与二次函数有关的含有绝对值不等式的证明问题

与二次函数有关的含有绝对值不等式的证明问题
二次函数是最简单的非线性函数之一，而且有着丰富的内容，它对近代数仍至现代数学影响深远，这部分内容为历年来高考数学考试的一项重点考查内容，经久不衰，以它为核心内容的高考试题，形式上也年年有变化，此类试题常常有绝对值，充分运用绝对值不等式及二次函数、二次方程、二次不等式的联系，往往采用直接法，利用绝对值不等式的性质进行适当放缩，常用数形结合，分类讨论等数学思想，以下举例说明。

1．设()c bx ax x f ++=2，当1≤x 时，总有()1≤x f ，求证当2≤x 时，()7≤x f . 证明：由于()x f 是二次函数，()x f 在[]2,2-上最大值只能是()()2,2-f f ，或
⎪⎭⎫ ⎝⎛-a b f 2，故只要证明()()72;72≤-≤f f ；当22≤-a b 时，有72≤⎪⎭
⎫ ⎝⎛-a b f ，由题意有()()()11,11,10≤≤-≤f f f .
由()()()⎪⎩⎪⎨⎧+-=-++==c b a f c b a f c f 110 得()()()[]()()[]()⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧=--=--+=01121021121f c f f b f f f a
()()()()()()()
0311303113242f f f f f f c b a f +-+≤--+=++=∴7313=++≤.
()()()()()()()
0313103131242f f f f f f c b a f +-+≤--+=+-=-7331=++≤.
()()()()()()1112
111211121=+≤-+≤--=f f f f b . ∴ 当22≤-a b 时，22444222b a b c a b c a b ac a b f ⋅-=-=-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛- 722
12122<=⨯+≤⋅+≤b a b c . 因此当2≤x 时，()7≤x f . 点评：从函数性质的角度分析，要证2≤x 时，()7≤x f ，只要证当2≤x 时，()x f 的最大值M 满足7≤M . 而()x f 又是二次函数，不论a 、b 、c 怎么取值()x f 在[]2,2-
上的最大值只能是()()2,2f f -，或⎪⎭
⎫ ⎝⎛-a b f 2，因而只要证明()()72,72≤-≤f f ，72≤⎪⎭
⎫ ⎝⎛-a b f ，这里需要特别指出的是要将()()2,2-f f 与()()()1,1,0-f f f 建立联系，将二次函数中的系数b a ,c ,用()1f 、()1-f 、()0f 表示：
()()(),20211f f f a --+=()()()0,2
11f c f f b =--=，然后用含有绝对值不等式的性质，进行适当放缩。

2．已知c b a ,,是实数，函数()()b ax x g c bx ax x f +=++=,2，当11≤≤-x 时，()1≤x f ，
（1）证明：1≤c ；
（2）证明：当11≤≤-x 时，()2≤x g ；
（3）设0>a ，当11≤≤-x 时，()x g 的最大值为2，求()x f . （1996年全国高考题） 证明：（1）依题设得()10≤f ，而()c f =0 所以1≤c .
（2）证法：当0>a 时，()b ax x g +=在[]1,1-上是增函数。

则[]1,1-∈x 时，有()()()11g x g g ≤≤-，又()1,1≤≤c x f ,
()()()2111≤+≤-=+=∴c f c f b a g ，
()()()()2111-≥+--≥+--=+-=-c f c f b a g ，因此得()()112≤≤-≤x x g . 当0<a 时，()b ax x g +=在[]1,1-上是减函数，则当[]1,1-∈x 时，()()()11g x g g ≥≥-. 又()1,1≤≤c x f ,
()()()2111≤+-≤+--=+-=-∴c f c f b a g ，
()()()()2111-≥+-≥-=+=c f c f b a g ，因此得()2≤x g .
当0=a 时，()()c bx x f b x g +==,,
()1,11≤≤c f
()()()211≤+≤-=∴c f c f x g
综上可知，当11≤≤-x 时，都有()2≤x g .
（3）依题意0>a ，故()b ax x g +=在[]1,1-上是增函数，又()x g 在[]1,1-上的最大值为2，故()21=g ；()()c f b a g -=+=11 ，()1,11≤≤c f .
()()121111-=-≤-=≤-∴g f c 1-=∴c 。

当11≤≤-x 时，()()01f c x f ==-≥，即函数()c bx ax x f ++=2在区间[]1,1-的内点0=x 上取得最小值为1-，所以，()x f 是二次函数且它的图像是对称轴a b x 2-
=是直线0=x ，由此得02=-a
b ，即0=b . ()21==+g b a 2=∴a ，故()122-=x x f .
点评：本题运用了赋值法，函数的单调性、二次函数的最小值，含有绝对值不等式的性质等，问题（1）的设置意在降低难度，容易上手，抓住这2分，问题（3）的意义是证明问题
（2）中的结论不能改进，从而是精确的，这样（2）、（3）合在一起构成问题的完整解答。

本题的设计背景是：对于二次函数()c bx ax x f ++=2和一次函数()b ax x h +≤2，给定条件“当11≤≤-x 时，()1≤x f ”，则有结论“当11≤≤-x 时，()4≤x h ”. 更一般地，对于多项式函数()n n n n a x a x a x a x P ++++=--1110 和
()()121101---++-+=n n n a x a n x na x Q ，给定件“当11≤≤-x 时，()1≤x P ”
，则有结论“当11≤≤-x 时，()2n x Q ≤”.。