二次根式知识点总结大全
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二次根式
【知识回顾】
1.二次根式:式子a (a ≥0)叫做二次根式。
2.最简二次根式:必须同时满足下列条件:
⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式; ⑵被开方数中不含分母; ⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式:
二次根式化成最简二次根式后,若被开方数相同,则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质:
(1)(a )2=a (a ≥0); (2) 5.二次根式的运算:
(1)因式的外移和内移:如果被开方数中有的因式能够开得尽方,那么,就可以用它的算术根代替而移到根号外面;如果被开方数是代数和的形式,那么先解因式,•变形为积的形式,再移因式到根号外面,反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面.
(2)二次根式的加减法:先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式.
(3)二次根式的乘除法:二次根式相乘(除),将被开方数相乘(除),所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式.
ab =a ·b (a≥0,b≥0); b b a a
=(b≥0,a>0). (4)有理数的加法交换律、结合律,乘法交换律及结合律,•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式,都适用于二次根式的运算.
【典型例题】
1、概念与性质
a (a >0) ==a a 2 a -(a <0)
0 (a =0);
例1下列各式1)22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153
x a a a --+---+, 其中是二次根式的是_________(填序号).
例2、求下列二次根式中字母的取值范围
(1)x x --+31
5;(2)22)-(x
例3、 在根式1) 222
;2);3);4)275x a b x xy abc +-,最简二次根式是(
)
A .1) 2)
B .3) 4)
C .1) 3)
D .1) 4)
例4、已知:的值。求代数式22,211881-+-+++-+-=x y
y x
x y y x x x y
例5、 (2009龙岩)已知数a ,b ,若2()a b -=b -a ,则 ( )
A. a>b
B. a
C. a≥b
D. a≤b
2、二次根式的化简与计算
例1. 将根号外的a 移到根号内,得 ( ) A. ; B. -; C. -;
D.
例2. 把(a -b )-1a -b 化成最简二次根式
例3、计算:
例4、先化简,再求值:
11
()b
a b b a a b ++++,其中a=512+,b=51
2-.
例5、如图,实数a 、b 在数轴上的位置,化简 :222()a b a b ---
3、在实数范围内分解因式
例. 在实数范围内分解因式。(1)
; (2)
4、比较数值
(1)、根式变形法
当0,0a b >>时,①如果a b >,则a b >;②如果a b <,则a b <。 例1、比较35与53的大小。
(2)、平方法
当0,0a b >>时,①如果22a b >,则a b >;②如果22a b <,则a b <。
例2、比较32与23的大小。
(3)、分母有理化法
通过分母有理化,利用分子的大小来比较。
例3、比较231-与121
-的大小。
(4)、分子有理化法
通过分子有理化,利用分母的大小来比较。
例4、比较1514-与1413-的大小。
(5)、倒数法
例5、比较76-与65-的大小。
(6)、媒介传递法
适当选择介于两个数之间的媒介值,利用传递性进行比较。
例6、比较73+与873-的大小。
(7)、作差比较法
在对两数比较大小时,经常运用如下性质:
①0a b a b ->⇔>;②0a b a b -<⇔<
例7、比较2131++与23
的大小。
(8)、求商比较法
它运用如下性质:当a>0,b>0时,则: ①1a
a b b >⇔>; ②1a
a b b <⇔<
例8、比较53-与23+的大小。
5、规律性问题
例1. 观察下列各式及其验证过程:
, 验证:;
验证:.
(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路,猜想4415
的变形结果,并进行验证; (2)针对上述各式反映的规律,写出用n(n≥2,且n 是整数)表示的等式,并给出验证过程.
例2. 已知,则a _________ 发展:已知,则a ______。 例3、化简下列各式:
(1)423+ (2)526-
例4、已知a>b>0,a+b=6ab ,则
a b a b -+的值为( )A .22 B .2 C .2 D .12
例5、甲、乙两个同学化简
时,分别作了如下变形: 甲:==; 乙:=。 其中,( )。
A. 甲、乙都正确
B. 甲、乙都不正确
C. 只有甲正确
D. 只有
乙正确
【基础训练】
1.化简:(1)72=__ __; (2)222524-=___ __; (3)61218⨯⨯=___ _;
(4)3275(0,0)x y x y ≥≥=___ _; (5)_______420=-。
2.(08,安徽)化简()24-=_________。
3.(08,武汉)计算4的结果是
A.2 B.±2 C.-2 D.4
4. 化简:
(1)(08,泰安)9的结果是 ; (2)123-的结果
是 ;
(3)(08,宁夏)825-= ; (4)(08,黄冈)5x -2x =_____ _;
(5)(08,宜昌)3+(5-3)=_________; (6)
;
(7)(08,荆门)=________;(8) . 5.(08,重庆)计算28-的结果是
A 、6
B 、6
C 、2
D 、2
6.(08,广州)3的倒数是 。
7. (08,聊城)下列计算正确的是
A .
B .
C .
D .