同济版高数课后习题答案
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习题19
1. 求函数6
33)(2
23-+--+=
x x x x x x f 的连续区间, 并求极限)(lim 0
x f x →, )(lim 3
x f x -→及)(lim 2
x f x →.
解 )2)(3()
1)(1)(3(6
33)(223-++-+=-+--+=x x x x x x x x x x x f , 函数在(
, )内除点x 2和x
3
外是连续的, 所以函数f (x )的连续区间为(, 3)、(3, 2)、(2,
).
在函数的连续点x 0处, 2
1
)0()(lim 0==→f x f x .
在函数的间断点x 2和x 3处,
∞=-++-+=→→)2)(3()1)(1)(3(lim )(lim 22x x x x x x f x x , 58
2)1)(1(lim )(lim 33-=-+-=-→-→x x x x f x x .
2. 设函数f (x )与g (x )在点x 0连续, 证明函数
(x )max{f (x ), g (x )}, (x )min{f (x ), g (x )} 在点x 0也连续.
证明 已知)()(lim 00
x f x f x x =→, )()(lim 00
x g x g x x =→.
可以验证
] |)()(|)()([21
)(x g x f x g x f x -++=ϕ,
] |)()(|)()([21
)(x g x f x g x f x --+=ψ.
因此 ] |)()(|)()([21
)(00000x g x f x g x f x -++=ϕ,
] |)()(|)()([2
1
)(00000x g x f x g x f x --+=ψ.
因为
] |)()(|)()([21
lim )(lim 00x g x f x g x f x x x x x -++=→→ϕ
] |)(lim )(lim |)(lim )(lim [21
0000x g x f x g x f x x x x x x x x →→→→-++=
]
|)()(|)()([2
1
0000x g x f x g x f -++=(x 0),
所以(x )在点x 0也连续.
同理可证明(x )在点x 0也连续.
3. 求下列极限: (1)52lim 20
+-→x x x ;
(2)34
)2(sin lim x x π
→;
(3))2cos 2ln(lim 6
x x π
→
(4)x
x x 1
1lim 0
-+→; (5)1
45lim
1---→x x
x x ;
(6)a
x a
x a x --→sin sin lim ;
(7))(lim 22x x x x x --++∞
→.
解 (1)因为函数52)(2+-=x x x f 是初等函数, f (x )在点x 0有定义, 所以 55020)0(52lim 220
=+⋅-==+-→f x x x .
(2)因为函数f (x )(sin 2x )3
是初等函数, f (x )在点x
4
π
有定义, 所以 1)42(sin )4()2(sin lim 334
=⋅==→π
ππ
f x x .
(3)因为函数f (x )ln(2cos2x )是初等函数, f (x )在点x
6
π
有定义, 所以 0)62cos 2ln()6()2cos 2ln(lim 6
=⋅==→π
ππ
f x x .
(4)21
1101111lim )11(lim )11()11)(11(lim 11lim
0000
=++=++=++=++++-+=-+→→→→x x x x x x x x x x x x x x . (5))
45)(1(44lim )45)(1()45)(45(lim 145lim
111
x x x x x x x x x x x x x x x x x +---=+--+---=---→→→ 21
4154454lim
1
=+-⋅=
+-=→x
x x .
(6)a
x a
x a x a
x a
x a x a x --+=--→→2sin 2cos
2lim
sin sin lim
a a a a x a
x a
x a
x a
x cos 12cos 2
2sin
lim 2cos
lim =⋅+=--⋅+=→→. (7))
()
)((lim
)(lim 2
2
22222
2x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++-++--+=--++∞
→+∞
→
1)
1111(2lim
)
(2lim
2
2
=-++=-++=+∞
→+∞
→x
x x x x x x
x x .
4. 求下列极限: (1)x
x e 1lim
∞
→;
(2)x
x
x sin ln
lim 0
→; (3)2)1
1(lim x
x x
+∞→;
(4)x x x 2
cot 20
)tan 31(lim +→;
(5)2
1
)63(lim -∞→++x x x
x ;
(6)x
x x x x x -++-+→2
0sin 1sin 1tan 1lim
.
解 (1) 1lim 01
lim
1===∞→∞
→e e
e x
x
x x .
(2) 01ln )sin lim ln(sin ln
lim 00
===→→x x
x
x x x .
(3) []e e x
x x
x x
x ==+=+∞→∞→2
12
1
2)1
1(lim )11(lim .
(4) [
]3
3
tan
31
2
cot 2
2
2)tan 31(lim )
tan 31(lim e
x x x
x x
x =+=+→→.
(5)21633621
)631()63(-+-⋅-
+-+-+=++x x x x x
x x . 因为