指数；
七.设A为n阶矩阵,1,2 ,...n为n唯列向量,n 0, A1 2 , A2 3 , ...An-1 n , An 0,求证 :
A不能对角化.
第六章习题解答
P244
1、证明：秩为r的对称矩阵可以表示成r个秩等于1
的对称矩阵之和
证明： 设对称矩阵A的秩为r，则有可逆矩阵P使得：
d1
A PT
dr
PT
d1
0
0n1
P
P
T
(见P213定理1）
P
其中di 0
0
i 1, , r
0
0r1
d2
P
P
T
dr
(D) 两两相交于二条直线； （２００２年考研一）
P208，18、某生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的 人数统计，然后将1/6熟练工支援其它部门，其缺额 由招收新的非熟练工补充。新老非熟练工经培训及
年终考核有2/5成为熟练工。设第n 年一月份统计的
（熟1练）工求和xy非nn 熟 与练工 所xynn占11 百的分关比系分，别并为写xn成,y矩n,记阵为形式xynn。
n 阶方阵A可逆的充要条件：
A可逆 AB I A 0 R（A） n A与I行等价；
A可表示为有限个初等矩阵的乘积；
AX 0只有零解或AX b只有唯一解；
A的列（行）向量组线性无关
A的特征值非零；
矩阵的特征值与特征向量：
设n阶方阵A满足： A 0, 则
（1）AT的特征值为（
(B) 双曲线
(C ) 椭圆柱面 ( D) 双曲柱面
答案：（A）.
二次型2
x
2
+
2
y
2
-
2
xy的矩阵为
2 1
1
2
是一个正定矩阵
选择题:
C 下列矩阵中，正定矩阵是（ ）.
1 2 3
1 2 3
（A）
2
7
5
（B）
2
4
5
；
3 5 0
3 5 7
5 2 0
5 2 0
（C） 2 6 2；（D） 2 6 3
1
解：A
1
1
1
,
1
k 1
kI A
1
k 1
1
k 1
(k 1)3 2 (k 1)(1 2 2 )
又0，1，2为其特征值，于是：
1 2 (1 2 2 ) 0 0 2 0 1 2 (1 2 2 ) 0
0
7、设A为n阶实对称矩阵，证明：A满秩的充要条件是 存在实矩阵B，使 AB+BTA为正定矩阵。
从而A是可逆的（即满秩）
9、设A、B是同阶正定矩阵，证明：det(A-B) 0的根都是正根。
证明： A正定，存在可逆阵P，使 PT AP I
由 A-B 0 PT A-B P 0 I-PTBP 0
B是正定，PTBP也是正定的
即 I-PTBP 0的根全为正数
15、求圆
x2 y2 z2 10 y
向量组的线性相关性：
1、若1, 2, …, s线性无关， ,1, 2, …, s线性相关， 则 可由1, 2, …, s线性表出，且表达式唯一。
2、若向量组(Ⅰ)可由组(Ⅱ)线性表出，则 R(Ⅰ）≤R(Ⅱ)
3、若向量个数“多”的向量组可由个数“少”的线性表 则“多”的向量组必线性相关。
4、整体无关，则部分无关。（部分相关则整体相关）。