定积分典型例题

定积分典型例题标准化工作室编码[XX968T-XX89628-XJ668-XT689N]

定积分典型例题

例1 求332

1lim

)n n n →∞+．

分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限．

解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ∆=，然后把2111

n n n

=⋅

的一个因子1n 乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即

3321lim

)n n n →∞+=3

1lim )n n n n →∞+=3

4

=⎰．

例2 0⎰=_________．

解法1 由定积分的几何意义知，0⎰等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥)

与x 轴所围成的图形的面积．故0⎰=

2

π

． 例18 计算2

1||x dx -⎰．

分析 被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分．

解 2

1||x dx -⎰＝0

2

10

()x dx xdx --+⎰⎰＝220210[][]22x x --+＝5

2

．

注 在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条

件．如

3

322

2111

[]6

dx x x --=-=⎰，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数21x 在0x =处间断且在被积区间内无界.

例19 计算2

20max{,}x x dx ⎰．

分析 被积函数在积分区间上实际是分段函数

212

()01x x f x x x ⎧<≤=⎨≤≤⎩

．

解 23212

2

2

1201001

1717

max{,}[][]23236

x x x x dx xdx x dx =+=+=+=⎰⎰⎰

例20 设()f x 是连续函数，且1

0()3()f x x f t dt =+⎰，则()________f x =． 分析 本题只需要注意到定积分()b

a f x dx ⎰是常数（,a

b 为常数）． 解 因()f x 连续，()f x 必可积，从而1

0()f t dt ⎰是常数，记1

0()f t dt a =⎰，则

()3f x x a =+，且1

1

(3)()x a dx f t dt a +==⎰⎰．

所以

210

1

[3]2

x ax a +=，即132a a +=， 从而14a =-，所以 3()4

f x x =-．

例21 设23, 01

()52,12

x x f x x x ⎧≤<=⎨-≤≤⎩，0()()x F x f t dt =⎰，02x ≤≤，求()F x , 并讨论()F x 的

连续性．

分析 由于()f x 是分段函数, 故对()F x 也要分段讨论． 解 （1）求()F x 的表达式．

()F x 的定义域为[0,2]．当[0,1]x ∈时，[0,][0,1]x ⊂, 因此

23300

()()3[]x

x

x

F x f t dt t dt t x ====⎰⎰．

当(1,2]x ∈时，[0,][0,1][1,]x x =, 因此, 则

1201

()3(52)x

F x t dt t dt =+-⎰⎰=31201[][5]x t t t +-=2

35x x -+-，

故

3

2

, 01

()35,12x x F x x x x ⎧≤<⎪=⎨-+-≤≤⎪⎩

． (2) ()F x 在[0,1)及(1,2]上连续, 在1x =处，由于

211lim ()lim(35)1x x F x x x +

+

→→=-+-=, 311lim ()lim 1x x F x x -

-

→→==, (1)1F =．

因此, ()F x 在1x =处连续, 从而()F x 在[0,2]上连xu

例22 计算21

-⎰．

分析 由于积分区间关于原点对称，因此首先应考虑被积函数的奇偶性． 解 21

-⎰=21

1

--+⎰

⎰

2是偶函数，而

是奇函数，有1

0-=⎰, 于是

21

-⎰=2

1

4⎰=04⎰=1044dx -⎰⎰

由定积分的几何意义可知4

π

=

⎰, 故

21

1

4444

dx π

π-=-⋅

=-⎰

⎰．

例23 计算3

4

1

2

e e

⎰．

分析 被积函数中含有1x

及ln x ，考虑凑微分．

解 3

4

1

2

e e

⎰=3

4e 3

4

12

e e

⎰=⎰=3

4

12

e e =

6

π． 例24 计算40sin 1sin x

dx x

π

+⎰． 解 40

sin 1sin x dx x

π+⎰

=420sin (1sin )1sin x x dx x π--⎰=24

4200sin tan cos x dx xdx x ππ-⎰⎰ =24

4

20

cos (sec 1)cos d x x dx x π

π

---⎰

⎰ =

44

00

1[][tan ]cos x x x ππ

--=24

π-例26 计算

0a ⎰0a >． 解法1 令sin x a t =，则

[]20

1ln |sin cos |2

t t t π

=++=4π． 注 如果先计算不定积分

，再利用牛顿-莱布尼兹公式求解,则比较复

杂，由此可看出定积分与不定积分的差别之一．

例27 计算ln 0

⎰． 分析 被积函数中含有根式，不易直接求原函数，考虑作适当变换去掉根式．

解 设u =2ln(1)x u =+，2

21

u

dx du u =

+，则

ln 0

⎰

=22220(1)241u u u du u u +⋅=++⎰2

2222200442244

u u du du u u +-=++⎰⎰ 2

2

20

1

284

du du u =-=+⎰⎰

4π-． 例29 计算30sin x xdx π

⎰．

分析 被积函数中出现幂函数与三角函数乘积的情形，通常采用分部积分法．

解 30

sin x xdx π

⎰30

(cos )xd x π

=-⎰330

0[(cos )](cos )x x x dx π

π

=⋅---⎰

30cos 6

xdx π

π

=-+⎰6

π=

-．